ВВЕДЕНИЕ - Дивногорский лесхоз
реклама
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА Р.Ф. (РОСЛЕСХОЗ) ФБОУ СПО «Дивногорский лесхоз – техникум» ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА Методические указания и контрольные задания для студентов – заочников по специальности 190629 «Техническая эксплуатация подъёмно – транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования в лесном хозяйстве» г. Дивногорск 2011 1 УТВЕРЖДЕНА На заседании цикловой комиссии Председатель_______З.Е.Мишуткина Автор: Бареев А.В. Рецензент: 2 ВВЕДЕНИЕ Задачей контрольной работы по дисциплине «Электротехника и электроника» является подготовка инженеров специальности 190629 «Техническая эксплуатация подъёмно- транспортных, дорожных машин и оборудования в лесном хозяйстве», умеющих выполнять исследования электрических цепей, в том числе определение электрического состояния этих цепей и отображение этого состояния с помощью векторных диаграмм, определение параметров и характеристик как самих цепей, так и отдельных элементов этих цепей. Приведенные в работе теоретические сведения помогут студентам закрепить и углубить теоретические знания, приобрести навыки теоретического анализа электрических цепей. Для самопроверки усвоения материала в конце каждой задачи приведен перечень контрольных вопросов. Составление отчета по контрольной работе Отчет по контрольной работе должен быть выполнен в школьной тетради. Каждая контрольная должна быть выполнена в разных тетрадях (Контрольная работа № 1, Контрольная работа № 2). Запись надо производить четко и аккуратно. Размерность всех рассчитанных величин должна приводиться в системе СИ. Следует пользоваться удобными единицами измерения и экономными сокращенными записями (например, вместо 5000 Гц записывать 5 кГц, вместо 0,0002 Cм записывать 2'10-4 Cм, вместо 0,003 А – 3'10-3 А или 3 мА). Данные для построения расчетных зависимостей следует сводить в таблицы. Выбор и число расчетных точек следует производить сообразно форме рассчитываемой зависимости. Для кривых, обладающих экстремальными значениями, необходимо найти величины абсцисс и ординат этих экстремальных значений. Вблизи экстремальных значений расчетные точки следует брать чаще, чем на участках монотонного изменения. Для границ полосы пропускания должны быть найдены точные значения абсцисс и ординат. Графики и векторные диаграммы должны быть вычерчены на миллиметровой бумаге с указанием масштабов величин. Масштабы должны соответствовать ГОСТу (1см – 1'10n; 2'10n; 5'10n, где n – целое положительное или отрицательное число или ноль). Масштабы, не соответствующие ГОСТу (например, 1 см – 3,2 А, 1 см – 17,6 В и т.п.), не применять. Расчеты линейных цепей гармонического тока вести с применением символического метода. В процессе расчета возникает необходимость присваивать новые буквенно-цифровые обозначения, например, при замене последовательного или параллельного соединения элементов эквивалентным. Не следует применять сложные громоздкие обозначения, типа R3,6,8 или Z1,4,9 и т.п. Необходимо присвоить номер, следующий за наибольшим уже имеющимся, номером буквенноцифрового обозначения, а какие элементы и как входят в новый параметр, покажет формула, по которой он рассчитывается, например: R12 = R3 +R6 +R8. Схемы электрических цепей в отчете должны быть выполнены в соответствии с требованиями ГОСТа и с помощью чертежных инструментов. Методические указания к выполнению Контрольной работы № 1. Методические указания к решению задачи № 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Содержание раздела 1. Обозначение элементов электрических цепей на схемах. 2. Основные величины, характеризующие процессы в электрических цепях (ЭДС, напряжение, ток, энергия, мощность). 3. Общие сведения об элементах электрических цепей. 3.1. Общие сведения о пассивных элементах электрических цепей (резистивные, индуктивные, емкостные элементы). 3.2. Общие сведения об источниках электрической энергии (источники ЭДС, напряжения, тока). 4. Общие сведения о топологии электрических цепей. 5. Виды соединений в электрических цепях. 6. Законы Кирхгофа в электрических цепях. 1. Обозначение элементов электрических цепей на схемах 4 Резистивные элементы (сопротивления и проводимости) обозначаются прямоугольником 4'10 мм. Точно так же обозначаются комплексные сопротивления и проводимости (рис. 1). Рис. 1. резистивные элементы (R и G), комплексные сопротивление (Z) и проводимость (Y) (слева направо) Индуктивные элементы (катушки индуктивности и др.) обозначаются четырьмя полуокружностями радиусом от 1,5 мм до 4,0 мм (рис. 2). Рис. 2. Индуктивный элемент Емкостные элементы (конденсаторы и др.) обозначаются двумя параллельными черточками, символизирующими обкладки конденсатора. Расстояние между черточками 1,5 мм, длина каждой черточки 8 мм (рис. 3). Рис. 3. Емкостный элемент Источники ЭДС и источники тока обозначаются окружностями диаметром 10 мм (рис. 4). Рис. 4. Источник ЭДС (слева), источник тока (справа) 2. Основные величины, характеризующие процессы в электрических цепях Электродвижущая сила (ЭДС). ЭДС – это работа сторонних сил, затрачиваемая на перемещение единичного положительного электрического заряда внутри источника от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом. ЭДС источника численно равна напряжению между его зажимами при холостом ходе (отсутствии тока в источнике). ЭДС – скалярная величина. 5 Направление ЭДС совпадает с направлением тока, возникающего под действием этой ЭДС. ЭДС может изменяться во времени (переменная ЭДС) или не изменяться (постоянная ЭДС). ЭДС измеряется в вольтах (В). Напряжение. Напряжение между двумя точками определяется количеством энергии, затрачиваемой на перемещение единичного положительного электрического заряда из одной точки в другую. Напряжение может изменяться во времени (переменное напряжение) или не изменяться (постоянное напряжение). Напряжение измеряется в вольтах (В). w dw , u lim q dq q 0 где напряжение – u, В; энергия – w, Дж; заряд – q, Кл. Напряжение между двумя точками (например точками а и b) определяется как разность потенциалов между этими точками: u ab a b , где a – потенциал точки а; b – потенциал точки b. Примем за положительное направление напряжения направление от точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом. Очевидно, что u ab u ba . По отношению к напряжению на участке электрической цепи часто используется термин «падение напряжения». Электрический ток. Электрический ток (в практике просто «ток») – это скорость изменения заряда во времени. Термин «сила тока» некорректен. Действительно, выражение «сила скорости изменения заряда» не звучит. Ток может изменяться во времени (переменный ток) или не изменяться (постоянный ток). Ток измеряется в Амперах (А). i lim q t dq , dt q 6 где ток – i, A; заряд – q, Кл; время – t, c. Под термином «ток» понимают: 1) ток как физический процесс; 2) ток как количественная оценка. Ток – скалярная величина. Как функция времени может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Направление отсчета– произвольное. Если , то ток постоянный. Электрическая энергия. При перемещении элементарного заряда dq через участок цепи с напряжением u затрачивается энергия dw u dq ui dt . Энергия, поступившая в рассматриваемый участок промежуток времени t t 2 t1 , определится выражением t2 t2 t1 t1 за W W (t 2 ) (W (t1 ) p dt ui dt . Электрическая мощность. Электрическая мощность (в дальнейшем просто мощность) – это скорость преобразования электрической энергии в другие виды энергии. Выражение «потребляемая мощность» некорректно. Мощность может изменяться во времени (в цепях переменного тока) или не изменяться (в цепях постоянного тока). Мощность измеряется в Ваттах (Вт): dw p dt 3. Общие сведения об элементах электрических цепей Все элементы электрических цепей можно поделить на пассивные и активные. К пассивным элементам относят резистивные, емкостные, индуктивные элементы. К активным элементам относят источники электрической энергии. Рассмотрим элементы поочередно. 7 3.1. Общие сведения о пассивных элементах Резистивный элемент. Это элемент, который безвозвратно забирает электрическую энергию от источников и преобразует ее в другие виды энергии (тепловую, излучения, механическую, химическую и др.). Подчеркнем: безвозвратно преобразует в другие виды, в отличие от реактивных элементов (индуктивных и емкостных), которые лишь обмениваются энергией с источником и между собой. Параметром резистивного элемента можно считать либо 1 сопротивление, измеряемое в Омах (Ом), либо проводимость G – R величину, обратную сопротивлению, измеряемую в Сименсах (См). Основные формулы, характеризующие резистивный элемент, приведены ниже в самом общем виде, то есть для мгновенных значений напряжения, тока, мощности. Каждая формула приведена в трех видах записи. Формула, связывающая напряжение, ток и сопротивление в резистивном элементе (закон Ома). Ниже закон Ома записан тремя разными способами: u u i , R . u Ri , R i Формула, связывающая мощность, напряжение и ток. Формула записана тремя разными способами, но это одна и та же формула: p p u , i . p u i , i u Формула, связывающая мощность, ток и сопротивление. Формула записана тремя разными способами, но это одна и та же формула: p p R 2 . p R i2 , , i i R Формула, связывающая мощность, напряжение и проводимость. Формула записана тремя разными способами, но это одна и та же формула: p p g 2. u , p g u2 , g u 8 Энергия, потребленная (безвозвратно) резистивным элементом от источника электрической энергии за промежуток времени от 0 до t равна: t W pdt 0 Процессы, происходящие в резистивном элементе, включенном в электрическую цепь. В резистивном элементе соблюдается закон Ома для постоянных напряжения и тока и для мгновенных значений напряжения и тока. Напряжение и ток в резистивном элементе изменяются синфазно (совпадают по фазе). Примеры графиков синфазного изменения напряжения и тока в резистивном элементе приведены на рис. 5, 6, 7. Толстой линией показан ток в резистивном элементе, а тонкой линией показано напряжение на нем. Рис. 5. Совпадение по форме напряжения и тока в резистивном элементе Рис. 6. Совпадение формы воздействия (напряжения) и формы отклика (тока) в резистивном элементе Рис. 7. Совпадение по фазе напряжения и тока в резистивном элементе 9 Если перемножить графики напряжения и тока резистивного элемента, то получится график мощности этого элемента. Отметим, что этот график не имеет отрицательных значений, то есть всегда лежит только выше горизонтальной оси координат (оси времени). Это потому, что резистивный элемент безвозвратно потребляет энергию от источника. В качестве примера на рис. 8 приведен график мощности резистивного элемента при гармоническом воздействии (при синусоидальном токе). Следует отметить, что частота мощности в этом случае в два раза больше, чем частота тока. То есть пока ток совершает одно полное колебание, мощность совершает два полных колебания. Это можно проверить самостоятельно, перемножив синусоиды тока и напряжения. На рис. 8 показано среднее значение мощности за период. Оно обозначено заглавной буквой Р. Рис. 8. График мощности резистивного элемента Резистивные элементы можно разделить на линейные и нелинейные. При таком разделении сопротивлений для более полной характеристики каждого из них вводятся понятия статического u R сопротивления и динамического сопротивления i du u RД . У линейного элемента статическое сопротивление di i равно динамическому (R=RД=const) и постоянно во всех точках вольтамперной характеристики (ВАХ). У нелинейного элемента этого не наблюдается. Сопротивление нелинейного резистивного элемента в разных точках ВАХ различно. На рис. 9 и 10 показаны ВАХ линейного и нелинейного элементов соответственно. 10 Рис. 9. ВАХ линейного элемента Рис. 10. ВАХ нелинейного элемента Рассматривая рис. 10, можно сделать вывод, что в точке А (как и в других) статическое сопротивление R не равно динамическому R Д. Причем, как видно из рисунка, динамическое сопротивление меньше статического (RRД). Динамическое сопротивление может принимать и отрицательные значения, например на участке АВ вольтамперной характеристики, показанной на рис. 11. Рис. 11. ВАХ с отрицательным динамическим сопротивлением Индуктивный элемент. Индуктивный элемент является реактивным (как и емкостный элемент). Название «реактивный» он получил за то, что в отличие от резистивного не потребляет электрическую энергию безвозвратно. Он ею обменивается с источником и с емкостными элементами, если они есть. 11 На рис. 12 показаны вебер-амперные характеристики линейного и нелинейного индуктивных элементов. Ψ Вебер – амперная характеристика нелинейного элемента 0 Вебер – амперная характеристика линейного элемента Рис. 12. Вебер-амперная характеристики индуктивных элементов Рассмотрим только линейный индуктивный элемент. Индуктивный элемент (обычно катушка индуктивности) имеет свойство накапливать энергию в создаваемом им магнитном поле. Параметром линейного индуктивного элемента является индуктивность: L , i где ψ=wφ – потокосцепление индуктивного элемента; w – число витков индуктивного элемента; φ – магнитный поток, сцепленный с витками индуктивного элемента; i – ток в индуктивном элементе. В индуктивном элементе не соблюдается закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения, что видно из формулы, связывающей напряжение и ток в этом элементе: d di uL L . dt dt ЭДС самоиндукции, возникающая в индуктивном элементе при изменении во времени собственного потокосцепления, численно равна напряжению на нем, но противоположна по знаку ( eL u L ). Формулу, связывающую ток и напряжение в индуктивном элементе, можно записать иначе: t 1 i i(0) u L dt , L0 12 где i (0) – ток в индуктивном элементе в начальный момент времени t=0. Если в начальный момент тока в индуктивном элементе не было, то формула приобретает вид: t 1 i u L dt . L0 Мощность индуктивного элемента: di pL uLi Li dt Энергия, накопленная в индуктивном элементе: t i Li 2 2 . wL pL dt Li di 2 2 L 0 Емкостный элемент. Емкостный элемент является реактивным (как и индуктивный элемент). Название «реактивный» он получил за то, что в отличие от резистивного не потребляет электрическую энергию безвозвратно. Он ею обменивается с источником и с индуктивными элементами, если они есть. На рис. 13 показаны Кулон-вольтные характеристики линейного и нелинейного емкостных элементов. Кулон-вольтная характеристика нелинейного элемента Кулон-вольтная характеристика линейного элемента Рис. 13. Кулон-вольтные характеристики линейного и нелинейного емкостных элементов Рассмотрим только линейный емкостный элемент. Емкостный элемент (обычно конденсатор) имеет свойство накапливать энергию в электрическом поле между обкладками. Параметром линейного емкостного элемента является емкость С. 13 q , uC где q, Кл – электрический заряд, накопленный в электрическом поле между обкладками емкостного элемента; uC, В – напряжение между обкладками емкостного элемента. В емкостном элементе не соблюдается закон Ома для мгновенных значений тока и напряжения. Это видно из формулы, связывающей напряжение и ток в этом элементе: du dq d (CuC ) i C C . dt dt dt Формулу, связывающую напряжение и ток в емкостном элементе, можно записать иначе: t 1 u C u C (0) i dt , C0 где uC(0) – напряжение на емкостном элементе в начальный момент времени t=0. Если в начальный момент напряжение на емкостном элементе было равно нулю, то формула приобретает вид: t 1 u C i dt . C0 Мощность емкостного элемента: du pC uC i CuC C . dt Энергия, накопленная в емкостном элементе: uC 2 t CuC q2 . wC pC dt C uC duC 2 2C 01 C 3.2. Общие сведения об источниках электрической энергии (источники ЭДС, напряжения, тока) Источники электрической энергии. Любой источник электрической энергии преобразует другие виды энергии (механическую, световую, химическую и др.) в электрическую. Ток в источнике электрической энергии направлен от отрицательного 14 вывода к положительному за счет сторонних сил, обусловленных видом энергии, которую источник преобразует в электрическую. Реальный источник электрической энергии при анализе электрических цепей можно представить либо в виде источника напряжения, либо в виде источника тока. Ниже это показано на примере обыкновенной батарейки. Рис. 14. Представление реального источника электрической энергии либо в виде источника напряжения, либо в виде источника тока Способы представления реального источника электрической энергии отличаются друг от друга схемами замещения (расчетными схемами). На рис. 15 реальный источник представлен (замещен) схемой источника напряжения, а на рис. 16 реальный источник представлен (замещен) схемой источника тока. rВН rВН Рис. 15. Схема замещения реального источника напряжения Рис. 16. Схема замещения реального источника тока Как видно из схем на рис. 15 и 16, каждая из схем имеет идеальный источник (напряжения или тока) и собственное внутреннее сопротивление rВН. Если внутреннее сопротивление источника напряжения равно нулю (rВН=0), то получается идеальный источник напряжения (источник ЭДС). Если внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико (rВН=¥), то получается идеальный источник тока (источник задающего тока). Схемы идеальных 15 источника напряжения и идеального источника тока показаны на рис. 17 и 18. Отметим особо, что обозначать идеальный источник тока будем буквой J. Рис. 17. Схема замещения идеального идеального источника напряжения (источника ЭДС) Рис. 18.Схема замещения источника тока Рассматривая схемы замещения, приведенные на рис. 15, 16, 17, 18, можно сделать вывод, что каждая реальная схема замещения включает в себя идеальный источник и внутреннее сопротивление RН. Причем у реального источника напряжения внутреннее сопротивление включено последовательно с идеальным источником напряжения (источником ЭДС), а у реального источника тока внутреннее сопротивление включено параллельно идеальному источнику тока (источнику задающего тока). Обе схемы замещения характеризуются вольтамперными характеристиками (ВАХ) и принципиально равнозначны для внешней цепи (в данном случае для сопротивления нагрузки R Н). ВАХ – это зависимость напряжения на сопротивлении нагрузки от тока в этом сопротивлении [U=f(I)]. Перейти от одной схемы замещения к другой совсем просто. Покажем это на примере перехода от схемы замещения источника постоянного напряжения к схеме замещения источника постоянного тока (от схемы рис. 15 к схеме рис. 16). Схеме, показанной на рис. 15, согласно 2-му закону Кирхгофа, соответствует уравнение: E rBH I U . Поделим все члены этого уравнения на внутреннее сопротивление rВН: 16 r I U E . BH rBH rBH rBH Перепишем полученное уравнение иначе: I КЗ I I BH J , E J - ток короткого замыкания источника где I КЗ rBH напряжения (ток идеального источника тока J), ток J часто называют задающим током; I – ток в сопротивлении нагрузки; IВН – внутренний ток реального источника тока. Как видим, полученное уравнение полностью соответствует схеме реального источника тока, приведенной на рис. 16. Чтобы перейти от схемы реального источника тока к схеме реального источника напряжения, надо проделать обратную операцию – умножить все члены уравнения реального источника тока на внутреннее сопротивление. Проделайте это самостоятельно. 4. Общие сведения о топологии электрических цепей Основными элементами топологии электрических цепей являются узел, ветвь и контур. Узел. Узел – это точка электрической цепи, где сходится не менее трех ветвей. Узел обозначается на схеме жирной точкой ( · ) в том месте, где ветви соединяются между собой. В качестве примера на рис. 19 показаны узлы A, B, C. Узлы в схеме, показанной на рис. 20, определите самостоятельно. Ветвь. Ветвь – это участок электрической цепи с последовательным соединением элементов, расположенный между двумя узлами. Подчеркнем, что именно с последовательным соединением элементов. Например на рис. 19 участок цепи между узлами А и В является ветвью. Ветвью является и участок цепи между узлами В и С. А вот участок цепи между узлами А и С ветвью не является. Сами подумайте почему. В схеме, показанной на рис. 20, имеется 6 ветвей. Определите их самостоятельно. Рис. 19. Фрагмент электрической схемы, содержащий три узла 17 Контур. Контуром называют любой замкнутый участок электрической цепи. Особо следует выделить понятие «независимый контур». Независимый контур – это контур, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие контуры. На рис. 20 приведена схема электрической цепи, в которой можно выделить 7 (семь!) контуров. Они показаны на рис. 21 жирными линиями. Однако независимых контуров в ней можно выделить только 3 (в различных сочетаниях), например контуры 1, 2, 3 или 1, 2, 5 или в другом какомлибо сочетании. Главное чтобы в каждый из выбранных контуров входила хотя бы одна ветвь, которая не входит ни в один другой выбранный контур. Рис. 20. Электрическая схема, содержащая 4 узла, 6 ветвей, и в которой можно выделить 7 контуров Рис. 21. Контуры, которые можно выделить на схеме рис. 20 18 5. Виды соединений в электрических цепях 1. Последовательное соединение. 2. Параллельное соединение. 3. Соединение «многоугольником». 4. Соединение «звездой». Последовательное соединение. Особенностью последовательного соединения является то, что во всех его элементах протекает один и тот же ток, и во всем соединении нет ни одного промежуточного узла. Пример последовательного соединения приведен на рис. 22. Рис. 22. Схема последовательного соединения элементов R1, L, e, С, R2 При последовательном соединении напряжения на элементах складываются. Например для схемы, приведенной на рис. 22: u AB u R1 u L u e uC u R 2 . Особо заметим, что напряжение источника ЭДС направлено противоположно направлению тока, т.к. согласно направлению стрелки источника его положительный вывод находится справа, а отрицательный вывод слева. Напряжение же всегда направлено от плюса к минусу. Сопротивления при последовательном соединении складываются. Это удобнее всего показать на примере последовательного соединения в цепи постоянного тока (рис. 23), где R AB R1 R2 R3 R4 . Рис. 23. Последовательное соединение резисторов R1, R2, R3, R4 19 Параллельное соединение. Особенностью параллельного соединения является то, что ко всем параллельно соединенным ветвям приложено одно и то же напряжение. Пример параллельного соединения приведен на рис. 24. Рис. 24. Схема параллельного соединения 4-х ветвей При параллельном соединении ветвей токи в ветвях складываются. Например для схемы рис. 24 i i1 i2 i3 i4 . Чтобы найти эквивалентное сопротивление при параллельном соединении ветвей, необходимо сначала найти эквивалентную проводимость цепи. Для этого надо сложить проводимости ветвей. Не сопротивления ветвей, а проводимости ветвей. Проводимость – это величина обратная сопротивлению. Размерность проводимости – Сименс (См). Эквивалентное сопротивление находится как величина обратная эквивалентной проводимости. Это удобно показать на примере параллельного соединения в цепи постоянного тока (рис. 25). GЭ G1 G2 G3 G4 , 1 где G Э – эквивалентная (входная) проводимость всей RЭ цепи; 1 1 1 1 G1 , G 2 , G3 , G 4 – проводимости ветвей R1 R2 R3 R4 1 1 1 1 1 или иначе . RЭ R1 R2 R3 R4 Приведя дробь к общему знаменателю и перевернув, имеем: 20 RЭ R1 R2 R3 R4 . R2 R3 R4 R1 R3 R4 R1 R2 R4 R1 R2 R3 Можно эквивалентное сопротивление найти по эквивалентной проводимости: 1 RЭ . GЭ Рис. 25. Параллельное соединение резистивных элементов в цепи постоянного тока Соединение «многоугольник». Простейшим соединением «многоугольник» является соединение «треугольник». Рассмотрим это соединение, используя рис. 26. Рис. 26. Схема, на которой можно выделить 3-и «треугольника» и 3-и «звезды» На схеме рис. 26 нет ни одного параллельного соединения. Последовательное соединение только одно. Это сопротивление R1 и ЭДС Е1. Но при этом можно выделить несколько соединений типа «треугольник». Например сопротивления R2, R4, R5 образуют стороны «треугольника» с вершинами A, B, D. Сопротивления R3, R4, R6 образуют стороны «треугольника» с вершинами B, C, D. Ветвь R1 21 и E1 и ветви R2, R3 тоже являются сторонами «треугольника». Его вершины – A, B, C. В схеме рис. 26 можно выделить еще одно соединение типа «треугольник». Найдите его самостоятельно. Соединение «треугольник» можно преобразовать в эквивалентное соединение «звезда». Формулы преобразования можно найти в учебниках. Соединение «звезда». На схеме рис. 26 можно выделить соединения типа «звезда». Например сопротивления R2, R3, R4 являются лучами «звезды», сходящимися в узле B. Лучи звезды R4, R5, R6 сходятся в узле D. В этой схеме можно еще выделить два соединения типа «звезда». Найдите их самостоятельно. Соединение «звезда» можно преобразовать в эквивалентное соединение «треугольник». Формулы преобразования можно найти в учебниках. 6. Законы Кирхгофа в электрических цепях Первый закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле, равна нулю в каждый момент времени. Алгебраическая сумма – это значит, с учетом направления токов по отношению к узлу (с учетом знака тока). О положительном направлении тока необходимо условиться заранее, например можно принять, что если ток направлен от узла, то ему присваивается знак «плюс», а если к узлу, то «минус». Можно условиться и наоборот: току, направленному от узла, присваивать знак «минус», а току, направленному к узлу, – знак «плюс». Принятое условие необходимо соблюдать до окончания анализа цепи. В самом общем виде 1-й закон Кирхгофа записывается, как показано ниже. m i k 1 K 0, где iK – мгновенное значение тока в k-й ветви; m – число ветвей, сходящихся в узле. Для цепей постоянного тока 1-й закон Кирхгофа записывается в следующей форме: m I k 1 K 0, где I K – значение постоянного тока в k-й ветви. 22 Для цепей гармонического тока 1-й закон Кирхгофа можно записать для комплексов тока: m I K 0, k 1 где I K – комплекс тока в k-й ветви. Второй закон гласит: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех ветвей, входящих в данный контур цепи, равна нулю. n u k 1 K 0, где u K – напряжение на зажимах k-й ветви; n – число ветвей, образующих контур. Чтобы записать уравнение по 2-му закону Кирхгофа, необходимо задаться направлением обхода контура. Если направление обхода контура и направление данного напряжения совпадают, то напряжение записывают со знаком «плюс». Если не совпадают – со знаком «минус». Для цепей постоянного тока 2-й закон Кирхгофа записывается в следующем виде n U i 1 i 0, где U i – постоянное напряжение на i-й ветви, входящей в данный контур; n – число ветвей, входящих в данный контур. Для цепей гармонического тока 2-й закон Кирхгофа можно записать для комплексов напряжений n U i 1 i 0, где U i – комплекс гармонического напряжения на i-й ветви, входящей в данный контур; n – число ветвей, входящих в данный контур. В качестве примера приведены 2 уравнения, записанные по законам Кирхгофа для цепи постоянного тока, схема которой приведена на рис. 20. Одно уравнение по 1-му закону, и одно по 2-му. 23 Приняв за положительное направление тока в ветви направление от узла, для узла 1 имеем: I1 I 4 I 6 0 . Для контура, заключенного между узлами 1, 2, 3 при обходе его по часовой стрелке, согласно 2-му закону Кирхгофа, можно записать: E1 E4 R1 I1 R3 I 3 R4 I 4 . ЭДС E4 имеет в уравнении знак минус потому, что ее направление в контуре не совпадает (противоположно) принятому направлению обхода контура. Напряжение на резисторе R1 имеет знак «минус» потому, что направление тока в нем, а следовательно, и напряжение, не совпадают с направлением обхода контура. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ТОЛЬКО ОДИН ИСТОЧНИК ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Цель работы: научиться рассчитывать токи и напряжения методом свертывания схемы в цепях постоянного тока, содержащих только один источник электрической энергии, а также делать проверку правильности решения методом баланса мощности. Краткие теоретические сведения Метод свертывания схем (метод эквивалентных преобразований) может быть применен, если в цепи имеется только один источник электрической энергии. Метод заключается в последовательном упрощении схемы путем замены параллельных, последовательных и других («звезда», «треугольник», «многоугольник») соединений сопротивлений эквивалентными сопротивлениями. В конечном виде схема представляет собой контур, состоящий только из источника и эквивалентного сопротивления. По этой схеме находится входной ток. Для нахождения остальных токов и напряжений преобразования ведут в обратном порядке, разворачивая схему. При анализе электрических цепей используются законы Ома и Кирхгофа. ! Пример расчета подобной схемы приведен после контрольных вопросов. 24 Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте законы Кирхгофа: 1) для цепей постоянного тока; 2) для цепей переменного тока (для цепей гармонического тока дополнительно в комплексной форме). 2. Сколько всего уравнений по законам Кирхгофа необходимо записать при расчете электрической цепи? Из них по 1-му закону? По 2-му закону? 3. Запишите систему уравнений по законам Кирхгофа для предложенной преподавателем схемы. 4. Что понимают под свертыванием схемы? Опишите последовательность свертывания схемы. 5. Как находят токи в ветвях после того, как схема свернута? 6. Пусть в схеме, приведенной на рис.1, даны все сопротивления и известны все токи. Запишите уравнения, по которым можно определить напряжения между указанными преподавателем точками. 7. Как можно проверить правильность расчета цепи? ! Пример использования метода свертывания схемы (метода эквивалентных преобразований) Для схемы, приведенной на рис. 6, необходимо: 1. Рассчитать все токи в ветвях. 2. Проверить выполнимость 1-го закона Кирхгофа для рассчитанной схемы. 3. Рассчитать напряжение на каждом сопротивлении схемы. 4. Проверить выполнимость 2-го закона Кирхгофа для внешнего контура рассчитанной схемы. 5. Рассчитать напряжения между точками 2–4 (U2-4) и 4–5 (U4-5). 6. Проверить правильность расчета, используя уравнение баланса мощностей. Рис. 6 25 Пусть в схеме известны все сопротивления резисторов и входное напряжение U: R1=5 Ом, R5=25 Ом, R2=12 Ом, R6=8 Ом, R3=10 Ом, R7=14 Ом, R4=20 Ом, U =80 В. Проанализируем схему. Схема имеет 3 ветви и 2 узла. На ней можно выделить 3 контура. Ветви: 1-я состоит из источника ЭДС E и резисторов R1, R2, R7. 2-я состоит из резисторов R3 и R5. 3-я состоит из резисторов R4 и R6. Узлы: точки 3 и 6. Контуры (рис. 7): 1-й образован источником ЭДС E и резисторами R1, R2, R3, R5, R7. 2-й образован резисторами R3, R4, R6, R5. 3-й (внешний контур) образован источником ЭДС Е и резисторами R1, R2, R4, R6 и R7. Направление токов I1, I2, I3 в схеме определяется направлением ЭДС источника. Эти направления показаны стрелками на схеме рис. 6. 26 1. Рассчитаем токи в ветвях. 1.1. Для этого сначала преобразуем схему к виду, показанному на рис. 7. На этой схеме последовательно соединенные сопротивления каждой отдельной ветви заменены эквивалентными сопротивлениями. Обратите внимание на то, какие номера присвоены эквивалентным сопротивлениям! R8 = R1 + R2 = 5+12 = 17 Ом; R9 = R3 + R5 = 10+25 = 35 Ом; R10 = R4 + R6 = 20+8 = 28 Ом. Обратите внимание на оставшиеся в схеме контрольные точки. Их номера менять не будем. Рис. 7. Схема, полученная упрощением схемы рис. 6 1.2. Приведем схему к еще более простому виду, заменив параллельно соединенные сопротивления R9 и R10 эквивалентным (обратите внимание на номер эквивалентного сопротивления). Как известно, при параллельном соединении ветвей складываются проводимости ветвей. 1 1 1 или иначе R11 R9 R10 RR 35 28 R11 9 10 15,56 Ом . R9 R10 35 28 Получилась схема, показанная на рис. 8. Отметим, что через все три оставшиеся сопротивления (R7, R8, R11) идет один и тот же ток I1. 27 Рис. 8. Схема, полученная упрощением схемы рис. 7 1.3. Последнее упрощение схемы. Заменим последовательно соединенные сопротивления R7, R8, R11, эквивалентным сопротивлением R12 и получим полностью свернутую схему, показанную на рис. 9. Сопротивление R12 в данном случае является входным сопротивлением электрической цепи. R12 R7 R8 R11 14 17 15,56 46,56 Ом . Рис. 9. Схема, полученная упрощением схемы рис. 8 1.4. Находим ток I1 (входной ток) U 80 I1 1,718 A . R12 46,56 1.5. Определяем токи I1 и I2. Для этого сначала необходимо узнать напряжение на параллельном участке схемы (напряжение между точками 3 и 6 (U3-6)). Оно необходимо для нахождения токов I2 и I3. Для этого возвращаемся к схеме рис. 8. U 36 R11 I1 15,56 1,718 26,74 B . Находим токи I2 и I3. Для этого возвращаемся к схеме рис. 7. 28 I2 U 36 26,74 0,7639 A , R9 35 U 26,74 I 3 36 0,955 A R10 28 2. Проверим, выполняется ли 1-й закон Кирхгофа в данной цепи. Согласно этому закону I1 I 2 I 3 0,7639 0,955 1,719 A . Поскольку ток I1 равен сумме токов I2 и I3 (1,718 А » 1,719 А), то можно считать, что 1-й закон Кирхгофа в данной цепи выполняется. 3. Определяем напряжения на резисторах. Согласно закону Ома напряжение на резисторе равно произведению его сопротивления на ток в этом сопротивлении. U R1 R1 I1 5 1,718 8,595 B ; U R 2 R2 I1 12 1,718 20,62 B ; U R3 R3 I 2 10 0,7639 7,639 B ; U R 4 R4 I 3 20 0,955 19,1 B ; U R5 R5 I 2 25 0,7639 19,1 B U R 6 R6 I 3 8 0,955 7,64 B U R 7 R7 I1 14 1,718 24,05 B 4. Проверим, выполняется ли 2-й закон Кирхгофа для внешнего контура. Согласно этому закону для внешнего контура E U R1 U R 2 U R 4 U R 6 U R 7 8,595 20,62 19,1 7,64 24,05 80 B . Поскольку сумма напряжений на резисторах, входящих в контур, равна ЭДС источника, можно считать, что 2-й закон Кирхгофа в данной цепи выполняется. 5. Найдем напряжения между заданными точками (U2-4 и U4-5). Чтобы найти напряжение между точками 2 и 4 (U2-4) вернемся к схеме рис. 6 и воспользуемся 2-м законом Кирхгофа для контура, 29 образованного напряжениями на резисторах R2 и R3 (UR2, UR3 соответственно) и U2-4. Обход контура выберем по часовой стрелке. Напряжения UR2 и UR3 направлены также как и токи в резисторах R2 и R3 соответственно. Направление напряжения U2-4 показано на рис. 6. U R 2 U R3 U 24 0 или иначе U 24 U R 2 U R3 20,62 7,639 28,26 B , где U R 2 R2 I1 , U R3 R3 I 2 . Напряжение U4-5. Согласно 2-му закону Кирхгофа для контура, состоящего из напряжений UR3, UR4 и U4-5 (направление обхода контура по часовой стрелке), имеем: U R3 U R 4 U 45 0 или иначе U 45 U R3 U R 4 7,639 19,1 11,46 B , где U R 4 R4 I 3 . 6. Проверка балансом мощностей. Баланс мощностей означает, что мощность источников электрической цепи равна мощности потребителей цепи в каждый момент времени. В данном случае мощность источника ЭДС PE должна быть равна суммарной мощности резисторов PR PE = PR. Мощность источника PE: PE E I1 80 1,718 137,4 Вт. Суммарная мощность резисторов PR: PR R1 I12 R2 I 12 R3 I 22 R4 I 32 R5 I 22 R6 I 32 R7 I12 5 1,718 2 12 1,718 2 10 0,7639 2 20 0,955 2 25 0,7639 2 8 0,955 2 14 14,76 35,42 5,84 18,24 14,59 7,3 41,32 137,5 Вт. Как видим, баланс мощностей выполняется: PE = PR. 137,4 Вт » 137,5 Вт, EI1 R1 I 12 R2 I 12 R3 I 22 R4 I 32 R5 I 22 R6 I 32 R7 I 12 . Следовательно, решение можно считать верным. 30 Методические указания к решению задачи № 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Краткие теоретические сведения При анализе электрических цепей используются различные методы (метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, метод эквивалентного источника и др.), но все эти методы основаны на законах Ома и Кирхгофа. Эти законы являются основными. Последовательность анализа цепи методом законов Кирхгофа следующая. 1. Проанализировать топологию рассчитываемой цепи, то есть определить количество ветвей, количество узлов и количество независимых контуров в ней. Это необходимо для того, чтобы определить, как и сколько уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа необходимо записать для определения токов в ветвях электрической схемы. Количество ветвей будет равно количеству неизвестных токов и, следовательно, количеству уравнений, которое следует записать для анализа цепи. Количество узлов определит количество уравнений, которые надо будет записать по 1-му закону Кирхгофа. Количество независимых контуров определит количество уравнений, которые будет необходимо записать по 2-му закону Кирхгофа. 2. Задать произвольные направления токов в ветвях схемы, чтобы можно было записать уравнения по законам Кирхгофа. Если выбранное направление тока не совпадет с истинным, то в решении этот ток получит знак «минус». 3. Задаться (иначе будет нельзя записать уравнения по законам Кирхгофа) условным положительным направлением тока, то есть принять, какое направление тока считать положительным – к узлу или от узла. Для решения это безразлично, но принятое условие необходимо соблюдать до конца решения задачи. 31 4. Записать по 1-му закону Кирхгофа количество уравнений, равное количеству узлов в схеме минус один. Для этого выбрать узлы, для которых будут записаны уравнения. 5. Недостающие до необходимого количества уравнения (см. п. 1) записать по 2-му закону Кирхгофа для независимых контуров. Для этого необходимо задаться направлением обхода каждого контура (по часовой стрелке или против часовой стрелки). 6. Решить полученную систему уравнений. Проверить выполняется ли 1-й закон Кирхгофа в узлах схемы. 7. Определить напряжения на резисторах. Проверить выполняется ли 2-й закон Кирхгофа в контурах схемы. 8. Составить баланс мощностей и проверить правильность решения. Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте законы Кирхгофа: 1.1) для цепей постоянного тока; 1.2) для цепей переменного тока (для цепей гармонического тока дополнительно в комплексной форме). 2. Сколько всего уравнений по законам Кирхгофа необходимо записать при расчете электрической цепи, если известны параметры всех источников и сопротивлений? Из них по 1-му закону? По 2-му закону? 3. Запишите систему уравнений по законам Кирхгофа для предложенной преподавателем схемы. 4. В чем сущность метода контурных токов? 5. Сколько уравнений необходимо записать при анализе цепи методом контурных токов? По какому закону их следует записывать? 6. В чем преимущество метода контурных токов перед методом законов Кирхгофа? 7. Запишите уравнения по методу контурных токов для схемы, указанной преподавателем. 8. Как, рассчитав значения контурных токов, определить по ним токи в ветвях? 9. В чем сущность метода узловых потенциалов (межузловых напряжений)? 10. Сколько уравнений необходимо записать при анализе цепи методом узловых напряжений? По какому закону их следует записывать? 32 11. Как, рассчитав значения узловых потенциалов, определить по ним токи в ветвях? 12. В чем сущность метода эквивалентного генератора (источника)? 13. Какими параметрами характеризуется эквивалентный генератор? 14. Как определяется ЭДС эквивалентного генератора? 15. Как определяется внутреннее сопротивление эквивалентного генератора? 16. Как определить ток в искомой ветви при известных параметрах эквивалентного генератора (источника)? 17. В чем сущность метода наложения? 18. Как можно проверить правильность расчета цепи? 19. Как можно преобразовать источник ЭДС в эквивалентный источник тока? 20. Как можно преобразовать источник тока в эквивалентный источник ЭДС? ! Пример анализа электрической цепи методом законов Кирхгофа Пусть надо рассчитать токи в ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 13. Рис. 13. Схема, содержащая 3 ветви, 2 узла и 2 независимых контура Решение Решение выполним согласно описанной выше методике (п. 1–7). 1. Проанализируем схему. Схема имеет 3 ветви и 2 узла. На ней можно выделить 3 контура, но только 2 из них могут быть независимыми. Ветви: 1-я состоит из резистора R1, 33 Узлы: 2-я состоит из резистора R2 и источника ЭДС Е2, 3-я состоит из резистора R3 и источника ЭДС Е3. точки А и В на схеме, то есть схема имеет всего 2 узла. Контуры: ЭДС Е2, 1-й образован резисторами R1, R2 и источником 2-й образован резисторами R2. R3 и источниками ЭДС Е2 и Е3, 3-й образован резисторами R1, R3 и источником ЭДС Е3. Подведем итоги. В схеме всего 3 ветви. Значит всего надо записать 3 уравнения по законам Кирхгофа. Из них по 1-му закону только одно (на одно меньше, чем количество узлов). Недостающие 2 уравнения запишем по 2-му закону Кирхгофа для любых двух независимых контуров. 2. Зададимся направлениями токов в ветвях, как показано на схеме рис. 13. 3. Положительными будем считать токи, направленные к узлу. 4. Запишем по 1-му закону Кирхгофа уравнение для узла А: I1 I 2 I 3 0 . 5. Запишем два уравнения по 2-му закону Кирхгофа для двух независимых контуров (обход контуров осуществим по часовой стрелке): E2 R1 I1 R2 I 2 , E2 E3 R2 I 2 R3 I 3 . 6. Получили систему 3-х уравнений: I1 I 2 I 3 0 , E2 R1 I1 R2 I 2 , E2 E3 R2 I 2 R3 I 3 . Подставляем значения ЭДС и сопротивлений и решаем систему: I1 I 2 I 3 0 , 10 5 I 1 8I 2 , 10 40 8I 2 10 I 3 . Решение дает значения токов: 34 I1 2,47 A ; I 2 0,29 A. ; I 3 2,76 A . (Например: Систему можно решить и таким способом, в режиме OnLine на сайте http://www.math-pr.com/index.html) Задача: Найти решение системы уравнений : = x1 + x2 x3 0 - 5 x1 - 8 x2 8 x2 = + 10 x3 = 10 30 Шаг:1 Сформируем расширенную матрицу : 1 1 - 5 1 - 8 0 0 8 - 0 0 1 0 1 3 0 Применяя к расширенной матрице, последовательность элементарных операций стремимся, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей. Шаг:2 Разделим строку 1 на a1,1 = 1 Получим матрицу : 1 - 1 - 0 35 1 5 - 0 8 0 0 1 8 0 1 3 0 Шаг:3 Вычтем из строки 2 строку 1 умноженную на a2,1= 5 Вычитаемая строка : 5 5 5 - - 0 Модифицированная матрица : 1 13 1 0 - 0 8 0 1 5 0 1 0 1 3 0 Шаг:4 Разделим строку 2 на a2,2 = 13 Получим матрицу : 1 1 - 1 - 0 36 0 1 0.38461538461538 0 8 0.76923076923077 10 30 Шаг:5 Вычтем из строки 3 строку 2 умноженную на a3,2= Вычитаемая строка : 0 8 3.0769230769231 8 6.1538461538462 Модифицированная матрица : 1 1 - 1 0 0 1 0.38461538461538 0.76923076923077 13.076923076 36.153846153 0 0 923 846 Шаг:6 Разделим строку 3 на 13.0769230 a3,3 = 76923 Получим матрицу : 1 1 - 0 1 1 0 - 37 0.38461538461538 0 0 0.76923076923077 2.7647058823 1 529 Шаг:7 Вычтем из строки 2 строку 3 умноженную на a2,3= 0.38461538461538 Вычитаемая строка : 0 0 - 0.38461538461538 1.0633484162896 Модифицированная матрица : 1 1 - 1 0 1 0 0 0 1 0 0.294117647 05882 2.764705882 3529 Шаг:8 Вычтем из строки 1 строку 3 умноженную на a1,3= Вычитаемая строка : 0 0 1 1 2.76470588 23529 Модифицированная матрица : 38 1 0 2.7647058823529 0 1 0 0.294117647 05882 0 0 1 1 - 2.764705882 3529 Шаг:9 Вычтем из строки 1 строку 2 умноженную на a1,2= 1 Вычитаемая строка : 0 1 0 - - 0.29411764705882 Модифицированная матрица : 1 0 0 2.4705882352941 0 1 0 0.294117647 05882 0 0 1 2.764705882 3529 Выпишем систему уравнений по последней расширенной матрице: = 2.470588235 x 2941 1 = 0.294117647 x 05882 2 x = 2.764705882 39 3 3529 Заданная система уравнений имеет единственное решение: x = - 2.47058823 52941 1 x = 0.294117647 05882 2 x = 2.76470588 23529 3 Ток I1 получил в решении знак «минус». Это значит, что на самом деле он направлен так, как показано на рис. 14. Одновременно отметим, что ток I2 направлен против своей ЭДС Е2. Рис. 14. Реальные направления токов в схеме Проверяем, выполняется ли 1-й закон Кирхгофа для узла А. Согласно реальным направлениям токов (рис. 14): I1 I 2 I 3 0 . Подставим полученные значения: 2,47 0,29 2,76 0 . Как видим, 1-й закон Кирхгофа для узла А выполняется. 7. Определим напряжения на резисторах U1 R1 I1 5 2,47 12,3 B , направлено к узлу А, U 2 R2 I 2 8 0,29 2,35 B , направлено к узлу А, U 3 R3 I 3 10 2,76 27,6 B , направлено от узла А. 40 Напряжение на резисторе R1 является одновременно и напряжением между узлами А и В. Проверим, соблюдается ли 2-й закон Кирхгофа для внешнего контура. При обходе контура, например, по часовой стрелке имеем: U 1 U 2 E3 , 12,3 27,6 40 . Видим, что 2-й закон Кирхгофа для внешнего контура соблюдается. 8. Составляем баланс мощностей. Согласно уравнению баланса мощностей мощность источников равна мощности потребителей в каждый момент времени. E 2 I 2 E3 I 3 R1 I 12 R2 I 22 R3 I 32 10 0,29 40 2,76 5 2,47 2 8 0,29 2 10 2,76 2 107,5 Вт 107,5 Вт . Баланс мощностей соблюдается. Отметим, что мощность источника ЭДС Е2 записана со знаком «минус». Это потому, что ток в нем направлен против ЭДС, как например у аккумулятора на подзарядке. Методические указания к решению задачи № 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА Краткие теоретические сведения Для расчета последовательной цепи при гармоническом воздействии необходимо четкое представление о таких понятиях как: 1. Гармоническое воздействие (как правило, синусоидальное напряжение). 2. Мгновенное, амплитудное, среднее, действующее (оно же среднеквадратическое) значения гармонической функции. 3. Мгновенная фаза, начальная фаза, сдвиг фаз. 4. Частота (циклическая), круговая (угловая) частота, период. 41 5. Резистивное, индуктивное, емкостное сопротивления при гармоническом воздействии. 6. Комплексное сопротивление Z . 7. Векторная диаграмма. Кроме того, необходимо уметь применять метод комплексных чисел для расчета последовательных цепей гармонического тока. Рассмотрим поочередно указанные выше пункты. 1. Гармоническое воздействие (гармоническая функция). Рассмотрим это воздействие на примере синусоидального напряжения. 1.1. Синусоидальное напряжение можно записать аналитически: u U m sin( wi U ) , где u – мгновенное значение напряжения в момент времени t; U m – амплитудное значение напряжения; w – круговая (угловая) частота; U – начальная фаза напряжения; ( U ) – фаза напряжения в момент времени t. 1.2. Можно представить в виде графика (рис. 1): Рис. 1. графическое представление гармонической функции 1.3. Можно записать в комплексном виде: 42 ju или иначе U UI jU u , U UU U e где U – действующее значение напряжения, U C – действительная составляющая комплекса напряжения, U 2 – мнимая составляющая комплекса напряжения. 1.4. Можно представить в виде вращающегося с частотой w радиус-вектора на комплексной плоскости (рис. 2). В этом случае мгновенное значение напряжения будет равно проекции радиусвектора на мнимую ось. Рис. 2. Изображение синусоидальной величины вращающимся радиус-вектором на комплексной плоскости 2. Мгновенное значение напряжения (см. п.1). Соотношение между амплитудным, действующим (среднеквадратическим) и средним значениями синусоидального напряжения. U 2 U ср U m 0,637 U m U m 0,707 U m , 2 3. О понятиях «начальная фаза», «мгновенная фаза» (см. п.1). Сдвиг фаз j =YU-YI между синусоидальным напряжением и током показан на рис. 3. 43 Рис. 3. График 2-х синусоид, сдвинутых друг относительно друга на угол j 4. Соотношения между частотой (циклической) f, круговой (угловой) w и периодом T: 2 1 1 2f ,c , T ,c T f 5. Для вывода формул сопротивлений и фазовых соотношений в резистивном, индуктивном и емкостном элементах при гармоническом воздействии воспользуемся формулами, связывающими мгновенный ток и мгновенное напряжение при любых воздействиях: du di uL L L , uC C C . u R R iR , dt dt Рассмотрим элементы по очереди. 5.1. Резистивный элемент. Пусть дано напряжение u R U m sin( t U ) . Тогда ток iR uR U m sin( t U ) I m sin( t U ) , R R Um – амплитуда тока. R Напряжение и ток в резистивном элементе совпадают по фазе (YU=YI). Следовательно, угол сдвига фаз равен нулю (φ = ψU-ψI =0). Это показано на векторной диаграмме на рис. 4. где im 44 Рис. 4. Векторная диаграмма тока и напряжения резистивного элемента 5.2. Индуктивный элемент. Пусть дан гармонический ток iL I Lm sin( t I ) . Тогда напряжение на индуктивном элементе d I Lm sin( t I ) di uL L L L L I Lm cos(t I ) U Lm sin( t I ) dt dt 2 Проанализируем полученную формулу. Амплитуда индуктивного напряжения U Lm L I Lm X L I Lm , где, как видно из формулы, произведение L X L имеет размерность сопротивления (Ом) и носит название «индуктивное сопротивление». Мгновенная фаза напряжения U t I больше 2 мгновенной фазы тока ( t I ) на угол , следовательно, 2 напряжение опережает ток на угол (или иначе на 90о). Сдвиг фаз, 2 составляющий 90о, показан на векторной диаграмме на рис. 5. Рис. 5. Векторная диаграмма тока и напряжения индуктивного элемента 45 5.3. Емкостный элемент. Пусть дано гармоническое напряжение . Тогда ток в емкостном элементе где – амплитудное значение емкостного тока. Проанализируем полученную формулу. Амплитуда емкостного напряжения , где, как видно из формулы, величина имеет размерность сопротивления (Ом) и носит название «емкостное сопротивление». Мгновенная фаза тока напряжения ( ) на угол напряжение на угол (или составляющий 90о, показан 6. больше мгновенной фазы , следовательно, ток опережает иначе на 90о). Сдвиг фаз, на векторной диаграмме на рис. 46 Рис. 6. Векторная диаграмма тока и напряжения емкостного элемента 6. Чтобы найти формулу комплексного сопротивления Z, воспользуемся свойствами последовательного соединения элементов и 2-м законом Кирхгофа. В цепи с последовательным соединением элементов, находящейся под гармоническим воздействием, например, в цепи, схема которой приведена на рис. 7, выполняется 2-й закон Кирхгофа, согласно которому при обходе контура, например по часовой стрелке, для мгновенных значений имеем или иначе , где u – мгновенное значение входного напряжения на зажимах цепи RLC; uR – мгновенное значение напряжения на сопротивлении R; uL – мгновенное значение напряжения на индуктивности L; uC – мгновенное значение напряжения на емкости С. Рис. 7. Последовательная цепь RLC 47 Тот же самый закон для цепи RLC, но в комплексной форме записи приведен ниже (согласно схеме на рис. 8). Обратите внимание на обозначения напряжений и тока, как на схеме рис. 8, так и в формулах. Здесь вместо мгновенных значений указаны комплексные значения. где U – комплексное входное напряжение цепи; – комплексное напряжение на резисторе R; – комплексное напряжение на индуктивности L; – комплексное напряжение на емкости С; Z – полное комплексное сопротивление цепи RLC; R – резистивное сопротивление; XL – реактивное индуктивное сопротивление; XС – реактивное емкостное сопротивление; w=2pf – круговая (угловая) частота. Рис. 8. Схема последовательной цепи RLC с обозначением напряжений и тока в комплексной форме записи Комплексное сопротивление Z можно записать в алгебраической или в показательной (в полярных координатах) форме. В алгебраической: , Или В показательной (в полярных координатах): . 48 или Как видно из формулы, полное комплексное сопротивление цепи Z зависит от частоты. 7. Изменение частоты влечет за собой изменение соотношения напряжений UR, UL и UC. Это хорошо видно из векторных диаграмм на комплексной плоскости, приведенных на рис. 9, 10 и 11. Диаграмма на рис. 9 соответствует частоте, меньшей частоты резонанса. Обратите внимание на то, что вектор напряжения на емкости UC больше, чем вектор напряжения на индуктивности UL, а вектор тока I опережает вектор входного напряжения U на угол j. Рис. 9. Векторная диаграмма цепи RLC для частоты, меньшей резонансной Диаграмма на рис. 10 соответствует частоте резонанса. Обратите внимание на равенство векторов напряжений UL и UC, а также на то, что вектор входного напряжения U и вектор тока I совпадают по фазе. 49 Рис. 10. Векторная диаграмма цепи RLC при резонансе Диаграмма на рис. 11 соответствует частоте, большей частоты резонанса. Обратите внимание на то, что вектор напряжения на индуктивности UL больше вектора напряжения на емкости UC, а вектор тока I отстает от вектора входного напряжения U на угол j. Рис. 11. Векторная диаграмма цепи RLC при частоте, большей резонансной Контрольные вопросы и задания 1. Запишите формулу для емкостного сопротивления. Поясните, как она получена. 2. Запишите формулу для индуктивного сопротивления. Поясните, как она получена. 3. Запишите выражение для комплексного сопротивления цепи RLC. 4. Запишите выражение для комплексного сопротивления цепи RC. 5. Запишите выражение для комплексного сопротивления цепи RL. 6. Поясните построение векторной диаграммы цепи RLC. 7. Как изменяется вид векторной диаграммы цепи RLC с увеличением частоты? 8. Как изменяется вид векторной диаграммы цепи RC с увеличением частоты? 50 9. Как изменяется вид векторной диаграммы цепи RL с увеличением частоты? 10. Как изменяется входное сопротивление цепи RLC при изменении частоты от нуля до бесконечности? Почему? 11. Чему равно сопротивление цепи RC при бесконечно большой частоте? Почему? 12. Чему равно сопротивление цепи RC при нулевой частоте? Почему? 13. Чему равно сопротивление цепи RL при бесконечно большой частоте? Почему? 14. Чему равно сопротивление цепи RL при нулевой частоте? Почему? ! Пример решения задачи Пусть дано: Вар. № 41 U 220 Đ 10º R, Ом 80 Таблица 3 С, мкФ 0,9 L, мГн 50 1. Резонансная частота . 2. Рассчитаем сопротивления XL, XC, Z, ток I, напряжения UR, UL, UC для частоты f1. , , . Сопротивление Z в алгебраической форме записи: . Поскольку предстоит операция деления (комплекс напряжения U будем делить на комплекс сопротивления Z), то переведем алгебраическую форму записи сопротивления в показательную форму (в полярной системе координат) . 51 . Ток в цепи: . Напряжение на резистивном элементе совпадает по фазе с током: . Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90о: . Напряжение на емкостном элементе отстает от тока на 90о: . Аналогично рассчитываются сопротивления, токи и напряжения для других частот. Данные расчетов заносим в табл. 4. Таблица 4 Расчетные данные f, Гц Z I UR UL UC f1=0,8f0 601 132Đ-53º 1,67 Đ 134 Đ 63º 316 Đ 491 Đ 63º 153º 27º f2=f0 751 80 2,75 Đ 220 Đ 10º 649 Đ 649 Đ 10º 100º 80º f3=1,2f0 901 118Đ47º 1,86 Đ 149 Đ 526 Đ 365 Đ 37º 37º 53º 127º Построение векторных диаграмм Принятые масштабы: по напряжению – 100 В, в 1 см; по току – 0,5 А, в 1 см. 52 Рис. 12. Векторная диаграмма тока и напряжений последовательной цепи RLC для частоты f1 = 601 Гц Векторные диаграммы для частот f2 и f3 строятся аналогично. Методические указания к решению задачи № 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ Краткие теоретические сведения Трехфазная электрическая система является основной энергетической сетью, снабжающей электрической энергией потребители как бытовые, так и промышленные. Трехфазная система состоит из трех отдельных электрических цепей, которые называются фазами и маркируются буквами А, В, С. Эти цепи так и называются фаза А, фаза В, фаза С. Потребители могут подключаться к такой системе разными способами. 1. Подключение к одной фазе. 2. Подключение одновременно к двум фазам. 3. Подключение одновременно ко всем трем фазам. К одной фазе обычно подключаются бытовые потребители (электрические печи, холодильники, телевизоры и т.п.). Например к фазе А подключается подъезд № 1 жилого дома, к фазе В подъезд № 2, к фазе С подъезд № 3. В сумме получается трехфазная система. Подключение сразу к двум фазам используется редко и его не будем рассматривать. Подключение одновременно к трем фазам делается обычно у мощных потребителей (мощные трехфазные электродвигатели, мощные выпрямители и т.п.). Фазы нагрузки можно включать между собой различными способами: 1. Соединение «звезда». 1.1. Соединение «звезда» с нейтральным проводом. 1.2. Соединение «звезда» без нейтрального провода. 2. Соединение «треугольник». Система напряжений трехфазной сети может быть симметричной (нормальный рабочий режим) или несимметричной 53 (аварийный режим). У симметричной системы напряжения фаз одинаковы по величине и сдвинуты друг относительно друга на 120 градусов. Понятно, что у несимметричной системы это не соблюдается. Нагрузка трехфазной системы тоже может быть симметричной и не симметричной. При симметричной нагрузке сопротивления всех трех фаз одинаковые по модулю и по аргументу (по величине и по характеру). В этом случае для соединения «звезда»: ZA= ZB= ZC=ZФU, а для соединения «треугольник»: ZAB= ZBC= ZCA=ZФD. При несимметричной нагрузке сопротивление хотя бы одной фазы отличается от сопротивления других. К несимметричной нагрузке относится и нагрузка, у которой сопротивления по величине одинаковые (Ом), а по характеру разные (разные углы jФ). При симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке токи во всех фазах будут одинаковы по величине (по модулю) и сдвинуты друг относительно друга на 120 градусов. Кроме того, токи фаз будут сдвинуты относительно напряжений своих фаз на одинаковый угол jФ. 1. Соединение «звезда» 1.1. Соединение «звезда» с нейтральным проводом показано на рис. 1. Такое соединение используется как при симметричной нагрузке, так и при несимметричной, например, при питании жилых домов. Основные соотношения для такой цепи: – только при симметрии напряжений, – согласно 1-му закону Кирхгофа, – согласно 2-му закону Кирхгофа, – согласно 2-му закону Кирхгофа, – согласно 2-му закону Кирхгофа, где IA, IB, IC – фазные токи, IN – ток в нейтральном проводе, UAB, UBC, UCA – линейные напряжения, UA, UB, UC – фазные напряжения. 54 Рис. 1. Схема соединения «звезда» с нейтральным проводом Следует обратить внимание на то, что, если электрическая сеть имеет соединение «звезда» с нейтральным проводом, потребитель может включать свое оборудование либо на фазное, либо на линейное напряжение, которое в раз больше фазного. 1.2. Соединение «звезда» без нейтрального провода используется только при симметрии нагрузки. У этого соединения (рис. 2) отсутствует нейтральный провод и при несимметрии нагрузки соотношение не соблюдается даже при симметрии линейных напряжений. Именно поэтому такое соединение используется только при симметрии нагрузки. Остальные соотношения, приведенные для соединения «звезда» с нейтральным проводом, соблюдаются, если учесть отсутствие нейтрального провода и, следовательно, тока в нем. 55 Рис. 2. Схема соединения «звезда» без нейтрального провода Отметим, что в соединении «звезда» с нейтральным проводом можно выделить 6 напряжений (3 фазных и 3 линейных) и 4 тока (3 фазных и ток в нейтральном проводе). При соединении «звезда» без нейтрального провода получим 6 напряжений и 3 тока. Это показано на схемах (рис. 1 и 2). 2. Соединение «треугольник» Это соединение используется как при симметричной нагрузке, так и при несимметричной. При соединении «треугольник» можно выделить 6 токов (3 фазных и 3 линейных) и 3 линейных напряжения (они же в данном случае являются фазными). Это показано на схеме (рис. 3). Рис. 3. Схема соединения «треугольник» Основные соотношения при соединении «треугольник»: , – согласно 1-му закону Кирхгофа, 56 – согласно 1-му закону Кирхгофа, – согласно 1-му закону Кирхгофа, – только при симметрии. ! Примеры расчетов приведены после контрольных вопросов. Контрольные вопросы и задания 1. Укажите на схемах 1…3 фазы. 2. Покажите, что нагрузка на схеме, показанной на рис. 1 и 2, соединена «звездой». 3. Покажите, что нагрузка на схеме, показанной на рис. 3, соединена «треугольником». 4. Начертите векторную диаграмму токов и напряжений симметричной цепи при соединении «звезда». 5. Докажите, что при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе в соединении «звезда с нейтральным проводом» будет отсутствовать. 6. Имеется симметричная система линейных напряжений. К ней подключена несимметричная трехфазная нагрузка по схеме «звезда с нейтральным проводом». Начертите векторную диаграмму токов и напряжений для такой цепи. 7. Начертите векторную диаграмму токов и напряжений симметричной цепи при соединении «треугольник». 8. Начертите векторную диаграмму токов и напряжений несимметричной цепи при соединении «треугольник». Система напряжений симметричная. 9. Как доказать, что в симметричной цепи при соединении «звезда» линейное напряжение больше фазного напряжения в раз. 10. Как доказать, что в симметричной цепи линейный ток при соединении «треугольник» больше фазного тока в раз. 11. Имеется цепь с симметричной системой линейных напряжений. К этой системе сначала подключили сопротивления нагрузки по схеме «звезда». Потом те же самые сопротивления подключили к той же системе напряжений по схеме «треугольник». 57 Каковы будут соотношения модулей фазных и линейных токов при таких соединениях? ! Примеры расчета трехфазной цепи при соединении «звезда с нейтральным проводом» Пример 1. Симметричная система напряжений и симметричная нагрузка. Пусть, например, заданы следующие условия, показанные в табл. 9. Система напряжений симметричная. Частота сети f=50 Гц. Сопротивления всех фаз одинаковые (нагрузка симметричная). Схема показана на рис. 1. Таблица 9 ZФ Вар. Напряжение фазы № А R, Ом L, мГн C, мкФ 41 uA=311sin(wt+10º) 50 80 Требуется рассчитать токи в фазах, построить векторную диаграмму и определить активную, реактивную и полную мощности. Решение 1. Запишем систему действующих значений напряжений фаз в комплексной форме. Учтем, что действующее значение синусоидального напряжения связано с амплитудным значением формулой . Тогда модуль комплексного напряжения фазы А (а также модули напряжений фаз В и С) будет равен . Кроме того, учтем, что напряжения фаз сдвинуты друг относительно друга на угол 120º. Причем напряжение фазы В отстает от напряжения фазы А на 120º, а напряжение фазы С отстает от напряжения фазы В также на 120º. , , . 58 Векторная на рис. 4. диаграмма напряжений показана Рис. 4. Векторная диаграмма фазных (UA, UB, UC) и линейных (UAB, UBC, UCA) напряжений соединения «звезда» с нейтральным проводом, соответствующая заданным выше условиям 2. Определим комплексное сопротивление фазы. Для этого сначала найдем реактивное индуктивное сопротивление фазы . Комплексное сопротивление фазы в алгебраической форме . Комплексное сопротивление фазы в показательной (в полярных координатах) форме . 3. Найдем токи в фазах , , . 4. Проверим, действительно ли при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке фаз, ток в нейтральном проводе 59 будет равен нулю. Для этого переведем фазные токи из показательной формы записи в алгебраическую. Это делаем потому, что предстоит операция сложения, а ее удобнее выполнять, если слагаемые представлены в алгебраической форме. , , . Ток в нейтральном проводе равен сумме токов фаз: . Как видим, при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе равен нулю (и надобность в нейтральном проводе отпадает). Небольшая погрешность связана с неточностью расчетов. На рис. 5 показана векторная диаграмма фазных напряжений и токов, соответствующая данному случаю. Векторы линейных напряжений не показаны. Рис. 5. Векторная диаграмма токов и напряжений симметричной трехфазной цепи при соединении фаз «звездой», соответствующая вышеприведенным расчетам Мощности. Поскольку система симметричная, то мощности всех фаз одинаковы, и достаточно рассчитать активную и реактивную 60 мощности одной фазы. Мощность трехфазной системы будет в три раза (по числу фаз) больше. Найдем, например, комплексную мощность фазы А (можно было бы найти мощность фазы В или фазы С – мощности фаз одинаковы). Реактивная мощность Q=U∙ I ∙sinφ Активная мощность P=U∙I∙cosφ С полной мощностью S активная связана соотношением P=S∙cosφ S A S Ф S Ф Ф P jQ U A I A 220103,9316,7 864,626,7 864,6 cos 26,7 j864,6 sin 26,7 772 j388 где SФ=864,6 ВА – модуль (величина) полной мощности фазы; j = 26,7º – аргумент (угол) полной мощности фазы; I A сопряженный комплекс тока фазы А; P 772 Вт – активная мощность фазы А; – реактивная мощность фазы А. Мощность всей трехфазной системы: S звезды 3S Ф S звезды звезды Рзвезды jQзвезды 3 864,626,7 259426,7 2317 j1165 где S звезды 2594 А – модуль полной мощности системы; звезды 26,7 – аргумент полной мощности системы; Рзвезды 2317 Вт – активная мощность трехфазной системы; Qзвезды 1165 ВАр – реактивная мощность трехфазной системы. Пример 2. Симметричная система напряжений и несимметричная нагрузка при соединении «звезда». Пусть, например, заданы следующие условия, показанные в табл. 10. Система напряжений симметричная. Частота сети f=50 Гц. Сопротивления фаз разное (нагрузка несимметричная). Схема показана на рис. 1. Таблица 10 Вар. Линейное Сопротивления фаз 61 № 41 напряжение, В UЛ=380 В ZА 15 Đ 20 ZВ 10 Đ 10 ZС 20Đ-30 При симметричной системе напряжений при соединении «звезда» линейное напряжение следовательно, фазное напряжение больше фазного в раз, . Симметричная система напряжений (начальная фаза напряжения UA принята равной нулю): , , . Фазные токи: , , . Ток в нейтральном проводе: Мощности фаз: , , , где – сопряженные комплексы токов фаз. Суммарная мощность системы: 62 где – модуль полной мощности системы; – аргумент полной мощности системы; – суммарная активная мощность системы; – суммарная реактивная мощность системы. Векторная диаграмма напряжений и рассчитанных токов приведена на рис. 6. Ток в нейтральном проводе показан как сумма фазных токов ( не показаны. ). Линейные напряжения на диаграмме Рис. 6. Векторная диаграмма напряжений и токов соединения «звезда» при симметрии напряжений и несимметричной нагрузке, соответствующая вышеприведенным расчетам ! Пример «треугольник» расчета трехфазной цепи при соединении Симметричная система напряжений и несимметричная нагрузка. Пусть, например, заданы следующие условия, показанные в табл. 11. Частота сети f=50 Гц. Схема показана на рис. 3. 63 Таблица 11 Сопротивления фаз Вар. Напряжение фазы № АВ ZАВ ZВС ZСА 41 UAВ=220 В 15Đ25 20Đ-10 25Đ20 Симметричная система напряжений (начальная фаза напряжения UAВ принята равной нулю): , , . Фазные токи: , , . Линейные токи: , , . Мощности фаз: , , , где – сопряженные комплексы токов фаз. Суммарная мощность системы: 64 где – суммарная активная мощность системы; – суммарная реактивная мощность системы; – модуль полной мощности системы; – аргумент полной мощности системы. Векторная диаграмма напряжений и рассчитанных токов приведена на рис. 7. Рис. 7. Векторная диаграмма напряжений и токов при симметричной системе напряжений и несимметричной нагрузке, соответствующая вышеприведенным расчетам 65 Замечание. Обратите внимание на единицы, в которых измеряются мощности (ВА, ВАр, Вт)! Контрольная работа № 1 Задание № 1 1. Для одной из нижеприведенных схем (согласно Вашему варианту) рассчитайте все токи в ветвях. 2. Рассчитайте напряжение на каждом сопротивлении. 3. Рассчитайте напряжения между указанными ниже точками. 3.1. Для вариантов со схемой рис. 1 найдите U1-5 и U5-6. 3.2. Для вариантов со схемой рис. 2 найдите U2-6 и U4-5. 3.3. Для вариантов со схемой рис. 3 найдите U1-6 и U2-3. 3.4. Для вариантов со схемой рис. 4 найдите U3-4 и U4-6. 3.5. Для вариантов со схемой рис. 5 найдите U2-4 и U4-6. 4. Проверьте выполнимость законов Кирхгофа для рассчитанной схемы. 5. Проверьте правильность расчета, используя уравнение баланса мощностей. Параметры элементов цепи заданы в табл. 1. Рис. 1 Рис. 2 66 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 67 Сопротивления R1…R7 даны в Омах Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Схема Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5 U, В 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 50 55 60 65 70 R1 2 3 1 5 4 6 4 8 4 4 5 4 2 4 5 5 5 8 5 9 1 2 7 8 7 R2 3 4 4 7 5 4 2 7 3 3 2 6 5 5 6 9 4 5 8 8 3 5 3 3 8 R3 4 1 6 6 3 3 9 6 6 6 3 5 3 3 8 8 7 4 7 3 2 6 5 5 6 R4 1 2 7 8 7 7 6 9 5 7 1 2 7 8 7 7 6 9 5 7 5 4 2 4 5 R5 3 5 3 3 8 8 7 4 7 3 4 1 6 6 3 3 9 6 6 6 4 1 6 6 3 R6 2 6 5 5 6 9 4 5 8 8 3 4 4 7 5 4 2 7 3 3 3 4 4 7 5 R7 5 4 2 4 5 5 5 8 5 9 2 3 1 5 4 6 4 8 4 4 2 3 1 5 4 Таблица 1 68 Задание № 2 1. Рассчитайте для одной из нижеприведенных схем цепей постоянного тока (согласно Вашему варианту) все токи и напряжения методом законов Кирхгофа. 2. Проверьте правильность решения методом баланса мощностей. Номер рисунка схемы и параметры элементов цепи для каждого варианта заданы в табл. 1. Рис. 1 Рис. 2 Рис. 4 Рис. 7 Рис. 3 Рис. 5 Рис. 8 Рис. 6 Рис. 9 69 Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12 70 Параметры Параметры источников резисторов Вариант Е1, В Е2, В Е3, В R1, Ом R2, Ом R3, Ом 20 30 3 10 2 1 40 20 4 9 4 2 20 30 5 8 6 3 30 40 6 7 8 4 45 30 7 6 10 5 50 40 8 5 4 6 30 50 9 4 6 7 50 40 10 3 8 8 40 50 11 5 12 9 70 90 12 8 10 10 20 10 12 8 10 11 10 15 11 5 12 12 20 30 10 3 8 13 10 8 9 4 6 14 20 30 8 5 4 15 30 40 7 6 10 16 30 45 6 7 8 17 40 50 5 8 6 18 50 30 4 9 4 19 40 50 3 10 2 20 50 40 3 10 2 21 90 70 4 9 4 22 10 20 5 8 6 23 15 10 6 7 8 24 30 20 7 6 10 25 Таблица 1 Схема Рис. 1 Рис. 1 Рис. 1 Рис. 2 Рис. 5 Рис. 5 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 9 Рис. 9 Рис. 9 Рис. 10 Рис. 10 Рис. 10 Рис. 11 Рис. 11 Рис. 2 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 3 Рис. 6 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 7 Рис. 7 Задание № 3 1. Начертите одну строку из соответствующими Вашему варианту. табл. 1 с данными, 71 Таблица 1 Вар. № 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 U R, Ом L, мГн С, мкФ 2 100Đ10º 100 Đ 20º 100 Đ 30º 100 Đ 40º 100 Đ 50º 110 Đ 10º 110 Đ 20º 110 Đ 20º 110 Đ 30º 110 Đ 40º 110 Đ 50º 120 Đ 20º 120 Đ 30º 120 Đ 40º 120 Đ 50º 120 Đ 50º 130 Đ 10º 130 Đ 10º 3 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 70 80 90 100 110 120 130 140 4 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 50 55 60 65 70 75 80 5 0,9 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,9 0,85 0,80 19 20 21 22 23 24 25 130 Đ 20º 130 Đ 40º 130 Đ 50º 140 Đ 10º 140 Đ 10º 140 Đ 20º 140 Đ 30º 150 160 70 80 90 100 110 85 90 95 100 65 70 75 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 2. Рассчитайте комплексное сопротивление Z, комплексный ток I, комплексные напряжения на сопротивлении UR, на индуктивности UL и на емкости UC для трех частот (указаны в табл. 2). Резонансную частоту f0 рассчитайте по формуле: 72 . Величины для расчета возьмите из табл. 1. Расчетные данные занесите в табл. 2. Таблица 2 Расчетные данные f Z I UR UL UC f1=0,8f0 f2=f0 f3=1,2f0 3. Постройте векторные диаграммы для указанных выше трех частот. Обязательно укажите принятые при построении масштабы тока и напряжения. Не забывайте, масштабы должны соответствовать ГОСТу ЕСКД! Требования к выполнению контрольной работы указаны в начале данного руководства. Задание № 4 Задание состоит из 2-х частей. Если Ваш вариант нечетный, то выполняете пункты 1.1 и 2.2 данного задания, согласно номеру варианта. Если Ваш вариант четный, то выполняете пункты 1.2 и 2.1 данного задания, согласно номеру варианта. Расчет соединения «звезда» 1.1. Расчет соединения «звезда» при симметрии напряжений и симметричной нагрузке. 1.2. Расчет соединения «звезда» при симметрии напряжений и несимметричной нагрузке. Расчет соединения «треугольник» 2.1. Расчет соединения «треугольник» при симметрии напряжений и симметричной нагрузке. 2.2. Расчет соединения «треугольник» при симметрии напряжений и несимметричной нагрузке. 1.1. Расчет соединения «звезда» при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке. 1. Рассчитайте фазное сопротивление ZФ, токи в фазах и в нейтральном проводе при соединении «звезда» с нейтральным проводом при симметричной системе напряжений и симметричной 73 нагрузке. Частота сети для всех вариантов равна 50 Гц. Данные для расчета возьмите из табл. 1. Обратите внимание на то, в каких единицах заданы R, L и С. Таблица 1 Вар. № 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Напряжение фазы А 2 uA=311sin(wt-10º) uA=311sin(wt-10º) uA=311sin(wt-10º) uA=311sin(wt-10º) uA=311sin(wt-10º) uA=311sin(wt-10º) uA=311sin(wt-10º) uA=311sin(wt-10º) uA=311sin(wt-10º) uA=311sin(wt-10º) uA=180sin(wt+10º) uA=180sin(wt+10º) uA=180sin(wt+10º) uA=180sin(wt+10º) uA=180sin(wt+10º) uA=180sin(wt+10º) uA=180sin(wt+10º) uA=180sin(wt+10º) uA=180sin(wt+10º) uA=180sin(wt+10º) uA=311sin(wt+10º) uA=311sin(wt+10º) uA=311sin(wt+10º) uA=311sin(wt+10º) uA=311sin(wt+10º) R, Ом 3 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 ZФ L, мГн 4 16 32 48 64 80 16 32 48 64 80 16 32 48 64 80 C, мкФ 5 637 318 212 159 127 637 318 212 159 127 - 74 2. Результаты расчета занесите в табл. 2. Напряжения, сопротивления и токи в таблице представьте в показательной форме записи комплексных чисел. Таблица 2 Вар. № Заданные величины UA UB UC ZФ IA Рассчитанные величины IB IC IN 3. По расчетным данным постройте векторную диаграмму токов и напряжений. 4. Рассчитайте активную, реактивную и полную мощности фаз и активную, реактивную и полную мощности всей трехфазной цепи. 1.2. Расчет соединения «звезда» при симметричной системе напряжений и несимметричной нагрузке 1. Рассчитайте токи в фазах и в нейтральном проводе при соединении «звезда» с нейтральным проводом при симметричной системе напряжений и несимметричной нагрузке. Частота сети для всех вариантов равна 50 Гц. Данные для расчета возьмите из табл. 3. Таблица 3 Сопротивления фаз Вар. Линейное № напряжение, В ZА ZВ ZС UЛ=220 10Đ10º 15 Đ 20º 20 Đ -30º 1 UЛ=380 15 Đ -10º 30 Đ 20º 40 Đ 30º 2 UЛ=220 20 Đ 10º 25 Đ -20º 35 Đ 30º 3 UЛ=380 20 Đ 10º 10 Đ 20º 15 Đ -30º 4 UЛ=220 30 Đ -10º 35 Đ 20º 15 Đ 30º 5 UЛ=380 35 Đ 10º 20 Đ -20º 25 Đ 30º 6 UЛ=220 40 Đ 20º 50 Đ 30º 60 Đ -40º 7 UЛ=380 50 Đ 10º 30 Đ -30º 40 Đ 40º 8 UЛ=220 50 Đ 10º 30 Đ -30º 30 Đ 40º 9 UЛ=380 50 Đ 20º 60 Đ 30º 40 Đ -40º 10 UЛ=220 10 Đ 10º 15 Đ 20º 20 Đ -30º 11 75 UЛ=380 UЛ=220 UЛ=380 UЛ=220 UЛ=380 UЛ=220 UЛ=380 UЛ=220 UЛ=380 UЛ=220 UЛ=380 UЛ=220 UЛ=380 UЛ=220 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 15 Đ -10º 20 Đ 10º 20 Đ 10º 30 Đ -10º 35 Đ 10º 40 Đ 20º 50 Đ 10º 50 Đ 10º 50 Đ 20º 10 Đ 10º 20 Đ 10º 30 Đ -10º 40 Đ 20º 50 Đ 10º 30 Đ 20º 25 Đ -20º 10 Đ 20º 35 Đ 20º 20 Đ -20º 50 Đ 30º 30 Đ -30º 30 Đ -30º 60 Đ 30º 15 Đ 20º 25 Đ -20º 35 Đ 20º 50 Đ 30º 30 Đ -30º 40 Đ 30º 35 Đ 30º 15 Đ -30º 15 Đ 30º 25 Đ 30º 60 Đ -40º 40 Đ 40º 30 Đ 40º 40 Đ -40º 20 Đ -30º 35 Đ 30º 15 Đ 30º 60 Đ -40º 40 Đ 40º 2. Заполните табл. 4. Таблица 4 Вар. № Заданные величины UФ ZА ZB ZC Расчетные величины IA IB IC IN 3. По расчетным данным постройте векторную диаграмму токов и напряжений. 4. Рассчитайте активную, реактивную и полную мощности фаз и активную, реактивную и полную мощности всей трехфазной цепи. 2.1. Расчет соединения «треугольник» при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке. 1. Рассчитайте фазные и линейные токи при соединении «треугольник» при симметричной системе напряжений и симметричной нагрузке. Частота сети для всех вариантов равна 50 Гц. Линейные напряжения и параметры сопротивлений фаз для вашего варианта возьмите из табл. 5. 76 Таблица 5 Вар. № 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Напряжение фазы АВ 2 uAB=180sin(wt+10º) uAB=180sin(wt+10º) uAB=180sin(wt+10º) uAB=180sin(wt+10º) uAB=180sin(wt+10º) uAB=180sin(wt+10º) uAB=180sin(wt+10º) uAB=180sin(wt+10º) uAB=180sin(wt+10º) uAB=180sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=156sin(wt+10º) uAB=311sin(wt+10º) uAB=311sin(wt+10º) uAB=311sin(wt+10º) uAB=311sin(wt+10º) uAB=311sin(wt+10º) R, Ом 3 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 ZФ L, мГн 4 16 32 48 64 80 16 32 48 64 80 16 32 48 64 80 C, мкФ 5 637 318 212 159 127 637 318 212 159 127 - 2. Результаты расчета занесите в табл. 6. Напряжения, сопротивления и токи в таблице представьте в показательной форме записи. 77 Таблица 6 Вар. № Задано UЛ ZФ Расчетные величины IAВ IBС ICА IА IВ IС 3. По расчетным данным постройте векторную диаграмму токов и напряжений. 4. Рассчитайте активную, реактивную и полную мощности фаз и активную, реактивную и полную мощности всей трехфазной цепи. 2.2. Расчет соединения «треугольник» при симметричной системе напряжений и несимметричной нагрузке. 1. Рассчитайте токи в фазах и в линейных проводах при соединении «треугольник» при симметричной системе напряжений и несимметричной нагрузке. Частота сети для всех вариантов равна 50 Гц. Данные для расчета возьмите из табл. 7. Таблица 7 Сопротивления фаз Вар. Линейное № напряжение, В ZАВ ZВС ZСА 1 UЛ=110 10Đ10º 15 Đ 20º 20 Đ -30º 2 UЛ=127 20 Đ 10º 25 Đ -20º 35 Đ 30º 3 Uл=220 30 Đ -10º 35 Đ 20º 15 Đ 30º 4 UЛ=380 40 Đ 20º 50 Đ 30º 60 Đ -40º 5 UЛ=110 50 Đ 10º 30 Đ -30º 40 Đ 40º 6 UЛ=127 20 Đ 10º 10 Đ 20º 15 Đ -30º 7 Uл=220 35 Đ 10º 20 Đ -20º 25 Đ 30º 8 UЛ=380 15 Đ -10º 30 Đ 20º 40 Đ 30º 9 UЛ=110 50 Đ 20º 60 Đ 30º 40 Đ -40º 10 UЛ=127 50 Đ 10º 30 Đ -30º 30 Đ 40º 11 Uл=220 10 Đ 10º 15 Đ 20º 20 Đ -30º 12 UЛ=380 15 Đ -10º 30 Đ 20º 40 Đ 30º 13 UЛ=110 20 Đ 10º 25 Đ -20º 35 Đ 30º 14 UЛ=127 20 Đ 10º 10 Đ 20º 15 Đ -30º 15 Uл=220 30 Đ -10º 35 Đ 20º 15 Đ 30º 16 UЛ=380 35 Đ 10º 20 Đ -20º 25 Đ 30º 78 17 18 19 20 21 22 23 24 25 UЛ=110 UЛ=127 Uл=220 UЛ=380 UЛ=110 UЛ=127 Uл=220 UЛ=380 UЛ=110 40 Đ 20º 50 Đ 10º 50 Đ 10º 50 Đ 20º 10 Đ 10º 20 Đ 10º 30 Đ -10º 40 Đ 20º 50 Đ 10º 50 Đ 30º 30 Đ -30º 30 Đ -30º 60 Đ 30º 15 Đ 20º 25 Đ -20º 35 Đ 20º 50 Đ 30º 30 Đ -30º 60 Đ -40º 40 Đ 40º 30 Đ 40º 40 Đ -40º 20 Đ -30º 35 Đ 30º 15 Đ 30º 60 Đ -40º 40 Đ 40º 2. Заданные и расчетные значения внесите в табл. 8. Таблица 8 Расчетные величины Задано Вар UЛ ZAВ ZВС ZСА IAВ IBС ICА IА IВ IС 3. По расчетным данным постройте векторную диаграмму токов и напряжений. 4. Рассчитайте активную, реактивную и полную мощности фаз и активную, реактивную и полную мощности всей трехфазной цепи МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2. Методические указания к решению задачи № 1 (часть 1, часть 2). ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ Краткие теоретические сведения Процесс перехода электрической цепи из одного состояния в другое (включение, выключение, переключение, изменение параметров элементов цепи и др.) называется переходным 79 процессом. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к изменению установившегося режима, называют коммутацией. Длительностью процесса коммутации (включение, выключение и т.д.) обычно пренебрегают, то есть считают, что коммутация осуществляется практически мгновенно. А вот переход электрической цепи из одного установившегося режима в другой не может происходить мгновенно, на это требуется время (теоретически бесконечно большой отрезок времени). Например, включение электродвигателя. После нажатия кнопки «Пуск» (коммутация) двигатель приобретет нужную скорость не сразу. На разгон двигателя потребуется время. Еще пример, после подключения конденсатора к источнику электрической энергии (коммутации) конденсатор не сразу зарядится до напряжения источника. На это потребуется время. Примеров можно привести много и не только из области электротехники, но и из механики и любой другой области. Переходные процессы присущи всем явлениям природы. В данной работе исследуются только простейшие переходные процессы в простейших электрических цепях. Включение цепи RC на постоянное напряжение U Схема исследуемой цепи показана на рис. 1. Рис. 1 Известно, что ток и напряжение идеального конденсатора в самом общем виде связаны следующим соотношением: . Тогда, согласно 2-му закону Кирхгофа, можно для схемы, приведенной на рис. 1, записать уравнение для мгновенных значений напряжений: 80 . Получилось дифференциальное уравнение 1-го порядка: . Решением такого уравнения относительно напряжения на конденсаторе uС при t ³ 0 будет сумма принужденной и свободной составляющих напряжения: . Принужденный режим – это режим, который установится в цепи после того, как закончится переходный процесс (теоретически через бесконечно большой промежуток времени). В математике принужденному режиму соответствует частное решение неоднородного дифференциального уравнения. В данном случае принужденный режим наступит тогда, когда после включения (коммутации) цепи конденсатор зарядится до напряжения источника U и ток в цепи станет равен нулю: . Свободный процесс – это процесс в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии. В математике свободному процессу соответствует общее решение однородного дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение цепи RC: имеет единственный корень , где t = RC – постоянная времени последовательной цепи RC, поэтому свободная составляющая напряжения на емкости uС.СВ содержит только один экспоненциальный член: . Используя полученные выражения для принужденной и свободной составляющих напряжения на конденсаторе, находим напряжение на емкости при имеющихся начальных условиях. Под 81 начальными условиями следует понимать то, что конденсатор мог быть заряжен перед коммутацией до напряжения UС0. Итак, . Для определения постоянной интегрирования А воспользуемся независимым начальным условием (конденсатор заряжен к моменту коммутации до напряжения UС0). В момент коммутации t=0, напряжение на конденсаторе при этом uC(0)=UC0. Уравнение примет вид: , откуда . Таким образом, при заданных начальных условиях напряжение на емкости после коммутации ( t³ 0) определится выражением . Используя формулу, связывающую ток и напряжение на емкости (приведена выше), получим выражение для переходного тока в последовательной цепи RC: . Умножив ток на сопротивление R, получим переходного напряжения uR на сопротивлении R: формулу . Если перед коммутацией конденсатор не был заряжен, то формулы упрощаются: , , . Заметим, что все полученные зависимости экспоненциальные. Графики этих процессов получите в процессе выполнения данной работы. Разряд конденсатора. Переходный процесс разряда конденсатора можно рассматривать как переходный процесс при включении конденсатора на напряжение, равное нулю (U=0). Схема 82 для такого случая показана на рис. 2. Формулы выведите самостоятельно. Рис. 2 Включение цепи RL на постоянное напряжение Схема исследуемой цепи показана на рис. 3. Рис. 3 Известно, что ток и напряжение на индуктивности в самом общем виде связаны следующим соотношением . Тогда, согласно 2-му закону Кирхгофа, можно для схемы, приведенной на рис. 3, записать уравнение для мгновенных значений напряжений: . Получилось дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решением такого уравнения относительно тока в индуктивности i при t ³ 0 будет сумма принужденной и свободной составляющих тока: . В данном случае принужденный режим наступит тогда, когда после включения (коммутации) цепи напряжение на индуктивности 83 станет равно нулю, а ток в цепи перестанет увеличиваться (переходный процесс закончится). . Свободную составляющую тока найдем как общее решение однородного дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение цепи RL имеет единственный корень , где – постоянная времени последовательной цепи RL, поэтому свободная составляющая тока iL.СВ. содержит только один экспоненциальный член: . Используя полученные выражения для принужденной и свободной составляющих тока в индуктивности, находим выражение для тока: . Для определения постоянной интегрирования А воспользуемся независимым начальным условием (ток в цепи до коммутации был равен нулю). В момент коммутации при t=0 ток в индуктивности равен нулю [i(0)=0]. Уравнение примет вид: , откуда . Таким образом, при заданных начальных условиях ток в индуктивности после коммутации (t ³ 0) определится выражением: . Используя формулу, связывающую ток и напряжение на индуктивности (приведена выше), получим выражение для 84 переходного напряжения на индуктивности в последовательной цепи RL: . Умножив ток на сопротивление R, получим переходного напряжения uR на сопротивлении R формулу . Заметим, что все полученные зависимости экспоненциальные. Графики этих процессов получите в процессе выполнения данной работы. ! Примеры выполнения задания приведены после контрольных вопросов. Контрольные вопросы и задания 1. Что следует понимать под термином «коммутация»? 2. Переходный процесс. Что это такое? 3. Сформулируйте законы коммутации. 4. Какую форму имеют графики переходных процессов, полученных в данной работе? 5. Какая форма напряжения получится, если сложить графики напряжений на резисторе и на конденсаторе? 6. Какая форма напряжения получится, если сложить графики напряжений на резисторе и на индуктивности? 7. Как определить постоянную времени цепи RC t по графику переходного напряжения? 8. Как определить постоянную времени цепи RL t по графику переходного напряжения? 9. Как вывести формулу переходного напряжения на конденсаторе? 10. Как вывести формулу переходного напряжения на индуктивности? 11. Как вывести формулу переходного напряжения на резисторе? 12. Как вывести формулу переходного тока? 13. Имеются две электрических цепи RC, собранные по схеме рис. 1, с одинаковым входным напряжением – прямоугольными 85 импульсами, но с разными постоянными времени t. При какой постоянной времени напряжение на конденсаторе по своей форме будет ближе к форме входного напряжения? 14. Имеются две электрических цепи RL, собранные по схеме рис. 3, с одинаковым входным напряжением – прямоугольными импульсами, но с разными постоянными времени t. При какой постоянной времени напряжение на индуктивности по своей форме будет ближе к форме входного напряжения? ! Пример расчета переходного процесса в цепи RC Пусть, например, исходные данные такие, как в табл. 5. Таблица 5 Вариант № 41 U, В 50 R, Ом 1000 C, мкФ 1 Решение 1. Постоянная времени . 2. Поскольку перед коммутацией конденсатор не был заряжен, то формулы переходных напряжений uC(t), uR(t) и тока i(t): , , . 3. Подставляем в формулы известные значения, например для t= 0,5t , , . 86 Аналогично делаются вычисления для других значений времени t. Полученные значения расчетных величин заносим в табл. 6. Таблица 6 Расчетные значения Задано t, с uC, В uR, В i, мА t1=0 0 50 50 Вариант № 41 t2=0,5 t =0,0005 16,7 33,3 30,3 t2=1,0 t =0,001 33,3 16,7 0,0184 t2=2,0 t =0,002 44,4 5,6 0,0068 U=50 В t 48,1 1,9 0,0025 2=3,0 t =0,003 R=1000 Ом t2=4,0 t =0,004 49,4 0,6 0,0009 C=1 мкФ t2=5,0 t =0,005 49,8 0,2 0,0003 4. Графики переходных напряжений uC и uR показаны на рис. 5 и 6. Напряжение uL Напряжение uR 0,00 Рис. 5. Графики переходных напряжений на резисторе и на конденсаторе 87 Рис. 6. График переходного тока в последовательной цепи RC ! Пример расчета переходного процесса в цепи RL Пусть, например, исходные данные такие, как в табл. 7. Вариант № 41 U, В 20 Таблица 7 L, мГн 60 R, Ом 100 Решение 1. Постоянная времени . 2. Формулы переходного тока i(t) и переходных напряжений uL(t), uR(t). , , . 3. Подставляем в формулы известные значения, например для t= 0,5t , , . Аналогично делаются вычисления для других значений времени t. Полученные значения расчетных величин заносим в табл. 8. Таблица 8 Расчетные значения Задано t, с i, А uL, В uR, В t1=0 0 20 0 t =0,5t =0,0003 0,0787 12,1 7,9 2 Вариант № 41 t2=1,0t =0,0006 0,126 7,36 12,6 U=20 В t2=2,0t =0,0012 0,173 2,71 17,3 R=100 Ом t2=3,0t =0,0018 0,19 1,0 19,0 L=60 мГ t2=4,0t =0,0024 0,196 0,37 19,6 t2=5,0t =0,003 0,199 0,13 19,9 88 4. Графики переходных напряжений показаны на рис. 7 и 8. График напряжения uL График напряжения uR Рис. 7. Графики переходных напряжений на индуктивности и на резисторе в последовательной цепи RL Рис. 8. График переходного тока в последовательной цепи RL Методические указания к решению задачи № 2 (часть 1, часть 2). ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ПО ТРАНСФОРМАТОРАМ (Часть 1) И ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ МАШИНАМ (Часть 2 Машины постоянного тока, Машины переменного тока) ТРАНСФОРМАТОРЫ (ЧАСТЬ 1) Трансформатором называют статический электромагнитный аппарат, предназначенный для преобразования переменного тока одного напряжения в переменный ток другого напряжения. 89 Основные понятия и формулы 1. Коэффициент трансформации – это отношение ЭДС обмоток, равное отношению чисел витков обмоток. Приблизительно можно считать коэффициент трансформации равным отношению действующих значений напряжений обмоток: или , где Е1 и Е2 – действующие значения ЭДС первичной и вторичной обмоток; w1 и w2 – числа витков первичной и вторичной обмоток; Фm – амплитудное значение магнитного потока. 2. Действующие значения электродвижущих сил, наводимых в первичной и вторичной обмотках, можно определить по формулам: , . 3. Основных уравнений трансформатора три: уравнение электрического состояния первичной обмотки, уравнение электрического состояния вторичной обмотки и уравнение токов. Уравнение электрического состояния первичной обмотки: , где U1 – комплекс напряжения на первичной обмотке; Е1 – комплекс ЭДС первичной обмотки; I1 – комплекс тока первичной обмотки; r1 – резистивное сопротивление первичной обмотки; X1 – индуктивное сопротивление рассеивания первичной обмотки. Уравнение электрического состояния вторичной обмотки: , где U2 – комплекс напряжения на вторичной обмотке; Е2 – комплекс ЭДС вторичной обмотки; I2 – комплекс тока вторичной обмотки; r2 – резистивное сопротивление вторичной обмотки; 90 X2 – индуктивное сопротивление рассеивания вторичной обмотки. Уравнение токов: , где Ix – ток холостого хода трансформатора. 4. Пренебрегая током холостого хода Ix, можно считать, что токи в обмотках трансформатора обратно пропорциональны числу витков этих обмоток: , где I1 и I2 – действующие значения токов в первичной и вторичной обмотках. 5. КПД трансформатора определяется отношением активных мощностей на выходе и на входе трансформатора: , где Р1 – активная мощность первичной обмотки; Р2 – активная мощность нагрузки трансформатора; Рк – потери мощности короткого замыкания; Рх – потери мощности холостого хода; Рэ1 и Рэ2 – электрические потери мощности в первичной и вторичной обмотках. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ (ЧАСТЬ 2) Электрические машины постоянного тока Основные понятия и формулы 1. Напряжение на зажимах машин постоянного тока. 1.1. Напряжение на зажимах генератора постоянного тока: . 1.2. Напряжение на зажимах двигателя постоянного тока: , где Е – электродвижущая сила обмоток якоря; 91 Rя – сопротивление цепи якоря; I я – ток якоря. 2. Электродвижущая сила обмоток якоря: , где сЕ – электрическая постоянная, конструктивными параметрами машины; Ф – магнитный поток машины, Вб; n – частота вращения якоря, об/мин; N – число активных проводников обмотки якоря; а – число параллельных ветвей обмотки якоря. определяемая 3. Мощности машин постоянного тока. 3.1. Полезная мощность, отдаваемая генератором: . 3.2. Мощность, подводимая к двигателю: , где U – напряжение на зажимах машины, В; I – ток внешней цепи, А. 4. Электромагнитная мощность: . 5. Ток якоря генератора с самовозбуждением: , где Iв – ток возбуждения. 6. Ток двигателя с параллельной обмоткой возбуждения: . 7. Ток якоря двигателя: . 8. Ток в цепи возбуждения: , 92 где Rвоз – суммарное сопротивление цепи возбуждения; Rв – сопротивление обмотки возбуждения; Rр – сопротивление реостата в цепи возбуждения. 9. Сопротивление пускового реостата: , где Iя.ном – номинальный ток якоря. 10. Частота вращения якоря двигателя: . 11. Частота вращения двигателя при идеальном холостом ходе: . 12. Уравнение механической характеристики двигателя: , где М – вращающий момент двигателя, Н×м; сМ – конструктивная постоянная двигателя, определяющая момент двигателя. 13. Вращающий момент двигателя: , где Р2 – мощность на валу двигателя, Вт. 14. Связь между постоянными машины: . 15. Уравнение моментов двигателя: , где Мх – момент холостого хода, Н×м; М2 – противодействующий момент механизма, Н×м; Мдин – динамический момент, Н×м. 93 16. Кратность пускового тока: , где Iп – пусковой ток двигателя, А; Iном – номинальный ток двигателя, А. 17. Кратность пускового момента: , где Мп – пусковой момент двигателя, Н×м; Мном – номинальный момент двигателя, Н×м. Электрические машины переменного тока Основные понятия и формулы Основные понятия и формулы 1. Частота вращения магнитного поля асинхронной машины, об/мин: , где f1 – частота тока питающей цепи; р – число пар полюсов статорной обмотки машины. 2. Частота вращения ротора, об/мин: , где s – скольжение асинхронной машины. 3. Скольжение асинхронной машины: или в процентах . 4. Критическое скольжение (скольжение, при котором машина развивает максимальный момент Мmax): 94 , где l – перегрузочная способность двигателя; sном – скольжение при номинальной нагрузке. 5 Перегрузочная способность двигателя: , где Мmax – максимальный вращающий момент, развиваемый асинхронным двигателем; Мном – номинальный момент двигателя. 6. Частота ЭДС и тока, наводимых в роторе магнитным полем статора: . 7. Действующее значение ЭДС, наводимой в каждой отдельной фазе статора: , где w1 – число витков одной фазы статора; Фm – максимальное значение магнитного потока вращающегося магнитного поля; Ко1 – обмоточный коэффициент статора. 8. Действующее значение ЭДС обмотки неподвижного ротора: , где – частота ЭДС, возбуждаемой неподвижного ротора; w2 – число витков одной фазы ротора; Ко2 – обмоточный коэффициент ротора. в проводниках 9. Действующее значение ЭДС обмотки вращающегося ротора: . КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2. ЗАДАНИЕ № 1 Задание состоит из 2-х частей. 95 1. Исследование переходных процессов в цепи RC. 2. Исследование переходных процессов в цепи RL. ЧАСТЬ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПИ RC 1. Вар. № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ПЕРЕХОДНЫХ Рассчитайте постоянную времени цепи RC согласно Вашему варианту (табл. 1). Таблица 1 U, C, Вар. U, R, Ом R, Ом C, мкФ В мкФ № В 10 500 2 40 800 1,5 14 20 600 2 50 900 1,5 15 30 700 2 10 500 3,0 16 40 800 1 20 600 3,0 17 50 900 1 30 700 3,0 18 10 1000 1,5 40 800 3,0 19 20 1100 0,5 50 900 3,0 20 30 1200 0,5 10 1400 0,5 21 40 1300 0,5 20 1300 0,5 22 50 1400 0,5 30 1200 0,5 23 10 500 1,5 40 1100 0,5 24 20 600 1,5 50 1000 1 25 30 700 1,5 2. Запишите формулы переходных напряжений на конденсаторе и на резисторе, а также формулу переходного тока. График входного напряжения показан на рис. 4. Рис. 4. График входного напряжения 96 3. Рассчитайте значения переходных напряжений на конденсаторе, на резисторе и переходный ток в цепи для пяти моментов времени t1…t5 (указаны в табл. 2). Рассчитанные значения внесите в табл. 2. Таблица 2 Расчетные значения Задано t, с uC uR i Вариант № t1=0 t2=0,5 t = U= t2=1,0 t = t2=2,0 t = R= t2=3,0 t = t2=4,0 t = C= t2=5,0 t = 4. Постройте на одной системе координат и в одинаковом масштабе входное напряжение U, напряжение на конденсаторе u C, напряжение на резисторе uR. Отдельно постройте график тока в цепи (масштаб по координате времени такой же, как и у графиков напряжения). Не забывайте, что масштабы по осям координат должны соответствовать ГОСТу ЕСКД (см. в начале руководства). ЧАСТЬ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПИ RL 1. Рассчитайте варианту (табл. 3). Таблица 3 Вар. U, В № 10 1 20 2 30 3 40 4 50 5 10 6 20 7 30 8 ПЕРЕХОДНЫХ постоянную времени цепи RL согласно Вашему R, Ом 50 60 70 80 90 100 110 120 L, мГн 60 70 80 90 100 110 120 130 Вар. № 14 15 16 17 18 19 20 21 U, В 40 50 10 20 30 40 50 10 R, Ом 180 190 200 210 220 230 240 50 L, мГн 190 200 210 220 230 240 250 40 97 40 130 140 20 60 50 9 22 50 140 150 30 70 60 10 23 10 150 160 40 80 70 11 24 20 160 170 50 90 80 12 25 30 170 180 13 2. Запишите формулу переходного тока, формулы переходных напряжений на индуктивности и на резисторе. График входного напряжения показан на рис. 4 (такой же самый, что и для 1-й части задания). 3. Рассчитайте значения переходного тока, напряжений на индуктивности и на резисторе для пяти моментов времени t 1…t5 (указаны в табл. 4). Рассчитанные значения внести в табл. 4. Таблица 4 Расчетные значения Задано t, с i uL uR Вариант № t1=0 t2=0,5 t = U= t2=1,0 t = t2=2,0 t = R= t2=3,0 t = t2=4,0 t = L= t2=5,0 t = 4. Постройте на одной системе координат и в одинаковом масштабе входное напряжение U, напряжение на индуктивности u L, напряжение на резисторе uR. Отдельно постройте график тока в цепи (масштаб по координате времени такой же, как и у графиков напряжения). Не забывайте, что масштабы по осям координат должны соответствовать ГОСТу ЕСКД (см. в начале руководства). ЗАДАНИЕ № 2 Задание состоит из 2-х частей. ТРАНСФОРМАТОРЫ (Часть 1) И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ (Часть 2 Машины постоянного тока, Машины переменного тока) 98 В данном разделе необходимо ответить на вопросы, заданные в Вашем варианте. Перечень вопросов для каждого варианта дан в табл1. Таблица 1 Вариант № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Вопросы Машины Машины Трансформ постоянног переменног аторы о тока о тока 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16 17 18 19 20 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 16 17 18 19 20 20 19 18 17 16 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 99 ТРАНСФОРМАТОРЫ (ЧАСТЬ 1) Контрольные вопросы и задания 1. Определите ЭДС первичной обмотки трансформатора, имеющей 600 витков, если трансформатор подключен к сети гармонического тока с частотой 50 Гц, а действующее значение магнитного потока в сердечнике Ф=2×10-3 Вб. 2. Определите число витков вторичной обмотки трансформатора, если возбужденная в ней ЭДС равна 230 В, магнитный поток в сердечнике Ф=2×10-3 Вб. Частота сети 50 Гц. 3. Трансформатор с номинальной мощностью 500 кВ×А имеет число витков первичной обмотки w1=650 и вторичной w2=50. Напряжение на зажимах первичной обмотки U=6000 В. Найдите напряжение на выводах вторичной обмотки и плотность тока в проводах обмоток трансформатора, если сечение проводов первичной обмотки S1=25 мм2, а во вторичной s2=400мм2. Потерями в трансформаторе пренебречь. 4. В режиме холостого хода ток в первичной обмотке трансформатора, имеющей резистивное сопротивление R=15 Ом, индуктивность L=0,14 Гн, равен 2 А. Определите действующие значения напряжения на первичной и вторичной обмотках и коэффициент мощности, если коэффициент трансформации равен 50. 5. Трансформатор включен в сеть с напряжением U=380 В. Напряжение на выводах вторичной обмотки при холостом ходе U2=12 В. Определите число витков первичной и вторичной обмоток w1 и w2, если поперечное сечение магнитопровода Sа=22 см2, наибольшая магнитная индукция в магнитопроводе В=1,2 Тл, частота сети f=50 Гц. 6. Трансформатор подключен к сети переменного тока с напряжением U=400 В. Вторичная обмотка имеет напряжение 220 В и питает осветительную сеть (cosj=1). Чему равен ток вторичной обмотки, если ток первичной обмотки равен 3 А? Потерями пренебречь. 7. Трансформатор подключен к сети переменного тока с частотой 50 Гц и с напряжением U=380 В. Число витков вторичной обмотки w2=50, а ток в ней I2=10 А. Определите коэффициент трансформации, если магнитопровод изготовлен из стали с сечением S=8 см2, а магнитная индукция в магнитопроводе составляет Вm=1,1 Тл. 100 8. Потери при холостом ходе трансформатора составляют Рх=400 Вт, при коротком замыкании Рк = 1150 Вт. Определите КПД трансформатора, если его номинальная мощность равна 20 кВт. 9. Трансформатор подключен к сети переменного тока с напряжением 220 В. Ток первичной обмотки I1=7 А. Определите cosj1, если мощность вторичной обмотки трансформатора Р2=1000 Вт, а КПД трансформатора h=0,9. 10. Ток холостого хода трансформатора Iх=1,4 А, напряжение первичной обмотки U1=220 в, потери при холостом ходе Рх= 170 Вт. Определите реактивное сопротивление при холостом ходе. 11. Определите КПД трансформатора, если суммарные потери в нем составляют 6% от мощности нагрузки. 12. Трансформатор с номинальной мощностью Sном=5 кВ×А включен в сеть переменного тока с напряжением 220 В. Напряжение на вторичной обмотке при холостом ходе U2х=15 В. Определите номинальные токи обмоток, коэффициент трансформации и число витков первичной обмотки, если число витков вторичной обмотки w2= 30. Потерями в трансформаторе пренебречь. 13. В трансформаторе, понижающем напряжение с 220 В до 12 В, применены проводники сечениями S1=1,2 мм2 и S2=8 мм2. К какой обмотке, высшего или низшего напряжения, принадлежит провод сечением S=1,2 мм2? Почему? 14. Изменится ли магнитный поток в сердечнике трансформатора, если во вторичной обмотке ток возрастет в 2 раза? Напряжение на первичной обмотке осталось прежним. 15. Почему уменьшится ЭДС, возбуждаемая во вторичной обмотке, при замене ферромагнитного сердечника на медный? 16. Пусть имеется два одинаковых трансформатора. У одного сердечник изготовлен из электротехнической стали толщиной 0,35 мм, а у другого – 0,5 мм. Какой из трансформаторов имеет больший КПД? Почему? 17. Почему вечером напряжение в сети, питающей бытовых потребителей, несколько снижается? 18. Что произойдет с напряжением на вторичной обмотке, если несколько увеличить ток нагрузки? Почему? Характер нагрузки неизменный. 19. Как отразится на ЭДС первичной обмотки увеличение тока нагрузки при сохранении cosj2 неизменным? Почему? 101 20. Изменится ли ток в первичной обмотке, если ток во вторичной обмотке возрастет? Почему? ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ (ЧАСТЬ 2) Электрические машины постоянного тока Контрольные вопросы и задания 1. Найдите ЭДС, возбуждаемую в обмотке якоря двигателя постоянного тока, если конструктивная постоянная машины С Е =8, частота вращения двигателя n =1000 об/мин, магнитный поток Ф =0,002 Вб. 2.Определите магнитный поток машины постоянного тока, если ее ЭДС Е = 115 В, конструктивная постоянная машины СЕ = 6, частота вращения n =1000 об/мин. 3. Найдите конструктивную постоянную машины С Е, если ЭДС, развиваемая машиной Е =115 В, частота вращения якоря n =1450 об/мин, а магнитный поток Ф =0,02 Вб. 4. Определите частоту вращения якоря, если ЭДС якоря Е =115 В, число активных проводников обмотки якоря N =120, магнитный поток Ф=0,04 Вб, число пар полюсов р =2, число пар параллельных ветвей а =2. 5. Найдите ЭДС генератора при частотах вращения якоря n1 =1400 об/мин и n2 =2800 об/мин, если электрическая постоянная машины СЕ=10, а магнитный поток Ф=0,02 Вб. 6. При увеличении частоты вращения генератора постоянного тока в 1,2 раза его ЭДС возросла на 46 В. Определите первоначальное значение ЭДС, если магнитный поток остался прежним. 7.Частота вращения якоря двигателя постоянного тока возросла с 1400 до 2800 об/мин. Как изменилась ЭДС якоря, если магнитный поток остался прежним? 8. Определите напряжение на зажимах генератора постоянного тока с параллельным возбуждением, при номинальном сопротивлении нагрузки Rн = 5 Ом, если ЭДС генератора Е= 115 В, сопротивление обмотки якоря Rя =0,1 Ом, сопротивление обмотки возбуждения Rв=40 Ом. 102 9. Определите напряжение на зажимах генератора параллельного возбуждения, если ток в цепи возбуждения Iв=4 А, сопротивление обмотки возбуждения Rв=1,2 Ом, а сопротивление регулировочного реостата Rр=25 Ом. 10. Определите ЭДС генератора параллельного возбуждения и ток в обмотке якоря, если напряжение на зажимах генератора U= 115 В, сопротивление цепи якоря Rя=0,05 Ом, сопротивление обмотки возбуждения Rв=30 Ом, сопротивление нагрузки Rн=2 Ом. 11.Почему с уменьшением сопротивления нагрузки генератора постоянного тока увеличивается электромагнитный тормозной момент генератора? 12. Как изменится ЭДС генератора с независимым возбуждением при повышении частоты вращения якоря в 1,5 раза? 13. Почему пусковой ток двигателя постоянного тока без пускового реостата значительно превышает номинальный ток? 14. Почему с уменьшением тока возбуждения частота вращения в двигателях с параллельным возбуждением возрастает? 15. Изменится ли КПД генератора при изменении сопротивления нагрузки? Почему? 16. Как изменяется частота вращения якоря двигателя с последовательным возбуждением при увеличении нагрузки на валу? Почему? 17. Как изменяется вращающий момент двигателя с последовательным возбуждением при увеличении нагрузки на валу? Почему? 18. Как изменяется мощность двигателя с последовательным возбуждением при уменьшении нагрузки на валу? Почему? 19. Почему при неизменном напряжении питания двигателя ЭДС двигателя изменяется с изменением частоты вращения? 20. Чему пропорциональны вращающие моменты двигателей с параллельным и последовательным возбуждением? Электрические машины переменного тока Контрольные вопросы и задания 103 1. Определите скольжение асинхронного двигателя, если его ротор вращается с частотой 1460 об/мин, а частота питающей сети f=50 Гц? 2. Номинальная частота вращения ротора асинхронного двигателя n2=920 об/мин. Чему равно номинальное скольжение? 3. Магнитное поле асинхронного двигателя вращается с частотой 1000 об/мин. Частота питающей сети f =50 Гц. Определите число пар полюсов асинхронного двигателя. 4. Чему равна частота тока ротора, если его номинальная частота вращения n2н= 1460 об/мин? 5. Трехфазный асинхронный двигатель имеет число пар полюсов р=1. Частота питающей сети f=50 Гц. Определите частоту вращения ротора, если скольжение двигателя s=4%. 6. Трехфазный асинхронный двигатель имеет число пар полюсов р=2. Частота питающей сети f=50 Гц. При изменении нагрузки от холостого хода до номинальной его скольжение изменяется от 0,4 до 6 %. Определите, в каких пределах будет изменяться частота вращения ротора. 7. Определите ЭДС, возбуждаемые в фазах обмоток статора и ротора асинхронного короткозамкнутого двигателя при неподвижном и вращающемся роторе, если Фm=0,012 Вб, s=0,06, w1=96, w2=1,5, Ko1=0,92, Ko2=0,96, f=50 Гц. 8. Основной магнитный поток трехфазного асинхронного двигателя Фm=4×10-3 Вб. ЭДС, индуцируемая в одной фазе статора Е=215 В. Частота питающей сети f=50 Гц. Определите число витков фазы статора, если Ко1=0,96. 9. Какое число пар полюсов должен иметь асинхронный двигатель, питающийся от сети переменного тока с частотой f=50 Гц, чтобы частота вращения его магнитного поля была равна 750 об/мин? 10. Число пар полюсов синхронного генератора р=6. Чему равна частота вращения поля статора, если частота тока f=50 Гц? 11. Какую максимальную частоту вращения может иметь вращающееся магнитное поле асинхронного двигателя при частоте f=50 Гц? При частоте f=60 Гц? 12. С какой частотой и в какую сторону вращается магнитное поле статора, если ротор синхронного генератора вращается по часовой стрелке с частотой n=750 об/мин? 104 13. С какой частотой вращается магнитное поле обмоток статора синхронного генератора, если в его обмотках индуцируется ЭДС с частотой f=50 Гц, а индуктор имеет 4 полюса? Имеет 6 полюсов? 14. Почему потери в стали ротора меньше потерь в стали статора? 15. В каком случае частота тока в ротора будет больше: при неподвижном или при вращающемся роторе? 16. Трехфазный двигатель приспособили для работы от однофазной сети. Какие из номинальных параметров при этом изменятся? 17. Каким образом можно изменить направление вращения трехфазного асинхронного двигателя? 18. Каким образом можно изменить направление вращения однофазного конденсаторного асинхронного двигателя? 19. С какой частотой должен вращаться ротор синхронного генератора, имеющего четыре полюса и частоту f=400 Гц? 20. Как изменяются ток статора, частота вращения ротора, частота тока ротора, ток ротора при изменении нагрузки от холостого хода до номинальной? Приложение Использование метода комплексных чисел в простейших электротехнических расчетах Методическое пособие в примерах Напоминания Комплексное число – это число имеющее две составляющие: вещественную и мнимую. Вещественная составляющая записывается как обыкновенное число, а мнимая как обыкновенное число, умноженное на мнимую единицу ( ). 1. В отличие от математики обозначать комплексные числа будем согласно ГОСТу, с черточкой внизу (в математике комплексные числа обозначаются с точкой вверху). 2. Мнимую единицу будем обозначать буквой j (в математике она обозначается буквой i). 105 3. Комплексные числа можно записывать в четырех формах: 3.1. В алгебраической форме. 3.2. В тригонометрической форме. 3.3. В показательной форме. 3.4. В полярных координатах. Ниже, в качестве примера, записан комплекс сопротивления Z всеми 4-мя способами. Знаки равенства между ними говорят о том, что все способы записи комплексного числа равноправны. Здесь: Z – комплексное значение сопротивления; R – резистивное сопротивление (вещественная часть); X – реактивное сопротивление (мнимая часть); Z – модуль комплексного числа (сопротивления); J – аргумент комплексного числа (сопротивления). Величины R, X, Z, j могут быть выражены друг через друга (эти формулы применяются при переходе от одной формы записи комплексного числа к другой, например, от алгебраической к показательной): X arctg . R Z cos , X Z sin , Z R 2 X 2 , R Примеры 1. Переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной (или к форме записи в полярных координатах). Пусть комплекс сопротивления дан в алгебраической форме записи: = 4 + j3. 106 Необходимо преобразовать алгебраическую форму записи в показательную (в форму записи в полярных координатах). Воспользуемся вышеприведенными формулами перехода. Модуль комплекса сопротивления Z: Ом. Заметьте, что модуль комплексного числа обозначается без черточки внизу. Аргумент (угол) комплекса сопротивления Z: . Тогда комплекс сопротивления Z в показательной форме (в форме записи в полярных координатах) будет: . Напоминаю, что все вышеприведенные комплексного числа равноправны. формы записи 2. Переход от показательной формы записи комплексного числа (в форме записи в полярных координатах) к алгебраической. Пусть комплекс сопротивления дан в показательной форме записи (в форме записи в полярных координатах): . Необходимо преобразовать показательную форму записи в алгебраическую. Воспользуемся вышеприведенными формулами перехода. Резистивное сопротивление (действительная составляющая комплекса): Ом. Реактивное сопротивление комплекса Z (мнимая составляющая комплекса): Ом. Заметьте, что в обеих вышеприведенных формулах Z записано без подчеркивания. Подумайте, почему. Теперь, когда найдены составляющие комплексного сопротивления R и X, комплекс сопротивления запишется: 107 . В общем виде запись 2-х вышеприведенных примеров выглядит так: . Основные правила при простейших операциях с комплексными числами 1. Сложение и вычитание удобнее производить в алгебраической форме записи Примеры Сложение При сложении комплексных чисел отдельно складываются вещественные составляющие и отдельно мнимые составляющие. Найти сумму двух сопротивлений. Пусть , . Тогда Теперь сопротивление можно перевести в любую другую, удобную для дальнейших вычислений, форму. Более сложный случай сложения Найти сумму двух напряжений. Пусть U1=6+j8, U2=5Ð36,87º. Как видим, напряжение U2 задано в полярных координатах. В этом случае так просто напряжения U1 и U2 не сложить. Необходимо сначала напряжение U2 перевести в удобную для сложения форму – в алгебраическую форму. Переводим: . Вот теперь можно сложить U1 и U2 так, как было показано выше. В общем случае, если необходимо сложить несколько комплексных чисел, записанных в полярной форме координат (или в 108 показательной форме), то, естественно, необходимо все их перевести в алгебраическую форму записи комплексного числа и только потом складывать. Так проще. Вычитание Найти разность двух комплексов токов. Пусть , . Тогда . Теперь выражение для тока можно перевести в любую, удобную для дальнейших вычислений, форму. Более сложный случай вычитания Найти разность двух комплексов напряжений. Пусть , . Как видим, напряжение U2 задано в полярных координатах. В этом случае так просто найти разность этих напряжений U1 и U2 не получится. Необходимо сначала напряжение U2 перевести в удобную для вычитания форму – в алгебраическую форму. Переводим: . Вот теперь можно вычесть из напряжения U1 напряжение U2 так, как было показано выше. В общем случае, если необходимо получить разность нескольких комплексных чисел, записанных в полярной форме координат (или в показательной форме), то, естественно, необходимо все их перевести в алгебраическую форму записи комплексного числа и только потом производить операцию вычитания. Так проще. 2. Умножение и деление комплексных чисел удобнее производить в показательной форме записи или в форме записи в полярных координатах Примеры Умножение 109 Пусть надо умножить комплекс сопротивления Z на комплекс тока I, чтобы получить напряжение U на каком-либо участке электрической цепи. Пусть , . При умножении комплексных чисел модули этих комплексных чисел перемножаются, а аргументы (углы) складываются. Тогда . Деление При делении комплексных чисел модули этих комплексных чисел делятся, а аргументы (углы) вычитаются. Пусть надо поделить комплекс напряжения U на комплекс тока I, чтобы получить комплекс сопротивления. Пусть , . Тогда . Более сложный случай Если какой-либо комплекс при делении или умножении записан в форме неудобной для деления или умножения, то его сначала надо преобразовать в форму удобную для этих действий. Примеры 1. Надо умножить сопротивление на ток. Пусть , . В этом случае сначала надо преобразовать комплекс сопротивления из алгебраической формы в форму в полярных координатах (или в показательною форму) и после этого произвести умножение. Преобразуем: . 110 Умножаем: . 2. Надо разделить сопротивление. Пусть напряжение на ток, чтобы найти , . В этом случае сначала надо преобразовать комплекс сопротивления из алгебраической формы в форму в полярных координатах (или в показательною форму) и после этого произвести деление. Преобразуем: . Делим: . Выше были показаны удобные методы умножения и деления комплексных чисел. Это не исключает и менее удобные методы умножения и деления – в алгебраической форме записи комплексных чисел. Везде, где использовалась форма записи в полярных координатах, можно использовать показательную форму записи комплексных чисел. Литература Основная: 1. Синдеев Ю.Г. «Электротехника с основами электроники» - «Феникс» - 2004г. – Ростов на Дону. 2. Андреев А. В. «Основы электроники» - «Феникс», 2003г., Ростов на Дону. 3. Мойшин Л.С. «Руководство по лабораторным работам по теоретическим основам электротехнике». М. Высшая школа, 1985 г. 4. Полещук В.И. задачник по электротехнике и электронике: учеб. Пособие для студ. Сред. Проф. Образования / - 3-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2007. – 224 с. 5. Электротехника / Под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высш. шк., 1985. 111 6. Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: В 2 кн. – М.: Энергоатомиздат, 1995. 7. Сборник задач по электротехнике и основам электроники / Под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высш. шк., 1987. Дополнительная: 1. Белоусова Н.М., Толчеев О.В. «Преподавание электротехники», М. Высшая школа, 1988г. 2. Евдокимов В.Н. «Электротехника», М. Высшая школа, 1989г. 3. Интернет Методические указания к выполнению Контрольной работы № 1. Методические указания к решению задачи № 1. Методические указания к решению задачи № 2. Методические указания к решению задачи № 3. Методические указания к решению задачи № 4. Контрольная работа № 1 Задание № 1 Задание № 2 Задание № 3 Задание № 4 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2. Методические указания к решению задачи № 1 (часть 1, часть 2). Методические указания к решению задачи № 2 (часть 1, часть 2). КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2. ЗАДАНИЕ № 1 ЗАДАНИЕ № 2 Приложение Использование метода комплексных электротехнических расчетах чисел в простейших 112
