ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
«УТВЕРЖДАЮ»
Руководитель педагогического
института ФГОУ ВПО ЮФУ
д.п.н., профессор В.И. Мареев
ПРОГРАММА
ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА В МАГИСТРАТУРУ
по направлению 050200 «Физико-математическое образование»,
Магистерская программа «Математическое образование»
Ростов-на-Дону
2007 год
2
Составители:
Полякова Т.С. – доктор педагогических наук, профессор,
Чалов А.Н. – доктор педагогических наук, профессор,
Поляков Н.А. – кандидат физико-математических наук, профессор,
Князева Л.Е. – кандидат педагогических наук, доцент,
Романов Ю.В. – кандидат педагогических наук, доцент,
Куприянова Г.Я. – кандидат технических наук, доцент,
Бреус И.А. - кандидат педагогических наук, доцент,
Драгилева Л.Л. - кандидат физико-математических наук, доцент.
Программа утверждена ученым советом факультета математики и
информатики педагогического института ФГОУ ВПО ЮФУ
Протокол №_____________ от
«_________» ____________________2007 г.
Декан факультета: Князева Л.Е.- кандидат педагогических наук, доцент.
Программа принята в фонд учебно-методического управления
педагогического института ФГОУ ВПО ЮФУ
_______________________________________ 2007 года
Программа утверждена ученым советом педагогического института
ФГОУ ВПО ЮФУ
Протокол №_____________ от
«_________» _____________________ 2007
года
Председатель ученого совета педагогического института
ФГОУ ВПО ЮФУ
профессор________________ _________ ________ _________ В.И. Мареев
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Программа вступительного экзамена в магистратуру по направлению 050200 Физикоматематическое образования магистерская программа «Математическое образование» интегрирует
программы фундаментальных математических курсов «Основы дискретной математики»,
«Математические модели, методы и теории», «Алгебра и теория чисел», «Математическая логика»,
«Геометрия»,
«Математический
анализ» и
математики».
Она
в
составлена
курса
соответствии
с
«Технология
и
методика
Государственным
обучения
образовательным
стандартом высшего профессионального образования по направлению 050200 «Физикоматематическое образование», профессиональный образовательный профиль «Математика».
Основная цель вступительного экзамена в магистратуру по направлению 050200
магистерская программа «Математическое образование» - выявить уровень общей математической
культуры абитуриентов, поступающих в магистратуру, проконтролировать их знания по всем
фундаментальным математическим дисциплинам и теории и методики обучения математике
которые обеспечивают содержательный компонент подготовки выпускника к продолжению
обучения
в
магистратуре
по
направлению
050200
Физико-математическое
образование
магистерская программа «Математическое образование».
Требования к уровню подготовки, к поступающим в магистратуру по направлению
050200 Физико-математическое образование магистерская программа
«Математическое образование»
Выпускник, получивший квалификацию «Бакалавр физико-математического образования»,
должен быть готов
-
осуществлять
обучение
учащихся
в
соответствии
с
требованиями
государственных
образовательных стандартов;
-
использовать современные технологии обучения в практической деятельности;
-
участвовать в разработке образовательных программ (школьный компонент), нести
ответственность за реализацию их в полном объеме в соответствии с учебным планом и
графиком учебного процесса;
-
организовывать контроль знаний, умений и навыков учащихся по математике;
-
создавать учебно-методического базу по предмету;
-
поддерживать учебную дисциплину, контролировать режим посещения занятий;
-
соблюдать права и свободы учащихся;
4
-
повышать свою профессиональную квалификацию.
Выпускник, получивший квалификацию «Бакалавр физико-математического образования»,
должен знать
-
содержание и методику преподавания математики в общеобразовательных школах;
-
теоретические основы школьного курса математики;
-
современные технологии обучения математике;
-
научные основы организации учебного процесса в общеобразовательных учреждениях.
Выпускник, получивший квалификацию «Бакалавр физико-математического образования»,
должен уметь применять
-
прогрессивные методы преподавания математических дисциплин;
-
современные формы контроля знаний, умений и навыков учащихся;
-
различные формы организации внеклассных занятий по математике.
В ходе подготовки к вступительному экзамену по математике необходимо усвоить основные
понятия алгебры, теории чисел, математической логики, геометрии, математического анализа, о
которых нужно знать:
 определение понятия;
 символическую запись;
 условие существования;
 наличие модели понятия (если она существует);
 свойства понятия, примеры.
Содержание понятия должно быть наполнено знанием аксиом, основных теорем, уравнений,
формул и правил. При этом требуется знать:
 формулировку аксиомы, теоремы, правила;
 символическую запись аксиомы, теоремы, формулы, уравнения, правила;
 доказательство теоремы, вывод формулы или уравнения, его решение;
 условия, при которых данная формула, уравнение или теорема имеет данный вид;
 смысл всех величин и символов, входящих в формулу (уравнение);
 примеры применения аксиомы, теоремы, формулы, уравнения, правила.
Критерии оценки уровня подготовки экзаменуемого
При ответе на вопрос, поставленный в билете, абитуриент должен изложить
теоретические
сведения
по данному вопросу:
основные
привести формулировки всех определений,
аксиом, теорем, правил и формул (если теорем (лемм) уравнений или формул, требующих
4
5
доказательств и выводов несколько, то доказывается одна теорема (лемма) или выводится одна
формула (уравнение) либо по выбору студента, либо по указанию экзаменатора); кроме
теоретических выводов ответ должен содержать пример (или примеры), подтверждающие
теоретические выводы.
Оценка «отлично» - абитуриент обнаруживает глубокое, полное раскрытие содержания
учебного материала, понимание сущности рассматриваемых явлений и закономерностей, законов
и теорий, выделение существенных связей в рассматриваемых явлениях, умение давать точное
определение основным понятиям, умение связывать теорию с практикой, решать практические
задачи, умение высказывать свои суждения аргументировано, возможность профессионально
грамотно излагать свой ответ.
Оценка «хорошо» - абитуриент обнаруживает достаточное овладение учебным материалом,
владение понятийным аппаратом, верное использование понятийного аппарата, ориентацию в
изученном материале, возможность демонстрировать знания для решения практических задач, но
затрудняется в приведении примеров. При ответе допускает отдельные неточности.
Оценка «удовлетворительно» - абитуриент проявляет знания, излагает основное
содержание учебного материала, но раскрывает материал не полно, не последовательно, допускает
неточности в определении понятий, не умеет доказательно обосновать свои суждения.
Оценка «неудовлетворительно» - абитуриент демонстрирует разрозненные знания
бессистемные знания, не выделяет главное и второстепенное, допускает ошибки в определении
понятий, беспорядочно, неуверенно излагает материал, не может применять знания для решения
практических задач, в соответствии с требованиями программы или вообще отказывается от
ответа.
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА
Программа по алгебре, теории чисел, основам дискретной математике,
математической логике.
1.
Элементы математической логики, теории множеств, комбинаторики.
Понятие высказывания. Высказывательная переменная. Основные логические связки и
логические операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний и их логические
возможности. Равносильные формулы. Тавтологии и противоречия. Законы логики. Предикаты.
Тождественно истинные, тождественно ложные предикаты. Область истинности предиката.
Логические операции над предикатами.
дизъюнкции,
импликации,
эквиваленции
Область истинности отрицания, конъюнкции,
двух
предикатами.
5
предикатов.
Кванторные
операции
над
6
Множество. Отношения между множествами, их свойства. Операции над множествами и их
свойства. Декартово произведение множеств. Соответствия, свойства соответствий. Суперпозиция
соответствий. Функции, отображения.
Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и
разбиение множества на классы.
Фактор-множество. Теорема о связи отношения эквивалентности и разбиения множества
Различные виды соединений элементов и их количества.
2.
Основные алгебраические структуры. Элементы теории групп, колец и полей.
Числовые поля.
Алгебраические операции и алгебры. Бинарные операции и их свойства.
Определение,
примеры и простейшие свойства групп. Группы преобразований. Подстановки. Подгруппы
группы, смежные классы группы по подгруппе. Нормальные делители. Примеры. Конечные
группы Морфизмы полугрупп, групп. Основные теоремы об изоморфизмах полугрупп, групп.
Определение, примеры и простейшие свойства колец и полей. Подкольца и идеалы.
Числовые кольца и поля. Наименьшее числовое поле.
Морфизмы колец, полей. Основные
теоремы об изоморфизмах колец, полей.
3.
Векторные пространства. Евклидовы пространства.
Определение, примеры и простейшие свойства линейных (векторных) пространств.
Арифметическое n-мерное векторное пространство над данным полем и его свойства. Линейная
зависимость векторов. Свойства линейной зависимости, базис и размерность конечномерного
векторного пространства.
Определение и свойства подпространства линейного пространства. Линейная оболочка и ее
свойства. Базис и размерность конечномерных линейных пространств. Матрица перехода от
одного базиса к другому. Изоморфизм линейных пространств.
Определение и свойства
евклидова пространства. Изоморфизм евклидовых пространств.
4. Системы линейных уравнений. Матрицы и определители.
Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования уравнений системы.
Равносильные системы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Однородные системы
линейных уравнений, фундаментальная система решений. Связь между решениями неоднородной
СЛУ и соответствующей однородной СЛУ. Ранг матрицы. Различные способы вычисления ранга
матрицы. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронекера-Капелли). Действия над матрицами и
их свойства. Определитель квадратной матрицы и его свойства. Вычисление определителей.
Обратная матрица и ее вычисление. Критерий обратимости квадратной матрицы. Различные
методы решения СЛУ с квадратной матрицей (метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера).
5.
Линейные отображения.
Определение линейного преобразования (линейного оператора). Линейные операторы
6
7
конечномерных линейных пространств. Ранг и дефект, ядро и образ линейного оператора. Связь
между матрицами линейного оператора относительно различных базисов. Собственные векторы и
собственные значения линейного оператора.
6.
Теория делимости в кольце целых чисел.
Области целостности. Примеры. Обратимые и ассоциированные элементы области
целостности. Делимость в области целостности и ее свойства. НОД и НОК двух элементов области
целостности и их свойства. Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида для вычисления НОД в
евклидовом кольце. Основная теорема арифметики.
7.
Теория сравнения. Диофантовы уравнения.
Сравнения и их свойства. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма. Линейные сравнения и
методы их решения. Диофантовы уравнения 1-ой степени с двумя неизвестными и их
целочисленные решения. Арифметические приложения теории сравнений: вывод признаков
делимости, определение длины периода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.
8. Теория многочленов от одной и нескольких переменных. Многочлены над
числовыми полями.
Многочлены от одной переменной. Корни многочлена. Теорема Безу. Схема Горнера.
Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Делимость многочлена и ее свойства.
НОД, НОК многочленов и их свойства. Алгоритм Евклида. Многочлены над полем комплексных
чисел. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена над полем комплексных чисел на
линейные множители. Теорема Виета. Многочлены над полем действительных чисел.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Разложение многочлена над полем
действительных чисел на неприводимые линейные множители и множители второй степени с
отрицательным дискриминантом. Многочлены над полем рациональных чисел. Теорема о
рациональных
корнях
многочлена
с
целыми
коэффициентами.
Достаточное
условие
неприводимости многочлена с целыми коэффициентами над кольцом целых чисел (над полем
рациональных чисел) (критерий Эйзенштейна).
Простые алгебраические расширения полей и их строения. Алгебраические числа.
Минимальный
многочлен.
Освобождение
от
иррациональности
в
знаменателе.
Поле
алгебраических чисел.
Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены. Основная теорема о
симметрических многочленах.
9. Основные числовые системы.
Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Принцип
полной математической индукции. Сложение и умножение на множестве натуральных чисел и их
свойства. Отношение порядка на множестве натуральных чисел и его свойства.
7
8
Алгебраическая мотивировка расширения множества натуральных чисел. Принцип
минимального расширения. Определение, существование и единственность кольца целых чисел.
Действия на множестве целых чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве целых чисел
и его свойства.
Алгебраическая мотивировка расширения кольца целых чисел. Определение, существование
и единственность поля рациональных чисел. Свойства поля рациональных чисел. Действия на
множестве рациональных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве рациональных
чисел и его свойства.
Алгебраическая мотивировка расширения поля рациональных чисел. Фундаментальные
последовательности и их свойства. Метод Кантора построения
поля действительных чисел.
Сечения Дедекинда. Свойства сечений. Метод Дедекинда построения поля действительных чисел.
Свойства поля действительных чисел. Действия на множестве действительных чисел их свойства.
Отношение порядка на множестве действительных чисел и его свойств.
Алгебраическая мотивировка расширения поля действительных чисел. Определение,
существование и единственность поля комплексных чисел. Свойства поля комплексных чисел.
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над
комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (умножение, деление,
возведение в натуральную степень (формула Муавра), извлечение корня натуральной степени из
комплексного числа). Первообразные корни. Геометрическая интерпретация корня натуральной
степени из единицы и из произвольного комплексного числа.
10. Элементы теории алгоритмов.
Понятие алгоритма и его характерные черты. Необходимость уточнения понятия алгоритма,
основные направления в подходах к определению понятия алгоритма. Построение класса
рекурсивных функций. Простейшие функции. Операторы: суперпозиции, примитивной рекурсии,
минимизации. Устройство и работа машины Тьюринга. Реализация в машине Тьюринга алгоритма
вычисления функции f(n) = n+5, где n - натуральное число.
ВОПРОСЫ К ВСТУПИТЕЛЬНОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО АЛГЕБРЕ, ТЕОРИИ ЧИСЕЛ,
ЧИСЛОВЫМ СИСТЕМАМ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ, ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
1. Понятие высказывания. Высказывательная переменная. Основные логические связки и
логические операции над высказываниями.
2. Законы логики.
3. Множество. Отношения между множествами, их свойства. Операции над множествами и их
свойства.
8
9
4. Соответствия, свойства соответствий. Суперпозиция соответствий. Функции, отображения.
5. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы. Фактормножество. Теорема о связи отношения эквивалентности и разбиения множества.
6. Определение, примеры и простейшие свойства групп.
7. Основные теоремы об изоморфизмах полугрупп, групп.
8. Определение, примеры и простейшие свойства колец и полей.
9. Основные теоремы об изоморфизмах колец, полей.
10.
Определение, примеры и простейшие свойства линейных (векторных) пространств.
Арифметическое n-мерное векторное пространство над данным полем и его свойства.
11.
Линейная зависимость векторов. Свойства линейной зависимости, базис и размерность
конечномерного векторного пространства.
12.
Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования уравнений системы.
Равносильные системы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Критерий
совместности СЛУ (теорема Кронекера-Капелли).
13.
Определение линейного преобразования (линейного оператора). Линейные операторы
конечномерных линейных пространств. Ранг и дефект, ядро и образ линейного оператора.
14.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
15.
Основная теорема арифметики.
16.
Сравнения и их свойства. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.
17.
Линейные сравнения и методы их решения.
18.
Арифметические приложения теории сравнений: вывод признаков делимости, определение
длины периода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.
19.
Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Разложение
многочлена над полем комплексных чисел на линейные множители. Теорема Виета.
20.
Многочлены над полем рациональных чисел. Теорема о рациональных корнях многочлена
с целыми коэффициентами. Достаточное условие неприводимости
многочлена с целыми
коэффициентами над кольцом целых чисел (над полем рациональных чисел) (критерий
Эйзенштейна).
21.
Аксиомы Пеано. Аксиоматическое определение системы натуральных чисел. Принцип
полной математической индукции. Сложение и умножение на множестве натуральных чисел и их
свойства. Отношение порядка на множестве натуральных чисел и его свойства.
22.
Алгебраическая мотивировка расширения множества натуральных чисел. Принцип
9
10
минимального расширения. Определение, существование и единственность кольца целых чисел.
Действия на множестве целых чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве целых
чисел и его свойства.
23.
Алгебраическая
мотивировка
расширения
кольца
целых
чисел.
Определение,
существование и единственность поля рациональных чисел. Свойства поля рациональных чисел.
Действия на множестве рациональных чисел и их свойства. Отношение порядка на множестве
рациональных чисел и его свойства.
24.
Алгебраическая мотивировка расширения поля рациональных чисел. Фундаментальные
последовательности и их свойства. Метод Кантора построения
поля действительных чисел.
Сечения Дедекинда. Свойства сечений. Метод Дедекинда построения поля действительных чисел.
Свойства поля действительных чисел.
25.
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над
комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (умножение, деление,
возведение в натуральную степень (формула Муавра), извлечение корня натуральной степени из
комплексного числа).
Литература
Алгебра и теория чисел
1.Курош А.Г. Курс высшей алгебры – М.: Просвещение, 1977.
2.Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1978.
3.Куликов Л.Е. Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1979.
4.Кострикин А.И. Введение в алгебру – М.: Наука, 1979.
5.Лысенко Ф.Ф. Алгебра и теория чисел. Конспект лекций – РГПУ, 2000.
6.Завало С.Т. и др. Алгебра и теория чисел – Киев: Высшая школа, 1980.
7.Энциклопедия элементарной математики. Арифметика – ГИТТЛ, 1951.
8.Виндебг Э.Б. Алгебра многочленов – М.: Просвещение, 1980.
9.Бухштаб А.А. Теория чисел – М.: Просвещение, 1966.
10. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебры – М.: Наука, 1979.
11. Куликов А.Я. и др. Сборник задач по линейной алгебре – М.: Наука, 1993.
12. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре – М.: Наука, 1974.
13. Солодовников А.С., Родина М.А. Задачник – практикум по алгебре – М.: Просвещение,
1985.
14. Нечаев В.А. Задачник – практикум по алгебре – М.: Просвещение, 1983.
15. Михелович Ш. Теория чисел.
16. Виноградов И.М. Основы теории чисел – М.: Наука, 1976.
10
11
Основы дискретной математики
1.Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М., «Просвещение», 1981 г.
2.Эдельман С.Л. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., «Высшая школа», 2001г.
4.Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М., «Высшая школа», 2000 г.
5.Курош А.Г. Курс общей алгебры. М., «Высшая школа», 2000 г.
6.Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М., «Мир», 1971 г.
7.Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М., «Мир», 1989 г.
Математическая логика и теория алгоритмов
1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. Саратов: Изд. Сарат. ун-та,
1991.
2. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике М.: Просвещение, 1986.
3. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.
4. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976.
5. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973.
6. Эдельман С.Л. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
7. Лихтарников Л.М., Сукачёва Т.Г. Математическая логика. Курс лекций, задачникпрактикум. С.-Пб, Изд-во «Лань», 1998.
8. Гетманова А.Д. Логика. М.: Новая школа, 1995.
Численные методы
1. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М., 1978.
2. Березин И.С., Жидов Н.П. Методы вычислений. Ч.1. М., 1966.
3. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. -М., 1992.
4. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М., 1987.
5. Абросимов Л.И. Конспект лекций по курсу моделирования систем. Модели с элементами
алгебры логики. -М., 1978.
6. Колесников Г.С., Прохоров А.Г. Иммитационное моделирование систем. -М., 1990.
7. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. -М.: Наука, 1987.
8. Амелькин В.В., Садовский А.Л. Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: ВШ,1982.
9. Игнатенко В.Н., Краскевич В.Е., Юрченко Ю.П. Моделирование систем. Текст лекций. Киев, 1978.
11
12
Исследование операций
1.
Л.Я. Куликов, Алгебра и теория чисел – М.: Высшая школа, 1979.
2.
Алманов С.А., Тихонов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях – М.: Наука,
1991.
3.
Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование, теория, методы и приложения –
М.: Наука, 1969.
4.
Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование – М.: Наука, 1967.
5.
Карманов В.Г. Математическое программирование – М.: Наука, 1975.
6.
Гасс С. Линейное программирование (методы и приложения) – М.: Физматгиз, 1961.
7.
Сухарев А.Г., Тихонов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации – М.: Гл. ред. ф.-м.
лит., 1986.
8.
Вентцель Е.С. Исследование опрераций – М.: Советское радио, 1972.
9.
Гермейер Ю.Б., Введение в теорию исследования операций, М.: Наука, 1971.
10. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое
программирование: Учеб.- Под общ. ред. А.В.Кузнецова. – Мн.:Выш.шк.,2001.
11.
Кузнецов А.В., Костевич
12. Вайда Ф. Теория игр и линейное программирование, в сборнике «Линейные неравенства и
смежные вопросы» - М.: ИЛ, 1959.
13. Дрешер М. Стратегические игры – М.: Советское радио, 1964.
14. Льюс Р., Райфа Х. Игры и решения – М.: ИЛ, 1961.
15. Беллман Р. Динамическое программирование – М.: ИЛ, 1959.
16. Лейтман Д. Введение в теорию оптимального управления – М.: Наука, 1968.
II. Программа по геометрии
Дисциплина «Геометрия» состоит из следующих курсов:
1.Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.
2.Основания геометрии.
3.Дифференциальная геометрия и топология.
4.Проективная геометрия. Конструктивная геометрия. Методы изображений.
Пропедевтическим является курс «Математические модели, методы и теории».
I тема. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Векторное пространство. Умножение 2 и 3 и большего числа векторов, скалярное,
12
13
векторное, векторно-скалярное и векторно-векторное произведения векторов. Роль, значимость
векторов при изучении геометрии, в аксиоматическом построении научного знания.
II тема. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Преобразование плоскости. Группы и подгруппы преобразований. Преобразование
движения плоскости. Подобие. Групповой подход к построению геометрии.
III тема. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Метод координат на плоскости и в пространстве. Уравнения, их геометрическое
истолкование. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых
и плоскостей в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка.
IV тема. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Моделирование
проективной
плоскости
и
проективного
пространства.
Группа
проективных преобразований. Коллинеации и корреляции.
V тема. МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Центральное и параллельное проектирование. Метод Монжа. Проекционный чертеж.
Требования к нему. Понятие полноты и метрической определенности чертежа. Позиционные и
метрические задачи. Задачи на построение сечений геометрических тел.
VI тема. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Геометрия плоских и пространственных кривых. Сопровождающий трехгранник
кривой. Уравнения касательной, главной нормали, бинормали, спрямляющей, соприкасающейся
и нормальной плоскостей. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.
Поверхности. Параметризация. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Первая квадратичная форма и ее приложения. (Длина линий на поверхности, угол между
линиями на поверхности, площадь поверхности.). Вторая квадратичная форма поверхности.
Кривизна линий на поверхности. Кривизна поверхности. Замечательные линии на поверхности.
Внутренняя геометрия поверхности.
VII тема. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ
Топологические пространства. Гомеоморфизм. Топологические свойства проективной
плоскости. Топологическая классификация замкнутых поверхностей.
VIII тема. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Аксиоматический метод построения геометрии. Требования к системе аксиом. Системы
аксиом Гильберта, Вейля. Аксиоматика школьного курса геометрии.
Геометрия Лобачевского. Историческая значимость. Непротиворечивость геометрии
Лобачевского. Общее и различное в теории параллельных на плоскостях Евклида, Лобачев ского
13
14
и Римана.
ВОПРОСЫ К ВСТУПИТЕЛЬНОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО ГЕОМЕТРИИ
1.
Сущность координатного метода и координатно-векторного метода в геометрии. Пример
исследования взаимного положения двух прямых на плоскости указанным методом.
2.
Скалярное произведение векторов, его свойства, приложения.
3.
Векторное произведение векторов, его свойства, приложения.
4.
Смешанное произведение векторов, его свойства, приложения.
5.
Изучение кривых второго порядка в канонической форме на примере одной из них.
6.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
7.
Метрические задачи теории прямой в пространстве: расстояние от точки до прямой,
расстояние между прямыми в пространстве, угол между прямыми.
8.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
9.
Движения и их частные виды. Группа движений и её подгруппы.
10. Группа подобий плоскости, её подгруппы. Приложение к решению задач.
11. Группа аффинных преобразований плоскости и её подгруппы. Приложение аффинных
преобразований к решению задач.
12. Проективная прямая и проективная плоскость. Различные модели проективной прямой и
проективной плоскости.
13. Принцип двойственности и его роль в проективной геометрии. Примеры двойственных
фигур и теорем.
14. Проективные преобразования. Коллинеации и корреляции. Группа проективных
преобразований. Групповой подход к построению геометрии.
15. Изображения плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
16. Позиционные и метрические задачи на проекционном чертеже.
17. Аксиоматический метод построение научного знания. Требования к системе аксиом.
18. Система аксиом Гильберта евклидова пространства и ее непротиворечивость.
19. Система аксиом Вейля евклидова пространства и ее непротиворечивость.
20. Плоскость
Лобачевского.
Непротиворечивость системы аксиом
Лобачевского.
14
плоскости
15
21. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Основные свойства
параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского.
22. Линии в евклидовом пространстве. Теория кривизны плоских и пространственных
кривых.
23. Сопровождающий трёхгранник кривой. Формулы Френе.
24. Поверхности в евклидовом пространстве. Полная и средняя кривизны поверхности.
25. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
Литература
Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми
1.
сведениями из алгебры с приложением собрания задач, снабженных решениями, составленного
А.С. Пахоменко. М.: Наука, 1968.
2.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Физматгиз, 1990
3.
Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1966.
4.
Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости, М.: Учпедгиз, 1957.
5.
Аргунов Б.И., Парнасский И.В. и др. Задачник-практикум по геометрии. Ч 2. Учебное пособие
для студентов-заочников. М.: Просвещение, 1979.
6.
Атанасян Л.С. Геометрия Лобачевского М.: Просвещение, 2001
7.
Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.1. М.: Просвещение, 1973.
8.
Атанасян Л.С.. Базылев В.Т. Геометрия. (В 2-х частях) Ч.1. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1986,
1987.
Атанасян Л.С., Атанасян В.Л. Сборник задач по геометрии. Учеб. пособие для студентов физ.-
9.
мат. фак. пед. ин-тов. Ч.2. М.: Просвещение, 1975.
10.
Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Ч.1. М.: Просвещение, 1974.
11.
Базылев В.Т., Дуничев К.И. и др. Сборник задач по геометрии М.: Просвещение, 1980.
12.
Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. В 2ч. Ч.1. Ч.2. СПб., 1997.
13.
Выготский М.Я. Дифференциальная геометрия. М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
14.
Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
15.
Глаголев Н.А. Проективная геометрия. М., 1963.
16.
Гусев В.А., Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике.
Геометрия. Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей пединститутов и учителей.
М.: Просвещение, 1992.
17.
Гуревич Г.Б. Проективная геометрия. М., 1960.
15
16
18.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия М., 1961
19.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. Серия: «Курс высшей математики и
математической физики». М.: Наука, 1971.
20.
Каган В.Ф. Основания геометрии. М., 1949. Т.1.
21.
Костин В.И. Основания геометрии. М.: Учпедгиз, 1948.
22.
Комиссарук А.М. Проективная геометрия в задачах. Мн., 1971.
23.
Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во МГУ, 1969.
24.
Норден А.П. Теория поверхностей. М.: Гостехиздат, 1956.
25.
Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М., 1958.
26.
Панкратов А.А. Начертательная геометрия. М.: Учпедгиз, 1963.
27.
Певзнер С.Л. Проективная геометрия: Учебное пособие по курсу «Геометрия» для студентов-
заочников физико-математических факультетов. М., 1980.
28.
Певзнер С.Л.,
Цаленко М.М. Задачник-практикум по проективной геометрии. Учебное
пособие по курсу «Геометрия» для студентов-заочников физико-математических факультетов. М.,
1982.
29.
Постников М.М. Аналитическая геометрия М.: Наука, 1973
30.
Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1966.
31.
Потоцкий М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. М., 1956
32.
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1974.
33.
Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехиздат, 1956.
34.
Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка.
М.: Физматгиз, 1961.
35.
Сборник задач и упражнений по дифференциальной геометрии/ Под ред. В.Т. Воднева. Минск,
1970.
36.
Трайнин Я.Л. Основания геометрии. М., 1961
37.
Жафяров А.Ж. Геометрия: Учебное пособие: В 2-х ч. Ч.1.- Новосибирск: Сиб. Унив. Изд-во,
2002.
38.
Фиников С.П. Дифференциальная геометрия. М.: Учпедгиз, 1955.
39.
Фиников С.П. Теория поверхностей. М.; Л.: Гостехиздат, 1934.
40.
Четверухин Н.Ф. Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии. М.: Учпедгиз, М. 1946
41.
Четверухин Н.Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. М., 1955.
I.
Программа по математическому анализу.
II.
16
17
I. Введение в математический анализ.
1. Предмет математического анализа. Преемственная связь со школьным курсом
математики.
2. Функции. Композиция функций. Арифметические действия над функциями. Числовые
последовательности и их предел, подпоследовательности.
3. Единственность предела. Теорема о пределе подпоследовательности. Предел фунции.
Арифметические действия с последовательностями и функциями, имеющими предел. Теорема
Гейне. Критерий Коши. Предел суперпозиции функций. Предельный переход в неравенствах.
Первый замечательный предел.
4. Бесконечно малые последовательности, их свойства и сравнение. Бесконечно большие
последовательности и их свойства. Предел монотонной последовательности. Число е. Теорема
Больцано - Вейерштрасса.
5. Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические операции над
непрерывными функциями. Непрерывность суперпозиции функций.
6. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы о промежуточных значениях
функции, о непрерывности обратной функции к монотонной, об ограниченности, достижении
наибольшего и наименьшего значений, равномерной непрерывности.
II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
1. Производная и дифференциал, их геометрический и механический смысл. Непрерывность
дифференцируемой функции. Дифференцирование сложной, параметрически заданной функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Механический смысл второй производной.
2. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения. Теоремы Ферма,
Лагранжа, Коши. Правила Лопиталя. Формула Тейлора и ее применение к исследованию функции
и вычислению пределов. Исследование функций на монотонность. Экстремум, необходимое и
достаточные условия экстремума. Нахождение наибольших и наименьших значений функции.
Точки перегиба. Наклонные асимптоты функции. Построение графика.
3. Элементарные функции, их непрерывность и дифференцируемость.
4. Кривая. Спрямляемость непрерывно дифференцируемой кривой и формула вычисления
длины.
III. Интегральное исчисление функции одной переменной.
1. Задача восстановления функции по ее производной. Первообразная функция,
неопределенный интеграл и его свойства. Метод интегрирования по частям и метод замены
переменной. Методы интегрирования рациональных и иррациональных функций.
17
18
2. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Суммы Дарбу, их свойства. Критерий интегрируемости функции. Классы интегрируемых
функций. Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним
пределом и его свойства – непрерывность и дифференцируемость. Первая теорема о среднем..
Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и заменой переменной.
4.
Несобственные
интегралы.
Определение
несобственных
интегралов.
Признаки
сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость
несобственных интегралов.
IV. Ряды
1.
Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся ряды. Необходимое условие
сходимости ряда. Гармонический ряд. Критерий Коши. Критерий сходимости положительного
ряда. Признаки сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Маклорена-Коши.
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
2. Функциональные последовательности и ряды. Область сходимости. Равномерная
сходимость. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящегося
ряда: непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование.
3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Равномерная
сходимость, интегрирование и дифференцирование. Ряд Тейлора. Разложение элементарных
функций в степенной ряд.
4. Ряды Фурье по тригонометрической системе функций. Теорема Липшица. Разложение
кусочно-гладкой функции в ряд Фурье. Теорема Фейера. Неравенство Бесселя и равенство
Парсеваля.
V. Функции нескольких переменных.
1. Функции нескольких переменных, предел и непрерывность.
2. Частные производные и дифференциал, их геометрический смысл. Необходимое и
достаточное
условия
дифференцируемости.
Касательная
плоскость.
Дифференцирование
сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и
дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Безусловный экстремум, необходимое и
достаточные условия . Условный экстремум. Теорема Лагранжа.
3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Измеримые по Жордану
множества и их свойства. Определение кратного интеграла по параллелепипеду и жорданову
множеству, его вычисление сведением к повторному (теорема Фубини).
4. Приложение определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур в
18
19
декартовых и полярных координатах. Вычисление объемов тел вращения. Принцип Кавальери.
Вычисление длины гладкой дуги. Дифференциал дуги. Двойной интеграл в полярных
координатах. Тройной интеграл в сферической и цилиндрической системах координат.
5. Криволинейные интегралы первого и второго рода по гладкой кривой и формулы их
вычисления. Формула Грина-Остроградского и её следствия.
VI. Дифференциальные уравнения.
1.
Задачи,
приводящие
к
дифференциальным
уравнениям.
Основные
типы
дифференциальных уравнений первого порядка. Теорема существования и единственности
решения уравнения первого порядка.
2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение
порядка. Сведение уравнения n-ого порядка к нормальной системе уравнений.
3. Линейные уравнения. Пространство решений однородного линейного уравнения n-го
порядка. Фундаментальные системы решений, общее решение, вронскиан. Формула Якоби Остроградского.
4. Неоднородное линейное уравнение, структура общего решения. Метод вариации
постоянных решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
ВОПРОСЫ К ВСТУПИТЕЛЬНОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
1. Бесконечно малые последовательности, их свойства и сравнение.
2. Теорема Больцано - Вейерштрасса.
3. Теорема Лагранжа.
4. Правила Лопиталя.
5. Формула Тейлора.
6. Необходимое и достаточное условия экстремума функции.
7. Наклонные асимптоты функции.
8. Элементарные функции, их непрерывность и дифференцируемость (по выбору).
9. Определение кривой. Спрямляемость непрерывно дифференцируемой кривой.
10. Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману.
11. Интеграл с переменным верхним пределом – его непрерывность и дифференцируемость.
12. Формула Ньютона-Лейбница.
13. Метод замены переменной в интеграле Римана.
14. Интегральный признак Маклорена-Коши сходимости ряда.
15. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
19
20
16. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
17. Теорема Абеля. Определение интервала и радиуса сходимости степенного ряда.
18. Разложение элементарных функций в степенной ряд (по выбору).
19. Теорема Липшица о разложение функции в ряд Фурье.
20. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции многих переменных.
21. Необходимое и достаточное условия безусловного экстремума функции многих переменных.
22. Вычисление кратного интеграла по параллелепипеду и жорданову множеству сведением к
повторному (теорема Фубини).
23. Формула Грина-Остроградского и её следствия.
24. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциальные уравнения nго порядка.
25. Метод вариации постоянных для решения линейного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. -М.: Наука, 1969.
2. Бохан К.А., Егорова ИА., Лащенов К.В. Курс математического анализа -М.: Просвещение,
1972, т. 1-2
3. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу.
М.: Просвещение, 1973.
4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. -М.: Наука, 1977.
5. Задачник по курсу математического анализа (Под редакцией Виленкина Н.Я.). -М.:
Просвещение, 1971, ч. 1-2.
6. Зорич В.А. Математический анализ. -М.: Наука, 1981, ч. 1.
7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. -М.: Наука, 1982, ч.1;1983,ч.2.
8. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. -М.: Высшая школа, 1989, т. 1-3.
9. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. -М.: Просвещение, 1968.
10. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.:
Высшая школа, 1967.
11. Никольский С.М. Курс математического анализа. -М.: Наука, 1973, т. 1-2.
12. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. -М.: Просвещение,1981.
13. Райков Д.А. Многомерный математический анализ. -М.: Высшая школа, 1989.
14. Райков Д.А. Одномерный математический анализ. -М.: Высшая школа, 1982.
15. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
20
21
16. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1958.
17. Тихонов А.Н., Васильев А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука,
1980.
19. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1967,
т. 1-3.
20. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1967, т. 1-2.
IV. Программа по теории и методике обучения математике
Дисциплина «Технология и методика обучения математике» состоит из 3 разделов:
1. Теоретико-методические основы школьного математического образования.
2. Педагогические технологии обучения математике.
3. Теория и методика обучения математике в основной школе: обучение математике в 5-6
классах, обучение алгебре и геометрии в 7-9 классах.
Раздел «Теоретико-методические основы школьного математического образования»
является вводным к указанной дисциплине и выступает в качестве связующего звена между
психолого-педагогическими
основами теории обучения и курсом методики преподавания
математики
Основная цель – формирование методической компетентности будущих учителей
математики
в части
современных
теоретических
и
методических проблем школьного
математического образования, основополагающих умений и навыков проектирования и
моделирования процесса обучения математике в школе.
В содержание данного раздела входит:
-
история и современное состояние школьного математического образования;
-
специфические особенности процесса обучения математике как одного из видов
образовательного процесса;
-
понятие о структуре и содержании школьного математического образования;
-
понятие о структуре математики как науки, основных компонентах содержания
математического образования – математических понятиях, математических предложениях, и
их доказательствах, алгоритмах, задачах и т.п.
Методические основы математического образования, к которым мы относим:
-
образовательные программы по математике и стандарты математического образования;
-
научные методы, математические методы и методы обучения, используемые в школьном
математическом образовании;
21
22
-
средства обучения математике, в том числе учебники и учебные пособия по математике;
-
методики изучения математических понятий, математических предложений и их
доказательств, математических задач, алгоритмов
и т.д.
-
основные формы обучения математике, урок математики.
Раздел «Педагогические технологии обучения математике» нацелен на углубление и
расширение педагогической и методической компетентности студентов, на формирование умений
проводить анализ авторских технологий и образовательно-методических систем, на развитие
конструктивных умений, связанных с оптимальным моделированием предметно-педагогических
технологий по заданным целям и условиям.
Раздел «Теория и методика обучения математике в основной школе: методика
обучения алгебре и геометрии в 7- 9 классах, » предполагает:
-
раскрытие значения математики в общем и профессиональном образовании человека;
-
показ взаимоотношения школьного курса математики с математикой как наукой и
важнейшими областями её применения;
-
осознанное усвоение студентами структуры и содержательной основы современных
школьных программ, базовых и альтернативных учебников, методических пособий,
дидактических материалов, а также глубокое понимание заложенных в них методических идей.
Данный раздел включает:
-
общие вопросы методики обучения алгебры и геометрии в основной школе;
-
частнометодические основы изучения алгебры и геометрии 7-9 классах.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Предмет теории и методики математического образования.
Предмет методики обучения математике, связь методики обучения математики с другими
науками, цели и основное содержание обучения математике в школе.
Математическое образование в современной школе. Современное состояние школьного
математического
образования:
роль
математического
образования
в
современных
образовательных системах; основные направления обновления школьного математического
образования
(гуманизация,
гуманитаризация,
уровневая
и
профильная
дифференциация,
интеграция и др.) и изменение его целей (от обучающих, воспитательных и развивающих к
прогностическим, мировоззренческим, личностно- ориентированным).
Математическое образование и развитие.
Специфические особенности
развития мышления в процессе обучения математике. Развитие
22
23
логичности мышления,
пространственного мышления в процессе изучения геометрии.
Математические способности, их диагностика и развитие.
Процесс обучения математике как один из видов образовательного процесса. Основные этапы
процесса
обучения
математике.
Принципы
дидактики
в
современном
математическом
образовании.
Основные методы, используемые в школьном математическом образовании. Проблема
методов на современном этапе развития школьного математического образования. Классификации
методов. Научные методы в обучении математике: анализ и синтез, сравнение и аналогия,
обобщение, абстрагирование и конкретизация. Математические методы и методика их
использования в обучении математике, особенности использования метода математического
моделирования в школьном курсе математики. Методы обучения в школьном курсе математики:
методы организации (словесные, наглядные и практические), стимулирования и контроля.
Средства обучения математике. Классификация средств обучения математике, печатные,
наглядные и технические средства обучения математике. Использование компьютера в обучении
математике.
Методика изучения основных компонентов содержания математического образования.
Специфические особенности математики как науки. Математические теории, их структура,
основные математические объекты.
Математические понятия и методика их формирования. Математическое понятие, его объем
и содержание. Определение понятия; требования к определению. Методика формирования
математических понятий: индуктивный и дедуктивный методы формирования математических
понятий, основные этапы их формирования; учебные действия, связанные с формированием
понятия (проведение под понятие, выведения следствий из факта существования понятия,
классификация понятий).
Математические предложения и их доказательства в школьном курсе математики. Теоремы
и аксиомы как виды математических предложений. Логическое строение математических теорий.
Связь аксиом, определений и теорем. Аксиомы, требования к системе аксиом школьного курса
математики, методика изучения аксиом. Теоремы, структура теорем; виды теорем. Методика
изучения структуры теоремы
и взаимосвязей теорем. Доказательство теорем: понятие
доказательства, структура доказательства, виды доказательств. Методика обучения различным
видам доказательства. Основные этапы методики обучения доказательству теорем в школьном
курсе математики: пропедевтика, мотивация доказательства, методика обучения поиску
доказательства, методика оформления доказательств. Применение теорем при доказательстве
других утверждений и решении задач.
23
24
Задачи в школьном курсе математики. Роль и функции задач в обучении математике.
Понятие школьной математической задачи, её структура. Классификации задач школьной
математики. Общая методика обучения решению задач: работа с условием, поиск решения,
оформление, анализ полученного решения.
Структура и содержание школьного математического образования.
Образовательные программы по математике. Различные варианты образовательных
программ
по
математике:
базовая,
углубленного
обучения,
гимназическая,
лицейская,
компенсирующего обучения, индивидуального обучения, программа для колледжей и др.
Стандарты математического образования. Базисный учебный план по математике, учебные
программы.
Содержательно-методические линии школьного математического образования: понятие о
содержательно- методической линии, общая характеристика содержательно- методических линий
школьного курса математики, целеполагание при организации изучения содержательнометодических линий.
Основные школьные математические курсы. Краткая характеристика курсов математики,
алгебры, геометрии, алгебры и начал анализа. Проблемы учебников по основным школьным
математическим курсам: требования к современным учебникам математики, разнообразие
учебников математики, выбор учебника учителем математики. Краткая характеристика основных
школьных учебников математики.
Темы школьного курса математики. Понятие темы. Структура темы. Логико-математический
анализ темы. Методический анализ темы. Целеполагание. Методическая разработка темы.
Основные формы организации обучения математике.
Урок математики. Требование к современному уроку математики. Классификация уроков
математики. Структура уроков математики. Система подготовки учителя к урокам математики.
Анализ урока.
Инновационные
формы
обучения
математике.
Школьные
лекции,
семинарские,
практические и лабораторные занятия, экскурсии. Учебная игра как форма обучения математике.
Взаимосвязь урока математики с другими формами организации обучения математике.
Педагогические технологии обучения математике
Педагогические технологии. Основные понятия. Структура.
Классификация технологий по различным признакам. Проектирование и конструирование
педагогических технологий.
24
25
Авторские технологии обучения математике, их многомерный анализ. Анализ технологий
обучения математике Шаталова В.Ф., Эрдниева П.М., Хазанкина Р.Г., Гузеева В.В. и др.
Технологический анализ различных методических систем обучения математике
Роль и особенности технологического построения процесса обучения математике в системе
личностно- ориентированного образования.
Педагогические
технологии
в
системе
развивающего
обучения
и
принципы
их
конструирования.
Характеристика технологий обучения математике
Проблемно- поисковые технологии в системе обучения математике
Общие черты любых проблемно- поисковых технологий.
Инварианты проблемно- поисковых технологий.
Различные варианты проблемно- поисковых технологий.
Технология проблемного обучения математике
Целевое назначение. Последовательность этапов и приемы их реализации. Содержательная
основа. Контроль и управление. Пути дифференциации. Условия применения. Методическое
обеспечение.
Технология групповой творческой деятельности и методика ее использования в обучении
математике (“Мозговая атака”, Дискуссии)
Целевое
назначение.
Способы
организации.
Содержательная
основа.
Факторы,
побуждающие активную творческую деятельность. Диалоговая культура межличностного
взаимодействия в интеллектуальном споре. Управление, контроль. Условия выбора данной
технологии.
Технология модульного обучения в школьном математическом образовании
Целевое
назначение.
Пути
организации
самостоятельного
изучения
математики.
Мотивационное управление самостоятельной работой учащихся. Особенности содержания, его
модульность.
Методическое
обеспечение
индивидуализированной
работы
учащихся.
Структурирование деятельности учащихся в логике этапов усвоения знаний. Система действий
учителя по разработке модульной программы. Контроль и коррекция знаний и умений. Условия
применимости данной технологии. Особенности проведения модульных уроков математики.
Технологии моделирующего обучения
в школьном
математическом
образовании
(дидактические игры)
Роль дидактических игр в традиционном обучении математике. Назначение их в
развивающем обучении. Варианты технологий на основе учебной игры. Инвариантные элементы.
Виды учебных игр. Условия применимости технологии. Личностная ориентация. Комплексность
контроля результативности.
25
26
Технология программированного обучения математике
Целевое назначение. Адаптивность программ. Детальная конкретизация последовательных шагов
в усвоении учебного материала. Особенности управления. Индивидуализация контроля.
Методическое обеспечение. Компьютерное обеспечение. Индивидуализация контроля.
Технология дифференцированного обучения математике
Различные подходы к конструированию технологии. Системность дифференцирования.
Личностная
ориентация.
Многомерность
целей.
Различные
виды
диагностик.
Оценка
результативности.
Опыт учителей математики школ г. Ростова в моделировании различных вариантов
дифференцированного обучения.
Технология гуманитаризации в обучении математике
Целевое назначение. Основные компоненты технологии гуманитаризации, ее модульность.
Дидактический модуль. Деятельностный модуль. Интеграция математики с гуманитарным циклом
наук.
Конструирование
и
проектирование
технологии
гуманитаризации
образования
в
преподавании математики.
Методика изучения числовых систем
Теоретические основы: понятие числа в математике, числовые множества, числовые
системы (структуры).
Роль и место понятия числа в курсе математики 5- 6 классов. Преемственность с начальным
курсом математики. Различные дидактические подходы к расширению понятия числа, отражение
их в современных учебниках математики 5- 6 классов.
Методика изучения множества натуральных чисел: методика введения понятия о
натуральных числах, методика изучения числа «О», методика изучения действий над
натуральными числами и числом «О».
Различные методические подходы к изучению дробей в курсе математики 5- 6 классов.
Методика изучения обыкновенных дробей. Методика изучения десятичных дробей.
Методика изучения положительных и отрицательных чисел. Координатный метод в курсе
математики 5- 6 классов. Рациональные числа.
Общие вопросы методики обучения алгебре в основной школе. Алгебра как учебный
предмет.
Содержание курса алгебры в основной школе. Цели, задачи обучения алгебре. Особенности
учебной программы. Начальные трудности. Учебно-методическое обеспечение курса алгебры.
Образовательные стандарты по курсу алгебры основной школы. Внутри предметные и
межпредметные связи курса алгебры. Методика формирования алгебраических понятий.
Особенности
решения
задач
в
курсе
алгебры.
26
Преподавание
алгебры
через
задачи.
27
Алгоритмизация курса алгебры. Различные виды уроков алгебры и их планирование.
Дифференциация обучения на уроках алгебры.
Выражения и их преобразования
Алгебраические выражения. Методика изучения понятий одночлена и многочлена и
операции над ними. Алгебраические равенства. Формулы. Рациональные приемы тождественных
преобразований алгебраических выражений. Методика изучения различных способов разложения
многочленов на множители.
Алгебраические дроби. Методика изучения операций над алгебраическими дробями,
алгоритмизация операций.
Уравнения и неравенства.
Научно-методические подходы к формированию понятий уравнения и неравенства. Логикоматематический и дидактический анализ развития понятия уравнения и методов решения
различных классов уравнений (систем уравнений). Методика изучения линейных и квадратных
уравнений и неравенств, аналитические и графические способы их решения.
Функции
Функции. Методика обучения решению текстовых задач методом уравнений. Научнотеоретические основы понятия функции. Прикладное и практическое значение теории функций.
Методика
изучения
числовых
функций:
линейной,
квадратичной,
степенной.
Методика
формирования умений строить и читать графики функций, вести исследование свойств функций
на наглядной основе, применять правила преобразования графиков. Начальные сведения о
тригонометрических функциях и их прикладном значении. Числовые последовательности, их
связь с функциями. Методика изучения арифметической и геометрической прогрессий.
Общие вопросы методики обучения геометрии в основной школе.
Содержание курса геометрии основной школы. Цели обучения геометрии в основной школе.
Содержание курса геометрии основной школы. Различные подходы к построению курса
планиметрии. Альтернативные учебники (критерии сравнения: принципы изложения материала,
система упражнений, связь с жизнью, доступность, язык изложения, полиграфическое оформление
и др.). Образовательные стандарты в курсе геометрии основной школы.
Логическое строение курса геометрии основной школы. Аксиоматический метод в курсе
геометрии основной школы. Методика ознакомления учащихся основной школы с логическим
строением курса планиметрии.
Математические предложения и доказательства в курсе геометрии основной школы.
Математические предложения. Аксиомы теоремы. Классификация теорем. Доказательства в курсе
геометрии основной школы. Индукция и дедукция как основные приемы обоснования
математических предложений. Воспитание потребности в логическом доказательстве. Методика
27
28
обучения доказательству теорем.
Методика обучения решению задач в курсе геометрии основной школы. Классификация
геометрических
задач.
Методика
обучения
решению
задач
на
вычисление.
Методика
использования задач на готовых чертежах в курсе геометрии основной школы.
Начала систематического курса геометрии. Методика изучения основных неопределяемых
понятий. Методика изучения аксиом и первых теорем. Методика изучения простейших
геометрических фигур (отрезок, луч, угол).
Методика изучения взаимного расположения прямых на плоскости. Параллельность
прямых в курсе геометрии основной школы. Перпендикулярность прямых в курсе геометрии
основной школы.
Методика изучения геометрических фигур в курсе геометрии основной школы.
Геометрические
фигуры
в
курсе
геометрии
основной
школы.
Методика
изучения
многоугольников. Методика изучения окружности и круга.
Методика изучения геометрических построений в курсе геометрии основной школы.
Элементарные построения. Формирование конструктивных умений и навыков. Методика
обучения решению задач на построение.
Методика
изучения
геометрических
преобразований
плоскости.
Понятие
геометрических преобразований плоскости в школьной геометрии. Равенство фигур в курсе
геометрии основной школы. Методика изучения подобия фигур.
Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии основной школы.
Понятие величины в школьном курсе геометрии. Методика изучения длин в курсе геометрии
основной школы. Методика изучения площадей фигур в курсе геометрии основной школы.
ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ГОСУДАРСТВЕННОЙ АТТЕСТАЦИИ
1.
Методы обучения математике в средней школе: проблема методов обучения, понятие
метода обучения, классификация методов обучения.
2.
Методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности учащихся
при обучении математике (на примере конкретной темы школьного курса математики).
3.
Методы стимулирования и мотивации, методы контроля и самоконтроля при обучении
математике (на примере конкретной темы школьного курса математики).
4.
Анализ, синтез, индукция, дедукция в обучении математике (на примере конкретной
темы школьного курса математики).
5.
Методика организации самостоятельной деятельности
учащихся при обучении
математике: понятие самостоятельной работы, виды самостоятельных работ, характеристика
самостоятельных работ различных видов (на примере конкретной темы школьного курса
28
29
математики).
6.
Методика формирования математических понятий: сущность понятия, содержание и
объем понятия, определение математических понятий, виды определений, классификация,
основные требования к определению, методы введения математических понятий.
7.
Методика обучения решению задач в средней школе: роль и функции задач в процессе
обучения математике, этапы работы над задачей, способы оформления задач, использование задач
на различных этапах обучения математике.
8.
Урок – основная форма организации обучения математике, современные требования к
уроку математики, различные типы и виды уроков математики, их характеристика, этапы анализа
урока математики.
9.
Современные технологии обучения математике: понятие технологии обучения,
классификация, характеристика технологий обучения математике.
10. Алгебра как учебный предмет. Структура курса, содержательные основы, задачи курса.
11. Методика изучения числовых систем в школьном курсе математики: цели, основные
этапы, различные схемы развития понятия числа, условия расширения числовых множеств, общая
методика введения новых чисел, методические особенности изучения конкретных числовых
множеств.
12. Методика изучения функций в школьном курсе математики: логико-математический
анализ функциональной линии, цели и основные этапы изучения, различные подходы к
определению понятия функция, анализ современных учебников, общая методическая схема
изучения конкретного класса функций.
13. Методика изучения уравнений, неравенств, систем в школьном курсе математики:
логико-математический анализ, цели и основные этапы изучения, методика формирования
понятия «равносильность», общие методы решения, методические особенности изучения
конкретных видов уравнений.
14. Методика
изучения
тригонометрии
в
школьном
курсе
математики:
логико-
математический анализ темы, цели и основные этапы изучения, различные подходы к
определению тригонометрических функций, анализ современных учебников, методика изучения
тригонометрических уравнений и преобразований тригонометрических выражений.
15. Методика изучения тождественных преобразований: логико-математический анализ,
роль и место тождеств в школьном курсе математики, особенности доказательства основных
тождеств,
особенности
конструирования
системы
задач
при
изучении
тождественных
преобразований.
16. Общие вопросы методики обучения геометрии: цели, содержание, логическое строение,
различные подходы к построению курса геометрии, анализ учебников.
29
30
17. Математические предложения и их доказательства в школьном курсе геометрии.
Методика обучения доказательству теорем.
18. Методика обучения решению геометрических задач: классификация, методические
особенности работы с задачами на вычисление, задачами на готовых чертежах.
19. Методика изучения геометрических построений на плоскости.
20. Методика изучения геометрических величин: понятие величины в школьном курсе
геометрии, методические особенности изучения длин, площадей.
21. Методика изучения многоугольников в курсе геометрии основной школы.
22. Методика изучения взаимного расположения прямых и плоскостей в курсе геометрии
основной школы.
ЛИТЕРАТУРА
Раздел «Теоретико-методические основы школьного математического образования»
1. Алгебра: Учебник для 7, 8, 9 классов средней школы / Алимов Ш А . Колягин ЮМ,
Сидоров Ю и др. -М., 1997. 1998.
2. Ангеловский К. Учителя и инновации. - М., 1991.
3. Антоновский М.Я., Левитас Г.Г. Учебное оборудование на уроках алгебры. - М ., 1980.
4. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса М .. 1982
5. Болтянский В.Г. Как устроена теорема?// Мат. в шк. 1973. № 1.
6. Буткин
Г.А.
Формирование умений, лежащих
в основе геометрических
доказательств // Формирование приемов математического мышления. М., 1995.
7. Виленкин Н.Я., Жохов В.И и др. Математика 5,6 кл. Мнемозина. 1996- 98
8. Гибш И.А. Методика обучения алгебре в 6 классе. – М. , 1985.
9. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем М., 1981.
10. Доброва О.Н. Методические рекомендации к курсу алгебры 6- 8 классов. - М., 1985.
11. Дудницын К. П. Пояснительная записка к стандартам математического образования // Мат. в
шк. 1998. № 3.
12. Каплан Б.С, Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике. Минск.
1981.
Колягин Ю.М. Оганесян В.А. Учись решать задачи М., 1980.
13. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. / Под
ред. Е.И. Лященко. М ., 1988.
14. Лернер И.Я. Учебный предмет, тема, урок. М., 1988.
30
31
15. Лященко Е . И . , Радионова Н.Ф., Регуш Л.А., Стефанова Н.Л.
Развернутые планы
лекций и учебные задания для студентов по курсу теоретические основы обучения
математике». СПб., 1997.
16. Методика преподавания математики. Общая методика/ Сост. Р.С. Черкасов, А.А.Столяр.
М., 1985.
17. Монахов В.М. Формирование алгоритмической культуры школьника при
обучении
математике М., 1978.
18. Организация контроля знаний учащихся в обучении математике // Сост
З.Г.Борчугова, Ю.Ю. Батий М., 1980.
19. Пойа Д. Как решать задачу. М., 1959.
20. Попа Д. Математическое открытие. М., 1970.
21. Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Ростовна-Дону, 1997.
22. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. М ., 1999.
23. Программы педагогических институтов. Методика преподавания математики. Сб. №
8. М., 1988.
24. Средства обучения математике. //Сост. А.М.Пышкало. М., 1980.
25. Стандарт среднего математического образования. // Мат. в шк. 1993. №
3.
26. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск, 1986.
27. Талызина
Н.Ф.
Формирование
математических
понятий
//
Формирование
приемов математического мышления. М., 1995.
28. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач М., 1977
29. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М., 1984.
30. Черкасов P.C. История отечественного школьного математического образования // Мат. в
шк. 1997. №3,4.6.
31. Эрднпев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении
математике.
M., I986.
Раздел «Методическая система обучения геометрии в основной школе»
Основная:
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. Пробный учебник для 8-9 кл. средней
31
32
школы. М. 1991.
2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. средней школы. М. 1995.
3. Бевз Г.П. и др. Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений. М.
1994.
4. Бескин Н.М. Методика геометрии. М. 1947.
5. Груденов Я. И. Изучение определений, аксиом, теорем. – М: Просвещение, 1981 г.
6. Изучение геометрии в 7-9 классах. Методические рекомендации. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов
и др. М. 1997.
7. Колмогоров А.Н. и др. Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. М. 1979.
8. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Составители Р.С.
Черкасов, А.А. Столяр. М. 1985.
9. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика. М. 1987.
10.
Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-11 классов средней школы. М. 1987.
11.
Полякова Т.С. Методика обучения геометрии в основной школе. – Ростов н/Д: РГПУ, 1996.
12.
Программы средней общеобразовательной школы. Математика. М. 1994.
13.
Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия. Пробный учебник для 7-9 классов средней школы.
М. 1992.
14.
Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии. Планиметрия. М. 1959.
15.
Шарыгин И.Ф. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учебных
заведений. М. 1997.
Дополнительная:
1.
Брадис В. М., Минковский В. Л. Ошибки в математических рассуждениях. – М: Просвещение,
1967 г.
2.
Бурнина Н. «Методическая разработка «Доказательство от противного»» // Математика, № 39,
2002, с. 18.
3.
Гусев В. Л. О рассуждениях и доказательствах в курсе школьной геометрии. // Математика в
школе № 21, 2003 г., с. 11.
4.
Дубнов Я. С. Ошибки в геометрических доказательствах. – М: Наука, 1969 г.
5.
Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. – М: Просвещение, 1990 г.
6.
Крунич В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. –
М: Прометей, 1995 г.
7.
Крымова Л. Учимся рассуждать и доказывать. // Математика. № 20, 2002 , с. 21.
8.
Кулютин Ю. Н. Эвристические методы в структуре решений. – М: Педагогика, 1970 г.
9.
Лакатос И. Доказательства и опровержения. – М: Наука, 1967 г.
32
33
10.
Никольская И. Л. Привитие логической грамотности при обучении математики. Автореф.
конд. дис. – М: 1973 г.
11.
Оганесян В. А., Колягин Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе.
Общая методика. – М: Просвещение, 1980 г.
12.
Пойа Д. Математическое открытие. Пер. с англ. – М.: Наука, 1970 г.
13.
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с анг. – М: Наука, 1975 г.
14.
Преподавание геометрии в 6 – 8 классах: Сборник статей. Сост. В. А. Гусев. – М:
Просвещение, 1979 г.
15.
Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. –М: Просвещение, 1995 г.
16.
Терешин Н. Еще раз о доказательстве. // Математика № 35, 2002 г., с. 36.
17.
Формирование приемов математического мышления (Под редакцией Н. Ф. Талызиной) –
М: Вентана – Граф, 1995 г.
18.
Фридман Л. М. «Психолого–педагогические основы обучения математике в школе». – М:
Просвещение, 1983 г.
19.
Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе. – М: Просвещение, 1978 г.
Раздел «Теория и методика обучения математике в основной школе: методика обучения
математике в 1-6 классах, алгебре в 7- 9 классах»
Основная:
1. Алгебра: Учебник для 7, 8, 9 классов средней школы / Алимов Ш А . Колягин ЮМ, Сидоров
Ю и др. -М., 1997. 1998.
2.
Блох А.Я., Гусев В.А. Методика преподавания математики в средней школе. Частная
методика. – М., 1987.
3.
Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе [Учеб. пособие для пед.
ин-тов и гос. ун-тов] Под ред. А.И. Маркушевича. – М.: Учпедгиз, 1954.
4.
Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в
средней школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. Вузов. –
Тобольск: Изд-во ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000.
5.
Демидов В.П., Саранцев Г.И. Методика преподавания математики: Пособие для студентов
пед. институтов. – Саранск, 1976.
6.
Князева Л.Е. Методика преподавания числовых систем в 5-6 классах. – Ростов н/Д, 2003.
7.
Методика преподавания математики в восьмилетней школе. Под общ. Ред. С.Е. Ляпина. – М.:
Просвещение, 1965.
33
34
8.
Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики. Под ред. Ю. М.
Колягина, Г.Л. Луканкина и др. – М.: Просвещение, 1977.
9.
Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика. Сост. В.И. Мишин. –
М.: Просвещение, 1987. – 414с.С.90.
10. Пичурин Л.Ф. Методика преподавания математики в 4-5 классах. – М.: Просвещение, 1981.
11. Харьковская В.Ф. Методика преподавания алгебры в основной школе: Учебное пособие для
студентов педвузов и педколледжей. – Ростов н/Д: РГПУ, 1996.
Дополнительная:
1.
Борисов Н.И. Как обучать математике. - М: Просвещение, 1979.
2.
Епишева О.Б. Общая методика обучения математике – Тобольск: Изд-во ТГПИ им. Д.И.
Менделеева, 1999.
3.
Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. – М.:
Просвещение, 1988.
4.
Методические рекомендации к курсу алгебры 6-8 (7-9) классов// Математика в школе №4,5, с.
15.
5.
Преподавание алгебры в 6-8 классах: Сб. статей [Сост. Макарычев Ю.Н. и Н.Г. Миндюк]. –
Библиотека учителя математики. – М.: Просвещение, 1980.
6.
Преподавание алгебры и геометрии в школе: Из опыта работы. Пособие для учителей
[Сборник]. Сост. О.А. Боковнев. – М.: Просвещение, 1982.
7.
Преподавание математики в средней школе. Сб. трудов. – Л.: Ленинградский гос. пед. ин-т им.
Герцена. 1972.
8.
Преподавание математики в 4-5 классах: Сб. статей. [Сост. К.И. Нешков, С.И. Шварцбурд]. –
М.: Просвещение, 1975.
9.
Столяр А.А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – Минск:
Высшая школа, 1986.
34