Задачи с модулем

6класс
1.Доказать, что число 11…11(восемьдесят одна единица) делится на 81.
2.Найти двузначное число, которое от перестановки его цифр увеличивается
в 4.5 раза.
3.Подряд выписаны все целые числа от 1 до 100. Сколько раз в этой записи
встречаются цифры: а)ноль? б)единица? в)три?
4.Решить ребус
СМЕХ
+
ГРОМ
_______
ГРЕМИ
5.Найдутся ли натуральные числа x,y и z, удовлетворяющие уравнению
28x+30y+31z=365.
Три ежика делили 3 кусочка сыра массами 5,8 и 11 грамм соответственно. Лиса
стала им помогать. Ей разрешили от любых двух кусочков отрезать по 1 грамму
сыра (эти обрезки лиса съедает). Сможет ли лиса оставить ежикам равные
кусочки сыра?
Решить уравнение 2х=3[х]+4, где [х] - целая часть числа х, то есть наибольшее
ое число, не превосходящее х.
100 спортсменов, одетые в красные или синие костюмы, построились в одну
шеренгу. Оказалось, что если спортсмен в красном костюме, то спортсмен,
стоящий от него через 9 человек, обязательно в синем. Какое наибольшее число
человек может быть одето в красные костюмы?
Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на три части. Всего стало
15 листов. Сколько листов бумаги разрезали?
0.Найдите внутри выпуклого четырехугольника точку, такую, что сумма
расстояний от нее до вершин минимальна.
1.Расставить в записи 4*12+18:6+3 скобки так, чтобы получилось а)число 50,
б)наименьшее возможное число, в)наибольшее возможное число.
2.Сколько нулей содержит произведение натуральных чисел от 1 до 100?
13. Докажите, что сумма расстояний от точки О до вершин
треугольника меньше его периметра, если точка О лежит внутри этого
треугольника. А если она лежит вне треугольника?
14. Придумайте натуральное число, которое делится на 2004 и сумма
его цифр также делится на 2004.
Информатика
йти номер подъезда и этаж, если Витя живет в квартире с номером N, в доме
этажей, по 4 квартиры на лестничной клетке. Решить ту же задачу, если
тажей К.
айти количество чисел, не превышающих заданное число К, таких, что они
е делятся ни на 3, ни на 5.
Найти количество чисел, не превышающих заданное число К, таких, что они
е делятся ни на 3, ни на 9.
Найти количество чисел, не превышающих заданное число К, таких, что они
е делятся ни на a, ни на b.
Написать программу для нахождения а) НОД, б) НОК двух натуральных
исел а, b.
x)=
Домашнее задание (осенняя сессия, 11 класс)
Найти множество значений функций а) f(x)=sin(2x)+cos(2x), б) f(x)=x2-4,
1
x2
,
г)
f(x)=
x2  1
x2  1
Область определения функции y=f(x) – отрезок [-1;2]. Найти область определения функций
а)y=f(x)+1,
б) y=f(2x),
в) y=│f(x)│,
г) y=f(1-│x│),
д)y= - f(x),
е)
y= f(x2).
Является ли четной или нечетной функция
( x  5) 2  3 ( x  5) 2
x 1
)?
а) f ( x ) 
б) log a (
x 1
x cos x
x
 2( x  1) в виде суммы четной и нечетной функций.
Представить функцию
x 1
3
Непрерывны ли следующие функции на области определения? Если не везде непрерывны, то
укажите промежутки непрерывности:
а) y=x ,
3
1
б)y=  x ,
x
x2 , x  0
в) y = 
,
 x , x  0
г) y=
1, x  0
, д)y=[x2-2], здесь [x] – цела

0, x  0
часть числа х.
Про непрерывную функцию f известно, что а)она определена на всей число-вой прямой, б) f в
каждой точке имеет производную (и, таким образом, график f в каждой точке имеет единственную
касательную), в) график функции не содер-жит точек, одна координата которых рациональна, а
вторая – иррациональна. Следует ли отсюда, что график f – прямая?
Решить неравенства а)
б)
15
 11  2 cos( x ) ,
cos( x )
1
log ( x 4 ) ( x 2  2 x  1)  log (  x 1) (  x 2  5 x  4)  3 .
2
Изобразить на плоскости множество точек (x,y), координаты которых удовлетворяют а)
неравенству │y-x2│+│y+x2│≤1; а также равенствам
б)│y - x│+x2=1 и в) y=│x2 - 3x│.
Расходы на топливо для парохода делят на две части. Первая из них не зависит от скорости и
равна 480р в час. А вторая часть расходов пропорциональ-на кубу скорости, причем при скорости
10 км/ч эта часть расходов равна 30 р в час. При какой скорости общая сумма расходов на 1 км пут
будет наименьшей?
Докажите, что отрезок касательной к гиперболе y=a/x, заключенный между осями координат,
делится точкой касания пополам.
Решить уравнения с параметрами а)
в) 4x – 2a(a+1)2 x-1 + a3 = 0,
x 1
 a , б) x 2  a  x  a ,
2
x 1
г) (8a2 + 1)sin3x – (4a2 + 1)sinx + 2acos3x = 0
12. Решить неравенства с параметрами а) │x + 2│-│2x+8│≥ a, б)
ax  1
 1,
xa
в) (a2 – 4)cosx + 4asinx ≤8a, г) 2x2 – 4x + │4x+5a+3│+a – 3<0. Для последнего неравенства
ти такие а, при которых множество решений неравенства содержит три числа.
3.
Определить значение параметра, при котором уравнение имеет корни
x + acosx –a2 + 1 = 0.
4. Пусть точка М(х,y) принадлежит треугольнику ABC. А(-1;0); В(0;1); С(2;0). Какие
значения для этих точек может принимать выражение 2xy?
5. Заводу предложено выполнить заказ на изготовление 3500 деталей типа А и 3150 деталей
типа В. Каждый из 100 рабочих завода затрачивает на изготовление 2 деталей типа А время, за
которое он мог бы изготовить 3 детали типа В. Для выполнения заказа рабочие делятся на 2
бригады, которые начинают работу одновременно и каждая из которых изготавливает детали
только одного типа. Каким образом следует разделить рабочих по бригадам для того, чтобы
завод выполнил заказ за наименьшее время?
6. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через точку А и середины ребер ВВ1 и СD проведена
плоскость. В каком отношении эта плоскость делит диагональ ВD?
7. Найдите все двузначные числа, обладающие следующим свойством: если вставить между
цифрами числа произвольное ненулевое количество семерок, то полученное число делится
нацело на 13.
8. Докажите, что любую замкнутую ломаную на плоскости, длина которой равна 1, можно
покрыть кругом радиуса ¼.
9. Сектор (информатика). Из круга радиуса R с центром в начале координат выделен сектор
двумя радиусами, от угла φ1 до φ2 с положительным направлением оси Ох. Из конца дуги,
определяемой углом φ1, проведена прямая, делящая площадь сектора на две равные части.
Определите ее уравнение. Проиллюстрировать задачу на экране компьютера.
0. Изобразить графики функций а) y=sin(arcsin(x)); б) y=arcsin(sin(x)).
1. Расшифровка (информатика). Компания по защите интеллектуальной собственности
решила повысить уровень защищенности своих операционных систем путем шифрования
всех сообщений, передаваемых внутри ее локальных сетей. Любое допустимое в компании
сообщение представляет собой строку S = s1s2…sn, состоящую исключительно из букв
латинского алфавита. Шифрование сообщения осуществляется в K фаз. На каждой фазе
строка S заменяется строкой, в которой сначала располагаются все буквы строки S,
стоявшие на позициях с номерами, являющимися простыми числами (первый блок), а затем
– все остальные буквы (второй блок). Напомним, что число называется простым, если оно –
натуральное и имеет ровно два различных натуральных делителя. Относительный порядок
букв в каждом из двух блоков остается неизменным. Например, строка S = abcdefgh на
первой фазе шифруется в строку S = bcegadfh. Если осуществляется вторая фаза
шифрования, то строка примет вид S = ceafbgdh. После передачи зашифрованного
сообщения по сети оно должно быть дешифровано, чтобы получатель смог прочитать
исходную запись.
ребуется написать программу, осуществляющую дешифрование пришедшей по сети строки.
ехнические требования:
вод данных из текстового файла input.txt. Вывод данных в текстовый файл output.txt.
граничение по времени тестирования: 1 секунда на один тест
Формат входных данных:
Первая строка содержит натуральное число K (K ≤ 100). Далее - строка, которая
одержит сообщение S после K фаз шифрования, состоящая из n ( 1 ≤ n ≤ 250) букв
атинского алфавита.
Формат выходных данных:
В файл вывести только одну дешифрованную строку S.
Пример:
Входной файл
2
CE AFBGDH
1
BAAAACB
Выходной файл
ABCDEFGH
ABACABA
Домашнее задание (осенняя сессия, 10 класс)
Алгебра
x  y  1

2
2 xy  2 y  a  4
ри каких значениях а неравенство ( x  3  2a )( x  3a  2)  0 выполняется при всех
 x  3?
ри каких значениях а система имеет решение:
мешали 30-процентный раствор соляной кислоты с 10-процентным раствором и полу-чили 600 г 15
роцентного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Расстояние между пристанями А и В по реке 50 км, по шоссе – 40 км. Пассажир опоздал к
лытию теплохода из А на 1,5 часа. Он мгновенно садится в такси и достигает В одновременно с
лоходом. Выяснилось, что скорость такси была на 55 км/ч больше скорости теплохода. Какова
рость теплохода?
Функция f периодична с периодом 2, совпадает с функцией y  x на отрезке 0; 1 и
падает с функцией y  2  x на отрезке
1; 2 . Задайте функцию
 
f одной формулой.
зобразить графики функций а) y  sin(arcsin ( x)) ;б) y  arcsin(sin ( x)) .
Функция f , определенная на множестве действительных чисел, с множеством значений
f ( x)  f ( y )
, x , y  R, x  y  0 .
x y
ществует ли такое значение x  R , для которого f ( x )  0 ?
же в R, удовлетворяет тождеству
f ( xy) 
Задачи с модулями
1. Решить уравнения:а)
x7  7 x
Решить неравенства:а)
x 8  8 x
б)
x  3  x 1  x  2  6 .
б)
x  3  ( x  3)(5  x) .
ГЕОМЕТРИЯ
айти множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до прямых,
проходящих через стороны единичного квадрата, равна 4.
ан круг и точка внутри него. Провести через данную точку хорду заданной длины а.
зобразить высоты, если дано изображение треугольника и центра его описанной окружности, и
наоборот.
квадрате АВСD точка К делит сторону АВ в отношении 1:3. Точка Е является серединой СD.
Точка H лежит на AD. Прямая СК параллельна ЕН. Найти, в каком отношении точка Н делит
AD.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1.
Решить уравнение
1  2 sin x sin x
x(8  x)
Докажите, что на графике функции
является центром симметрии графика.
 0.
y  x 3  3x 2  3x  3 есть точка, которая
3.
Четыре одинаковые банки с четырьмя различными красками наполнены на
3 . Имеется
4
возможность переливать любую часть жидкости из одной банки в другую. Можно ли во
всех банках сделать одинаковую смесь? (Другой посуды нет и выливать краску нельзя.)
Построить графики функций:
x2 1
x2  9
а) y 
б) y  x  2
x3
x 1
в)


y  x2  4
г)
y  2x  1
5. Изобразить на плоскости множества точек, удовлетворяющих условию
а) x
2
 y2  x2 y2  1,
б)
1 1
 ,
x y
в)min{x;y}=1.
ИНФОРМАТИКА
Написать программу (или привести иной алгоритм), выводящую сумму всех n-значных чисел,
полученных в результате перестановки цифр 1,2,, n ( n  10 ). Например, при n  1 эта
сумма равна 1, при n  3 , она равна 123  132  213  231  312  321  1332 .
Написать программу, решающую следующую задачу: Каждая координата каждой вершины
треугольника задана с погрешностью  . Определить наименьшее и наибольшее возможное
значение площади треугольника.
3. Капризы погоды. В результате радиоактивного выброса появилось облако, которое под
действием постоянного в этих местах ветра начало двигаться, покрывая под собой землю
радиоактивными осадками. У Петра Петровича подошла пора выкапывать картошку, и он
собирался выехать на участок. Если его огород окажется на зараженной территории, то,
естественно, с картошкой надо расставать-ся. Требуется определить, попадает ли его огород под
действие радиации или нет.
Исходное облако имело форму выпуклого многоугольника с N вершинами, координаты
которых (xi,yi )(1 ≤ i ≤ N) в порядке обхода по часовой стрелке, N ≤ 5. Все заданные вершины имею
целые координаты. Движение по ветру задается вектором скорости V с координатами (v1 , v2)
км/час (координаты вектора – целые числа). Огород Петра Петровича мал, и его можно считать
точкой с координатами(s1, s2).
Требуется определить, попадает ли огород под радиацию вообще (если ветер не меняет
своего направления), или попадет позже, чем через 12 часов. Если огород окажется под радиацией
раньше, то в течение какого количества часов огород еще будет доступен. Петр Петрович умеет
добираться до огорода быстро, поэтому время приезда и отъезда учитывать не нужно.
Имя входного файла: INPUT.TXT. Имя выходного файла: OUTPUT.TXT.
Ограничение по времени тестирования: 5 секунд на каждый тест
Формат выходных данных:
1 строка - N – количество вершин многоугольника, задающего облако,
следующие N строк содержат по два числа– координаты (xi,yi ) многоугольника,
записанные через пробел,
следующая строка – два числа (v1 , v2 ) через пробел,
следующая строка – два числа (s1, s2) через пробел.
Формат выходных данных:
Одна строка - «Облако не заденет огорода» или «Облако не дойдет до огорода за 12
часов» или «Огород под облаком» или
t – количество часов, в течение которых облако не задевает огорода.
Пример.
INPUT.TXT
4
0
0
2
2
1
4
OUTPUT.TXT
1
0
2
2
0
1
4
Задачи устной олимпиады
Борис часто проделывает следующую процедуру: он берет некоторое натуральное число,
затем записывает все его циклические сдвиги (числа, получающиеся перемещением блока
из нескольких цифр из начала числа в конец), после чего упорядочивает их по
возрастанию. Например, для числа 566239, Борис сделал бы такие преобразования:
566239
239566
662395
395662
566239 =>
623956 =>
566239
239566
623956
395662
662395
956623
956623
Однажды он проделал эту процедуру, но бумажка промокла, и остался только правый
столбец полученной Борисом таблицы:
……2
……1
……2
……1
……1
……8
……1
С какого числа Борис мог начать? Перечислите все варианты и докажите, что других нет.
7 класс
Олимпиадные задачи по математике
1 1 1 1
1
1
37


Доказать, что     ... 
.
2 4 6 8
98 100 120
У продавца имеется 10 гирь весом 1,2,3,…,10 кг. Известно, что все
покупатели, стоящие в очереди к продавцу, купили разное целое число
килограммов товара. Какое максимальное число покупателей могло стоять в
очереди?
Пусть S(a) и П(а) – соответственно сумма и произведение цифр числа а.
Найдите наименьшее натуральное число а, обладающее свойством: S(A)•П(а)
= 1998. Имеется ли решение этой же задачи для свойства S(A)•П(а) = 2010?
Семиклассник разрезал бумажный квадрат на прямоугольники периметра 7
см, а восьмиклассник – такой же квадрат на прямоугольники периметра 8см.
Может ли у восьмиклассника оказаться больше прямоугольников?
Информатика
1. Имеется последовательность натуральных чисел 1,3,5,2,4,6,3,5,7,4,6,8, ….
Определить позицию, где первый раз встречается число n.
2. Имеется двоичное натуральное число с количеством цифр не более чем
200. Определить остаток от деления этого числа на 4,8,16. Результат
вывести в 10-чной системе.
3. Для введенного натурального числа n вывести максимальное число пар (и
сами пары) натуральных чисел, не превосходящих n, таких, что их сумма
является простым числом.
4. Пираты XXI века захватили добычу - S пиастров. Капитан делит добычу,
следуя традиционным правилам:
1) Каждый рядовой член команды получает одинаковое количество
пиастров. Если кто-то не получит ничего, то будет бунт.
2) Все, что осталось, капитан забирает себе.
3) Среди членов команды есть неблагонадежные члены. Капитан еще
не решил, высадит он их на необитаемый остров до или после дележа клада.
Требуется определить, сколько вариантов разных сумм может получить
благонадежный рядовой пират. Всего в команде n человек, среди которых m
неблагонадежных.
Порядок вводимых чисел S, n, m (все числа целые, не превосходят 500).
Задачи на взвешивание
Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1
грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах
о стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить
альшивая ли она. Сможет ли он это сделать?
Неравенство треугольника
т Петербурга до Москвы 660км, от Петербурга до деревни Лыково- 310 км, от
ыково до Клина – 200 км, и от Клина до Москвы – 150км. Каково расстояние от
ыково до Москвы?
окажите, что в выпуклом пятиугольнике сумма длин диагоналей больше
ериметра и меньше удвоенного периметра.
Многоугольник, вырезанный из бумаги, сложили пополам, перегнув его прямой
рис.1). Докажите, что периметр полученного многоугольника не превосходит
ериметра исходного.
Математическое моделирование
1. «Праздничные заботы»
Мальчики решили купить подарки девочкам к 8 марта. По особому секрету им удалось выяснить
то часть девочек мечтает о замечательном пушистом цыпленке (ведь наступил год петуха). Однако
ругие юные леди (их меньше, чем первых ровно в k раз) хотели бы иметь в подарок красивы
лестящий пенал. Но это не все. Оставшиеся девочки (их оказалось на p человек меньше, чем тех
то мечтал о пенале) очень любили чтение и предпочитали книгу любому другому подарку
альчики, естественно, выполнили желания всех. На сумму S1 они купили одинаковых цыплят, н
умму S2 они купили одинаковые пеналы, а на сумму S3 они приобрели одинаковые книги. Пр
ом, покупка осуществлялась в магазине, и скидок за опт (то есть за то, что предметов было больш
дного) не удалось получить. Все подарки были вручены, и каждая девочка получила желаемое.
Какое наибольшее количество девочек могли получить подарки, и скольким из них вручил
ниги, пеналы и мягкие игрушки?
Итак, входные данные:
S1- cумма, затраченная на покупку цыплят (в рублях);
S2 – cумма, затраченная на покупку пеналов (в рублях);
S3 – cумма, затраченная на покупку книг(в рублях);
k – число, указывающее во сколько раз меньше девочек хотели иметь пеналы (по сравнению
с теми, кто получил цыплят);
p – разница в количестве девочек, получивших книги и пеналы (р>0).
Результат
N
– общее количество девочек в классе,
n1 n2 n3 – числа, определяющие количество девочек, получивших цыплят, пеналы и
книги соответственно.
Примечание.
Если предложенные данные оказались ошибочными, и при таких числах
осуществить покупку, соответствующую условиям задачи, невозможно, то Ваша
программа должна вывести на экран текст: «Такая покупка невозможна». Пример:
Входные данные
Результат
100
60
30
2
4
36
20 10 6
Задачи устной олимпиады
Футуролог Эрнест называет год кризисным, если в его номере четное число
четных цифр. Например, 3975 год – кризисный (ноль четных цифр, а 2012 – нет
(три четные цифры). Сколько, согласно его теории, будет кризисных лет на
промежутке с 2013 года до 12345 года (включительно)?
Домашнее задание (осенняя сессия, 8 класс)
Информатика
.Определить последнюю цифру числа а) 9n, б) 3n, в)an. a,n – натуральные числа,
не большие 10100 .
.Требуется протащить в зал для Королевы треугольное зеркало (в виде
прямоугольного треугольника с катетами с×d. Определить, можно ли это
сделать, если дверь зала – прямоугольник a×b.
.Написать программу, которая а) определяет, является ли Ваш билет (из 6 цифр)
счастливым или нет. Билет называют счастливым, если сумма его первых трех
цифр совпадает с суммой его последних трех цифр; б) выдающую количество
счастливых билетов и их номера по заданному набору цифр номера; в)
определяющую по заданному номеру, какое наименьшее количество билетов
еще надо купить, чтобы попался счастливый.
Разные задачи
1.Дан угол 19 градусов. Построить циркулем угол в 1 градус.
.Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на 14 треугольников?
.Могут ли две неравные обыкновенные дроби, знаменатели которых 7 и 17,
отличаться меньше, чем а) на 0,01;б) на 0,005?
.В республике прошли выборы в парламент. Все голосовавшие за партию
Лимон» любят лимоны, а среди избирателей, голосовавших за другие
артии, 90 процентов лимоны не любят. Сколько процентов набрала партия
Лимон», если ровно 46 процентов, участвовавших в голосовании, любят
имоны?
. Все 8 вершин замкнутой пространственно несамопересекающейся ломаной
совпадают с вершинами куба. Докажите, что у этой ломаной найдутся четыре
звена одинаковой длины.
. Деду Морозу сшили новый мешок для новогодних подарков. Этот мешок
был рассчитан на 12 тигрят и 15 слонят или на 30 слонят и на 10 мартышек
или на 45 мартышек и 13 тигрят. А на сколько одних только тигрят рассчитан
новый мешок деда Мороза?
. Решить ребус (А + В + С + D)4 = АВСD.
. Предлагается разгадать японскую головоломку, известную под названием
«СУДОКУ».
В этой головоломке требуется заполнить все пустые клетки так, чтобы в
каждой строке и в каждом столбце все цифры от 1 до 9 встречались
ровно один раз. Также ровно один раз все цифры должны встречаться в
каждом из выделенных секторов 3×3 клетки таблицы СУДОКУ. Желаем
успеха.
2
1
5
3
1
3
6
8
6
8
9
6
2
3
8
5
9
2
3
4
2
1
9
6
9
1
6
3
8
6
1
3
4
7
2
4
2
9
5
4
7
7
9
2
6
3
Геометрия
Построить треугольник ABC по заданным высотам BD,CE и медиане АК.
Задан угол и точка внутри него. Построить отрезок с концами на сторонах угла.
При этом заданная точка должна являться серединой этого отрезка.
Дана прямая L и точки A и С. Найти на прямой точку B, такую что сумма
расстояний │АС│ + │ВС│ является наименьшим.
1. «Праздничные заботы»
Мальчики решили купить подарки девочкам к 8 марта. По особому секрету им удалось
выяснить, что часть девочек мечтает о замечательном пушистом цыпленке (ведь наступил год
петуха). Однако, другие юные леди (их меньше, чем первых ровно в k раз) хотели бы иметь в
подарок красивый блестящий пенал. Но это не все. Оставшиеся девочки (их оказалось на p
человек меньше, чем тех, кто мечтал о пенале) очень любили чтение и предпочитали книгу
любому другому подарку. Мальчики, естественно, выполнили желания всех. На сумму S1 они
купили одинаковых цыплят, на сумму S2 они купили одинаковые пеналы, а на сумму S3 они
приобрели одинаковые книги. При этом, покупка осуществлялась в магазине, и скидок за опт
(то есть за то, что предметов было больше одного) не удалось получить. Все подарки были
вручены, и каждая девочка получила желаемое.
Какое наибольшее количество девочек могли получить подарки, и скольким из
них вручили книги, пеналы и мягкие игрушки?
Итак, входные данные:
S1- cумма, затраченная на покупку цыплят (в рублях);
S2 – cумма, затраченная на покупку пеналов (в рублях);
S3 – cумма, затраченная на покупку книг(в рублях);
k – число, указывающее во сколько раз меньше девочек хотели иметь пеналы (по
сравнению с теми, кто получил цыплят);
p – разница в количестве девочек, получивших книги и пеналы (р>0).
Результат
N
– общее количество девочек в классе,
n1 n2 n3 – числа, определяющие количество девочек, получивших цыплят, пеналы
и книги соответственно.
Примечание.
Если предложенные данные оказались ошибочными, и при таких числах
осуществить покупку, соответствующую условиям задачи, невозможно, то Ваша
программа должна вывести на экран текст: «Такая покупка невозможна». Пример:
Входные данные
Результат
100
36
60
20 10 6
30
2
4
Задачи устной олимпиады
У каждого из 10 личных шоферов Пари Лейджа есть по одной копии ключа
от каждой из 10 его машин, Саботеры, присланные Гиллом Бейтсом, хотят
погнуть некоторые из этих ключей, так чтобы нельзя было выбрать 5
шоферов, которые могут выбрать 5 машин и открыть их – каждый своим
ключом. Какое минимальное количество ключей для этого необходимо
погнуть?
Удав
Удав лежал, вытянувшись во всю длину, как известно составляющую
целое число попугаев. Прибежала мартышка, отмерила К попугаев от носа
удава и нарисовала ананасом точку. Потом задумалась, и согнула удава так,
что его тело образовало квадрат со стороной а, а хваст коснулся носа,
образовав прямой угол. При этом, удав сделал ровно один оборот. Теперь
мартышка хочет узнать новое расстояние от носа удава до отмеченной точки.
Толщиной удава следует пренебречь.
Входные данные: 2 натуральных числа К и а – расстояние от носа удава, на
котором отмечена точка ананасом (в начале, до сворачивания) и сторона
квадрата, в который мартышка согнула удава. (1≤К≤4а≤200).
Результат –единственное вещественное число, не менее чем с 2 знаками
после точки – новое расстояние от носа удава до нарисованной ананасом
точки.
Пример
Входные данные
25 10
30 10
Результат
11.18
10.00
Домашнее задание (осенняя сессия, 9 класс)
Элементы выпуклого анализа.
1.Доказать, что произвольная полуплоскость – выпуклое множество.
2.Привести пример 2-х выпуклых множеств, объединение которых не
выпукло, и привести пример двух выпуклых множеств, объединение
которых является также выпуклым множеством.
3.Доказать, что круг – выпуклое множество.
4.Доказать, что произвольный треугольник – выпуклое множество, люб
правильный многоугольник – также выпуклое множество.
Задачи с модулем
1. Решить уравнения:
а) x 2  x  2  0 б) x 2  2x  3  3x  3 в) 2 x  3  x 2  2 x  6
г) 2 x  6  x  x  6  18
д) x  5  x  c  4
2. Решить неравенства:
а) x 2  2 x  x
б) x  1x  3x  4x  6  17
в) x  2  2  x
г) x  2  2  x
Олимпиадные задачи
1.
В треугольнике площади 2 расположены 15 точек, никакие три из
которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует тре-угольник с
вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 2/7.
2.Назовем трехзначное число особенным, если из него можно вычеркнуть
цифру так, что образовавшееся число будет меньше суммы цифр
исходного трехзначного. Сколько существует особенных чисел?
3.Решить уравнение 1997x + 2003y = Axy в целых числах для А= 2, 5 .
4.Известно, что четыре каждые из 5 заданных различных окружностей
проходят через одну точку. Доказать, что найдется точка, через которую
проходят все окружности.
Информатика
«Игра в числа» (30 баллов)
Имеется n различных натуральных чисел ai, i ≤ n (n ≤ 12, ai ≤ 10000).
Добавить наименьшее количество натуральных чисел так, чтобы из
заданных чисел вместе с добавленными можно было составить
возрастающую
арифметическую
прогрессию.
Напомним,
что
последовательность
(набор)
чисел
называют
возрастающей
арифметической прогрессией, если каждое последующее число
последовательности отличается от предыдущего на одно и то же
положительное постоянное число, называемое разностью.
Входные данные:
n – количество заданных натуральных чисел,
a1 a2 a3 …
an - заданные числа .
Результат :
k – количество добавленных членов последовательности,
b1 b2 b3 …
bm - наименьшая последовательность чисел, являющаяся арифметической прогрессией, содержащей заданные числа.
Пример.
Результат
3
0
135
135
«Маша и медведь»
Однажды девочка Маша заблудилась в лесу и стала жить у медведя
Миши в лесной избушке. Иногда она пекла пирожки и просила медведя,
чтобы он отнес их ее бабушке с дедушкой. Однако Миша сам не прочь
был полакомиться пирожками, поэтому по пути в лесу время от времени
садился на пенек и съедал пирожок. Бывало, что и пустую корзинку
приносил в деревню.
Чтобы такого не происходило, Маша поселила в каждый пенек,
стоящий рядом с лесной тропинкой, дрессированную мышкусигнальщика. Если Миша садится на пенек, мышка моментально выбегает
из него и начинает махать платочком. Все мышки-сигнальщики,
увидевшие этот сигнал, начинают его повторять. Время, требуемое для
передачи сигнала и начала его воспроизведения другой мышкой, равно 1 с.
За такое же время доходит сигнал от любой мышки, живущей в зоне
видимости домика, до Маши. Таким образом, через некоторое время Маша
получает сигнал о том, что Миша сел на пенек. Она немедленно берет
телефон и скидывает медведю заранее приготовленное сообщение:
«Миша, не садись на пенек, не ешь пирожок, неси бабушке, неси
дедушке!». На это требуется ровно три секунды.
Если Миша получит сообщение до того, как взял пирожок, то не
станет его есть, а если пирожок уже у него в лапах, то Мишу ничем не
остановить.
На рисунке ниже приведена схема расположения пеньков, на
которые Миша может присесть в лесу. Отрезками соединены пеньки,
находящиеся в зоне видимости друг друга. Также проведены отрезки к
пенькам, которые Маша видит из дома медведя.
Входные данные: натуральные числа t, k, n1,...,nk. где t – количество
секунд, требуемых Мише, чтобы сесть на пенек и взять пирожок; k –
количество пеньков, на которые медведь садился во время лесной
прогулки. Далее перечислены номера этих пеньков.
Выходные данные: номера тех пеньков, на которых Мише удалось
съесть пирожок. Если
Входные данные
Выходные данные
таковых не оказалось, то
6 4 14 4 19 6
19 6
необходимо вывести
7 4 2 3 7 12
не съел
строку «не съел». Пример:
4
16
13
7
1
8
11
17
2
14
Дом
медведя
20
9
18
3
5
10
6
15
12
19
Рассеянный лаборант
При проведении эксперимента были получены N карточек с точками
(t i , y i ), i=1,2,…N, - отражающими состояние некоторого процесса. ti моменты времени и ti ≥ 0 для всех i. Известно, что между соседними
значениями ti процесс развивался линейно.
Но, рассеянный лаборант перепутал листки, и теперь данные идут не по
порядку. Тем не менее, попробуйте написать программу, вычисляющую
значение y* для произвольного момента t* в пределах рассматриваемого в
эксперименте времени. Для наглядности можете изобразить сам процесс и
точку (t*, y*) на экране (или на бумаге).
1. Решить задачу при следующих исходных данных (10баллов):
N
t*
t1
y1
t2
y2
t3
y3
t4
y4
t5
y5
5
80
100 0
20
70
0
20
200 100 30
70
2. Написать программу, которая по введенным N, (t i , y i ), где i принимает
значения от1 до N, числу t* вычисляет значение y*.
Геометрия
1. Задан угол и точка внутри него. Построить отрезок с концами на сторонах
угла, при этом заданная точка должна являться серединой этого отрезка.
2. Построить треугольник ABC по заданным высотам BD,CE и медиане АК.