Иррациональными уравнениями и неравенствами

Иррациональные уравнения и неравенства
Введение
Иррациональными уравнениями и неравенствами называются такие уравнения и
неравенства, в которых присутствует знак радикала (
).Основной проблемой при
решении такого рода задач является поиск кратчайшего пути, приводящего к более
простой эквивалентной задаче, не содержащей радикалов.
Определение 1
Задача Е1 называется эквивалентной (равносильной) задаче Е2, если множества их
решений совпадают. В записи это обозначается так:
Е1

Е2
В дальнейшем изложении мы будем рассматривать уравнения и неравенства,
содержащие знак квадратного корня.
Корни более высоких степеней встречаются на экзаменах крайне редко и только в
специально подобранных задачах.
Напомним определение квадратного корня:
Определение 2
a 0
(1)
(квадратный корень обозначает неотрицательное число)
2
(2) ( a ) = a (и такое, что его квадрат равен подкоренному выражению)
Замечание 1
Наличие буквы a в правой части второго равенства показывает, что подкоренное
выражение не может быть отрицательным.
Поскольку это знают все старшеклассники, то указывать на это в тех местах, где
есть знак радикала, не следует. Вообще, обращать внимание на область определения той
или иной функции, входящей в исходную задачу, в процессе преобразований задачи нужно
не раньше, чем тогда, когда исчез знак этой функции. Например, наличие знаменателя
предполагает, что он не нуль, и указывать на это следует в том месте, где мы от него
избавились (в исходной-то задаче он был!).
Часть 1. Иррациональные уравнения.
§1 Основное уравнение
Это уравнение вида:
(1)
f ( x)  g ( x )
Утверждение 1
Имеет место эквивалентность:
(A)
f ( x)  g ( x )

( ИУ 1)
1
(B)
(C )
 f ( x)  g 2 ( x)

 g ( x)  0
Доказательство:
Пусть число x 0 является решением уравнения (A). Тогда, во-первых, из равенства
чисел следует равенство их квадратов, т.е. для x 0 выполняется (B), во-вторых, поскольку
правая часть (A) равна левой части,
а левая часть неотрицательна по определению, то имеет место неравенство (C).
Таким образом, каждое решение исходного уравнения является также и решением
системы.
Обратно, пусть x 0 удовлетворяет системе. Перепишем её в эквивалентной форме:
( f ( x0 )  g ( x0 ))( f ( x0 )  g ( x0 ))  0

g ( x0 )  0

Если x 0 таково, что
f ( x0 )  g ( x0 ) , то всё доказано.
Пусть f ( x0 )  g ( x0 )  0 и g(x 0 )  0, тогда очевидно, что
и равенство (A) опять имеет место.
f ( x0 )  g ( x0 )  0 ,
Замечание 2
Предостерегаем читателя от распространённого заблуждения: “нуль, умноженный
на что угодно, даёт нуль”. (Операция “нуль умножить на Ивана Семёновича”, точно так
же, как 0   1 , не определены!).
Поэтому в общем случае имеет место эквивалентный переход:
f ( x)  g ( x)  0

 f ( x)  0

  x  Dg
  g ( x)  0

  x  D f
Здесь D g и D f -- области определения соответствующих
функций,
а квадратная скобка обозначает совокупность, решением
которой
является объединение решений её составляющих
Замечание 3
Поскольку правая часть уравнения (B) представляет полный квадрат, то все его
решения x 0 удовлетворяют условию f ( x0 )  0 , и соответствующая проверка – пустая
трата времени.
Замечание 4
Переход к следствию
f ( x)  g ( x )

f ( x)  g 2 ( x) ,
с последующей проверкой равенства (A), часто не оправдан из-за затруднений,
возникающих при этой проверке.
2
§ 2 Примеры записи решений основной задачи
Пример 1.Решить уравнение:
x  1 x
Решение:
x  1 x

 x  (1  x)2

 1 x  0

D  32  4  5
3 5
3 5
x1 
, x2 
2
2
 x 2  3x  1  0

 1 x  0


3 5
 x 
2


3 5
 x 
2

x

1


x
3 5
2
Ответ:
3 5
.
2
Пример 2
Решить уравнение: x  3  3 x  2
Решение:
x3  3 x2

( x  3)2  9  ( x  2)

x3 0


D  9  36  45
3  45
3  45
x1 
, x2 
2
2
 x 2  3x  9  0

 x3 0


3  45
 x 
2


3  45
 x 
2

x

3

0


3

3  45
x 
2

3

45
x 

2
3  45 3  45
Ответ:
,
.
2
2
Пример 3
2x  x2  x  1
Решить уравнение:
Решение:
2x  x2  x  1

2 x  x 2  ( x  1) 2

x 1  0


D
 22  2
4
2 2
2 2
x1 
, x2 
2
2
2 x  4 x  1  0

 x 1  0
2


 x  1 


 x  1 

 x 1

x  1
2
2
2
2
2
2
Ответ: 1 
Пример 4
2
2
.
x 2  3x  2 x  2
Решить уравнение:
Решение:
x 2  3x  2 x  2

 x 2  3x  (2 x  2)2

x 1


3x 2  5 x  4  0

x 1

Ответ: решений нет.
D  25  48  0
4
Пример 5
2 x2  4x  x  1
Решить уравнение:
Решение:
2 x2  4x  x  1

2
4 x  16 x  ( x  1)2

x 1

Из теоремы Виета видно, что корни разных знаков.
D
 7 2  3  52
4
7  52
7  52
x1 
, x2 
3
3

3x 2  14 x  1  0

x 1


x
7  52
3
Ответ: x 
7  52
.
3
§ 3 Задачи с двумя радикалами
Наиболее распространёнными задачами этого типа являются следующие три:
(I)
f ( x)  g ( x )
(II)
f ( x)  g ( x)  c
(III)
f ( x)  g ( x)  c ,
где с - положительная константа.
Утверждение 2
Имеют место эквивалентности:
f ( x)  g ( x )

 f ( x)  g ( x)
(или g ( x)  0 , смотря, что проще)

 f ( x)  0
( ИУ 2)
f ( x)  g ( x)  c

2 f ( x)  g ( x)  c2  f ( x)  g ( x)

2 f ( x )  g ( x )  c 2  f ( x )  g ( x )

f ( x)  0


g ( x)  0

( ИУ 3.1)
5
Замечание 5
Тождественный переход f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) , выполняемый слева направо,
может расширить область определения задачи, из-за чего могут возникнуть посторонние
корни. После такой замены следует восстановить ограничения f ( x)  0 , g ( x)  0 ,
имевшие место в исходной задаче.
Однако в некоторых случаях этого делать не надо. Например, левая и правая части
тождества x  a  b  x  ( x  a)(b  x) , имеют одинаковые области определения.
x  a
Здесь слева 
, а справа ( x  a)(b  x)  0 , что то же самое.
x  b
Возможен другой путь:
f ( x)  g ( x)  c

f ( x)  c  g ( x)

 f ( x)  (c  g ( x)) 2
,

 c  g ( x)  0
( ИУ 3.2)
и задача сводится к основному типу.
f ( x)  g ( x)  c
( ИУ 4)

f ( x)  ( g ( x)  c)
Доказательства мы предоставляем читателю в качестве самостоятельной работы.
2
§ 4 Примеры записи решений задач с двумя радикалами
Пример 6.
Решить уравнение:
x2  2 x  x  1
Решение:
x2  2 x  x  1

x2  2x  x  1

 x 1  0


3 5
 x 
2


3 5
 x 
2

x

1


x
3 5
2
Ответ:
6
3 5
.
2
Пример 7.
Решить уравнение:
x  x 1  3
Решение:
x  x 1  3

2 x  1  2 x x  1  9

 x  0

 x 2  x  4  x

 x  0

 x 2  x  x 2  8 x  16

4  x  0

x  0

9 x  16

0  x  4

16
x= x
9
Ответ:
Пример 8.
16
.
9
Решить уравнение:
5  2x  x  1  2
Решение
5  2x  x  1  2

5  2 x  x  1  2 5  2 x x  1  4

2 (5  2 x)( x  1)  x

4(5 x  2 x 2  5  2 x)  x 2

x0

D
 14 2  9  20  4(7 2  9  5)  4  4
4
14  4
14  4
x1 
, x2 
9
9

9 x 2  28 x  20  0

x0


7

10
  x  9
 x  2

 x  0
Ответ:
10
; 2.
9
Пример 9.
Решить уравнение:
2x  1  x  1
Решение:
2x  1  x  1

2x  1  x  1

2x  1  x  1  2 x

x2 x

2
x  4x

x  0
x  4

Ответ: 0 ; 4.
Пример 10.
Решить уравнение:
3x  x  2
Решение:
3x  x  2

2
x
3 1

2 2
x(
)  ( 3  1) 2  4  2 3
3 1
Ответ: 4  2 3.
(этот пример показывает, что в стандартной задаче решение может быть более
простым, если учесть специфику данной конкретной задачи).
§5. Использование монотонности функций при решении уравнений.
В этом параграфе мы обращаем внимание читателя на совершенно законный метод
решения задач, базирующийся на следующем утверждении.
8
Утверждение 3.
Уравнение f (x)=0, где f(x)-строго возрастающая или строго убывающая на
некотором множестве М функция, не может иметь на этом множестве более одного
решения.
Для доказательства достаточно заметить, что возрастающая (убывающая) функция в
различных точках принимает различные значения.
Отсюда следует, что если удаётся угадать или быстро подобрать один корень
подобного уравнения и показать проверяющим, что Вы понимаете, почему других корней
нет, то можно писать ответ.
Пример 11. Решить уравнение
x  2 x
Решение:
x  2 x

xx2
Очевидно, что x  1 - корень уравнения, и, поскольку левая часть возрастает (как
сумма возрастающих функций), то других решений нет.
Ответ: 1.
Пример 12. Решить уравнение:
2x  5  8  x  1
Решение:
Левая часть этого уравнения является возрастающей, а правая часть- убывающей
функцией, и, значит, уравнение имеет не более одного решения.
Очевидно, что x  10 годится.
Ответ: 10.
(Для сравнения попробуйте решить это уравнение по стандартной схеме ИУ 3.2!)
Замечание 6!!!
Мы предлагаем читателю решение всякой задачи начинать с выяснения вопроса: «А
нельзя ли использовать монотонность, что бы избежать длинных выкладок?»
Просматривая экзаменационные задачи, читатель может сам убедиться в том, что
количество задач, допускающих такое решение, значительно!
9
§ 6. Задачи для самостоятельного решения:
1.
x 7x
Ответ:
2.
x 1  3  x
Ответ:
3.
x 2  x  2x  3
Ответ:
4.
5.
6.
7.
2 x  24  x   x  2
Ответ:
3x  1  x  11
Ответ:
2x 2  2x  3  x 2  x  1
2
Указание: сделайте замену x  x  t
9 x  4 x  2
Ответ:
Ответ:
x x2 4
15  29
.
2
2.
11  13
.
6
18
2; .
5
16.
 1; 2.
63
.
16
7.
3x  5  4  x  1
Ответ:
Ответ:
3.
10.
x  20  x  22
Ответ:
 4; 4.
11.
12.
2 x 2  8x  7  x  2
2x  4  x  5  1
Ответ:
Ответ:
 1.
20.
3; 5.
8.
9.
2
2
§ 7. Контрольные задания
1.
x 2  9  2x  6
Ответ:
2.
x 1  x
Ответ:
3.
24  x  x  12
Ответ:
4.
2  x  x2
Ответ:
5.
5  3x  x  1  2
Ответ:
6.
7.
 x  x 
Ответ:
Ответ:
4 x  1  3x  2  5
1 5
.
2
15.
 2; 1.
3
; 1.
2
.
2.
13  2 43 13  2 43
,
.
3
3
8.
2 x 2  6x  x  1
Ответ:
9.
x 2  2x  x 2  2x  2  4  4x  2x 2
Ответ:
10.
2x  2 2x  1  2x  2 2x  1  2
Ответ:
0; 2 .
1 
 2 ; 1 .


Ответ:
 7  2 11 .
11.
1  5  x  1  2x
12.
1  x x 2  24  x  1
Ответ:
0; 5 .
13.
1  1  x x 2  24  x
Ответ:
14.
x  x  1 x  1
Ответ:
7.
16
.
25
15.
x 1 1  x  x  8
Ответ:
10
8.
Часть II. Иррациональные неравенства.
Основные неравенства.
§1.
Это неравенства видов:
(1)
f x   g x 
и
(2)
f x   g x 
Утверждение 4
Имеют место эквивалентности:
I
II
(A1)
f x   g x 

(B1)
(C1)
(D1)
 f x   g 2 x 

 f x   0
 g x   0

( А 2)
f x   g x 

( B 2)
( C 2)
( D 2)
  g ( x)  0
 
  f ( x ) 2 0
 f ( x )  g ( x )
(В случае нестрогих исходных неравенствах (А1) и (А2) все неравенства (В1),
(В2)и (D2) заменяются нестрогими неравенствами).
Доказательство:
I.
Пусть x 0 - решение (А1), тогда неравенства (С1) и (D1) очевидно имеют место, а из
них и (А1) следует (В1).
Опять же, пусть для x 0 выполняются все три неравенства системы. Извлекая
квадратный корень из неотрицательных левой и правой частей (В1) и учитывая, что при
g(x 0 )  0 имеет место равенство
g 2 ( x0 )  g ( x0 ) , получаем (A1).
II.
Пусть для x 0 имеет место (А2). Здесь возможны два случая:
(1) правая часть (А2) отрицательна, а левая - определена, т. е. (В2) и (С2);
(2) правая часть (А2) неотрицательна, а левая – определена, но тогда имеет место (D2).
Значит x 0 входит в решение совокупности.
Опять же, пусть x 0 - решение совокупности. Если для x 0 имеет место система (В2),
(С2), то из неё, очевидно, следует (А2). Если же x 0 удовлетворяет (D2), то тогда либо
g(x 0 )  0, и, извлекая корень из левой и правой части, получаем (А2), либо в (D2) g(x 0 )  0 ,
и, извлекая корень из левой и правой части, получаем (А2), либо в (D2) g(x 0 )<0, но тогда
имеет место система (В2), (С2).
11
§2.Примеры записи решений основных неравенств.
Пример 1.
Решить неравенство:
x 1 x
Решение:
x  1 x

 x0

 x 1
 x  (1  x ) 2


 x  3x  1  0

 0  x 1

2

3 5
 x 
2


3 5
  x  2

 0  x 1

0 x
3 5
2
Ответ:
[0;
Пример 2.
3 5
).
2
Решить неравенство:
Решение:
x33 x2

x3 0


2
( x  3)  9( x  2)

 x3 0
 2
 x  3x  9  0

x3 0

 3  45  x  3  45
 2
2

3  45
3  45
x
2
2
12
x +3  3 x  2
3  3 5 3  3 5 
;
Ответ: 
.
2 
 2
Пример 3.
Решить неравенство:
2x  x2  x  1
Решение:
2x  x2  x  1

 2x  x2  0

x 1  0

2 x  x 2   x  12


 0 x2

x 1

2 x 2  4 x  1  0


 1 x  2

2
 x  1 
2


2
 x  1 
2


2
x2
2

2
;
Ответ: 1 
2

1
Пример 4.

2

Решить неравенство:
Решение:
x  1 x

 x0

 1  x  02
 x  1  x 

x  1

3  5  x  3  5
2
 2

13
x  1 x
x
3 5
2
3 5



 2 ;   .


Ответ:
Пример 5.
Решить неравенство:
2 x 2  4x  x  1
Решение:
2 x 2  4x  x  1


 x 1 0
 2

x  4x  0

2
2
4x  4 x    x  1





3x 2
 x 1
 x  4

  x  0
 14 x  1  0

x0


7  52
 x 
3

  x  7  52
 
3

x0


7  52
x 
3


 ; 0   7 
Ответ:

Пример 6.
Решение:
52
3

;   

Решить неравенство:
x 2  3x  2 x  2


 x 1  0
 2

 x  3x  0

2
2
 x  3 x  4 x  8 x  4

x0

3 x 2  5 x  4  0


x0
14
x 2  3x  2 x  2
Ответ:  ; 0 .
§3.Неравенство с двумя радикалами.
Утверждение 5.
Имеют место следующие эквивалентности, упрощающие задачи с двумя
радикалами.
f x   g x 

 f ( x)  g ( x)

 f x   0
I.
II.
(а)
f x   g x   c

(буква «с» обозначает положительную константу)
2 f ( x) g ( x)  c 2  f ( x)  g ( x)

2 f ( x ) g ( x )  c 2  f ( x )  g ( x )

f ( x)  0


g ( x)  0

Возможен другой путь:
f x   g x   c

f ( x)  c  g ( x)


 f x   c  g x 


f x   0

 c  g x   0


(б)

2
f x   g x   c

2 f x  g x   c 2  f x   g x 

2 f x g x   c 2  f ( x)  g ( x)

f x   0


g x   0

Возможен другой путь:
15
f x   g x   c

f x   c  g x 


 f ( x)  c  g ( x)

 c  g ( x)  0

2
f x   g x   c

I. (a)
f x  
g x   c


 f  x   g  x   c


f x   0

2
f x   g x   c

(б)
f ( x) 
f ( x) 

g ( x)  c

g ( x)  c

2
Возводить разность радикалов в квадрат, даже с правильным учетом всех
случаев, не советуем, т. к. этот путь явно проигрывает в сравнении с вышеуказанным.
Доказательства эквивалентностей оставляем на усмотрение читателя
§4.Примеры записи решений задач
с двумя радикалами
Пример 7.
Решить неравенство:
Решение:
x 2  2x 
x 1

x 2  2x  x  1
 2
 x  2x  0

x 2




 3x  1  x  1
x  2
x  0

16
x 2  2x 
x 1

2 x
Ответ:
3 5
2

3 5
.
 2;

2


Пример 8.
x  x 1  3
Решить неравенство:
Решение:
x  x 1  3

2 x x  1  9  x   x  1

2 x x  1  8  2 x

x0


 x x  1  4  x 2

0 x4


 9 x  16

0  x  4

0 x
Ответ:
16
9
 16 
0 ; 9  .
Пример 9.
Решить неравенство:
2x  1  x  1
2x  1  x  1
Решение:

2x  1  x  1

2x  1  x  1  2 x
(наличие
x обеспе ч и в а е т неравенство 2 x  1  0 )

x2 x

17
( поскольку 4 x в этом неравенст в е неотрицательно,
то x в левой части тоже неотрицателен)
x 2  4x

( x  4) x  0

0 x 4
Ответ:
0 ; 4.
Пример 10.
Решить неравенство:
5  2x  x  1  2
Решение:
5  2x 
x 1 2

2
5  2 x  x  1  4  5  2 x    x  1

2
5  2 x  x  1  x

 5  2 x  x  1  0

x0


x  1  x
4
5

2
x

D
 14 2  9  20  47 2  9  5  4  4
4
14  4
14  4
x1 
; x2 

9
9




 2
9 x
5

1  x 

2

 x0
 28 x  20  0

10
 x 2
9
 10
Ответ:  ;
9
Пример 11.

2.

3 x  x3 1
Решить неравенство:
Решение:
3 x  x3 1

3 x  x  3 1

9x  x  3  1  2 x  3

18
8x  4  2 x  3

4x  2 

x3
4 x  2 2  x  3

1

x

2

16 x 2  17 x  1  0

1

x

2

 x  1

1
 x 

16

1
 x

2

x 1
Ответ: ( 1 ;   ) .
§ 5.
Использование монотонности функций
при решении неравенств.
В §5 части I мы описываем один из «нестандартных» приёмов, позволяющих в ряде
задач получить ответ без большой технической работы в том случае, когда уравнение
приводилось к эквивалентному виду f(x)=0, где f(x)-строго возрастающая или строго
убывающая на рассматриваемом множестве функция.
При решении неравенств в ряде случаев можно воспользоваться тем же приёмом.
Утверждение 6.
Пусть f(x) возрастает на своей области определения D f , тогда имеют место
эквивалентности:
f ( x)  0

 x  x0

x  D f
( где x 0  корень уравнения f ( x )  0)
Если же f(x) убывает на D f , то
f ( x)  0

 x  x0

x  D f
(неравенства противоположного знака разбираются аналогично).
19
Пример 12.
x 2x
Решить неравенство:
Решение:
x 2x

x  x 20
Левая часть возрастает на множестве x  0 и при x  1 равна нулю, значит,
0  x  1.
Ответ: 0 ; 1).
4x  1  2x  3  4
Пример 13. Решить неравенство:
Решение:
Поскольку левая часть возрастает на области определения ( x 
соответствующего уравнения, то
3
), и x  2 - корень
2
3
 x2.
2
3 
Ответ:  ; 2  .
2 
(Сравните это решение с «честным»!).
13  x  x  1
Пример 14. Решить неравенство:
Решение:
Левая часть является убывающей функцией как разность убывающей и
возрастающей.
Нетрудно заметить, что при x  4 левая и правая части равны. Значит, решением
неравенства будет пересечение множеств x  4 и 0  x  13 .
Ответ: 0; 4 .
§ 6.
Задачи для самостоятельного решения.
Решите неравенства:
1.
x 7  x
Ответ:
15  29

;    .

2


2.
x 1  3 x
Ответ:
1; 2
3.
x 2  x  2x  3
Ответ:
  ; 0   1; 11 
20


13 
.

6

4. 2
x  24  x   x  2


5

Ответ:
 2   18 ; 4 .
5.
3x  1  x  11
Ответ:
 0 ; 16 
6.
2x 2  2x  3  x 2  x  1
Ответ:


1  5  1  5
  8;


;






2   2


9x  4x  2
Ответ:
63 

 ;
.
16 

Ответ:
 2 ; 7 .
Ответ:
 3; 4 .
.
7.
8. x  x  2  4
9.
3x  5  4  x  1
10.
x 2  20  x 2  22
Ответ:
  ;  4   4 ;   .
11.
2 x 2  8x  7  x  2
Ответ:

2
 ;2 
   1;    .


2


12.
2x  4  x  5  1
Ответ:
 20 ;   .
§ 7. Контрольные задания
1.
x 2  9  2x  6
Ответ:
3 5;   .
2.
x 1  x
Ответ:
1 5



 2 ;   .


3.
24  x  x  12
Ответ:
15; 24.
4.
2  x  x2
Ответ:
5.
5  3x  x  1  2
Ответ:
6.
 x  x 
Ответ:
7.
4 x  1  3x  2  5
Ответ:
8.
 3
1;  .
 2
0;   .
2;   .
2 x 2  6x  x  1
Ответ:  ;
9.
 ;  2  1; 2 .
x 2  2x  x 2  2x  2  4  4x  2x 2
13  2 43
3
 
Ответ:
21
13  2 43
;   .
3
0; 2 .
Часть III. Задачи, предлагавшиеся на экзаменах в МГУ.
СПИСОК СОКРАЩЁННЫХ НАЗВАНИЙ
ФАКУЛЬТЕТОВ.
ММ - механико-математический,
ВМК - вычислительной математики и кибернетики,
Ф - физический,
X - химический,
Б - биологический,
ПЧ - почвоведения,
ГГ - географический,
ГЛ - геологический,
Э - экономический,
ПС - психологический,
ИСАА - институт стран Азии и Африки,
СОЦ – социологический.
Решите уравнение (или неравенство):
13  2 x  5  x
1. (ГГ-93)
2. (ГГ-82)
3.
4.
5.
7.
(ГГ-96)
(Х-98)
(СОЦ-99)
(ПЧ-77)
8. (ПЧ-97)
9. (ГЛ-95)
10. (ГЛ-96)
11. (ПС-86)
2 x 2  8x  7  x  2
28  6 x  x  2
7  x  3 5  x
x 1  6  x
2 x  5  x  2
x  8x  9
5x  6  x  4
3x  5  x  11
35  5 x  9  2 x
12. (ПС-96)
2 x 2  21x  4  2  11x
13. (ГГ-99)
2 x 2  8x  5  x  2
14. (ГГ-95)
2  x2  x 1
15. (Э-83)
x 2  11  x 2  11  42
16. (ВМК-89) 8  12  16 x  16 x 2  4 x  4 x 2  33
x4  x20
17. (ВМК-91)
18. (Ф-88)
4  6x  x 2  x  4
19. (Э-90)
5  1  x 2  1  3  5x  3
20. (ГЛ-83)
x  1 
21. (ГЛ-94)
22. (ПС-97)
x 2  2  x 2  3x  4  4  3x  0
x  3  5  2x
23. (ГГ-99)
x 2  14 x  47  1  x  7  1
24. (Ф-80)
16 x  17   x  1  8 x  23
3  log 3 x  log 3 3x  1  0
22
25. (Ф-85)
26. (Ф-93)
x 4  2x  5  1  x
log 2 x  2  log 2 x  1
27. (Х-79)
28. (Х-96)
x  3  x 1
29. (Ф-79)
x 2  5x  4  x  2
30. (Б-80)
31. (ПЧ-81)
32. (ПЧ-87)
 x 2  6x  5  8  2x
4x  8  x  5
2x  3  x
33. (ГЛ-84)
2x 2  6x  4  x  2
x5  7 x
34. (Э-95)
2x  5  x 2  x  6
35. (ПС-88)
2 x  11  2  36  x 2
36. (ПС-89)
x  2a  2  3ax  a 2  0
37. (ГЛ-01)
x 2  8x  12  x  5
2x
2x 1
3  14  7 
 4
38. (Э-99)
2x 1
2x
x 3  3 x 6
39. (ВМК-94)
40. (ГГ-01)
x  6  3x  1  5
41. (Б–83)
8 6 3 x  5  x
42. (ПЧ-98)
x  1  4x  3  1
43. (ПС-01)
x  2  8  x  15
44. (ИСАА-91)
3x  5  4  x  1
45. (ПС-93)
1 x  x 
46. (ММ-98)
3
1
3
x  1  3  x 2  2x  3
47. (Ф-97)
 5 
log 5 x  2  log 1 

x  2
5
48. (Х-78)
2  5 x  24  5 x  7  5 x  7
49. (ГЛ-94)
4x  3  x 2  0
50. (Э-88)
x 2  x  6  3x  13
1
x5
51. (ВМК-82)
2  x  4x  3
2
x


23
52. (ММ-90)
1  x3 1
x
1 x
53. (ПС-98)
4 x  7  3x  5
0
16  3x 2  22 x
54. (ВМК-84)
7  log 2 x 2  log 2 x 4  4
55. (ММ-88)
1  cos 2 x  sin x
56. (ММ-82)
5 sin x  cos 2 x  2 cos x  0
1
35
 34 sin x 
6
36
4 cos 2 x  2 sin 2 x  2 cos x
58. (ММ–91)
59. (ВМК-87) 2  3 cos 2 x   2 cos 2 x  3 sin x  3  2 sin x  1  0

1  cos 4 x  sin x  2 sin
60. (ВМК-92)
4
3
cos x  1  sin x  0
61. (Х-88)
2
57. (ММ-85)
6 sin x 

62. (Х-94)
63. (ПЧ-82)
64. (ПЧ-96)

sin 2 x  cos x  sin x  1
2  3 cos 2 x  sin x
 x  sin x  x  sin 2 x

 2  x  2

66. (ПС-95)
3
3
 cos x 
 cos 3x
4
4
2  sin x  2  cos x  0
67. (СОЦ-00)
11  8 cos 4 x  4 sin x cos x  3 sin x  cos x
65. (ПС-87)
68. (ВМК-99)
69. (Х-92)


1  sin  2 x  
3

  sin x cos x
8
sin x   cos x
 6  10 cos x  4 sin x  sin x  cos x
70. (ВМК-00) 
  x  

24