A(n)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ФГБОУ ВПО «ДВГГУ» ДВГГУ)
Ю.А. Королева, Т.С. Кармакова
ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ:
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКЕ (АРИФМЕТИКЕ)
пособие для студентов 2 курса направления подготовки 050101.62
Хабаровск 2014
1
Королева,
Ю.А.
Делимость
целых
чисел:
задачник-практикум
по
элементарной математике (арифметике) / Ю.А. Королева, Т.С. Кармакова;
Хабаровск, 2014. – 54с.
Рецензент: доктор педагогических наук, профессор кафедры педагогики
ДВГГУ Н.В. Семенова
Задачник-практикум предназначен для студентов 2 курса ДВГГУ
ФЕНМиИТ направления подготовки 050101.62 Педагогическое образование
профиля подготовки «Математика информатика». Он включает в себя краткую
теорию делимости целых чисел, вопросы и задания для самостоятельной
работы, образцы решения задач и индивидуальные задания по теме «Делимость
целых чисел».
Цель пособия – оказать студентам конкретную помощь в развитии
умений самостоятельно решать задачи на делимость целых чисел.
Пособие состоит из предисловия и шести параграфов. Первые четыре
параграфа
включают
конкретные
теоретические
факты,
известные
из
школьного курса, и их приложения к решению типовых задач, пятый параграф
включает
дополнительные
факты
общеобразовательной
школы
и
соответствующие типовые задачи, шестой параграф – материалы для контроля.
2
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.…………………………………………………………………………4
§1. Определение делимости, ее свойства и их приложения..……………...…....8
§2. Признаки делимости и их приложения. ……………………………………...16
§3. Простые и составные числа и их приложения ..………………..…………….21
§4. Деление с остатком и его приложения …………………………...…………..29
§5. Другие факты теории делимости задачах…..………………….…………….34
§6. Материалы для текущего контроля…...……...……………………………….47
Список использованной литературы…………….………………………………..55
3
Уважаемые студенты!
Вы держите в руках пособие, которое будет помогать вам, изучать первую
тему дисциплины Б3.В.ОД.14 «Элементарная математика (арифметика)»
направления подготовки 050101.62 Педагогическое образование профиля
подготовки «Математика информатика», квалификации выпускника – бакалавр,
«Делимость целых чисел».
В соответствии с рабочей программой дисциплины «Элементарная
математика
(арифметика)»,
утвержденной
кафедрой
математики
и
информационных технологий ДВГГУ, на изучение темы отводится 16 часов, из
них
8
часов
аудиторных,
8
часов
–
для
самостоятельной
работы.
Дидактическими единицами содержания темы “Делимость целых чисел”
являются: понятийный аппарат, свойства и признаки делимости, теорема о
деление с остатком, избранные способы решения задач на делимость целых
чисел.
Задачи на делимость в элементарной математике имеют особенности:
 При их решении используются такие мыслительные приемы, как анализ,
синтез, индукция, соотнесение, прогнозирование, которые способствуют
развитию математического мышления;
 Задачи на делимость предлагаются на математических олимпиадах и на
ЕГЭ по математике, что помогает осознать их значимость;
 Такие задачи есть и в школьном курсе математике, но так как тема
«Делимость целых чисел» в систематизированном виде изучается только
в классах с углубленным изучением математики, то у учащихся
общеобразовательных классов она вызывает значительные трудности.
Трудности в работе с такими задачами можно объяснить отсутствием
опыта в их решении, а также нестандартностью содержания и способов
их решения.
4
Целью задачника-практикума на тему «Делимость целых чисел» является
оказание методической помощи студентам в организации самостоятельной
работы по «научению» решению избранных задач на делимость.
Предлагаемый в Ваше распоряжение задачник – практикум состоит из
шести структурных частей:
§1 Определение делимости, ее свойства и их приложения
§2 Признаки делимости и их приложения
§3 Простые и составные числа и их приложения
§4 Деление с остатком и его приложения
§5 Другие факты теории делимости в задачах
§6 Материалы для контроля текущего
Методическими особенностями пособия являются:
1) Представление учебного материала по дидактическим единицам рабочей
программы;
2) Выбор одинакового подхода к раскрытию содержания параграфов:
планируемые результаты обучения, справочный материал, образцы решения
задач по применению справочного материала параграфа, задания для
самостоятельной работы, основные результаты обучения;
3) Все задачи – образцы расписаны по универсальной схеме решения задач
(УСРЗ):
анализ
содержания,
поиск
плана
решения,
решение,
анализ
результатов;
4) В первых двух задачах – образцах применение УСРЗ представлено в виде
побуждающего диалога преподавателя и студентов;
5) Диалог преподавателя со студентами по ходу решения первых двух задач
представлен с комментариями к вопросам преподавателя и ожидаемым ответам
студентов. Это дано для оказания помощи в осознанном усвоении начальных
шагов применения теории на практике.
6) Раздел «Анализ результатов обучения» в каждом параграфе имеет цель –
переосмысление теоретических и практических основ изложенного с точки
5
зрения, того что следует взять себе на будущее для отработки умений решать
задачи на делимость (начальные шаги в осмыслении содержания задачи, в
поиске идеи решения и т.д.)
Перечислим некоторые методические рекомендации по использованию
пособия «Делимость целых чисел»:
1. Приступая к использованию предлагаемого пособия при изучении темы
«Делимость целых чисел» рекомендуем осознать:

оно рекомендовано тем, кто настроен, научиться решать задачи на
делимость целых чисел;
 особенностью
пособия является то, что оно имеет целью помочь
студентам научиться решать задачи самостоятельно, а потому решения задач
расписаны по этапам (анализ содержания, поиск плана решения, решение
задачи, анализ результата);
2. Изучать пособие надо активно – это значит надо не просто читать
пособие, а одновременно с чтением на отдельном листе бумаги проводить все
выполняемые в пособии выкладки и вычисления. Это будет способствовать
- пониманию и запоминанию изучаемого материала;
- отработке умений решать такие задачи.
3. Решение задач-образцов и задач для самостоятельной работы
обязательно:
- каждая решённая задача – пример на тот или иной теоретический вопрос
или задание;
- решение задач по этапам требует умения логически, активно мыслить, а
это способствует развитию мышления;
- решение задач даёт возможность приобрести опыт решения таких задач.
4. Не теряться, встречая трудности. Обычно это бывает в первый момент
после прочтения содержания задачи, задача кажется недоступной для решения.
Но это первое впечатление. Важно вдуматься в задачу, «пролистать» решения
типовых задач.
6
В результате изучения темы студент должен:

знать теоретические основы делимости целых чисел и способы решения
различных типов задач на делимость;

уметь решать различные задачи на делимость;

владеть общей схемой решения математической задачи;
аналитическими, синтетическими и аналитико-синтетическими методами
рассуждений при решении задач на делимость.
Желаем вам успехов в «научении» решению некоторых типам задач на
делимость; изучение делимости чисел на более высоком научном уровне вы
продолжите в курсе теории чисел!
7
§1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ И ИХ
ПРИЛОЖЕНИЯ
Планируемые результаты обучения
 Усвоить определение и обозначение делимости двух чисел;
 Осознать различие записей
;
 Выучить основные свойства делимости чисел;
 Научиться
прогнозировать
ход
решения
элементарных
задач
на
делимость.
Справочный материал
Введем определение делимости целых чисел, основные свойства делимости и
их использование на практике.
О п р е д е л е н и е. Пусть а и b – целые числа. Говорят, что число а
делится на число b, отличное от нуля, если а можно представить в виде а =
b q, где q целое число.
Названия компонентов действия: b - делитель числа а; а - кратное числа b;
q - частное от деления а на b.
П р и м е ч а н и е: следует различать записи
. Запись
утверждает «число a делится на b нацело», запись
означает требование
«разделить a на b».
О с н о в н ы е с в о й с т в а д е л и м о с т и ц е л ы х ч и с е л:
1. Свойство делимости суммы:
 Если каждое из слагаемых делится на какое-нибудь число, то и их сумма
делится на это число.
Символическая запись: Если ab и cb , то (a  c)b .
 Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а
другое не делится, то сумма не делится на это число.
8
Символическая запись: Если ab и с не делится на b, то (a  с) не делится
на b.
 Если же два и больше слагаемых не делятся на какое-нибудь число, то о
делимости суммы нельзя сказать ничего определенного: в одних случаях
она делится, а в других не делится на данное число.
Например, 13 и 7 не делятся ни на 5, ни на 6, сумма 13+7 делится на 5, но
не делится на 6.
2. Свойство делимости разности:
 Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и их
разность делится на это же число.
Символическая запись: Если ab и cb , то (a  c)b .
 Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое делится на
какое-нибудь число, то и разность не делится на это число.
Символическая запись: Если ab и с не делится на b, то (a  с) не делится
на b.
 Если ни уменьшаемое, ни вычитаемое не делятся на данное число, то
разность их может делится, а может и не делится на это же число.
Например, 100 и 30 не делятся ни на 7, ни на 13, разность 100-30 делится
на 7, но не делится на 13.
3. Свойство делимости произведения:
 Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и их
произведение также делится на это число.
Символическая запись: Если ab и с – целое, то (a  c)b .
 Если же один из сомножителей не делится на данное число, то из этого
еще не следует, что на данное число не делится их произведение.
Например, ни 15, ни 10 не делятся на 6, а их произведение 15*10 делится
на 6.
4. Свойство делимости числа на произведение:
9
 Если данное число делится на произведение, то оно делится на каждый из
сомножителей этого произведения.
Символическая запись: Если a (b  с) , то ab и cb .
 Обратное утверждение ошибочно.
Например, 180 делится и на 5, и на 9, и на 6, но на произведение 5*9*6
оно не делится.
Примечание: если данное число делится на несколько попарно взаимно
простых чисел, то оно делится и на их произведение.
Например, 180 делится на 3,5 и 4, эти числа взаимно простые, поэтому
180 делится на 3*5*4.
5. Свойство транзитивности делимости:
 Если одно число делится на какое-то второе число, а второе делится на
третье, то и первое делится на третье.
Символическая запись: Если ab и b c , то a c .
Примеры задач на применение свойств делимости
Распишем решения задач по этапам с целью осознания сущности решения
задач на делимость.
З а д а ч а №1. Доказать, что сумма 28+45+82 делится на 28.
I.
Анализ содержания задачи
Преподаватель
Студенты
Что дано в задаче (побуждение к Дано выражение, представляющее
осознанию условия задачи)?
некоторое число (осознание условия
задачи).
Что требуется установить в задаче Требуется
доказать
делимость
(побуждение
к
осознанию данного выражения на 28 (осознание
требования задачи)?
требования задачи).
В чем особенность содержания Требуется доказать делимость суммы
задачи (побуждение к осознанию степеней (осознание особенности
особенности задачи)?
задачи).
Запишем
содержание
задачи Доказать,
что
(28+45+82)
28
схематически
(побуждение
к (осознание содержания задачи и ее
10
обобщению результатов анализа).
особенности).
II – III. Поиск плана решения и решение задачи
Давайте
переберем
свойства
делимости чисел, связанные с суммой
и произведением чисел.
(побуждение к поиску решающей
гипотезы)
1.Если ab и cb , то (a  c)b .
3.Если ab и с – целое, то (a  c)b .
4.Если a (b  с) , то ab и cb .
(осознание опорного материала для
поиска идеи решения задачи).
Какие есть идеи по применению
перечисленных свойств к задаче
(побуждение к выбору направления
поиска идеи решения)?
Или доказать, что каждое из трех
слагаемых в отдельности делится на
28
или
преобразовать
к
произведению данную сумму и
увидеть, что один из множителей
делится
на
28 или
имеется
возможность применить свойство №4
(выдвижение гипотез по способу
решения).
Так как видно, что каждое слагаемое
не может делиться на 28, то
преобразуем данную сумму в
произведение (выбор решающей
гипотезы).
1) Так как каждое слагаемое является
степенью 2, 4 и 8, то сведем
слагаемые к степени числа 2
2) Вынесем за скобку степень числа
2 с наименьшим показателем
степени
3) Применим свойства делимости к
полученному результату
A = 28+210+26 = 26(22+24+1) =
= 26(4+16+1) = 64 21 =
Какую из предложенных гипотез
будем проверять (побуждение к
выбору гипотезы)?
Хорошее предложение, составим
план преобразования суммы в
произведение
(побуждение
к
составлению
плана
проверки
гипотез).
Итак, план решения составлен,
реализуем его, обозначив данное
выражение через A.
Можно считать задачу решенной
(побуждение
к
осмыслению
понимания, что значит завершить
решение задачи)?
IV.
Да,
так
как
в
результате
преобразованной суммы получили
произведение вида 28 к, которое
делится на 28 и можно сделать вывод
о делимости данного выражения на
28.
Анализ результата решения
11
Какие
мыслительные
приемы
использовали
(побуждение
к
саморефлексии
хода
решения
задачи)?
Какие
теоретические
факты
математики
использовали
(побуждение к осознанию опорных
знаний)?
Что следует взять себе на заметку на
будущее (побуждение к осознанию
проведенных рассуждений с точки
зрения получения опыта в решении
«новых» задач)?
Этот метод решения задач на
делимость
учителя
называют
“методом разложения на множители”
Анализ, сравнение, соотнесение,
обобщение,
составление
плана
решения (осознание применяемых
приемов
мыслительной
деятельности)?
Разложение суммы слагаемых в
произведение способом вынесения
общего
множителя,
свойства
делимости произведения
- Перечисленные мыслительные
действия
- Этапы решения задачи
-Умение преобразовывать сумму
степеней в произведение
З а д а ч а №2. Пусть х и у, такие натуральные числа, что число 5х+7у
делится на 13. Докажите, что 46х+41у делится на 13.
I.
Анализ содержания задачи
Преподаватель
Какого типа задача предлагается для
решения (побуждение к осознанию
начального этапа работы с задачей)?
Что дано в задаче (побуждение к
осознанию условия задачи)?
Студенты
Задача на делимость (осознание
сюжета текстовой задачи).
Дано число 5х+7у, где х и у
натуральные числа, известно, что оно
делится на 13 (осознание условия
задачи)
Требуется доказать, что 46х+41у
делится на 13 (осознание требования
задачи).
Зная, что одно число делится на
некоторое конкретное число, доказать,
что другое число делится на это же
конкретное
число
(осознание
содержания данной задачи).
Что требуется сделать в задаче
(побуждение к осознанию требования
задачи)?
Попробуйте сформулировать задачу в
обобщенном виде, «не привязывая»
содержание к числам, заданным в
аналитической записи (побуждение к
осознанию содержания задачи в
целом).
Чем
мы
заканчиваем
анализ Символической записью содержания
содержания задачи (побуждение к задачи:
осознанию условия задачи)?
Дано:
12
Доказать:
II.
Поиск плана решения
Какие есть идеи по плану решения Может быть, как и в задаче №1
задачи (побуждение к выдвижению перебрать свойства делимости и
гипотез)?
проверить
возможность
их
использования
(осознание
необходимости
поиска
способа
решения новой задачи, используя
введенную теорию делимости).
Чем отличается новая задача от задачи В задаче №1 было задано число в виде
№1 (побуждение к осознанному поиску суммы степеней, а в новой задаче
плана решения)?
число задано в алгебраической записи,
и указано, что есть еще одно число,
которое делится на 13 (осознание
различия в содержании задач).
Что общее имеют эти задачи Как и в первой задаче требуется
(побуждение к осознанию одинаковой доказать делимость на конкретное
конструкции требования в двух число, в первой на 13, во второй на 28
задачах)?
(осознание конструкции требования в
задачи).
Вернемся к той идеи, которая уже Было предложено перебрать свойства
была высказана (побуждение к делимости чисел и найти те, которые
осознанию решающей гипотезы).
можно применить к задаче (осознание
значимости теории в поиске решения
задачи).
Какие свойства будем пробовать Попробуем преобразовать первое
применить (побуждение к поиску данное число в сумму произведений, в
плана решения)?
одном из слагаемых, наверное, должно
быть второе данное число (осознание
плана действий в общем виде).
Итак, как и в задаче №1 будем 46х +41у = А(5х+7у) + В С
преобразовывать
число
46х+41у,
выделяя
в
нем
число
5х+7у
(побуждение к конкретизации способа
деятельности по проверке гипотезы).
Надо подключать в преобразования и Выходит, что в новой сумме одно
число
13
каким-то
образам слагаемое имеет множитель 5х+7у (он
(побуждение к принятию подсказки).
делиться на 13 по условию), а в другом
слагаемом должен быть множитель 13,
который тоже делится на 13.
Замечательно. Кто видит новую Предлагается расписать,
сумму, сумму двух «удобных» для 46х = 4 5х +2 13х
13
доказательства
произведений
(побуждение к догадке, к желанию
первым решить новую задачу).
Еще раз проговорите,
в чем же
состояла сущность преобразований
(побуждение к осмыслению сущности
нового приема в преобразовании
выражения)
III.
41у = 4 7у+13у и получить
46у +41х = 4(5х+7у) + 13(2х+у)
Мы представили данное выражение в
виде суммы двух произведений, в
первом произведении (5х+7у) является
множителем (оно делится на 13 по
условию задачи), а во втором
выделили множителем – число13.
Решение задачи
Запишем
решение
в
тетрадях 46х + 41у = 20х + 26у + 28у + 13у =
(побуждение
к
письменному (20х + 28у) + (26х + 13у) = 4(5х + 7у)
осознанию приема преобразований)
+13(2х + у)
IV. Анализ результата решения
Что помогло в решении задачи?
Знание свойств делимости суммы и
произведения чисел.
Что ещё?
Догадка: разбить число 46х и 41у на
«удобные» слагаемые.
Мы решили две задачи, и какой способ Представление заданного числа или в
использовали?
виде
произведения
«удобных»
множителей или в виде суммы
произведений «удобных» слагаемых.
Какие мыслительные умения помогли Умения анализировать, подмечать
в решении задач?
закономерности,
сравнивать,
планировать, делать выводы по ходу
решения.
Задания для самостоятельной работы
1. Когда говорят, что число a делится на число b?
2. Что называется частным от деления числа a на b?
3. Если два целых числа делятся на одно и то же целое число, что можно
сказать о сумме этих чисел?
4. Если одно из целых чисел делятся на одно и то же целое число, что
можно сказать о произведение этих чисел?
5. Верно ли высказывание:
a) Если а делится на 15, то а делится на 5;
b) Если а делится на 30, то а делится на 99;
14
6. Докажите, что значение выражения 65+362 – 216 делится на 41?
У к а з а н и е: Смотри решение з а д а ч и №1.
7. Пусть х и у такие натуральные числа, что число 3х+8у делится на 17.
Докажите, что 35х+65у делится на 17.
У к а з а н и е: Смотри решение з а д а ч и №2.
8. Доказать, что сумма 333555+555333 делится на 37.
У к а з а н и е: Смотри решение з а д а ч и №1.
9. Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое –
четное. Доказать, что их произведение делится на 24.
У к а з а н и е:Выявить особенность произведения трех последовательных
чисел и особенность произведения двух последовательных чисел, первое
из которых четное.
10. Доказать, что если сумма двух чисел – нечетное число, то их
произведение всегда четное число.
У к а з а н и я: 1. Вспомнить формулы четного и нечетного числа; 2.
Найти их сумму и произведение, затем сделать вывод.
Анализ результатов обучения начальным
сведениям делимости целых чисел
1) Ввели определение делимости двух целых чисел и его символическую
запись;
2) Сформулировали пять основных свойств делимости;
3) Рассмотрели две задачи на применение трех свойств делимости;
4) При решении задач использовали способ представления данного
выражения в виде суммы, произведения или суммы произведений;
5) При
решении
задач
использовали
вспомогательные
приемы
тождественных преобразований целых выражений:
a) Сведение степеней натурального числа к одному основанию;
b) Вынесение общего множителя за скобку;
15
c) Представление данного выражения в виде суммы «удобных»
слагаемых, одно из которых равнялось заданному в условии (но
умноженному на некоторое целое число), а второе в виде
произведения некоторого выражения на то число делимость на
которое следует доказать.
6) При решении задач §1 помогали знания следующих математических
фактов, которые были изучены ранее: свойства степеней, действия со
степенями,
понятия
четного
и
нечетного
чисел,
понятие
последовательных натуральных чисел.
§2 ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Планируемые результаты обучения
В результате изучения признаков делимости студент должен
знать:
a) сущность понятия «признак делимости чисел»;
b) формулировки двадцати признаков делимости;
уметь решать две взаимно обратные задачи:
a) для данного числа доказать, что оно делится на другое данное число;
b) подбирать цифры в запись данного числа «с пропусками», чтобы это
число удовлетворяло заданному условию.
Справочный материал
Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления, можно
определить делится ли одно число на другое, неравное нулю.
Перечислим четыре группы основных признаков делимости натуральных
чисел.
Классификация признаков делимости
I.
Число
делится на
2
последняя
5 тогда и только
в его
цифра
записи
10 тогда, когда
25
две последние
четная
0 или 5
0
00,25,50,75
16
цифры
Примеры: а) 456 2, так как 6 – четная цифра;
б) числа 780 и 1050 делятся на 5 и на 10, так как заканчиваются на 0,
число 1050 делится на 25, так как две последние цифры – 50.
3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр
9 делится на
Пример: число 74781 делится на 9, так как 7+4+7+8+1= 27делится на 9.
II.
3
9
Число делится на
4 тогда и
4
III. Число
делится число,
8 только
делится на
тогда, когда 8 образованное из
на
Примеры: а) число 59424 делится на 4, так как 24 4;
б) число 72144 делится на 8, так как 144
двух
последних
трех
цифр этого
числа
.
7 тогда и только тогда, когда разность между числом,
IV. Число
11 выраженным его тремя последними цифрами и
делится на 13 числом, выраженными остальными цифрами (или
наоборот) делится соответственно на
Примеры, а) число 48916 делится на 7, так как 916-48=868 делится на 7;
7
11
13
б) число 253264 делится на 11, так как 264-253=11 делится на 11;
в) число 253264 не делится ни на 7, ни на 13, так как разность
264-253 не делится ни на 7, ни на 13.
Примеры задач на использование признаков
делимости
З а д а ч а №1. Делится ли число 101996+8 на 9?
1. Анализ содержания и поиск плана решения.
В задаче дано число, записанное формулой. Особенностью формулы
записи данного числа является то, что явно указано число единиц, а число
десятков задано степенью 10.
Для доказательства делимости числа на 9, согласно признаку делимости на
9, необходимо вычислить сумму цифр в записи числа и проверить её делимость
на 9.
2. Решение.
17
Данное число можно записать цифрами . Из записи числа следует, что
сумма его цифр равна, а 9 9. Следовательно, данное число действительно
делится на 9.
3. Анализ результата решения.
Следует взять на будущее:
- используемый перевод записи числа из одной формы в другую;
- проведение анализа в форме разбиения содержания задачи на части;
- осуществление поиска решения в форме нисходящего анализа.
О т в е т: да.
З а д а ч а №2. Найти все шестизначные числа вида 517*3*, где * - цифры,
которые делятся на 45.
1. Анализ содержания и поиск плана решения.
Особенностью условия задачи является то, что данное число записано
цифрами, но не все его цифры известны.
Требуется найти все шестизначные числа, удовлетворяющие условию,
должны делиться на 45.
Как известно на 45 делятся те и только те числа, которые делятся на 5 и 9.
Если применять признаки делимости на 5 и 9, то мы должны найти те
шестизначные числа, которые удовлетворяют двум условиям:
1) Оканчиваться нулем или цифрой 5 (по признаку делимости на 5);
2) Сумма цифр числа должна делиться на 9 (по признаку делимости на 9).
Такой
способ
называется
«перебор
случаев»
(в
нашем
случае
использование двух признаков делимости).
2. Решение.
1) Пусть искомое число оканчивается цифрой 0, т.е. имеет вид 517*30, тогда
для делимости на 9 цифра сотен должна быть равна только 2 (517*3*:
517*30; 517230);
18
2) Пусть искомое число оканчивается цифрой 5, т.е. имеет вид 517*35, тогда
для делимости на 9 цифра сотен должна быть равна только 6 (517*3*:
517*35; 517630).
3. Анализ результата решения.
Решить задачу помогли знания свойства делимости числа на произведение
(свойство 4), признаки делимости на 5 и 9, понимание того, что допустимыми
значениями цифр в десятичной системе счисления является множество
{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.
При решении получили два числа, удовлетворяющих требованиям задачи,
узнали еще один способ решения задач на делимость - «перебор случаев».
О т в е т: 517230; 517630.
Задания для самостоятельной работы
1. Сформулируйте признаки делимости на 6, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 26, 60, 99.
У к а з а н и е: Воспользоваться признаками делимости и свойствами
делимости.
2. Не выполняя деления, установите делимость: а) 19752 на 6; б) 27979425
на 75; в) 508374 на 5, 9.
У к а з а н и е: Смотри задачу №2.
3. В египетской пирамиде на гробнице начертано число 2520. Почему
именно этому числу выпала “такая честь”? Одна из версий, оно делится
на все без исключения числа от 1 до 10. Проверьте это.
У к а з а н и е: Проверьте выполнимость признаков делимости на те
числа, с которыми связано произведение всех чисел от 1 до 10.
4. Найдите все пятизначные числа вида 517mn (m, n – цифры), которые
делятся на 18.
У к а з а н и е: Смотри задачу №2.
5. К двузначному числу прибавлено число, записанное теми же цифрами, но
в обратном порядке. Доказать, что полученный результат делится на 11.
19
6. Докажем, что при любом натуральном n значение дроби
является
натуральным числом.
У к а з а н и е: Смотри задачу №1.
7. Какую цифру надо поставить вместо буквы А в записи А37, чтобы оно
делилось на 9?
У к а з а н и е: Смотри задачу №2.
8. Найдите наибольшее пятизначное число, кратное девяти, такое, чтобы его
первой цифрой была 3, а все остальные различные.
9. Не выполняя деления, доказать, что число 7920 делится на 60.
У к а з а н и е: Воспользоваться признаками делимости и свойствами
делимости.
10. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с
пятой, третья с шестой. Доказать, что это число делится на 7, 11 и 13.
11. Делится ли число 102002 + 8 на 9?
У к а з а н и е: Смотри задачу №1.
12. Доказать, что при любых натуральных m и n число 10m
+ 1
не делится
нацело на 10n − 1.
У к а з а н и е: Смотри задачу №1.
Анализ результатов обучения признакам
делимостии их приложениям
1) Ввели понятие признака делимости;
2) Перечислили четыре группы основных признаков делимости;
3) Рассмотрели две взаимно обратные задачи на применение признаков
делимости;
4) При решении задач использовали
a) переход записи числа из одной формы в другую,
b) способ перебора случаев,
c) свойства делимости,
20
d) признаки делимости.
§3. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Планируемые результаты обучения
В результате изучения §3 студент должен
знать
a) определения простого, составного, взаимно простых чисел, наибольшего
общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК);
b) теорему о множестве простых чисел, основную теорему арифметики;
c) два способа вычисления НОД и НОК, свойство единицы;
понимать какое разложение составного числа называют каноническим
разложением;
уметь применять перечисленные знания для решения элементарных задач на
делимость.
Справочный материал
Определение 1.
Простым числом называется такое натуральное число,
которое имеет только два натуральных делителя: 1 и само это число.
Определение 2. Составным числом называется такое натуральное число,
которое имеет более двух делителей.
Свойство числа 1
Число 1, имеющее лишь один делитель 1, не относят ни к простым, ни к
составным.
Например, в последовательности чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 19, 35, 101, 121,
числа 2, 3, 4, 5, 7, 19, 101 - простые; числа 4, 6, 8, 19, 35, 121 – составные.
Теорема (Евклид III в. до н.э.)
Множество простых чисел бесконечное.
21
Основная теорема арифметики (Карл Фридрих Гаусс 1801г.)
Для
любого
единственное
натурального
(с
точностью
числа,
до
большего
порядка
единицы,
следования
существует
множителей)
разложение этого числа на простые множители
Определение 3. Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел
m и n называется наибольший из их общих делителей.
Определение 4. Два числа m и n называются взаимно простыми числами,
если у них нет общих делителей, отличных от 1; иными словами, если
НОД(m,n)=1.
Определение 5. Наименьшим общим кратным (НОК) двух целых чисел m и
n называется наименьшее из их общих кратных.
Как известно, из 6 класса основной школы, НОД (а, b) и НОК (а, b) находят
двумя способами:
Способ 1
1) Выписать делители (кратные) каждого числа;
2) Найти общие делители (кратные) этих чисел и выбрать наибольший
общий делитель (наименьшее общее кратное).
Например, найти НОК (12, 18).
1) Выпишем кратные чисел 12 и 18
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, …
18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, …
2) Среди выписанных чисел есть одинаковые: 36, 72, 108, 144 – общие
кратные чисел 12 и 18, а наименьшее из них является число 36, поэтому
НОК (12, 18)=36.
22
Способ 2
1) Разложить каждое из данных чисел на простые множители, записать их
канонические разложения;
2) Найти общие делители (кратные) чисел и записать ответ.
Например, найти НОД(3780, 7056) и НОК(3780, 7056)
1) Разложить каждое число на простые множители, используя признаки
делимости и применяя запись столбиком, при которой делитель
располагают справа от вертикальной черты, а частное записывают под
делимым. Делить начинают на наименьший простой делитель.
3780 =
7056 =
2) Для НОД выбирать основания с наименьшими показателями степеней,
для НОК с наибольшими:
НОД(3780, 7056) =
НОК(3780, 7056) =
Примеры задач на использование теории
простых и составных чисел
З а д а ч а № 1. Доказать, что если
то значение выражения
является составным числом.
23
1. Анализ содержания. В задаче дано выражение
,
являющиеся нестандартной записью многочлена, необходимо доказать, что
значение данного многочлена является составным числом при
.
2. Поиск решения. По определению число называется составным, если оно
имеет более двух делителей, следовательно, будем преобразовать данное
выражение в многочлен стандартного вида и раскладывать его на простые
множители.
3. Решение.
1) Сведем данное выражение к многочлену стандартного вида
=
2) Представим полученный многочлен в виде произведения нескольких
множителей, попробуем свести его к разности квадратов
.
3) Докажем, что значение каждого множителя многочлена является простым
числом.
Если
, то значение первого множителя является натуральным
числом, большим 1. Так как
, то значение второго
множителя при указанных значениях n также является натуральным числом,
большим 1.
Таким
образом,
если
является
,
то
натуральным
значение
числом,
выражения
имеющим
два
натуральных делителя, каждый из которых больше 1, а это означает, что оно
является составным числом.
4. Анализ результата.
Для решения данной
задачи
воспользовались
разложением выражения в многочлен, разложением многочлена на множители,
определениями простого и составного чисел, искусственным приемом
тождественных преобразований – прибавление и вычитание одного и того же
выражения, формулой сокращенного умножения (a2 – b2 = (a+b)(a – b)).
24
З а д а ч а № 2. На складе имеются ножи и вилки, общее число ножей и вилок
больше 300, но меньше 400. Если ножи и вилки вместе считать десятками или
дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и целое число
дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если известно, что ножей было
на 160 больше вилок?
1. Анализ содержания. В задаче идет речь о наличии на складе двух видов
товара (ножей и вилок), указано, что общее количество этих товаров больше
300, но меньше 400. Известно, что ножей на складе на 160 меньше чем вилок,
отмечено, что если считать вместе ножи и вилки десятками или по 12 штук, то
их получится целое число.
2. Поиск решения. Так как, при пересчете вилок по 10 и 12 штук их получается
целое число, то значит, что число вилок и ножей делится (кратно) на 10 и 12,
т.е. на НОК (10;12). Следовательно, план решения может быть таким:
1) Найти НОК (10;12);
2) Определить между числами 300 и 400, то целое число (числа), которые
делятся на НОК (10;12), это будет общее число вилок и ножей;
3) Используя условие, что ножей было на 160 меньше, чем вилок, найти их
количество.
3. Решение.
1) НОК (10;12) = 60
2) На промежутке (300; 400) только одно число 360 делится на 60,
следовательно, всего ножей и вилок – 360
3) (360 – 160)/2 = 100 (шт.) – количество ножей
100+160 = 260 (шт.) – количество вилок
4. Анализ результата.
 Опорными знаниями для решения задачи были: определение НОК (а;b);
понимание того, что значит, общее количество ножей и вилок
принадлежит промежутку (300; 400); понимание словосочетания «считать
25
вилки и ножи десятками или дюжинами»; умение решать задачи «зная
сумму двух чисел и соотношение между ними, найти эти числа».
 Следует взять на будущее последовательность рассуждений, основанную
на применении анализа соотнесения, сравнения, синтеза, планирования.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите
НОД
и
НОК
чисел:
а)
805
и
1265;
б)
У к а з а н и е: Смотри способы нахождения НОД и НОК.
О т в е т: а) НОД=14; НОК=1232.
2. Доказать, что при
число
является составным.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №1
3. Доказать,
что
если
то
значение
выражения
является составным числом.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №1
4. Даны дроби
и
. Найти наибольшее из всех чисел, при делении на
которое каждой из данный дробей получаются целые числа.
У к а з а н и е: Воспользуйтесь способом вычисления НОК для числителя
и НОД для знаменателя.
О т в е т:
5. Отец и сын решили померить шагами расстояние между двумя
деревьями, для чего одновременно отошли от одного и того же дерева.
Длина шага отца равна 70 см, длина шага сына 56 см. Найти расстояние
между этими деревьями, если известно, что их следы совпали 10 раз.
26
У к а з а н и е: 1) Найти НОК длин шагов, т.е. расстояние, через которое
следы совпадают; 2) Узнать искомое расстояние, учитывая, что шаги
совпали 10 раз.
О т в е т: 28м.
6. Для устройства елки купили орех, конфет и пряников. Всего 760 штук,
орех взяли на 80 штук больше чем конфет, а пряников на 120 штук
меньше чем орех. Какое наибольшее число одинаковых подарков для
детей можно сделать из этого заказа.
У к а з а н и е: Найти количество пряников, конфет и орех в отдельности,
вычислить НОК полученных количеств.
О т в е т: 40 подарков
7. Доказать, что произведение НОД и НОК двух данных чисел, равно
произведению этих чисел.
У к а з а н и е: Воспользуйтесь способом вычисления НОК и НОД.
8. НОК двух чисел, не делящихся друг на друга равен 630, а НОД равен18.
Найти эти числа.
У к а з а н и е: Воспользуйтесь способом вычисления НОК и НОД.
О т в е т: 90 и 126.
9. На столе лежат книги их меньше 100. Сколько книг на столе, если
известно, что их можно связывать по 3, по 4 и по 5 книг?
У к а з а н и е: Найти НОК данных чисел.
О т в е т: 60 книг.
10. Теплоход №1 свой рейс туда и обратно совершает за 8 дней, теплоход
№2 за 12 дней, теплоход №3 за 18 дней. Через сколько дней теплоходы
снова встретятся в порту, если ушли в рейс одновременно.
У к а з а н и е: Найти НОК данных чисел.
О т в е т: через 72 дня.
11. Туристы проехали за первый день – 56 км, а за второй – 72 км, причем их
скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый
день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой
27
ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию
задачи.
У к а з а н и е: Найти НОД данных чисел.
О т в е т: 8 км/ч.
12. В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 21 зубец, шестерня
педали 44 зубца. Какое наименьшее число оборотов должна сделать
педаль, чтобы шестерни вернулись в свое первоначальное положение?
У к а з а н и е: Найти НОК данных чисел, затем число оборотов.
О т в е т: 21 оборот.
13. Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У
одного рейс туда и обратно длится 48 минут, а у другого 1 час 12 мин.
Через, сколько времени автобусы снова встретятся на это площади?
У к а з а н и е: Найти НОК данных чисел.
О т в е т: 2 часа 24 минуты.
14. Саша ходит в бассейн один раз в 3 дня, а Вася один раз в 4 дня, Ваня
один раз в 5 дней. Они встретились в бассейне в этот понедельник. Через,
сколько дней, и в какой день недели они встретятся снова?
У к а з а н и е: Найти НОК данных чисел.
О т в е т: 60 дней, пятница.
Анализ результатов обучения теории простых и
составных чисел и их приложений
1) Ввели определения простого, составного, взаимно простых чисел,
наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного
(НОК);
2) Сформулировали теорему о множестве простых чисел и основную
теорему арифметики;
3) Рассмотрели два способа вычисления НОД и НОК, свойство единицы;
4) Применили перечисленные знания при решении элементарных задач на
делимость.
28
5) При решении примерных задач использовали
a) представление выражения в виде многочлена,
b) разложение многочлена на множители,
c) определения простого и составного числа,
d) понятия НОД и НОК,
e) искусственный
прием
тождественных
преобразований
–
прибавление и вычитание одного и того же выражения,
f) формулы сокращенного умножения,
g) каноническое разложение числа,
h) следующие
приемы
мыслительной
деятельности:
анализ,
соотнесение, сравнение, синтез, аналогию, планирование.
§4. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Планируемые результаты обучения
В результате изучения §4 студент должен
знать
a) сущность понятие деления с остатком целых чисел
b) теорему и свойство о делении с остатком;
c) свойства остатков;
d) алгоритм Евклида;
уметь применять перечисленные знания для решения элементарных задач на
делимость.
Справочный материал
Выше мы рассматривали случай, когда говорят о так называемом делении
числа нацело, но так бывает не всегда, в этом случае рассматривают деление с
остатком.
Определение Пусть даны два целых числа a и b (b
).
Мы говорим, что делим a на b с остатком, когда представляем, а в виде
а = bq + r, где q и r целые числа, причём r удовлетворяет неравенствам
0
r < b.
Число q называется частным, а r остатком от деления a на b.
29
Например, 36 = 8*4+3, то есть частное от деления 36 на 8 равно 4, а
остаток равен 3;
При решении задач широкое применение находит теорема о делении с
остатком.
Теорема Для любого целого числа а и натурального числа b существует
единственная пара целых чисел q и r, таких, что а = bq + r, где 0
r < b.
Далее перейдем к свойствам остатков.
Свойства остатков
1. Остаток суммы равен остатку суммы остатков.
2. Остаток разности равен остатку разности остатков.
3. Остаток произведения равен остатку произведения остатков.
4. Остаток степени равен остатку степени остатка.
На делении с остатком основаны различные формы представления целых
чисел. Например, при делении целого числа на 3 могут получиться остатки 0, 1
и 2. Поэтому любое целое число может быть представлено в одном из
следующих видов: 3k, 3k + 1, 3k + 2 (k – целое число).
Аналогично, исходя из остатков, которые могут получиться при делении
целого числа на 5, всякое целое число может быть представлено в одном из
следующих видов: 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4 (k – целое число).
Рассмотрим свойство деления с остатком, относящееся к
делению
натурального числа на натуральное число:
Свойство Если при делении натурального числа а на натуральное число b
получается остаток r, то наибольший общий делитель чисел а и r равен
наибольшему общему делителю чисел b и r, т.е.
если а = bq + r, то НОД (a;b) = НОД (b;r).
30
На этом выводе основан способ нахождения наибольшего
общего
делителя двух натуральных чисел. Разъясним сущность этого способа на
примере.
Найдем наибольший общий делитель чисел 527 и 1984.
Решение: Разделим большее число на меньшее, а затем будем
последовательно делить делитель на получившийся остаток, пока деление не
будет выполнено нацело:
По рассмотренному свойству НОД (1984, 527) = НОД (527, 403) = НОД
(403,124) = НОД (124, 31) = 31.
Рассмотренный способ нахождения наибольшего общего делителя двух
натуральных чисел описан греческим Евклидом (III в. до н.э.) и получил
название алгоритма Евклида.
Можно доказать, что между наибольшим общим делителем двух чисел a и b,
наименьшим общим кратным этих чисел и произведением чисел
существует соотношение: НОД (а, b)
a и b
НОК (а, b) = аb.
С помощью этого соотношения и алгоритма Евклида можно существенно
упростить вычисления НОК (а, b)
НОК (а, b) = аb / НОД (а, b).
Примеры задач на использование
деления с остатком
31
З а д а ч а №1. Какой цифрой заканчивается число
?
1. Анализ содержания. В задаче известно число 3 в степени 2014, необходимо
узнать какой цифрой оканчивается это число. Данная задача относится к типу
задач, который называется «задачи на цифровые окончания».
2. Поиск решения. Для решения данного типа задач, составляют таблицу
цифровых окончаний, из которой видно период повторяющихся последних
цифр. Далее узнав период окончаний, делим с остатком показатель степени
исходного числа на период. Применив свойство степеней и свойство делимости
произведения, найдем цифровое окончание.
3. Решение.
Составим таблицу цифровых окончаний степеней тройки.
n
1 2 3 4 5 6 7 8
3n 3 9 7 1 3 9 7 1
Оказалось, что последняя цифра для степеней тройки повторяется через 4 шага.
Так как число 3 оканчивается цифрой 1, то и любая его степень вида
4
(3 ) оканчивается цифрой 1. Найдём остаток от деления числа 2014 на 4.
4
k
Имеем 2014=4503+2. Значит,
=
32. Первый множитель
503
оканчивается цифрой 1, а второй – цифрой 9. Значит, произведение
оканчивается цифрой 9, то есть число оканчивается цифрой 9.
4. Анализ результата.
32
 Опорными знаниями для решения задачи были: понятие цифровое
окончание; деление с остатком; свойства степеней; свойство делимости
произведения; умение решать «задачи на цифровые окончания».
 Следует взять на будущее последовательность рассуждений, основанную
на применении анализа соотнесения, сравнения, синтеза, планирования.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите последнюю цифру числа:
a)
b)
У к а з а н и е: Смотри задачу №1.
О т в е т: а) 6; б)1.
2. Какими двумя цифрами оканчивается число
?
У к а з а н и е: Смотри задачу №1, по таблице определить через сколько
шагав повторяются две последние цифры.
О т в е т: 96.
3. Пакет сока стоит 32 рубля. Какое наибольшее количество пакетов сока
можно купить на 200 рублей?
У к а з а н и е: Воспользоваться делением с остатком.
О т в е т: 6 .
4. В пачке бумаги 500 листов. За неделю в офисе расходуется 1200 листов.
Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 8
недель?
У к а з а н и е: Найти количество израсходованной бумаги за 8 недель,
воспользоваться делением с остатком.
О т в е т: 20.
33
5. В супермаркете проходит рекламная акция: заплатив за две шоколадки,
покупатель получает три шоколадки
(одна шоколадка в подарок).
Шоколадка стоит 35 рублей. Какое наибольшее число шоколадок можно
получить на 200 рублей?
У к а з а н и е: Воспользоваться делением с остатком.
О т в е т: 7.
6. При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные,
но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.
У к а з а н и е: Воспользоваться делением с остатком.
О т в е т: 60.
7. Найдите остатки от деления
а) 1989 × 1990 × 1991 + 19922 на 7;
б) 9100 на 8.
У к а з а н и е: Воспользоваться делением с остатком, свойствами остатков.
О т в е т: а) 0; б) 1.
Анализ результатов обучения деления
с остатком и его приложений
1) Ввели понятие деления с остатком;
2) Сформулировали теорему о деление с остатком, свойства остатков;
3) Рассмотрели способ вычисления НОД и НОК, с помощью алгоритма
Евклида;
4) Применили перечисленные знания при решении элементарных задач на
делимость.
5) При решении примерных задач использовали
a) деление с остатком,
b) свойства степеней,
c) свойство делимости произведения,
d) следующие
приемы
мыслительной
деятельности:
анализ,
соотнесение, сравнение, синтез, аналогию, планирование.
34
§5. ДРУГИЕ ФАКТЫ ДЕЛИМОСТИ В ЗАДАЧАХ
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
Планируемые результаты обучения
В результате изучения метода математической индукции студент должен
знать
a) сущность метода математической индукции;
b) алгоритм решения задач с помощью метода математической индукции ;
уметь решать задачи на делимость с помощью метода математической
индукции.
Справочный материал
Математическая индукция в математике — один
из
методов
доказательства. Используется для доказательства истинности некоторого
утверждения для всех натуральных чисел.
В основе метода математической индукции лежит следующий принцип.
П р и н ц и п м а т е м а т и ч е с к о й и н д у к ц и и:
Некоторое утверждение верно при любом натуральном n, если:
1) оно верно при п = 1 и
2) из справедливости этого утверждения при каком либо произвольном
значении п = k (k ≥ 1) следует, что оно верно и при п = k + 1
Некоторые утверждения справедливы не для всех натуральных n, а лишь
для натуральных n, начиная с некоторого числа p. Такие утверждения иногда
удается доказать методом, несколько отличным от предыдущего, но вполне
аналогичным ему. Состоит он в следующем.
Д р у г о й в а р и а н т п р и н ц и па м а т е м а т и ч е с к о й и н д у к ц и и:
Утверждение верно при всех натуральных значениях
, если:
1) оно верно при п = p и
2) из справедливости этого утверждения при каком либо произвольном
значении п = k (k ≥ p) следует, что оно верно и при п = k + 1
35
Доказательство методом математической индукции состоит из трех
этапов.
1-ый этап. Проверяем, верно ли утверждение при п = 1(или при п = p).
2-ый этап. Допускаем, что утверждение верно при п = k.
3-ый этап. Доказываем, что оно верно и при п = k + 1, исходя из 2-ого
этапа.
Примеры задач на применение метода
математической индукции
З а д а ч а №1. Доказать, что при любом натуральном
число
делится на 7.
1. Анализ содержания. В задаче дано число
при
необходимо доказать, что
данное число делится на 7.
2. Поиск решения. Так как данное число
зависит от n, попробуем
доказать его делимость с помощью метода математической индукции. Для
этого выполним все три шага метода.
3. Решение.
1) При n = 1 имеем:
= 14 ⋮ 7.
Это означает истинность утверждения при n = 1.
2) Предположим, что это утверждение истинно при n = k, т.е.
⋮ 7, используя определение делимости одного числа на другое
(нацело), можно записать
3) Докажем, что утверждение
что
или
⋮ 7 истинно и при n = k + 1, т.е.,
.
36
Для доказательства выполним преобразования выражения
таким
образом, чтобы можно было воспользоваться предположением
.
т.е.
, так как один из множителей полученного выражения
делится на 7.
Вывод: число
делится на 7 при любом натуральном
4. Анализ результата. Для решения данной задачи воспользовались методом
математической индукции, приемом записи числа в виде
,
свойством делимости произведения, определением делимости двух чисел.
Следует взять на будущее последовательность рассуждений, основанную на
применении анализа, соотнесения, синтеза.
З а д а ч а №2. Доказать, что при натуральных значениях n>1 все числа вида
оканчиваются цифрой 7.
1. Анализ содержания. В задаче даны числа вида
содержащие
в своей записи степень с натуральным показателем, необходимо доказать, что
при
данные числа оканчиваются цифрой 7.
2. Поиск решения. Так как данные числа зависят от n, проведем доказательство
методом математической индукции. Для этого выполним все три шага метода.
3. Решение.
1) Проверим, выполнимость свойства при n = 2 имеем:
37
, при n = 3:
утверждение верно при n =
2.
2) Предположим, что при n = k данные числа оканчиваются цифрой 7, т.е.
могут
быть
представлены
в
виде
или
.
3) Докажем, что при n = k + 1 выражение оканчивается цифрой 7. Для
доказательства выполним преобразования выражения таким образом, чтобы
можно было воспользоваться предположением
.
т. е. числа оканчиваются цифрой 7,что и требовалось доказать.
Вывод: утверждение верно при
.
4. Анализ результата. Для решения данной задачи воспользовались методом
математической индукции, свойством делимости суммы, определением
делимости двух чисел, свойством степеней, формулой квадрата суммы двух
чисел. Следует взять на будущее последовательность рассуждений, основанную
38
на применении принципа математической индукции, анализа, соотнесения,
сравнения, синтеза.
Задания для самостоятельной работы
1. Докажите, что при любом натуральном
число
делится
на 27.
У к а з а н и е: Смотри задачу №1.
2. Докажите, что при любом натуральном
число делится на 64.
У к а з а н и е: Смотри задачу №1.
3. Докажите, что при любом натуральном
число делится на 7.
У к а з а н и е: Смотри задачу №1.
4. Докажите, что при любом натуральном
число
делится на 6.
У к а з а н и е: Смотри задачу №1.
5. Докажите, что при любом натуральном
число
делится на 16.
У к а з а н и е: Смотри задачу №1.
6. Докажите, что при любом натуральном
числа вида
оканчиваются
цифрой 1.
У к а з а н и е: Смотри задачу №2.
7. Докажите, что трехчлен
ни при каком целом n не делится
на 169.
У к а з а н и е: Воспользуйтесь методом от противного и найдите чему
равно n в таком случае (решите квадратное уравнение), найдите
противоречие.
39
Анализ результатов обучения методу
математической индукции и его приложениям
1) Осознали сущность метода математической индукции в применении к
задачам двух типов: а) доказать, что данные числа, записанные в
аналитической форме, содержащие степень с натуральным показателем,
делятся на данное конкретное число; b) задачи на цифровое окончание.
2) При решении задач использовали
a) алгоритм метода математической индукции,
b) формулу числа делящегося нацело на другое число,
c) свойства делимости суммы и произведения,
d) тождественные преобразования выражений со степенями,
e) следующие
приемы
мыслительной
деятельности:
анализ,
соотнесение, сравнение, синтез, аналогию.
МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Планируемые результаты обучения
В результате изучения малой теоремы Ферма студент должен
знать малую теорему Ферма и следствие из неё;
уметь решать задачи на делимость с помощью малой теоремы Ферма.
Справочный материал
Малая теорема Ферма
Если р – простое число, то для любого натурального а разность
делится на р
Следствие из теоремы
Если р – простое число, то для любого натурального а, не
делящегося на р, разность
делится на р.
Иными словами, если р – простое, то остаток от деления степени
40
Примеры задач на применение малой
теоремы Ферма
З а д а ч а №1. Найти остаток от деления 230 на 13.
1. Анализ содержания. В задаче дано число 230, необходимо найти остаток
отделения данного числа на 13.
2. Поиск решения. Разложим данное число на множители, используя свойства
степеней, затем отнимем и прибавим одно и то же число, далее выполним
группировку и применим определение деления с остатком.
3. Решение.
230 = 226·24 = 4 13·16 = 4 13·16 – 16·4+16·4 = 16(413 – 4)+64 = 16(413 – 4)+ 13·4+12
Первое слагаемое делится на 13 по теореме Ферма, второе по свойству
делимости произведения, а третье остаток от деления – 12.
4. Анализ результата. Для решения данной задачи воспользовались свойствами
степеней, приемом «плюс - минус» число, разложением на множители, малой
теоремой Ферма, свойством делимости произведения, определением деления с
остатком. Следует взять на будущее последовательность рассуждений,
основанную на применении анализа, сравнения, синтеза.
З а д а ч а №2. Доказать, что а12 - b12 делится на 65.
1. Анализ содержания.
В задаче дано число а12 - b12, представляющее разность с одинаковыми
степенями, необходимо доказать, что оно делится на 65.
2. Поиск решения.
Так как число 65=13·5, то сначала докажем делимость данной разности на 13, а
затем на 5.
3. Решение.
41
Докажем делимость данной разности на 13. Для этого воспользуемся приемом
«плюс - минус» единица, получим a12-b12=(a12-1)-(b12-1).
По следствию из теоремы Ферма каждое слагаемое делится на 13,
следовательно, разность a12 – b12 делится на 13.
Теперь докажем делимость данной разности на 5. Для этого воспользуемся
приемом «плюс - минус» единица, получим a12 – b12 = (a12 – 1) - (b12 – 1). Далее
применим свойство степеней и формулу разности кубов, получим
(a12-1) - (b12-1) = ((a4)3 - 1) - ((b4)3 - 1) = (a4-1)(a8+a4+1) - (b4-1)(b8+b4+1).
Из того, что разности множителей a4-1 и b4-1 делятся на 5 по теореме Ферма,
следует делимость на 5 данного числа. Доказали, что данное число делится и на
5 и на 13, по свойству делимости целых чисел, делаем вывод о делимости
данного числа на 65.
4. Анализ результата.
Для решения данной задачи воспользовались свойствами степеней, приемом
«плюс - минус» число, разложением на множители, следствием из малой
теоремы Ферма, формулой разности кубов, свойством делимости произведения.
Следует взять на будущее последовательность рассуждений, основанную на
применении анализа соотнесения, сравнения, синтеза, планирования.
Задания для самостоятельной работы
1. Докажите, что число
делится на 13 при любом натуральном n.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №2.
2. Докажите, что при любом целом a сумма
делится на 6.
У к а з а н и е: Воспользуйтесь приемом «плюс - минус» по отношению к
слагаемому .
3. Докажите, что
делится на 30 при любых целых m и n.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №2.
42
4. Найдите остаток от деления числа
на 43.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №1, следствие из теоремы.
5. Найдите остаток от деления
на 143.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №1, следствие из теоремы.
Анализ результатов обучения приложениям малой
теоремы Ферма
1) Выявили сущность малой теоремы Ферма в применении к задачам двух
типов: а) доказать, что данное число, записанное в аналитической форме,
делится на другое конкретное число; b) найти остаток от деления данного
числа, представляющего степень на другое целое число.
2) При решении задач использовали
a) теорему Ферма,
b) свойства делимости суммы и произведения,
c) тождественные преобразования выражений со степенями,
d) определение остатка от деления,
e) прием «плюс - минус» число,
f) формулы сокращенного умножения,
g) следующие приемы мыслительной деятельности: анализ, сравнение,
синтез, аналогию, прогнозирование
ТЕОРЕМА БЕЗУ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Планируемые результаты обучения
В результате изучения теоремы Безу студент должен
знать теорему Безу и следствие из неё;
43
уметь решать задачи на делимость с помощью теоремы Безу и ее следствия.
Справочный материал
Теорема Безу
Остаток от деления многочлена
на двучлен
равен значению этого многочлена при x равном а.
Существует две формулы сокращенного умножения. Одна обобщает
формулы
и
для любого натурального показателя степени
(1)
Вторая обобщает формулу
для положительного нечетного
показателя степени
(2)
Следствие из теоремы
При любом нечетном значении n выражения
и
делятся соответственно на a + b и a – b, а при четном n разность
делится и на a + b, и на a – b.
На основании этого факта решаются многие задачи на делимость.
Примеры задач на применение теоремы Безу
З а д а ч а №1. Доказать, что ни при
каком натуральном n сумма
n3+6n2+15n+15 не делится на (n+2).
1. Анализ содержания. В задаче дано выражение n3+6n2+15n+15,являющееся
многочленом от n, необходимо доказать, что данное выражение не делится на
(n+2).
2. Поиск решения. Согласно теореме Безу, если многочлен P(n) делится на (n-a),
то остаток от деления этого многочлена на (n-a) будет равен 0 или P(a) при
44
любом n. Поэтому найдем значение данного выражения от (-2), если оно не
равно нули, следовательно, сумма n3+6n2+15n+15 не делится на (n+2)
3. Решение. Пусть A(n)=n3+6n2+15n+15, тогда A(n)=(-2)3 + 6(-2)2 + 15(-2) + 15
= -8+24-30+15=11
Остаток отличен от 0, значит ни при каком n, сумма n3+6n2+15n+15 не делится
на (n+2).
4. Анализ результата. Для решения данной задачи воспользовались теоремой
Безу. Следует взять на будущее формулировку теоремы Безу и ее следствие и
понимать алгоритм их использования.
З а д а ч а №2. Доказать, что числа вида
делятся нацело на 168.
1. Анализ содержания. В задаче дано выражение вида
необходимо
доказать делимость, данного выражения на 168.
2. Поиск решения. Для решения данной задачи воспользуемся первой
обобщенной формулой сокращенного умножения и следствием из теоремы
Безу, для этого сначала преобразуем
свойства показателей степени (
(
к виду
с помощью
) и свойства степени единицы
). Далее воспользуемся свойством делимости произведения (если ab
и с – целое, то (a  c)b ).
3. Решение.
, где
– целое число.
По свойству делимости произведения числа вида
= 168m делятся на
168.
4. Анализ результата.
Для решения данной
задачи
воспользовались
обобщенной формулой сокращенного умножения, свойством показателей
45
степеней, свойством степени единицы, свойством делимости произведения.
Следует взять на будущее последовательность рассуждений, основанную на
применении анализа, соотнесения, сравнения.
З а д а ч а №3. Доказать, что выражение 39n-2·4n+18n делится на 7 при любом
натуральном n.
1. Анализ содержания. В задаче дано выражение 39n-2·4n+18n, содержащее
степени с произвольными основаниями, необходимо
доказать, что данное
выражение делится на 7.
2. Поиск решения. Представим данное выражение в виде суммы двух разностей
степеней и применим следствие из теоремы Безу к каждой разности.
3. Решение.
Запишем данное выражение в виде:
39n-2·4n+18n = (39n-4n)+(18n-4n), тогда 39n-4n делится на разность оснований
степеней, т.е. на 39-4=35, а следовательно, делится и на 7, 18n-4n также делится
на разность оснований 18-4=14, а значит и на 7.
Так как каждое из слагаемых делится на 7, то и выражение 39n-2·4n+18n
делится на 7.
4. Анализ результата.
Для решения данной
задачи
воспользовались
разложением на множители, следствием из теоремы Безу, свойством делимости
суммы. Следует взять на будущее прием «подготовки» выражения к
применению следствия теоремы Безу.
З а д а ч а №4. Доказать, что 3n(13n-10n-6n)+65n делится на 56 при всех
нечетных n.
1. Анализ содержания. В задаче дано выражение 3n(13n-10n-6n)+65n, содержащее
степени с произвольными основаниями, но с одинаковыми показателями,
необходимо доказать, что оно делится на 56.
2. Поиск решения. Так как число 56=7·8, то достаточно доказать делимость
данного выражения на 7 и на 8. Для этого преобразуем данное выражение в
46
произведение двух множителей, которые соответственно делятся на 7 и на 8,
исходя из следствия теоремы Безу.
3. Решение.
Представим данное выражение в следующем виде:
3n(13 n-10n-6n)+65n= 39n-30n-18n+65n = 3n(13n-6n)+5n(13n-6n) = (13n-6n)(3n+5n).
Первый сомножитель 13n-6n делится на разность оснований степеней, т.е. на
13-6=7, следовательно, делится на 7, а второй 3n+5n на 8, так как 3+5=8. Значит
данное выражение 3n(13 n-10n-6n)+65n делится на 56.
4. Анализ результата.
Для решения данной
задачи
воспользовались
разложением на множители, следствием из теоремы Безу, свойством делимости
произведения. Следует взять на будущее прием «подготовки» выражения к
применению следствия теоремы Безу.
Задания для самостоятельной работы
1. Докажите, что числа вида
делятся на 170.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №3.
2. Докажите, что числа вида
делятся на 35.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №2.
3. Докажите, что числа вида
делятся на 9.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №2.
4. Докажите, что числа вида
делятся на 140.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №2.
47
5. Докажите, что числа вида
делятся на 9.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №4.
6. Докажите, что числа вида
делятся на 20.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №2.
7. Докажите, что числа вида
делятся на 1001.
У к а з а н и е: Смотри решение задачи №3.
Анализ результатов обучения теоремы Безу и ее
приложениям
1) Выяснили сущность теоремы Безу и следствие из неё в применении к
задачам двух типов: а) доказать, что данное число, записанное в
аналитической форме, делится на другое конкретное число; b) доказать,
что данное число, записанное в аналитической форме, не делится на
другое число, записанное в аналитической форме.
2) При решении задач использовали
a) теорему Безу и следствие из нее,
b) обобщенные формулы сокращенного умножения,
c) свойства делимости суммы и произведения,
d) тождественные преобразования выражений со степенями,
e) разложение на множители,
f) прием «подготовки» выражения к применению следствия теоремы
Безу,
g) следующие
приемы
мыслительной
деятельности:
анализ,
соотнесение, сравнение, синтез, аналогию, прогнозирование.
48
§6. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
Правила оформления и выполнения индивидуального задания
1) Работа выполняется в отдельной тетради, на
обложке которой
указываются Ф.И.О. и номер группы студента, номер варианта контрольной
работы (номер варианта контрольной работы определяет преподаватель по
своему усмотрению).
2) Перед решением каждой задачи должен быть указан номер и полный текст
задания.
3) В решении задачи следует выделить шаги (обозначить их цифрами 1, 2, 3,
…)
4) Решения должны сопровождаться краткими пояснениями, в конце решения
должен быть ответ.
5) Индивидуальное задание должно быть сдано в строго установленный
срок. По истечении этого срока контрольные работы не принимаются и
студенту, не сдавшему контрольную работу, выставляется ноль баллов по
результатам аттестации по теме «Делимость целых чисел».
Образец выполнения и оформления индивидуального задания
Вариант 0
Задание 1. Докажите, что число
делится на 6 при любом
натуральном n.
Решение:
1. В задаче дано выражение
, содержащее кубическую степень,
необходимо доказать, что данное выражение делится на 6
49
2. Выполним преобразование данного выражения: вынесем n за скобку,
второй множитель представим в виде разности квадратов, чтобы получить
сумму произведения трех последовательных натуральных чисел и слагаемого,
кратного 6.
3. n3+11n = n(n2+11) = n(n2 – 1+12) = n(n – 1)(n+1)+12n,
первое слагаемое это произведение трех последовательных натуральных
чисел, среди которых одно обязательно делится на 3 и хотя бы одно делится на
2, значит, оно делится на 6. А второе слагаемое содержит множитель 12,
кратный 6. Так как каждое слагаемое в этой сумме делится на 6, то и вся сумма
делится на 6
4. Для решения данной задачи воспользовались разложением на множители,
формулой разности квадратов, свойством делимости суммы и произведения.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Решение:
1. В задаче дана дробь
, необходимо найти при каких значениях n, она
является целым числом.
2. Выделим целую часть у данной дроби, с помощью приема «плюс минус»
число, далее рассмотрим варианты значений знаменателя, при которых
полученная дробная часть выражения будет целым числом.
– число будет целым тогда,
3.
когда (
(
) является делителем 2, т.е. если
)=2, (
(
)=1, (
)= - 1,
)= - 2.
Ответ: при n = 0, n = -1, n = -3, n = -4 дробь
– целое число.
4. Для решения данной задачи воспользовались выделением целой части
числа, приемом «плюс минус» число.
Задание 3. Докажите, что числа 279757 и 279755 взаимно простые.
Решение:
1. В задаче даны два числа 279757 и 279755, необходимо доказать что они
взаимно простые.
50
2. Два числа m и n называются взаимно простыми числами, если у них нет
общих делителей, отличных от 1; иными словами, если НОД(m,n)=1.
Применим метод от противного
и попробуем получить противоречие
условию задачи.
3. Предположим что, числа 279757 и 279755 не являются взаимно простыми,
т.е. делятся на число
, тогда по свойству делимости их разность также
делится
. Разность
на число
чисел 279757 и 279755 равна 2,
следовательно, по предположению 2 делится на с, но 2 делится только на 1 и на
2, а числа 279757 и 279755 не делятся на 2, так как четные, значит,
предположение неверно.
4. Для решения данной задачи воспользовались методом от противного,
свойством делимости разности, определением взаимно простых чисел,
определением понятия четного числа.
Задание 4. Докажите, что при натуральных значениях n>1 все числа вида
оканчиваются цифрой 7.
Решение:
1. В задаче даны числа вида
степень
с
натуральным
показателем,
содержащие в своей записи
необходимо
доказать,
что
при
данные числа оканчиваются цифрой 7.
2. Так как данные числа
зависят от
, то проведем доказательство
методом математической индукции. Для этого выполним все три шага метода.
3.
1) Проверим, выполнимость свойства при n = 2 имеем:
51
, при n = 3:
утверждение верно при n =
2.
2) Предположим, что при n = k данные числа оканчиваются цифрой 7, т.е.
могут
быть
представлены
в
виде
или
3) Докажем, что при n = k + 1 выражение оканчивается цифрой 7. Для
доказательства выполним преобразования выражения таким образом, чтобы
можно было воспользоваться предположением
.
т. е. числа оканчиваются цифрой 7,что и требовалось доказать.
Вывод: утверждение верно при
.
4. Для решения данной задачи воспользовались методом математической
индукции, свойством делимости суммы, определением делимости двух чисел,
свойством степеней, формулой квадрата суммы двух чисел.
Задание 5. Докажите, что выражение 39n-2·4n+18n делится на 7 при любом
натуральном n.
Решение:
52
1. В задаче дано
выражение
39n-2·4n+18n, содержащее степени
произвольными основаниями, необходимо
с
доказать, что данное выражение
делится на 7.
2. Преобразуем данное выражение в сумму двух разностей степеней и
применим следствие из теоремы Безу к каждой разности.
3. Запишем данное выражение в виде:
39n-2·4n+18n = (39n-4n)+(18n-4n), тогда 39n-4n делится на разность оснований
степеней, т.е. на 39-4=35, а следовательно, делится и на 7, 18n-4n также делится
на разность оснований 18-4=14, а значит и на 7.
Так как каждое из слагаемых делится на 7, то и выражение 39 n-2·4n+18n
делится на 7.
4. Для решения данной задачи воспользовались разложением на множители,
следствием из теоремы Безу, свойством делимости суммы.
ТЕКСТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Вариант 1
Задание 1. Докажите, что если сумма (a и b – целые числа) делится на 31, то и
сумма
делится на 31.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 19471 и 19473 взаимно простые.
Задание 4. Докажите, что число делится на 3.
Задание 5. Докажите, что число вида
делится на 4 при любых
натуральных n.
Вариант 2
Задание 1. Докажите, что суммы и
делятся на 61 при одних и тех же
целых значениях х и у.
53
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 15243 и 15241 взаимно простые.
Задание 4. Докажите, что число
– составное.
Задание 5. Докажите, что число вида
делится на 10 при
любых натуральных n.
Вариант 3
Задание 1. Докажите, что если сумма 3х+8у делится на 17, то и сумма 35х+65у
делится на 17.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 41111 и 41110 взаимно простые.
Задание 4. Докажите, что число
делится на 5.
Задание 5. Докажите, что число вида
делится на 6 при любых
натуральных n.
Вариант 4
Задание 1. Верно ли, что если сумма (a, b, c – целые) делится на 11, то и сумма
делится на 11?
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 279757 и 279755 взаимно простые.
Задание 4. Докажите, что число делится на 9.
54
Задание 5. Докажите, что число вида
делится на 15 при любых
натуральных n.
Вариант 5
Задание 1. Докажите, что значение выражения 65+362 – 216 делится на 41.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 27777 и 27778 взаимно простые.
Задание 4. Докажите, что число делится на 9.
Задание 5. Докажите, что число вида
делится на 13 при любых
натуральных n.
Вариант 6
Задание 1. Докажите, что сумма 333555+555333 делится на 37.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 3451543 и 3451541 взаимно простые.
Задание 4. Докажите, что число делится на 3.
Задание 5. Докажите, что число вида делится на 23 при любых натуральных n.
Вариант 7
Задание 1. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных
чисел делится на 9.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 597223 и 597221 взаимно простые.
Задание 4. Найдите последнюю цифру числа
55
Задание 5. Докажите, что число вида
делится
на 11 при любых натуральных n.
Вариант 8
Задание 1. Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое
– четное. Докажите, что их произведение делится на 24.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 479885 и 479883 взаимно простые.
Задание 4. Найдите последнюю цифру числа
Задание 5. Докажите, что число вида
делится на 6 при
любых натуральных n.
Вариант 9
Задание 1. Докажите, что если сумма двух чисел – нечетное число, то их
произведение всегда четное число.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 425557 и 425555 взаимно простые.
Задание 4. Найдите последнюю цифру числа
Задание 5. Докажите, что число вида делится на 64 при любых натуральных n.
Вариант 10
Задание 1. Докажите, что если а – нечетное число, то
Задание 2. При каких значениях n дробь
делится на 8.
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 499333 и 499331 взаимно простые.
Задание 4. Найдите последнюю цифру числа
Задание 5. Докажите, что при любом натуральном
число делится на 64.
56
Вариант 11
Задание 1. Всегда ли число вида
делится на 6?
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 2345439 и 2345437 взаимно простые.
Задание 4. Найдите последнюю цифру числа
Задание 5. Докажите, что при любом натуральном
число
делится на 16.
Вариант 12
Задание 1. Запишите три раза двузначное число 35. Докажите, что
получившееся шестизначное число делится на 37.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 3456543 и 3456542 взаимно простые.
Задание 4. Докажите, что при любом натуральном
числа вида оканчиваются
цифрой 1.
Задание 5. Докажите, что трехчлен
ни при каком целом n не
делится на 169.
Вариант 13
Задание 1. Запишите три раза двузначное число 28. Докажите, что
получившееся шестизначное число делится на 13.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
57
Задание 3. Докажите, что числа 35492 и 35491 взаимно простые.
Задание 4. Какими двумя цифрами оканчивается число
Задание 5. Докажите, что при любом натуральном
?
число
делится на 16.
Вариант 14
Задание 1. Докажите, что четырехзначное число, у которого цифра тысяч равна
цифре сотен, а цифра десятков – цифре единиц делится на 11.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 41111 и 41110 взаимно простые.
Задание 4. Найдите остаток от деления числа
на 43.
Задание 5. Докажите, что при любом натуральном
число делится на 64.
Вариант 15
Задание 1. Докажите, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми
цифрами, делится на 37.
Задание 2. При каких значениях n дробь
– целое число?
Задание 3. Докажите, что числа 15243 и 15241 взаимно простые.
Задание 4. Найдите остаток от деления
на 143.
58
Задание 5. Докажите, что числа вида
делятся на 20.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галкин, Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи с целыми
числами/ Н.В. Галкин. – Челябинск.: Взгляд, 2005.
2. Горбачев, Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике/ Н.В.
Горбачев. – М.: МЦНМО, 2004.
3. Грибанов, В. И. Сборник упражнений по теории чисел/ В. И. Грибанов,
П.И. Титов. – М.: Просвещение, 1964.
4. Кудреватов, Г. А. Сборник задач по теории чисел/ Г. А. Кудреватов. – М.:
Просвещение, 1970.
5. Ляпин, С. Е. Сборник задач по элементарной алгебре/ С. Е. Ляпин, И. В.
Баранова. – М.: Просвещение, 1973.
6. Макарычев, Ю.Н. Алгебра. 10 класс: учеб. для общеобразоват.
учреждений/Ю.Н. Макарычев - М.: Мнемозина, 2010.
7. Михелович, Ш. Х. Теория чисел/ Ш. Х. Михелович. – М.: Высшая
школа,1963.
8. Мордкович,
А.Г.
Алгебра.
10
класс:
учеб.
для
общеобразоват.
учреждений/ А.Г. Мордкович - М.: Мнемозина, 2008.
9. Никольский, С.М. Алгебра. 11 класс: учеб. для общеобразоват.
учреждений/ С.М. Никольский - М.: Мнемозина, 2010
59
60