 

Математический сборник. 1950, т.26(68), N 1
А.Н. Тихонов
О краевых условиях, содержащих производные
порядка, превышающего порядок уравнения
Целью настоящей статьи является изучение решений уравнения
теплопроводности
 2 u u

x 2 t
0  x  , t  0,
удовлетворяющих краевому условию
m
 k
k 0
 k u0, t 
 f (t ),
x k
нулевому начальному условию
ux, t   0
и ограниченных в бесконечности.
Очевидно, что простейшая форма начального условия не ограничивает общность решения. Мы будем также предполагать, что
 m  0,  0  0.
 k0 u  x , t 
Если бы  0  0 , то вместо функции ux, t  мы искали бы
x k0
где k 0 - первый номер, для которого  k  0 .
К постановке подобной задачи приводит ряд физических задач.
В отношении функции f t мы будем предполагать кусочную

непрерывность и будем искать решение
ux, t  , непрерывное вместе со
своими производными до m-го порядка всюду в замкнутой области
0  x  , t  0 , за исключение тех точек, где f t имеет разрыв, а

также точки
x=0, t=0, если f 0  0 . В этих точках мы будем допус-
97
Избранные труды
кать разрыв старшей производной
 m u  x, t 
, предполагая, однако,
x m
ограниченность ее около этих точек.
В § 1-3 дается сведение изучаемой краевой задачи к функциональному уравнению для функции
 t   u0, t ,
откуда сразу же следует существование и единственность для рассматриваемой задачи при произвольных коэффициентах  i .
Все рассуждения проводятся для четного m , что делается для
простоты рассуждений. Случай нечетного m может быть рассмотрен
совершенно аналогично, если сводить его к функциональному уравнению для функции
 t  

u 0, t . .
x
В § 2 доказывается эквивалентность этого функционального уравнения с некоторым обыкновенным дифференциальным уравнением с
постоянными коэффициентами, корни характеристического уравнении
которого k i являются квадратами корней уравнения
k
m
M q     k q k  0
k 0

 qi ,
2
i
называемого нами характеристическим уравнением рассматриваемой
краевой задачи.
В § 4-5 решение преобразовывается к виду
 t    i i t  ,
где
 i - постоянные и
t


 i t     qi t    f  d ,
2
0
причем

2
 z    e z 1 




 2

e
d

0


z
98
1
,
z 
Академик А.Н.Тихонов
qi - корни характеристического уравнения краевой задачи M q  0 .
В § 6 устанавливается, что функция z  получается при решении простейшей краевой задачи

u
 u  f t 
x
( при
x= 0 ),
решение которой дается в виде:
t
t   U 0, t    t    f  d
0
и
    x  
  x
 f  
4 t  
4 t  
U  x, t  
e

e
d

d .


o
 0 
 t  
2
2
t
1
Отсюда непосредственно получаем, что решение общей краевой задача
дается в явном виде:
m
u  x, t   
i 1
i
qi
2

2

U xqi , tqi .
В § 7-11 ставится вопрос о предельной устойчивости решений при
t   а именно, вопрос о том, будет ли функция ux, t  стремиться к
конечному пределу, если
f t   f  при t  
Будем называть функцию ux, t  устойчивой в бесконечности, если она стремится к конечному пределу при t   .
Результат исследования может быть формулирован в виде следующей основной теоремы:
Теорема. Для того чтобы решение рассматриваемой краевой задачи было устойчиво в бесконечности для всякой функции f t  , стремящейся к конечному пределу при t   , необходимо и достаточно,
чтобы все корни характеристического уравнения задачи лежали в области
99
Избранные труды
3
3
   arg qi   .
4
4
Рассматриваемая задача имеет простой физический смысл 1. При
m= 1 - это условие теплообмена:
k
u
 u  f t 
x
 f t   u0 t  ,
u0 t  - температура внешней среды, при этом коэффициент теплообмена   0 , и решение задачи устойчиво в бесконечности; при
  0 смысл задачи существенно меняется и решение неустойчиво в
бесконечности. При m= 2 - это условие «сосредоточенной теплоемкости», соединенной с концом стержня при х=0. В самом деле, если на
конце стержня при х=0 присоединено тело, обладающее теплоемкостью С и большой теплопроводностью, так что температура в нем завигде
сит только от времени и характеризуется функцией
U t   u0, t  ,
то краевое условие можно написать в виде:
C

U
u 0, t 
k
 u 0, t   f t 
t
x
,
где f t - плотность тепловых источников внутри рассматриваемого
тела. Если на границе емкости и стержня имеется перепад, т. е.
U t   u 0, t   
u 0, t 
,
x
то краевое условие будет третьего порядка и т. д. Легко осуществить
схемы для краевого условия любого порядка с помощью ряда «емкостей»», между которыми имеют место перепады.
Случай, когда f t   0 , а начальное условие U 0  0 , т. е. задача о распространении тепла от начального запаса конечной мощности,
легко сводится к предшествующей задаче.
Настоящая работа возникла в связи с развитием теории одного прибора для определения
термических констант, предложенного нами.
1
100
Академик А.Н.Тихонов
Задача о нахождении функции, определяемой краевым условием с
разрывом в начале координат не у старшей производной, а у производной более низкого порядка, имеет также ясный физический смысл.
§1
Как известно, всякое решение уравнения теплопроводности, непрерывное в области 0  x  , t  0 обращающееся в нуль при
t  0 и ограниченное в бесконечности, может быть представлено в виде:
u  x, t  
t
 2 
0
где
и
1
2 
t

0

x
t   2
3
e
x2
4 t  
  d 
U
  d ,
x
 t   u0, t 
U - фундаментальное решение, равное
x2

1
U

e 4 t  
2 
t 
1
(см., например, нашу работу [1], стр. 199).
Наша цель - определить такую функцию  t , чтобы удовлетворялось поставленное краевое условие.
В силу предположенной непрерывности производных, при х=0
будем иметь:

k
2
k
 
 u  u
 k    2  t 
k
x
t 2
k
101
(для четного k )
(1)
Избранные труды
всюду, за исключением точек разрыва функции
f t  , в которых произ-
m
 
2
t  может претерпевать разрыв, оставаясь ограниченной. В
водная 
силу нулевого начального условия и непрерывности производных
 k u  x, t 
k  m  , из формулы (1) получаем:
x k

k
 
2
0  0 (для четного k<m )
Для k нечетного при
x>0 будем иметь:
 k u  x, t 
 k 1U


2
0 x k 1   d 
x k
t
  1
k 1
2
t
 2

k 1
2
U  x, t   

0
k 1
2
  d .
Произведем в последнем интеграле интеграцию по частям и, пользуясь
тем, что
m
U l x, t   
|t  при x  0 и  l  0  0 для l 
,
l
2
x
получим

k
t
k 1
u  x, t 

s
  1 2  2
x

k
k 1
s
2
0
При s 
U  x, t   

k 1
s
2
 s   d , s 
k 1
.
2
k 1
будем иметь для x  0 :
2

 k u  x, t 
 2  U x, t    
k
x
0
t
Пользуясь этим выражением для
 k 1 

2 
 d .
ku
ku
,
мы,
в
силу
непрерывности
x k
x k
102
Академик А.Н.Тихонов
при
x  0 , находим, что
 u0, t 
1

k
x

k
t


0
 k 1 


 2 
  d
t 
( k - нечетное).
Подставляя полученные значения производных в краевое условие,
получим уравнение:
 0 t  
1


0
m
 
2
 m 1   
d   m
 0 t  
t

  
d   2 t   
t 
t
(2)
m
 
2
t   f t  ,
которому должна удовлетворять функция  t   u0, t  , где
любое решение поставленной задачи. Если ввести функцию
u  x, t  -
m
 
 t     2  t 
,
то полученное уравнение будет обыкновенным интегральным уравнением Вольтерра второго рода, откуда непосредственно и следует существование и единственность рассматриваемой задачи. Мы дадим решение полученного уравнения в явном виде, так как это позволит нам провести исследование этого решения при t   .
Это уравнение выписано для четного значения т. В дальнейшем
изложение будет вестись в предположении четности т . В случае нечетного т краевую задачу надо сводить к функциональному уравнению
для функции
 t  
u 0, t 
,
x
что делается аналогично.
§2
Решим полученное уравнение (2) 2.
Возможны и другие методы представления решения поставленной задачи в явном виде,
а именно:
2
103
Избранные труды
Рассмотрим операцию,
непрерывной функции   :
L  
t
1


0
определенную для любой кусочно-

  
d
t 
Нетрудно видеть, что
L2    LL  
t
1
    d 
o

t

0
1

t

0
d  1

t   


0

  
d  
t 

 t
    d .
t       o
d
С точки зрения полученного соотношения операцию
обозначить так:
L   
 1
 
 2
L  естественно
t  .
Пользуясь этим обозначением, мы будем иметь:
L2  k      k   d   k 1 t  ,
t
0
так как
 k 1 0  0
деления функции
при k 
m
. Таким образом, уравнение для опре2
 t  можно записать в виде:
1) при помощи представления решения в виде контурного интеграла или
2) если положить
m
U  x, t     i
i 0
 i u  x, t 
;
x i
при этом функция U(x,t) находится непосредственно, а для нахождения = надо решить
написанное ранее неоднородное линейное дифференциальное уравнение.
104
Академик А.Н.Тихонов
 1
 
2
M     m   m 1 
  1
 m 1 


 2 
  0
  m 2 1  
 m
 
 2
(3)
 f t 
где
m
 
  2.
Подвергнем
правую
и
левую
части
этого
уравнения
опера-
 1
 
 2
t  , результат снова подвергнем той же операции и т.
ции L   
д. = раз. Выпишем полученные уравнения, присоединив к ним исходное
уравнение (З):
M     m   m 1
  1
 1
 
2
M
 m 1 


 2 
 1
 
2
    m 
  1
 1
 
 2
 m
 
 2
  m 2 1  
  0
 m
 
 2
 f t  ;
  m 1 1  
  0
 m 1 


 2 
 f
 1
 
 2
t ;

M
 m
 
 2
    m
 m
 
 2
  m 1
 m
 
2
   0 m   f 
 m
 
 2

t ;
Умножим полученные уравнения последовательно на = и сложим. Вводя обозначение:
M  f    m f   m1 f
 1
 
 2
   0 f
 m
 
 2
,
можно записать результат сложения в виде:
M M    M  f  .
(4)
105
Избранные труды
Как нетрудно видеть, левая часть равенства (4) имеет вид:
M M    A0  A1 1    Am  m  ,
гак как после сложения коэффициенты при «дробных степенях»» уничтожаются; коэффициенты при «целых степенях» равны:
A0   m2 ,
A1  2 m m 2   m2 1 ,
A2  2 m m 4  2 m 1 m 3   m2 2 ,

Am   02 .
Полученное уравнение
A0  A1 1    Am  m   M  f 
(5)
является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением
порядка m : N z  M f для функции
z t   

 
m 
 m
 
 2

m

 
    2   ,




так как A0   m  0 . Начальные условия для функции
2
z t  имеют
вид:
z k  0  0
k  0,1,, m  1
В силу единственности решения интегрального уравнения (3) и
единственности решения уравнения (4), заключаем, что решения этих
уравнений совпадают, т. е.
 
 m
 
 2
z
m
 
2
.
Отсюда также следует устойчивость решения по отношению к малым изменениям коэффициентов, а также по отношению к малым изменениям правой части.
106
Академик А.Н.Тихонов
§3
Характеристическое уравнение для линейного дифференциального
уравнения
N z   A0 z m   A1 z m 1    Am z  M  f 
имеет вид:
N k   A0 k m  A1k m 1    Am  0 .
(6)
Обозначим через
k1 , k 2 , , k m
корни уравнения (6). Обозначим, далее, через
q1 , q2 , , qm
корни характеристического уравнения нашей краевой задачи:
M q    0  1q     m q m  0 ,
и через
q1 , q2 , , qm
- корни уравнения
M q  0  1q     m q m  0 .
Докажем, что при соответствующей нумерации
k i  qi2
qi
  qi  .
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение
M q   m q0   m1q 1    0 q  m  0
и будем его последовательно умножать на
q 1 :
M q    m q 0   m 1q 1     0 q  m  0
q 1 M q    m q 1    1q m   0 q m 1  0

q m M q    m q m   m 1q m 1     0 q 2 m  0
107
(7)
Избранные труды
Умножим уравнения (7) последовательно на
 m ,  m1 , ,  0 и сложим
их. Как нетрудно видеть, левая часть полученного равенства имеет вид:
M q M q 1   A0  A1q 2    Am q 2 m  0
или
A0 q 2 m  A1q 2 m1    Am  0 ,
где коэффициенты
Ai имеют прежнее значение.
Таким образом, qi - квадраты корней уравнения M q   0 - яв2
ляются корнями уравнения N k   0 . В силу того, что уравнение
 m q m   m 1q m 1     0  0
одного порядка с уравнением
A0 k m  A1k m1    Am k  0 ,
заключаем, что при надлежащей нумерации k i  qi
2
Корни
qi уравнения M q   0 с точностью до знака совпадают с
корнями уравнения
M q  0 , откуда и следует, что
k i  qi2 .
§4
Наша ближайшая задача - написать решение в явном виде.
Решение линейного уравнения
A0 z m   A1 z m1    Am z  F t 
удовлетворяющее условиям
z l  0  0
l  0,1,, m  1
очевидно, может быть записано в виде:
t
1
z t  
K t   F  d ,
A0 0
108
F t   M  f  ,
Академик А.Н.Тихонов
где
K t  - решение однородного уравнения
A0 K m   A1 K m 1    Am  0
при дополнительных условиях
0, l  0,1, , m  2,
K l  0  
1, l  m  1.
Таким решением является функция
K t  
m
  1mi
i 1
im1 ki t
e ,
m 
m 
 - определитель Вандермонда m-го порядка, соответствующий
числам k1 , k 2 , , k m :
где
1,  ,1
m   W k1 ,  k m  
k1 ,  , k m
k1
m 1
и i
  k i  k j  ,

m 1
,, km
i j
m 1
- определитель Вандермонда (m-1)-го порядка:
im 1  W ( k1 ,  , k i 1 , k i 1 ,  , k m ) ,
так что
m 1
 1mi  im 


1
.
ki  k1  ki  ki 1 ki  ki 1  ki  k m 
Интересующая нас функция
m
 
 t   z  2  t  
t
m
 
1
K  2  t   F  d .

A0 o
109
Избранные труды
§5
Займемся дальнейшим преобразованием полученного решения.
Имеем:
 l
 
2
m
F t   M  f     m 1 f 
t  ,
l 0
при этом
f
 l
 
 2
t t
t    
l
1
2
0 0
f
 l
 
 2
t t
 
t  
l 1
1
2
0 0
f
 l   l 1 
   

 2  2 
 t1  1
  

0  


o
 t1

   f  d dt1  dt l 1


2
o

(l
- четное),

( l - нечетное).
f  d  
 d dt1  dt l 1 1
2
    
Рассмотрим слагаемое типа
t
 l t    K
m
 
2
t    f
 l
 
 2
 d
o
отдельно для l четного и
Для
l нечетного.
l четного проинтегрируем
l
раз по частям и, пользуясь тем,
2
что
f
 l

   s 1 
 2

0  0, K
m 
 s 
2 
t    |t   0, 0  s 
l
,
2
получим:
t
 l t    K
m l 
  
 2 2
t    f  d
o
110
( l - четное).
Академик А.Н.Тихонов
Для
l нечетного проинтегрируем
l 1
раз по частям и, пользуясь
2
равенствами
f
 l

   s 1 
 2

0  0, K
m 
 s 
2 
t    |t   0, 0  s  l  1 ,
2
получим:
t
 l t    K
 m l 1 
 

2 2 
 1
t   
 
o


o
f  d 
 d
  
( l - нечетное).
Введем сокращенное обозначение:
s
 
im1 s kit
qi e
m 
K  2  t     1
mi
q
2
i
 ki  ,
совпадающее с обозначением обычной производной при
гда мы можем написать:
1
 t  
A0
m
1
 ml l t  

A0
l 0


1  /
 1

  m l 

A0 0 



t
причем знак

/
t

K
s четном. То-
m l 
 m

  
 2 2



K
t



 f  d 

m

l
0  l 0


t
m l 
  
 2 2

t   d  K  m2  2l  t     f  d ,
 


 

показывает, что сумма берется только по нечетным l.
Нетрудно видеть, что первое слагаемое равно нулю, так как фигурная
скобка, стоящая под знаком интеграла, обращается в нуль:
l
 
m
l K  2  t     1mi
l 0
i 1
в силу того, что при любом
m
 q
l 0
l
l
i
im1 kit  m
l
m  e  l qi   0 ,

 l 0

i
 0.
111
Избранные труды
Итак,
 t  
K
t
1
A0
m l 
  
 2 2

/
 1
 m l 
 
0
 m l 1 
 

2 
t 0
2
 K
t      d

0

m

i 1

t    f  d    i t  ,
где
 i t  
 q
  i
 
m 1
m i 
/
m l
  1 im    ml qi 
t
1
A0
0
t 

0

 2
d  1e  qi t    f  d   i  i t  ,




e  qi 
2
причем
i 
знак
1
1
/
 s qis ,

A0 k i  k1  k i  k i 1 k i  k i 1  k i  k m 

/
показывает, что сумма берется только по нечетным значени-
ям s. Функцию
 i мы можем записать в виде:
 2
 i t    

0 
 
t

  q2 t  
1
 2
e i
e
d


1

 f  d 
0



q

t



i

qi t 
   qi2 t   f  d , qi  k i ,
t
0
в силу того, что добавленные слагаемые в сумме дают
 i
1
qi   t

1
 t

/

m
 s   1mi
 i 1
s 1
im1 2 
k
  0,
i
m 

так как выражение в фигурных скобках равно нулю при любом нечетном значении s.
Функция
112
Академик А.Н.Тихонов
 2
 z   
 

 z
1
 2
e 
e
d

0

 z

z
не является однозначной функцией своего аргумента
z  qi2 t    ,
а определена на римановой поверхности
z , причем значение
 q t    берется на том листе, который соответствует qi . Нетруд2
i
но проверить непосредственным дифференцированием, что функция
z  является производной функции

2
 z   1  e z 1 



Таким образом, если
сано в виде:
m
i
i 1
qi2
 t   

 2
.
e
d

0


z
f t   const , то решение может быть запи-
 qi2 t  .
§6
Рассмотрим простейшую задачу, когда краевое условие имеет вид:

При
u
 u  f t  .
x
f t   1 , как известно (см. [2]), решение представляется в ви-
де:
 x  

x


 
  4
 d
4
.
U  x, t  
e

e
d





 0 


0

При x  0 после преобразования эту функцию можно записать так:
1
t
2
2
113
Избранные труды

2
U 0, t    t   1  e 1 




 2
.
e
d

0


t
t
Если
f t   1 , то решение имеет вид:
    x  
  x
 f  d
4 t  
4 t  
u  x, t  
e

e
d




0
 0 
t



1
t

0
2
2
t
U  x, t   
f  d ,
t
и краевое значение этой функции равно
t
u0, t    t    t    f  d ,
0
где
t  

 t 
2
  e t  1 

t


t
e
0
 2

1
d  

 t

известная нам функция.
Решение краевой задачи

1 u
 u  f t 
q x
приводится к решению предшествующей задачи при помощи замены:
x1  qx, t1  q 2 t ,
так что это решение может быть записано в виде:
  q   x  
  x
 f  d
4 t  
4 t  
u1  x, t  
e

q
e
d




0
 0 
 t  
q
t
2
2
U qx, q 2 t   

f  d ,
t
0
t
и соответствующее краевое значение
114
Академик А.Н.Тихонов
1 t   q 2  q 2 t    f  d
t
.
0
Отсюда заключаем, что решение уравнения теплопроводности,
имеющее нулевое начальное значение и краевое значение
1 t    q 2 t    f  d ,
t
0
равно
1
u1 x, t   2
q
U qx, q 2 t   
f  d ,
0
t
t
U x, t  - написанная выше функция. Очевидно, что это справедливо
не только при действительных, но и при комплексных значениях q.
где
Возвращаясь к основной задаче, мы сразу же можем написать решение ее, так как решение уравнения теплопроводности, имеющее нулевое начальное условие и краевое значение
 t    i t     i  qi2 t    f  d
m
m
t
i 1
i 1
0
равно
m
u  x, t   
i 1
 q
  2i i

i 1 qi
m
где
 i t U qi x, qi2 t   
qi2 0
t
,
f  d 
  q    x  
  x
 f  d
i
4 t  
4 t  
e

q
e
d

,


i
0 
0
t 



t
2
2
qi - корни характеристического уравнения краевой задачи.
§7
при
Обратимся теперь к изучению поведения решения нашей задачи
t .
Для этого рассмотрим поведение функции
115
Избранные труды

2
 z   1  e 1 




 2

e
d

0


z
z
и ее производной
z


2
 2

  1 , z  qi2 t ,
 z    e 1 
e
d




 0
 z


при t   . При этом нас будут интересовать значения этой функции
при том значении z , которое соответствует qi .
z
Рассмотрим следующие случаи:
1°. ki   0 .
Функция
2
qi t

 e d 

где через
2
0
qi 2

qi

qi обозначен тот корень
qi t
e
 2
d ,
0
ki , для которого qi   0 , так
что
qi   qi .
Как известно [3],
qi t
e
 2
d 
0

2
, если arg qi 

4
.
Таким образом, мы можем написать, что
1
2
 q 
2
e  d  1  i  

 0

 qi 
2
qi t

e
 2
d .
qi t
Отметим еще известное асимптотическое поведение интеграла
2


e
z
ez 
1

d 
1  2   ,
 z  2z

2
 2
имеющее место для
z  qi t .Отсюда заключаем, что
116
Академик А.Н.Тихонов

2
e 1 




 2

e
d

0


qi t
qi2t

q  2
1  1
1
 1  i e qi t 


qi 
  qi t 2 qi t



3

  .

Итак,
2 
q
 qi2 t   1  e qi t 1  i
 qi
2 
q
 e qi t 1  i
 qi

 2
e
d




qi t

 2
 


2 

q
   qi2 t   e qi t 1  i

 qi

1
  1 

 qi t

и
2 
q 
 qi2 t   e qi t 1  i    qi2 t  
qi 

2 
q 
1
 e qi t 1  i  
qi 

 2 qi t


3

Таким образом, если
 ki   0 и

arg qi 
4
,
то
qi  qi ,
и мы получаем, что наши функции при
пределам:
 qi2 t   1 
1
,
 qi t
 qi2 t  
1

2  qi t

3
.
117
t   стремятся к конечным
Избранные труды
Если же
3
5
 arg qi 
,
4
4
то
qi   qi ,
и наши функции неограниченно возрастают:
 qi2 t   2e qi t ,  qi   0
2
qi2 t   2e qi t   .
2
2°.
ki   0 .
В этом случае
2
qi t

t
2

 e d  qi
2

0
e
 qi2  2
d ;
0
последний интеграл неограниченно возрастает при t
порядок роста его эквивалентен порядку роста функции
qi
2

e qi t
2
1
2qi2 t
  , причем


1
1  2   .
 2qi t

Таким образом, в этом случае наши функции при
конечным пределам, причем
 qi2 t   1 
1
,
 qi t
 qi2 t  
1

t   стремятся к

.
3
2  qi t
Итак, мы видим, что если qi лежит в области

3
3
 arg qi 
,
4
4
которую мы будем называть областью устойчивости, то при
наши функции стремятся к конечным пределам, причем
118
t 
Академик А.Н.Тихонов
 qi2 t  
1

2  qi t

3
Корни, лежащие в области устойчивости, мы будем называть
устойчивыми корнями.
Если
лежит
qi
вне
области
устойчивости,
в
области
3
5
 arg qi 
,
4
4
   
то функции  qi t ,  qi t возрастают неограниченно или колеблют2
ся при
t .
2
§8
Нетрудно видеть, что функция
t
 t    Q t    f  d
0
t   к конечному пределу, если
f t  равномерно ограничена: f t   M , 0  t   , и стре-
стремится при
1)
мится к конечному пределу
2) функция
f  при t   .
Q  абсолютно интегрируема:

 Q  d  N   .
0
В этом случае

t   f   Q  d .
t 
0
t   0 , если f t   0
при t   . Пусть нам задано  . Выберем t1 так, чтобы
В самом деле, достаточно доказать, что
f t  
 1

для t  t1 .
2 N
119
Избранные труды
Тогда
t
 t    Q t    f  d 
0
t1
t
0
t1
  Q t    f  d   Q t    f  d  I 1  I 2 ,
где t1 - произвольное вспомогательное число. Если
указано выше, то
t
I 2   Q t    f  d 
t1
t1 выбрано так, как

2
и
t1
I1   Q t    f  d  M
0
если, кроме того


 Q   d  2 ,
t t1
t  t1 , выбрано так, чтобы

 1
 Q   d  2  M ,
t t1
чем и доказано наше утверждение.
На основании асимптотической оценки, установленной для корней
qi , лежащих в области устойчивости,
 qi2 t  
1

2  qi t
,  qi2 t   q 2   qi2  d  1 ,
3
t

0
откуда следует, что в этом случае

 q   d  
2
i
0
и
120
Академик А.Н.Тихонов

1
1
 q  d  lim q q t   q
2
i
t 
0
2
i
2
i
2
i
.
Отсюда, в силу только что доказанного, получаем, что в случае устойчивых корней
 i t    qi2 t    f   d 
t
0
1
f  .
qi2
Если же корень
qi неустойчив, то нельзя высказать определенного
суждения о поведении  i t  при t   независимо от свойств
f t  . Однако для неустойчивых корней существуют такие
функции f (t ) (например, f (t )  f 0  const ), что функции
функции
 i t   f 0 
1
5 
 3
qi2 t  
 arg qi 

2
qi
4 
 4
не стремятся к конечному пределу. (Однако можно указать такие функции f (t ) , чтобы функции  i (t ) стремились к конечным пределам.)
На основании доказанного мы можем утверждать, что если все
корни характеристического уравнения устойчивы и различны и если
f (t )  f  при t   ,то
 
m
m
i 1
i 1
 t     i  i t   f    
1
i .
q i2
§9
Докажем, что
m
1
q
i 1
2
i
i 
1
0
.
(8)
В самом деле,
i 
m 1
m 1
1
 1mi  im    /  s qis   1  1mi  im    //  s qis ,
A0

A0

121
Избранные труды
 ,
/
где знаки
//
показывают, что суммы берутся соответственно
только по нечетным или только по четным s. Такая замена возможна,
так как

Сумма
m
/
 s qis   //  s qis    s qis  0 .
i 1


//
q
s
s i
преобразуемся в сумму степеней
k i , так что
m
//
 s qis   0   2 k i     m k i 2 .
Интересующая нас сумма (8) разбивается на ряд слагаемых:
i
m
q
i 1
2
i

Ds 
1  //
  s  m   ,
A0 
 
m   W k1 ,  , k m 
при помощи замены последней строчки величинами
s
1
2
1
k
,, k
s
1
2
m .
Очевидно, что только
столбец
D0 отлично от нуля, причем если умножить i-й
D0 на k i , то мы получим снова определитель Вандермонда, в
котором первая строчка стоит на месте последней. Таким образом,
D0 
A
1
m 1
m 1
  1 m   0   1 m  
k1k 2  k m
Am
2
 
m 1
  m   1 m  .
 0 
Отсюда заключаем, что
122
Академик А.Н.Тихонов
   2

 m   1m 1 m  

m
i
1  
 1
.
 2   0  m 


2
m 


i 1 qi
0





Таким образом, если все корни устойчивы, то
u 0, t    t  
Нетрудно
было
1
0
бы
f  
t    .
также
убедиться
что
 u 0, t 
 0 при t   .
x l
1
f   вытекает, что
Из того, что  t  
0
1
u  x, t  
f   при x  0 и t   .
0
производные
l
С другой стороны, из самого краевого условия:
m
 i
i 0
 i u ( x, t )
 f (t ) ,
x i
следует, что если
 i u ( x, t )
0
x i
то
i  0, t   ,
 t  стремится к конечному пределу, величина которого
   
1
0
f   .
123
Избранные труды
§ 10
Чтобы выяснить вопрос о поведении функции при наличии неустойчивых корней, выясним вопрос, могут ли коэффициенты  i обращаться в нуль. Эти коэффициенты имеют вид:
i 
где
1
A0
 k
j i
i
1
 1 qi  ,
 kj
 1 qi    /  s qis .
Докажем, что
 1 qi  обращается в нуль в том и только в том слу-
чае, если наряду с
qi число q   qi также является корнем характери-
стического уравнения.
Представим характеристическое уравнение в виде:
M q   1 q   2 q   /  s q s   //  s q s ,
где
 ,
/
//
означают, что сумма берется соответственно по нечет-
ным и по четным значениям s. Если наряду с
ляется корнем уравнения
M q  0 , то
qi число  qi также яв-
 1 qi    2 qi   0,
 1  qi    2  qi    1 qi    2 qi   0,
откуда и следует, что в этом случае
 1 qi    2 qi   0 .
qi - корень уравнения M q  0 - является также
корнем уравнения  1 q  0 , то из
Обратно, если
M qi    1 qi    2 qi   0 ,  1 qi   0
следует, что и
 2 qi   0
и
M  qi    1 qi    2 qi   0 ,
а это и требовалось доказать.
124
Академик А.Н.Тихонов
Из доказанного вытекает основная теорема в том случае, если характеристическое уравнение не имеет кратных и противоположных по
знаку корней.
§ 11
Покажем, что при наличии кратных или противоположных по знаку корней у характеристического уравнения основная теорема сохраняет силу.
Отметим, что если кратность корня qi есть ni и кратность противоположного ему по знаку корня
i 
1
A0
 k
j i
i
 qi есть li , то
1
 1 qi 
 kj
имеет в знаменателе нуль порядка
Докажем, что если
ni  li  1
q  qi имеет кратность li , то
 0, l  li
l
.
 qi  
l 1
q
 0, l  li
В самом деле, в этом случае
 0, l  li
l
l  m


q  qk  |qq 
M
q
|

qq
l
l 
q
q  k 1

 0, l  li
и, кроме того, для любого l
l
l  m


q  qk  |qqi  0 .
M
q
|

q  qi
l
l 
q
q  k 1

Отсюда заключаем, что
l
l



q
|

 2 q  |q qi  0, l  li ,
1
q   qi
q l
q l
l
l
 1 q  |qqi  l  2 q  |qqi  0,
q l
q
но так как из двух слагаемых одно является полиномом четной степени,
а другое - нечетной, то каждое из них равно нулю:
125
Избранные труды
l
l



q
|


 2 q  |qqi  0, l  li ,
1
q  qi
q l
q l
и аналогично
l
l



q
|


 2 q  |qqi  0, l  li .
1
q  qi
q l
q l
q  qi является корнем кратности li , то
Итак, если
li
 1 
1
 li
  
 
 li  1 qi  ,
 2qi  qj i  q ki  k j  q
1
i 
A0
i
i
т. е. имеет фактически в знаменателе нуль кратности
ni  1 .
В этом случае будем рассматривать предел соответствующей группы слагаемых при сливающихся корнях. Предел группы слагаемых, соответствующих корню qi , равен
 ni 1
 i  i t  ,
n 1
k i i
где
1
i 
A0
 1
 
 2qi
li

1
 li
  
 li  1 qi  ,
 q j  qi k i  k j  q
q j   qi
т. е. равен
i
 i  ni 2
 ni 1  i
 ni 1







t

n

1

t



 i t 
i
i
i
n 1
n 1
k i k i ni 2
k i i
k i i
Так как
 i t    qi2 t    f   d ,
t
0
126
Академик А.Н.Тихонов
то, если
qi - устойчивый корень, нетрудно видеть, что все производные
функции  i t  по k i также будут устойчивы при t   , так как
они имеют асимптотический порядок
Если же
t   
3
2.
qi - неустойчивый корень, то, так как
qi2 t   2e qi t  qi2 t , qi  qi ,
2
производные этой функции по
ния при
t   , а именно,
k i имеют различный порядок возраста-
 n  qi2 t 
n
n ki t


2
t
e

k in
k in
,
причем второе слагаемое стремится к нулю. Отсюда заключаем, что в
случае неустойчивого корня кратности ni наивысший порядок возрастания будет давать слагаемое
 ni 1
 i  ni 1  qi2 t    f   d ,
ki
0
t
коэффициент при котором
 i заведомо отличен от нуля.
Итак, если характеристическое уравнение имеет хотя бы один неустойчивый корень, то найдутся такие функции f t , стремящиеся к
конечному пределу при t   , для которых решения краевой задачи
не будут стремиться к пределу при t   . Если же все корни характе-

ристического уравнения устойчивы, то
к пределу.
ux, t  при t   стремится
Литература
1.
2.
3.
A Тychonoff, Theoremes d’unicite pour l’equation de la chaleur, Мат.
сб., 42, 1935, 199-215.
X.Карслоу, Теория теплопроводности, М.-Л., 1947.
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III, М.-Л., 1933.
127
Избранные труды
128