Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА»
Кафедра прикладной информатики
Методические указания и задания к контрольной работе
по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика»
направление подготовки 230700.62 «Прикладная информатика»
профиль подготовки: Прикладная информатика в экономике
Прикладная информатика в дизайне
заочной формы обучения
Составитель:
Н.Л. Александрова
Санкт-Петербург
2012
УЧЕБНИКИ, УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ С ГРИФОМ
МИНОБРАЗОВАНИЯ РФ
Объем (п.л. или а.л.)
№
№
п.п.
Год издания
Издательство
Гмурман В.Е.
2003
М.: Высшая
школа
479 c
Руководство к решению
задач по теории вероятностей и математической
статистике
Теория вероятности и математическая статистика
Гмурман В.Е.
2004
М.: Высшая
школа
400 с
Кремер Н.Ш.
2006
Москва
573
Вероятностные разделы
математики
Максимов Ю.
Д
2004
СанктПетербург
592
Наименование
Автор
1.
Теория вероятностей и
математическая статистика
2.
3
4
Тема 1.
Классическое и статистическое определение вероятности.
При классическом определении вероятность события определяется равенством
P( A) 
m
, где m- число элементарных исходов испытания, благоприятствуюn
щих появлению события A; n- общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную
группу и равновозможны.
Относительная частота события A определяется равенством
W ( A) 
m
, число испытаний, в которых A наступило, n- общее число произвеn
денных испытаний.
При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.
Пример (образец) 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар белым.
Решение.
Обозначим А событие, состоящее в появлении белого шара. Общее число
случаев n=5, число случаев благоприятных событию А, m=2. Следовательно,
2
P( A)  .
5
Образец задачи в Mathcad
Пример 1
m  2
PA 
n  5
Для того, чтобы приняло m значение 2 надо
нажать одновременно
две клавиши shift и :
m
n
PA  0.4
Для того, чтобы получить результат надо нажать клавишу =
Для того, чтобы m разделить на n надо использовать / с панели calculator
Задача 2.
Монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появиться «герб».
Ответ: PA=0,75.
Задача 3.
Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из
случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления
бракованных книг.
Ответ: WA=0,05.
Задача 4.
По цели произведено 20 выстрелов, причем зарегистрировано 18 попаданий.
Найти относительную частоту попаданий в цель.
Ответ: WA=0,9.
Задача 5.
При испытании партии приборов относительная частота годных приборов
оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было произведено 200 приборов.
Ответ: m=180.
Тема 2.
Соединения
Размещениями из n по m называются такие их соединения, которые различаются друг от друга самими элементами или их порядком. Например: размещения из 3 элементов a, b, c по 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb ( A32  6 ). Число всех
размещений n различных элементов по m обозначается
Anm  n(n  1)( n  2)...( n  m  1) 
n!
(n  m)! .
Перестановками из n элементов называют их соединения, отличающиеся
друг от друга только порядком входящих в них элементов. Например: перестановки из трех элементов a, b, c: abc, bca, cab, cba, bac, acb. Число всех перестановок из n обозначается Pn :
Pn  1 * 2 * 3 * ... * n  n!  Ann .
Если среди n элементов a, b, c, … имеются одинаковые ( a повторяются 
раз, b -  раз, c -  раз и т. д.), то
Pn 
n!
!  ! !... .
Сочетаниями из n элементов по m отличающиеся друг от друга только самими элементами. Например: сочетания из трех элементов a, b, c по 2: ab, ac, bc.
Число всех сочетаний из n различных элементов по m (обозначается C nm ):
Cnm 
n(n  1)( n  2)...( n  m  1) Anm
n!


.
1 * 2 * 3 * ... * m
Pm m!(n  m)!
C n1  n
n
0
, Cn  Cn  1 (0!=1).
Основное свойство сочетаний: C nm  C nn m .
Задача № 1.
Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что угадано: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число,
числа которого различны.
Ответ: а) 0,011; б) 0,012.
Задача образец.
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появиться
шестерка.
Решение.
На грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка, …,
шесть очков. Аналогично шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым исходом бросания «второй». Таким образом, общее число
возможных элементарных исходов равно 6*6=36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.
Благоприятствующими интересующему нас событию ( хотя бы на одной грани появиться шестерка, сумма выпавших очков – четная) являются следующие пять исходов ( первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма
очков);
1) 6, 2; 6+2=8, 2) 6, 4; 6+4=10, 3) 6, 6; 6+6=12, 4) 2, 6; 2+6=8, 5) 4, 6;
4+6=10.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих
событию, к числу всех возможных элементарных исходов: P=5/36.
Задача № 2.
Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а)
сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми,
а разность четырем; в) сумма выпавших очков равна пяти, произведение четырем.
Ответ: а) 0,166667; б) 0,056; г) 0,056.
Задача № 3.
Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня, что
эти три цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что
набраны нужные цифры ( считая , что номер телефона состоит из 10 цифр).
Указание: использовать формулу Размещений.
Ответ: 0,0014.
Задача образец.
В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей.
Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.
Решение.
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь m из N деталей, т. е. C nm - числу сочетаний из
N по m.
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию ( среди m деталей ровно k стандартных): k стандартных деталей можно
взять из n стандартных деталей C nk способами; при этом остальные m-k деталей должны быть не стандартными; взять же m-k не стандартных деталей
можно C Nmnk способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов
равно Cnk C Nmnk .
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих
событию, к числу всех элементарных исходов:
P
Cnk  C Nmnk
.
C Nm
Задача № 4.
В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам
наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
Ответ: а =0,25.
Задача № 5.
В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов
пять отличников.
Ответ: а) 0,255.
Задача № 6.
В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу
извлечены два изделия. Найти вероятность того среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия.
Ответ: а) 0,6; б) 0,3.
Задача № 7.
В программе для компьютера, написанной в VBA, использована функция
Random(x), генерирующая целые случайные числа от 1 до x. Какова вероятность того, что при выполнении этой функции появиться число, делящееся
на 3, если x=100?
Ответ: 0,03
Задача № 8.
Ребенок играет с буквами разрезной азбуки. Какова вероятность того, что,
разложив в ряд буквы К, И, Р, Д, А, Н, З, П, он составит слово ПРАЗДНИК?
Указание: использовать формулу для перестановок.
Ответ: 0,000024.
Тема 3.
Геометрические вероятности
Пусть отрезок  составляет часть отрезка L . На отрезке L наугад поставлена
точка. Предполагается , что вероятность попадания точки на отрезок  пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L . В этих предположениях вероятность попадания точки на
отрезок  определяется равенством
P
Длина 
.
Длина L
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру
наудачу брошена точка. Предполагается, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади S g этой фигуры и не
зависит от ее расположения относительно фигуры G , ни от формы фигуры
G и g . В этих предположениях вероятность попадания точки на фигуру g
определяется равенством
P
Sg
SG
, где S G - площадь фигуры G.
Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную
фигуру  , которая составляет часть фигуры V .
Задача № 1.
На отрезок L , имеющий длину 40 см, помещен меньший отрезок  длиной
15 см. Найти вероятность того, что точка наудачу поставленная на большой
отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок  пропорциональна длине этого отрезка и
не зависит от его расположения на отрезке L .
Ответ: P  0,375.
Задача № 2.
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от
друга на расстоянии 2a . На плоскость наудачу брошена монета радиуса r  a .
Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.
Задача № 3.
Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что
точка окажется внутри вписанного в этот круг правильного треугольника.
Предполагается, вероятность попадания точки в треугольник пропорциональна площади треугольника и не зависит от его расположения относительно круга.
Ответ: P  0,413497.
Задача образец.
Два товарища условились встретиться в определенном месте между 12 часами и половиной первого дня. Пришедший первым ждет другого в течении 20
минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча товарищей
состоится, если каждый из них наудачу выбирает момент своего прихода ( в
промежутке от 12 часов до половины первого) и моменты прихода обоих независимы.
Решение.
Обозначим событие: A - встреча товарищей состоится.
Найдем вероятность события применив формулу: P 
Sg
SG
.
Обозначим момент прихода одного из них через x мин., а момент прихода
другого через y мин. Для того, чтобы встреча произошла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: x  y  20.
Будем изображать x и y как декартовы координаты точек плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту рис. 1.
y
30
20
10
10 20 30
x
Рис. 1.
Все возможные исходы испытания изображаются точками фигуры ограниченной квадратом, сторона которого равна 30; площадь этого квадрата равна
S G  30 2.
Неравенство x  y  20 равносильно системе неравенств:
 x  y  20

 x  y  20.
Исходы испытания, благоприятствующие событию A , удовлетворяют системе неравенств:
 x  y  20
 x  y  20


0  x  30
0  y  30.
Решениями этой системы неравенств являются координаты всех точек плоскости, расположенных на рис.1 в заштрихованной области, то есть между
граничными прямыми: x  y  20 ; x  y  20 ; x  0 ; x  30 ; y  0 ; y  30 и на
самих граничных прямых. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятствующие событию
A . Площадь заштрихованной
фигуры равна
S g  30 2  30  20 .
2
Искомая вероятность события A равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата:
30 2  10 2 8
P( A) 
 .
9
30 2
Задача № 4.
Коэффициенты p и q квадратного уравнения x 2  px  q  0 выбирают
наудачу на отрезке 0 : 2 . Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?
Ответ: P(A)  0,166667.
Задача № 5.
Наудачу взяты два неотрицательных числа x и y , каждое из которых не
больше единицы. Найти вероятность того, что сумма x  y не превышает
единицы, а их произведение не больше двух
Ответ: P(A)  0,4873.
Задача № 6.
2
.
9
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от
друга на расстоянии 2a . На плоскость наудачу бросают иглу длины
2   a  . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
Ответ: P( A) 
2
.
a
Тема 4. Основные теоремы теории вероятностей
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий:
P( A  B)  P( A)  P( B)
(1).
В этой формуле: P( A  B) - вероятность суммы двух несовместных событий A и B , т. е. вероятность наступления одного из двух событий, безразлично какого (или A , или B ); P( A) - вероятность наступления события
A ; P(B) - вероятность наступления события B ; P( A)  P( B) - сумма вероятностей A и B .
Если A1 , A2 ,..., An - n попарно несовместных событий, то
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )
(2).
Если A1 , A2 ,..., An образуют группу, то
P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )  1 . (3). Сумма
двух совместных событий
P( A1  A2 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A1  A2 )
Если A и A - два несовместных события, образующих полную группу, то
A - событие противоположное событию A . Вероятность события A равна P( A )  1  P( A).
Теорема умножения вероятностей:
P( AB)  P( A)  PA ( B). (4)
В этой формуле P( AB) - вероятность произведения двух зависимых событий A и B , т. е. вероятность их совместного наступления (наступления и
события A , и события B ); P( A) - вероятность наступления события A ;
PA (B) - условная вероятность события
B , вычисленная
в предположении,
что событие A уже наступило; P( A)  PA (B) - произведение вероятности события A на условную вероятность PA (B) .
В частности, для двух независимых событий A и B :
P( AB)  P( A)  P( B).
(5)
В этой формуле P( AB) - вероятность произведения двух независимых событий A и B , т. е. вероятность их совместного наступления (наступления
и события A , и события B ), P( A) - вероятность наступления события A ;
P(B) - вероятность наступления события B ; P ( A)  P ( B ) - произведение вероятностей событий A и B .
Если A1 , A2 ,..., An - n зависимых событий, то
P( A1 A2 ... An )  P( A1 ) PA1 ( A2 )...PA1 ... An1 ( An )
(6).
В этой формуле P( A1 A2 ... An ) - вероятность произведения событий
A1 , A2 ,..., An , т. е. вероятность их совместного наступления; PA1 ( A2 ) - услов-
ная вероятность события A2 , вычисленная в предположении, что событие
A1 наступило; …,
PA1 ... An1 ( An ) - вероятность события
An , вычисленная в
предположении, что все предыдущие n  1 события наступили.
В частности, для n независимых событий A1 , A2 ,..., An :
P( A1 A2 ... An )  P( A1 ) P ( A2 )...P ( An ) , (7)
Где P( A1 A2 ... An ) - вероятность произведения событий A1 , A2 ,..., An ;
P( A1 ) P ( A2 )...P ( An )
- произведение вероятностей этих событий.
Задача образец 1.
В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам
наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
Решение.
Введем обозначение событий: A - первым отобран мужчина; B - вторым
отобран мужчина; С - третьим отобран мужчина. Вероятность того, что
первым будет отобран мужчина P( A) 
7
.
10
Вероятность того, что вторым будет отобран мужчина, при условии, что
первым уже был отобран мужчина, т. е. условная вероятность события
B следующая: PA ( B ) 
6 2
 .
9 3
Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что
уже отобраны двое мужчин, т. е. условная вероятность события C такова:
5
PAB (C )  . .
8
Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами,
P( ABC )  P( A)  PA ( B)  PAB (C ) 
7 2 5 7
  
.
10 3 8 24
Задача образец 2.
В урне 4 белых, 6 черных, и 5 красных шаров. Из нее наугад вынимают
один за другим два шара. Найти вероятность того, что оба шара одного
цвета.
Решение.
Рассмотрим события:
A1  первым извлечен белый шар;
B1 - вторым извлечен белый шар;
A2  первым извлечен черный шар;
B2 - вторым извлечен черный шар;
A3  первым извлечен красный шар;
B3 - вторым извлечен красный шар;
C  извлечены два шара одного цвета.
Событие C представляет собой сумму следующих несовместных событий:
C1 - извлечены два белых шара;
C2 - извлечены два черных шара;
C 3 - извлечены два красных шара;
Таким образом, C  C1  C2  C3 .
Событие C1 заключается в том, что и первый, и второй, извлеченные из
урны шара, являются белыми. Это означает, что событие C1 представляет
собой произведение событий A1 и B1 : C1  A1  B1. Аналогично получим, что
C2  A2  B2 и C3  A3  B3 .
Вероятности событий C1 , C2 , C 3 найдем по теореме умножения вероятностей.
Событие B1 является зависимым от события A1 , так как его вероятность
изменяется при наступлении события A1 . Используя классическое определение вероятности, получим, что вероятность события A1 равна
4
. Условная вероятность события B1 , вычисленная при условии,
15
3
что событие A1 произошло, равна PA1 ( B1 )  . Согласно формуле (4) полу14
P ( A) 
чим:
P(C1 )  P( A1  B1 )  P( A1 )  PA1 ( B1 ) 
4 3
2
  .
15 14 35
Рассуждая аналогично, найдем
P(C 2 )  P( A2  B2 )  P( A2 )  PA2 ( B2 ) 
P(C3 )  P( A3  B3 )  P( A3 )  PA3 ( B3 ) 
6 5 1
  .
15 14 7
5 4
2
  .
15 14 21
Вычислив P(C1 ) , P(C2 ) и P(C3 ) , найдем искомую вероятность P (C ) по
теореме сложения вероятностей несовместных событий:
P(C )  P(C1 )  P(C 2 )  P(C3 ) 
2 1 2
31
 

 0,2952.
35 7 21 105
Далее самостоятельно.
Задача 1.
В денежной вещевой лотерее на каждые 1000 билетов приходится 5 денежных и 20 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша на один
билет?
Ответ: P( A)  0,025 . Указание: использовать формулу сложения вероятностей.
Задача 2.
Контрольная работа по математике оценивается целым числом баллов,
причем наибольшее число баллов равно 10. Вероятность получить студенту N за эту работу 10 баллов равна 0,2; 9 баллов – 0,3 и от 1 до 9 включительно – 0,7. найти вероятность того, что студент N получит: а) не менее 9
баллов, б) ноль баллов.
Ответ: а) P( A)  0,5 , б) P( A)  0,1 Указание: использовать формулу сложения
вероятностей (1).
Задача 3.
В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из
которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти
вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Ответ: P( A)  0,2 . Указание: использовать формулу умножения вероятностей (4).
Задача 4.
В круг радиуса R вписан равносторонний треугольник. Какова вероятность того, что четыре наугад поставленные в данном круге точки окажутся внутри треугольника?
Ответ: P( A)  0,029.
Задача 5.
Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием
непригодности всей партии является наличие хотя бы одной дефектной
детали среди четырех проверяемых. Какова вероятность того, данная партия не будет принята, если она содержит 3 % дефектных деталей?
Ответ: P( A)  0,1164. Указание использовать формулу (6).
Задача 6.
Сколько нужно выбрать чисел из таблицы случайных чисел, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9 быть уверенным в том, что среди них хотя бы
одно число четное?
Ответ: n  4 Указание использовать формулу (7).
Задача 7.
Студент знает 20 и 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что
студент знает переложенные ему три вопроса.
Ответ: P 
57
.
115
Задача 8.
Случайно смешаны кусты рассады двух сортов томатов: 9 кустов рассады
сорта Белый налив и 7 – сорта Верлиока. Найти вероятность того, что первые
три, посаженные друг за другом куста томатов, являются рассадой сорта Белый налив.
Ответ: P(C )  0,15.
Тема 5.
Ряд, многоугольник и функция распределения дискретной случайной
величины.
Закон распределения случайной величины может быть представлен рядом
распределения, многоугольником распределения, функцией распределения.
Дискретная случайная величина X , имеющая конечное множество возможных значений xi с соответствующими им вероятностями
pi  P( X  xi ) i  1,2,..., n может быть задана рядом распределения следующего
вида табл. 1:
Таблица 1
xi
x1
p1
pi
x2
p2
…
xn
…
pn
Для вероятностей p i , приведенных в таблице 1, должно выполняться условие:
n
p
i 1
 1 (1).
i
Дискретная случайная величина, имеющая бесконечное множество значений
xi с соответствующими им вероятностями pi  P( X  xi ) i  1,2,..., n,... может
быть задана рядом распределения следующего вида (табл. 2):
Таблица 2
xi
x1
p1
pi
x2
p2
…
xn
…
…
pn
…
Для вероятностей p i , приведенных в таблице 2, должны выполняться условия: ряд
p1  p2  ...  pn  ... сходится и

p
i 1
i
 1 (2).
Графически распределение случайной величины X может быть представлено
многоугольником распределения. Для построения многоугольника на плоскости в системе координат xOy строят точки xi , pi  и соединяют их ломанной
линией. На рисунке 1 представлен многоугольник распределения случайной
величины, число возможных значений которых равно n  6.
Pi
8
A5
7
6
yi
A2
4
A4
P
A1 AP3 P
2
P5
2
4
P1
0.5
0
0
0
2
3
4
xi
P6
A6
6
7
xi
Рисунок 1.
Дискретная случайная величина X может быть задана функцией распределения
F (x ) , называемой также интегральной функцией распределения.
Для дискретной случайной величины, заданной рядом распределения (табл. 1
и2), значения функции распределения находят по формуле
F ( x)   pi , (3), где суммирование вероятностей
xi  x
p i ведут по всем тем
значениям i , для которых xi  x .
Вероятность того, что случайная величина X примет значения x   ,   выражается через функцию распределения формулой
P  X     F    F   . (4).
Задача образец
Игра состоит в набрасывании колец на колышки. Игрок получает четыре
кольца и бросает по одному из этих колец до первого попадания на колышек.
Вероятность попадания при каждом бросании равна 0,1. Найти ряд распределения случайной величины X - числа неизрасходованных колец.
Решение. Игра, состоящая в набрасывании четырех колец на колышек, представляет собой осуществление независимых испытаний, в каждом из которых
может появиться или не появиться событие A - попадание кольца на колышек. Вероятность попадания при одном бросании равна p  0,1 , вероятность
непопадания при одном бросании равна q  1  p  0,9 .
Располагая четырьмя кольцами, игрок может набросить кольцо на колышек
или при первом, или при втором, или при третьем, или при четвертом бросании, или же не набросить на колышек ни одного кольца. Возможные значения xi случайной величины X - числа неизрасходованных игроком колец будут следующими: 3, 2, 1, 0. пронумеруем xi в порядке их возрастания:
x1  0, x2  1, x 3  2, x 4  3 .
Значение x1  0 величина X примет тогда, когда произойдет одно из двух
несовместных событий; первое из них – на колышек попало четвертое коль-
цо, второе событие – кольцо, брошенное четвертым, не попало на колышек.
Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение x1  0 ,
найдем , воспользовавшись теоремой умножения вероятностей независимых
событий и теоремой сложения вероятностей несовместных событий:
p1  P( X  0)  q 3 p  q 4  0,9 3  0,1  0,9 4  0,729.
Значение x2  1 величина X примет тогда, когда игрок израсходует три кольца, т. е. совместно произойдут события: два брошенных кольца не попали, а
третье кольцо попало на колышек.
Вероятность события, состоящего в том, что примет X значение x2  1
найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий:
p2  P( X  1)  q 2 p  0,9 2  0,1  0,081.
На основании рассуждения, аналогичного предыдущему, найдем
p3  P( X  2)  q  p  0,9  0,1  0,09.
Вероятность события, состоящего в том, что примет X значение x3  3 равна
p  0,1 , так
как у игрока останется 3 кольца в том случае, если он попадет на
колышек при бросании первого кольца. Итак,
p4  P( X  3)  q  0,1 .
Сложив, найденные вероятности, получим:
p1  p2  p3  p4  0,729  0,081  0,09  0,1  1.
Свойство закона распределения о сумме вероятностей возможных значений
случайной величины, отраженное формулой (1) выполнено.
Случайная величина X имеет следующий ряд распределения:
1
 xi 0
X :
 pi 0,729 0,081
Задача № 1
2
3
0,09 0,1
Участник телевизионной игры за правильный ответ на каждый заданный ему
вопрос получает пять баллов. Найти ряд распределения случайной величины
X - числа баллов, которое может получить участник телевизионной игры за
правильный ответ на один вопрос, если имеется два варианта ответов на вопрос и этот участник будет отвечать наугад.
Задача № 2
Найти ряд распределения случайной величины X - числа выпадений 6 очков
при одном бросании игральной кости.
Ответ:
 xi 0

X : 5
 pi 6
1
1
.
6
Задача № 3
Найти ряд распределения случайной величины X - числа очков, выпадающих при одном бросании игральной кости.
Задача № 4
Фермер содержит 15 коров, 5 из которых дают удои более, чем по 4500 л молока в год. Случайным образом отобраны три принадлежащие фермеру коровы. Найти закон распределения случайной величины Найти ряд распределения случайной величины X - числа коров, дающих указанные высокие удои
среди отобранных.
Указание для нахождения вероятностей использовать формулу:
C kr C kl  r
P( X  r ) 
C Nl
 xi 0
Ответ: X :  24
 pi 91
1
45
91
2
3
20
91
2
91
.
Задача № 5
Изделия испытывают на прочность при работе в перегрузочных режимах.
Вероятность для каждого изделия пройти испытание равна
5
и не зависит от
6
исходов испытаний других изделий. Испытания заканчиваются сразу же после того, как появиться первое изделие не выдержавшее проверку на прочность. Найти ряд распределения случайной величины X - числа производимых испытаний. Указание сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии: S 
b1
.
1 q
 xi 1
Ответ: X :  1
 pi
 6
2
3 ....
5
62
52
63
......
k .....
5k
.....
6k
.
Тема 6. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Математическое ожидание дискретной случайной величины X , имеющей
конечное число возможных значений, равно
n
M ( X )   xi p i , (1).
i 1
Математическое ожидание дискретной случайной величины X , имеющей
бесконечное число возможных значений, равно

M ( X )   xi p i , (2).
i 1
Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
В формулах (1) и (2): xi - возможные значения случайной величины X , p i вероятности того, что случайная величина X примет эти значения.
Свойства математического ожидания:
1. M (C )  C , (3).
Где C - постоянная величина.
2. M (kX )  kM ( X ) , (4).
Где k =const.
3. M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ), (5).
Где X и Y - две любые случайные величины.
4. M ( XY )  M ( X )  M (Y ) , (6).
Где X и Y - две независимые случайные величины.
Дисперсия случайной величины определяется равенством
D( X )  M  X  M ( X )
2
, (7)
Или равносильным ему равенством
D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X ), (8).
Дисперсию дискретной случайной величины, имеющей конечное число возможных значений, можно вычислять по формуле
n
D ( X )    xi  M ( X )   pi , (9).
2
i 1
Соответствующей формуле (7), или по формуле
n
D( X )   xi2 pi  M 2 ( X ) , (10),
i 1
соответствующей формуле (8).
Свойства дисперсии:
1. D(C )  0; (11)
2. D(kX )  k 2 D( X ); (12)
3. D( X  Y )  D( X )  D(Y ) ; (13), где X и Y - две независимые случайные величины.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно
 ( X )  D( X ), (14).
Задача образец
Дискретная случайная величина X задана рядом распределения
 xi
X :
 pi
1
2
4
0,1
0,3
0,6
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение.
Ответ: M ( X )  3,1; D( X )  1,29 ;  ( X )  1,1358.
определяем количество переменных, для того
i  1 3
чтобы сделать 1..3 надо нажать ":"
p 
i
x 
i
0.1
0.3
0.6
1
2
4
для того, чтобы получить xi надо нажать "[",
и для того, чтобы вставить данные в столбец надо нажимать
",".
3
MX 
 xipi
3
DX 
2
2
 xi pi  MX
i1
i1
MX  3.1
DX  1.29
X  1.136
X  DX
Задача № 2
В результате обработки данных многолетних наблюдений получены распределения случайных величин X и Y числа хозяйств в каждом из двух районов
области, которых урожайность зерновых культур может превысить 35 ц/га.
Для первого района области:
 xi
X :
 p i  xi 
1
2
0,1
4
0,6
.
0,3
Для второго района области:
 yi
Y :
 pi ( y i )
0
1
0,2
0,8
.
Найти математическое ожидание M (Z ) и дисперсию D (Z ) случайной величины Z  X  Y двумя способами:
А) исходя из закона распределения Z ;
Б) используя свойства математического ожидания и дисперсию, отраженные
формулами (5) и (13).
Убедиться в том, что в условиях данной задачи эти свойства независимых
случайных величин выполняются.
Ответ: M ( Z )  3 ; D( Z )  0,52 .
Указание: надо найти все возможные значения случайной величины
Z  X  Y и вероятности P( Z  z k ) этих значений. Для этого надо учесть следующее, что суммой (разностью или произведением) случайных величин X
и Y называется случайная величина , которая принимает все возможные значения вида xi  y j ( xi  y j  или x i  y j ), где i  1,2,..., n; j  1,2,..., m с вероятностями pij того, что случайная величина X примет значение xi , а Y - значение yi
:


pij  P  X  xi Y  y j  .
Если случайные величины X и Y независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий
pij  P( X  xi )  P(Y  y j )  pi  p j .
Для конкретного примера:
1. Z (1)  P( X  1)  P(Y  0) ;
2. Z (2)  P( X  2)  P(Y  0)  P( X  1)  P(Y  1) ;
3. Z (3)  P( X  3)  P(Y  0)  P( X  2)  P(Y  1) ;
4. Z (4)  P( X  3)  P(Y  1) .
Для расчета вероятностей удобно составить следующую таблицу:
yj
xi
1
2
pi
pj
0
1
0,2
0,8
0,1
0,02
0,6
0,12
0,3
3
0,06
0,8
0,48
0,24
Получим следующий ряд распределения
z k
Z :
 pk
1
0,02
2
0,2
3
4
0,54
0,24
Далее необходимо рассчитать M (Z ) и D (Z ) , а также M ( X ), M (Y ), D( X ), D(Y )
и убедиться , что справедливы свойства математического ожидания и дисперсии.
Задача № 3.
Найти математическое ожидание случайной величины Z  2 X  4Y  5 , если
известны математические ожидания M ( X )  3 , M (Y )  5 .
Ответ: 31.
Задача № 4.
Доказать, что M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) .
Задача № 5.
Доказать, что для независимых случайных величин X и Y справедливо равенство: D( X  Y )  D( X )  D(Y ) .
Задача № 6.
Случайные величины X и Y . Известны дисперсии этих величин:
D( X )  5; D(Y )  9 . Найти дисперсию случайной величины Z  2 X  Y  5 .
Ответ: 29.
Задача № 7.
На птицефабрике три терморегулятора работают независимо друг от друга.
Вероятность бесперебойной работы в течении смены первого терморегулятора равна 0,6. для второго и третьего эти вероятности соответственно равны
0,8 и 0,9. найти закон распределения случайной величины X - числа терморегуляторов, бесперебойно работающих в течение смены. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение величины X .
Ответ:
 xi
X :
 pi
0
0,008
1
2
3
0,116
0,444
0,432
M ( X )  2,3; D( X )  0,49;  ( X )  0,7 .
Указание. Рассмотреть события:
B1 , B2 , B3 - в течение смены будут бесперебойно работать соответственно
первый, второй, третий терморегуляторы.
B1 , B2 , B3
- в течение смены не будут бесперебойно работать соответственно
первый, второй, третий терморегуляторы.
C0 - будут сбои в работе трех терморегуляторов;
C1 - бесперебойно будет работать один терморегулятор;
C2 - бесперебойно будут работать два терморегулятора;
C 3 - бесперебойно будут работать три терморегулятора.
Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Непрерывная случайная величина X может быть задана функцией распределения (называемой также интегральной функцией распределения)
или же плотностью распределения вероятностей (называемой
также дифференциальной функцией распределения):
F ( x)  P( X  x)
f ( x)  F ' ( x)
(1)
Равенство (1) имеет место в точках непрерывности функции F (x) .
Зная плотность распределения вероятностей, можно найти функцию распределения:
x
F ( x) 
 f ( x)dx.
(2).

Свойства плотности распределения вероятностей:
1. f ( x)  0;

2.
 f ( x)dx  1 . (3)

В частности, если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a, b), то
b
 f ( x)dx  1 .
a
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение
x   ,   , определяется равенствами:
P(  X   )  F (  )  F ( )

P(  X   )   f ( x)dx . (4).

Задача образец.
Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей:


0 при x  4 ,




f ( x)  2 sin 2 x при
x ,
4
4



0 при x  2

Найти функцию распределения F (x).
Решение. Если x 
x
F ( x) 


x

4
, то f ( x)  0 , следовательно,
f ( x)dx   0  dx  0.


Если

4
x

2
4
x


, то F ( x)   0  dx   2 sin 2 xdx   cos 2 x.
4
Если x 

2
, то



4
2
x



4
2
F ( x)   0  dx   2 sin 2 xdx   0  dx  0  cos 2 x 2  0  1.

4
Таким образом, случайная величина X имеет следующую функцию распределения:


0 при x  4 ,




F ( x)   cos 2 x при  x  ,
4
2



1 при x  2 .

Задача 1.
Случайная величина X задана функцией распределения
0 при x  2,

2
F ( x)  x  2 при 2  x  3
1 при x  3.

Найти:
а) плотность распределения вероятностей f (x) ;
б) графики функций F (x) и f (x) ;
в) по известной функции F (x) и по найденной функции f (x) найти вероятность того, что в результате испытания X примет значения, не меньшее 2,1 и
не большее 2,5.
Дать геометрическую интерпретацию величины найденной вероятности
P(2,1  x  2,5).
0 при x  2,

Ответ: а) f ( x)  2x  2 при
0 при x  3.

2  x  3;
б)
3
0.8
2
0.6
f ( x)
F( x)
0.4
1
0.2
0
2
0
2
4
0
2
3
4
x
x
в) 0,24.
Задача 2.
Случайная величина задана функцией распределения
0 при x   a,

x

F ( x)  b  c  arctg при
a

1 при x  a.
-a  x  a
Найти:
а) постоянные b и с.
б) плотность распределения вероятностей величины X .
1
2
Ответ: а) b  , c 
2

;
0 при x  a,

2a
б) f ( x)   2 2 при
 a  x
0 при x  a.


-a  x  a
Задача 3.
Случайная величина X , все возможные значения которой принадлежат ин
тервалу  0;  , задана в этом интервале плотностью распределения вероятно
3
стей f ( x)  C  sin 3x . Найти коэффициент C .
Ответ: 1,5.
Задача 4.
График плотности распределения вероятностей f (x) случайной величины X
имеет вид, изображенной на рис. 1.
0.6
B
h
C
f (x) 0.3
A
0 -1,5 -0,5
2
0 0,5
D
1,5 2
x
Найти аналитическое выражение для f (x) на всей числовой оси.
0 при x  1,5,
0,5  x  0,75 при - 1,5  x  0,5,

Ответ: f ( x)  0,5 при - 0,5  x  0,5,
 0,5  x  0,75 при 0,5  x  1,5,

0 при x  1,5.
Задача 5.
Случайная величина X подчинена закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на отрезке x   c; c рис.2.
B
0.8
0.6
f ( x)
0.4
0.2
0
A
 10
-c
C
c 10
0
x
1
2
Указание: S ABC  AC  OB  1 ; OB 
2  S 2 1

; AC  2c
AC
2c
x y
  1 , где
a b
1
x
a и b отрезки отсекаемые прямой на осях. Получиться для AB y  (1  ) и
c
c
1
x
для BC y  1   .
c c
Уравнения прямой AC и прямой BC найти из уравнения
Найти:
а) плотность распределения вероятностей этой случайной величины;
c
б) вероятность попадания величины X в интервал  ; c .
2

1  x 
 1 -  при - c  x  c,
ответ: а) f ( x)   c  c 

0 при x  c; x  c.
Задача 6.
Дана функция y 
A
. Найти значение постоянного множителя A , при котоx4
ром эта функция могла бы характеризовать плотность распределения вероятностей случайной величины X при условии, что все возможные значения величины X находятся на луче 2; .
Ответ: y 
Задача 7.
24
.
x4
Дана функция y 
A
. Найти такое значение постоянного множителя A ,
1 x2
при котором эта функция могла бы охарактеризовать плотность распределения вероятностей случайной величины X при условии, что    x   .
Ответ:
1

.
Задача 8.
Случайная величина X на всей числовой оси задана дифференциальной
функцией распределения f ( x) 
1
 1 x2


(закон Коши).
Найти:
а) функцию распределения случайной величины X ;
б) вероятность того, что в результате испытания X примет значение из интервала  1;1 .
Ответ: а) F ( x) 
1

arctg ( x) 
1
1
; б) .
2
2
Тема 8. Нормальный закон распределения
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее плотность распределения вероятностей
f ( x) 

1
 2
e
 x a 2
2 2
   x  ;  0 (1), где
a - математическое ожидание,  -
среднее квадратическое отклонение X .
Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу  ;   ,
равна
 a
  a 
P(  X   )  
  
 (2), где
  
  
x
x2

1
( x) 
e 2 dx -функция Лапласа.

2 0
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины X от ее математического ожидания a не превысит положительного числа  , равна
 
P X  a     2 
 
(3).
Задача 1.
На станке изготавливаются шарики для подшипников. Номинальный диаметр
шарика d 0  5 мм . Фактический размер диаметра шарика вследствие неточности изготовления представляет собой случайную величину X , распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием a  d 0  5 мм и
средним квадратическим отклонением   0,05 мм . Найти :
а) процент шариков для подшипников, которые будут иметь диаметр от 4,8
до 5 мм;
б) процент брака, если известно, что при контроле бракуются все шарики,
диаметр которых отклоняется от номинального больше, чем 0,1 миллиметра.
Указание: для пункта а использовать формулу (2), для пункта б использовать
формулу (3) и рассматривать противоположное событие – шарик не будет забракован.
Ответ: а)  50% ; б)  4,56%.
Задача 2.
Длина початка – один из главных показателей продуктивности кукурузы.
Выявлено, что у растений кукурузы сорта Чиквантино длина початка представляет собой случайную величину X , распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием a  12,6см . У 68,26 % растений кукурузы
этого сорта длина початка принимает значение, принадлежащее интервалу
11.4; 13,8 см. Какой процент растений кукурузы этого сорта имеет длину початка более 14,1 см?
Указание: подставив исходные данные в формулу (2) получим уравнение
 13,8  12,6 
 11,4  12,6 
P11,4  X  13,8  
  
  0,6826 .






Выполнив преобразования находим 
1,2 
  0,3413 .
 
Далее необходимо решить это уравнение в mathcad
x

2
 x

2
1  e
dx

0.3413
0
2 
После 0,3413 нажать одновременно ctrl и = и затем
x
x2

1
e
 2 dx . Затем поставить курсор около x и выпол2 0
нить команду: symbolic  variable  solve.
Получим, что x  1, значит
1,2

 1 и   1,2 .
 14,1  12,6 
 . Это можно
1,2


Далее необходимо определить P(14,1  X  )  ()  
определить в mathcad.
Ответ: 10,56 %.
Задача 3.
Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки X взвешивания подчинены нормальному закону
распределения со средним квадратическим отклонением   20г. найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
Указание: использовать формулу (3).
Ответ: 0,383.
Задача 4.
Настриг шерсти у овец асканийской породы представляет собой случайную
величину X ,распределенную по нормальному закону. Практически все возможные значения этой величины принадлежат интервалу 7; 10,6 кг. Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,95 заключены возможные значения шерсти у овец этой
породы.
Указание: надо использовать закон трех сигм a  3 и потом можно перейти к
системе уравнений
a  3  7,
Решив эту систему найдем a и  и далее можно использовать

a  3  10,6
формулу (3).
a  3 
 7 

 10.6 
v  
7
a  3 
 1 3 

1 3 
M  
решение системы линейных
уравнений
10.6
soln  lsolve( M v)
 8.8 

 0.6 
soln  
a  8.8
  0.6
далее аналогично задаче 3

p  2  

x 








x
2
x
1
2 
 ( e)
2
dx
0.95
2
0
1.9599639845400542355
Тема 9. Уравнение регрессии.
Задача (образец)
Пусть по 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные о
выпуске продукции (х) в тыс. ед. и о расходе условного топлива (у) в тоннах
(графы 1 и 2 таблицы).
Требуется найти уравнение зависимости расхода топлива от выпуска
продукции (или уравнение регрессии у по х) и измерить тесноту зависимости
между ними.
Решение.
А. Рассматривая уравнение регрессии в форме линейной функции вида
y x  a0  a1 x , параметры данного уравнения ( a 0 и a1 ) найдем из системы нор-
мальных уравнений
na0  a1  x   y

2
a0  x  a1  x   xy.
x
y
X2
xy
y x  1,16  0,547 x
Y2
1
2
3
4
5
6
5
4
25
20
3,9
16
6
4
36
24
4,4
16
8
6
64
48
5,5
36
8
5
64
40
5,5
25
10
7
100
70
6,6
49
10
8
100
80
6,6
64
14
8
196
112
8,8
64
20
10
400
200
12,1
100
20
12
400
240
12,1
144
24
16
576
384
14,3
256
125
80
1961
1218
80 (округл 79,8)
770
 x ,  y ,  x ,  xy рассчитаны выше в
Необходимые для решения суммы
2
таблице. Подставляем их в уравнения и решаем систему:
10a0  125a1  80

125a0  1961a1  1218
a1 
n xy   x   y
n x 2   x 
2

10  1218  125  80
10  1961  125
2

2180
 0,547
3985
80
125
 0,547 
 8  6,84  1,16;
10
19
a0  1,16; a1  0,547.
a0  y  a1 x 
Отсюда y x  1,16  0,547 x .
Подставляя в это уравнение последовательно значения х — 5, 6, 8, 10 и т.д.,
получаем выровненные (теоретические) значения результативного показателя y x (графа 5 таблицы).
Поскольку параметры уравнения регрессии являются оценочными, то для
каждого из них рассчитывается средняя ошибка, т.е.  a .
i
Конкретный расчет ошибок для a 0 и a1 , по данным нашего примера приведен
далее (см. с. 83).
Б. Для измерения тесноты зависимости между 'у и ос воспользуемся прежде
всего линейным коэффициентом корреляции (поскольку зависимость рассматривалась линейной):
а) применяем формулу
r
xy  x  y
 x y
.
Находим xy  121,8;
x 2  196,1 . Определяем  x и  y , предварительно найдя

 y  y2  y
r
2
 77  82  3,6

 x  x2  x
2
y
2
x  12,5
y  8;
 770 и y 2  77;
 196,1  12,5 2  6,31.
Отсюда
121,8  12,5  8
 0,96 .
6,31  3,6
Значение линейного коэффициента корреляции r = 0,96 (т.е. близкое к единице) характеризует не только меру тесноты зависимости вариации у от вариации х, но и степень близости этой зависимости к линейной;
Задача 1.
Имеются следующие данные по 8 сахарным заводам о стоимости основных
фондов, (x млн. руб.) и суточной переработке сахарной свеклы, y (тыс. т.):
x
2
8,9
y
2,3
10
2.4
9.9
2.9
10.3
2.9
10
3.7
13
3.7
12.8
4.1
13.1
Найти уравнение регрессии y по x и коэффициент корреляции и построить
графики. Решить в mathcad.
n  8
i  1 8
x 
y 
i
i
2
2.3
2.4
2.9
2.9
3.7
3.7
4.1
8.9
10
9.9
10.3
10
13
12.8
13.1
8

a1 
8
 i
x
i 1
8
  i i
y n
i
i 1

i 1
 8
2 
n
x

 i 
i 1
i  1
8


a1  2.118

x
i

xñðåäíåå
2
i 1

x
i
yñðåäíåå 
y
i
i 1
n
n
xñðåäíåå  3
a0  yñðåäíåå  a1 xñðåäíåå
a1  2.118
n
n
xy
yñðåäíåå  11
y1( x)  a0  a1 x
a0  yñðåäíåå  a1 xñðåäíåå
y1( x)  a0  a1 x
a0  4.645
a0  4.645
n
2
 xi
8
  i i
x y
xyñðåäíåå
i 1
x  0.712
xyñðåäíåå  xñðåäíååyñðåäíåå

x y
n
n
 ( xñðåäíåå)
2
n
2
  y i
xyñðåäíåå  34.075
r 
i 1
x 
y 
i 1
n
 ( yñðåäíåå)
2
14
12
yi
10
y1 ( x) 8
y  1.572
6
4
r  0.96
2
3
4
xi x
Задача 2. По данным 10 предприятий с помощью с помощью коэффициентов
корреляции измерить тесноту зависимости между объемом выпуска продукции (y) млн. руб. и стоимостью основных производственных фондов (x) млн.
руб. и определить уравнение регрессии коэффициент корреляции.
x
1,5
3,9
y
1,8
4,4
2,0
3,8
2,2
3,5
2,3
4,8
2,6
4,3
3,0
7,0
3,1
6,5
3,5
6,1
3,8
8,2
Задача образец.
Задача 1. пусть по 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные о выпуске продукции ( X i ) в тыс. ед. и расходе условно топлива ( Yi ) в
тоннах. Требуется найти уравнение зависимости расходов топлива от выпуска продукции (или уравнение регрессии) и измерить тесноту зависимости
между ними (коэффициент корреляции).
Линейная регрессия
i  0 9
n  10
X 
i
Y 
i
5
6
8
8
10
10
14
20
20
24
4
4
6
5
7
8
8
10
12
16
SD( x)  stdev ( x) 
n
n1
X-Coordinates
Y-Coordinates
Mean
mean( X)  12.5
mean( Y)  8
Median
median( X)  10
Standard dev.
SD( X)  6.654
Variance
2
SD( X)  44.278
Средние значения X и Y
median( Y)  7.5
SD( Y)  3.801
2
SD( Y)  14.444
медиана по X и по Y
среднее квадратическое отклонение по X и по Y
дисперсия
Regression Statistics
Intercept
b  intercept( X Y)
b  1.162
Slope
b  slope( X Y)
b  0.547
0
Correlation coeff.
1
corr( X Y)  0.9578
0
1
коэффициенты уравнения регрессиии
20
15
Y
2
R2
corr( X Y)  0.917
r( X )
Covariance
cvar( X Y)  21.8
Standard Error
stderr( X Y)  1.159
Plots
r( x)  b  b  x
10
5
0
5
10
15
20
25
X
0
1
Определение уравнения нелинейной регрессии и индекса корреляции, определяющего тесноту связи между двумя переменными.
Задача 4.
По данным таблицы (1) исследовать зависимость урожайности зерновых
культур Y от количества осадков X и построить квадратичную регрессионную функцию.
Таблица 1.
Количество осадков,
см.
Урожайность
(ц/га), yi
xi ,
1
25
2
27
3
30
4
35
5
36
6
38
7
39
8
41
9
42
10
45
11
46
12
47
13
50
14
52
15
53
23
24
27
27
32
31
33
35
34
32
29
28
25
24
25
Решить эту задачу в mathcad.
1. Определите количество переменных i, vxi и vyi.
i  0 14
vx 
i
vy 
i
23
24
27
27
32
31
33
35
34
32
29
28
25
24
25
25
27
30
35
36
38
39
41
42
45
46
47
50
52
53
2. Запишите вектор regress(vx,vy,k), который
k  2
в дальнейшем используем для определения
коэффициентов уравнения.
z  regress ( vxvy k)
x  25 60
3. Запишите коэффициент coeffs, где
length(z) определяет длину вектора z.
4. Запишите обратный вектор coeffsT, из которого
определяем коээфициенты уравнения регрессии.
5. Постройте график, на котором будут две кривые,
эспериментальные данные изобразите в виде меток
(квадратиков или крестиков), теоретические - в виде
линии.
T
coeffs  ( 43.932 3.834 0.048 )
coeffs  submatrix( z3length( z)  100)
2
y( x)  43.932  3.834 x  0.048 x