2 тур_условияx

8-9 классы. 2 заочный тур. Срок сдачи: 12.11.
1) В параллелограмме проведены биссектрисы углов между диагоналями. Докажите, что
точки, в которых эти биссектрисы пересекают стороны параллелограмма, являются
вершинами ромба. (3)
2) В десятичной записи двух натуральных чисел участвуют только цифры 1, 4, 6 и 9. Может ли
одно из этих чисел быть в 17 раз больше другого? (3 очка)
3) Отрезки, параллельные сторонам единичного квадрата, делят его на четыре
прямоугольника. Доказать, что произведение площадей двух не смежных
прямоугольников не превосходит 1/16. (4 очка).
4) Можно ли выписать в ряд числа от 1 до 2013 так, чтобы любые два числа соседних числа и
любые два, расположенные через одно, были взаимно простыми? (3 очка)
5) В выпуклом четырехугольнике ABCD угол А равен углу В. ВС=1, AD=3. Доказать, что CD > 2.
(4 очка.)
2
4
6
20
1
1
 2
 2
... 2
 11(

...
x 1 x  4 x  9
x  100
( x  1)( x  10) ( x  2)( x  9)
1

) (4 очка.)
( x  10)( x  1)
6) Р.У.
2
7) В квадрате 5 на 5 закрашено 16 клеток. Доказать, что в нем можно выбрать квадрат 2 на 2,
в котором закрашено не менее трех клеток. (4 очка.)
8) Какое наибольшее количество натуральных чисел, меньших 50, можно взять так, чтобы
любые два были взаимно простыми. (2 очка.)
9) Сумма двух натуральных чисел равна 1244. Если в конце первого приписать 3, а в конце
второго отбросить 2, то числа окажутся равными. Найти эти числа. (3 очка).
10) Пароход плыл против течения. Потом с него был спущен плот. Когда после этого пароход
прошел 15 км, плот оказался от него на расстоянии в 20 км. Определить скорость парохода
в стоячей воде, если по течению он движется со скоростью 24 км в час. (3 очка).