Материал для обучающихся (раздел математики).

Материал для обучающихся (раздел математики).
Процент – одно из математических понятий, которое часто встречается в
повседневной жизни. Это слово часто произносят по радио и в телевизионных передачах.
Часто можно услышать или прочитать, что, например, 80 процентов населения страны
приняло участие в субботнике, молоко содержит 3,2 процента жира, банк начисляет 15
процентов годовых и так далее. Процентом от любой величины называется одна сотая её
часть. Процент обозначается знаком %.
1% 
1
 0,01
100
Проценты были известны в Индии еще в V веке. В Европе десятичные дроби, a
вместе с ними и проценты, появились на 1000 лет позже – лишь в конце XV века, после
того, как нидерландский математик С.Стевин опубликовал таблицу процентов. Само
слово «процент» происходит от латинского pro centum, означающего «от сотни».
Например, говорят: «Из каждых 100 участников лотереи 9 участников получили призы».
Точный смысл этого высказывания состоит в том, что призы получили 9% участников
лотереи, и именно такое понимание соответствует происхождению слова «процент». 9% это 9 из 100.
Любое число процентов можно выразить десятичной дробью или натуральным
числом.
Чтобы выразить проценты десятичной дробью или натуральным числом,
нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.
Чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100.
В практичной жизни полезно знать связь между простейшими значениями
процентов и соответствующими дробями.
проценты
5%
10% 20% 25% 40% 50% 60% 75% 80%
Обыкновенные дроби
1
20
1
10
Десятичные дроби
0,05 0,1
1
5
1
4
0,2
0,25 0,4
2
5
1
2
3
5
3
4
4
5
0,5
0,6
0,75 0,8
Три типа простейших задач на проценты
В простейших задачах на проценты некоторая величина a принимается за 100 %
(целое), a ее часть в (правильная или неправильная) выражается числом р%
а - 100%
в - р%
а - 100%
в - р%
В зависимости от того, что неизвестно a, в или р, выделяются три типа задач на
проценты.
I. Нахождение процента от числа.
Чтобы найти р% от числа a, надо a умножить на
Итак, чтобы найти
соответствующую дробь.
процент
от
числа,
p
;
100
надо
это
число
умножить
на
II. Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его части в, выраженной р%, надо в разделить на
p
100 ;
Итак, чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому
проценту, разделить на дробь.
Например, 8% длины всего отрезка составляет 2,4 см, то длина всего отрезка равна
2,4:
8
=2,4:0,08=240:8=30 (см)
100
III. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти, сколько процентов число в составляет от a, надо сначала узнать, какую
часть в составляет от a, a затем эту часть умножить на 100 %.
p
b
 100 (%)
a
Таким образом, чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго,
надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.
Например, 2 г. соли в растворе массой 50 г. составляет
2
2  100
 100% 
%  4%
50
50
Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным
отношением этих чисел. Поэтому последнее правило называют правилом нахождения
процентного отношения двух чисел.
Нетрудно заметить, что формулы: b  a 
p
p
b
; a b:
; p   100
100
100
a
взаимосвязаны. Две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее
значение a и р. Поэтому первую формулу считают основной и называют формулой
процентов.
Это полезно знать
Полезно понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины,
сформулированные без процентов и с помощью процентов.
Например, в сообщениях «заработная плата бюджетникам с января повышена на
50% и «заработная плата бюджетникам с января повышена в 1,5 раза» говорится об одном
и том же. Точно так же, увеличить в 2 раза – это значит увеличить на 100%, увеличить в 3
раза – значит на 200 %, уменьшить в 2 раза – значит уменьшить на 50%.
а
100%
а
100%
100%
100%
а
200%
50%
1а
2
3а
2а
Следует запомнить:
1) Если
a
значение
a
p
p
 a  (1 
)a
100
100
выросло
на
р%,
то
новое
значение
будет
Например, если увеличим a на 10%, то получим a 
2) Если значение
p
p
c
 c  (1 
)c
100
100
с
уменьшилось
на
р%,
Например, если с уменьшим на 20%, то получим c 
3) Если A больше В на р%, то А=В+
10
 a  a  0,1  a  1,1a
100
то
новое
значение
будет
20
 c  c  0,2  c  0,8c
100
p
p
В; A  (1 
)B
100
100
Выразим из последней формулы р: (1 
p
A
p
A
p
A B
) ;
  1;

;
100
B 100 B
100
B
Эта формула дает ответ на вопрос: на сколько процентов A больше, чем В.
4) если В меньше A на q%, то B  A 
q
 A;
100
Если требуется ответить на вопрос: на сколько процентов В меньше, чем A, то из
последней формулы, выразив q, получим
Внимательный читатель заметил, что если A больше, чем В на р%, то это не
означает, что В меньше A на р%. Убедимся в этом высказывании еще раз, решив
следующие задачи:
1) В классе мальчиков на 25% больше, чем девочек. На сколько процентов девочек в
этом классе меньше, чем мальчиков? Читая данную задачу учащимся, часто можно
услышать от них мгновенный ответ: на 25%. Покажем, что это не так.
Решение:
Пусть м – количество мальчиков, d – количество девочек; м,d
N;
I способ
25%=
1
4
По условию м=d+
1
4
d; м= d
4
5
Тогда d=
4
1
1
м; d=(1- )м; d=м- м
5
5
5
1
=20%, значит девочек на 20% меньше
5
II способ
Пусть девочек на р% меньше, чем мальчиков d = м Так как м =
5
p 5
p 4
d, то d = (1 ) d; 1 = ;
4
100 4
100 5
p
p
м; d = (1 )м
100
100
p
4
=1- ;
100
5
III способ
Воспользуемся формулой
Где A – количество мальчиков, В – количество девочек
p
1
= ; p =20 (%)
100 5
5
1
d d
d
md
1
4
4
 100 
 100 
 100   100  20(%)
5
5
m
5
d
d
4
4
Oтвет: девочек на 20% в классе меньше.
2) Число m больше n на 100%. На сколько процентов n меньше, чем m? (m N, n N).
Решение:
Выполним графическую модель задачи:
100%
m
n
100%
Очевиден ответ на вопрос: на 50%.
В самом деле, по условию
m=n+
100
n; m=2n
100
тогда по формуле
mn
2n  n
1
 100 
 100   100  50(%)
m
2n
2
Ответ: на 50% n меньше, чем m.
3) m меньше n на 75%. На сколько процентов n больше, чем m? (m>0; n>0).
Решение:
75% 
3
; По условию
4
m=n-
3
3
1
n = (1 - )n = n
4
4
4
Пусть n больше m на р% n = m +
n = (1 +
p
p
m; n = (1 +
)m;
100
100
p 1
p
p
) n; 1 +
= 4;
=3;
4
100
100
100
p = 300 (%)
Ответ: на 300% n больше, чем m.
Простой процентный рост
Рассмотрим задачу. Пусть S – ежемесячная квартплата, пеня составляет р%
квартплаты за каждый день просрочки платежа, n – число просроченных дней. Какую
сумму должен заплатить человек после n дней просрочки?
Решение: Обозначим сумму, которую должен заплатить человек после n дней
рn
просрочки . За n дней просрочки пеня составит (р n)% от S или
S , a всего придется
100
pn
pn
заплатить S 
 S или, что то же самое, (1+
)  S . Получим
100
100
Рассмотрим еще одну задачу. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц р% от
внесенной суммы. Клиент внес S. Какая сумма будет на его счете через n месяцев? Мы
вновь получим, что через n месяцев будет
Получим ту же самую формулу, что и в задаче с квартплатой, только в первой задаче
n – число дней, во второй задаче n - число месяцев; в первой задаче S – величина
квартплаты, a во второй задаче S – сумма, внесенная в банк. Такая же формула будет
получаться и во всех иных случаях, когда некоторая величина увеличивается на
постоянное число процентов за каждый фиксированный период времени. Эта формула
имеет специальное название: формула простого процентного роста.
Рассмотрим задачу. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесенной
суммы. Клиент внес 500 рублей. Какая сумма будет на его счете через полгода?
Решение: Для решения задачи подставим в формулу величину процентной ставки
р=2, числа месяцев n=6 и первоначального вклада S=500:
S6= (1+ 2 6 ) 500=1,12 500=560 (руб.)
100
Ответ: через полгода будет 560 рублей.
Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшится за данный
период времени на определенное число процентов. В этом случае
.
Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная
величина в действительности убывает.
Решим задачу. Новый компьютер был куплен за 25000 рублей. Каждый год на его
амортизацию списывается 10% стоимости. Сколько будет стоить компьютер через 4 года?
Решение: Выражение «списывать на амортизацию р% в год» означает, что каждый
год первоначальная стоимость компьютера уменьшается на р%. Для решения задачи
подставим в формулу простого процентного роста процент амортизации компьютера
р=10, количество лет его использования n=4 и первоначальную стоимость S= 25000
S4=(1- 10 4 ) 2500=0,6 2500=15000 (руб.)
100
Ответ: через 4 года компьютер будет стоить 15000 рублей.
Сложный процентный рост
В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов,
которые нельзя взять раньше, чем, например, через год) принята следующая система
начисления денег. За первый год нахождения внесенной суммы на счете начисляется р%
от нее. В конце года вкладчик может снять со счета эти деньги – «проценты». Если же он
этого не сделал, то они присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце
следующего года р% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. При этом
еще говорят, что эти проценты капитализируются. При такой системе, начисляются
«проценты на проценты», или, как их обычно называют, сложные проценты.
Решим задачу в общем виде.
Пусть банк начисляет р% годовых, внесенная сумма S рублей, a сумма, которая
будет на счете через n лет, равна
р% от S составляет (
S1=S+
рублей.
p
S) рублей и через год на счете окажется сумма
100
p
p
S=(1+
) S
100
100
Через два года на счете будет сумма
S2=S1+
p
p
S1=(1+
) S1=
100
100
=(1+
p
p
p 2
) (1+
) S=(1+
) S
100
100
100
Аналогично, S3=(1+
p 3
) S и так далее.
100
Другими словами, справедливо равенство Sn  (1 
p n
) S
100
Эту формулу называют формулой сложного процентного роста или просто
формулой сложных процентов.
Решим задачу. Какая сумма будет на срочном вкладе вкладчика через 4 года, если
банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 5000 рублей?
Решение: Подставим в формулу Sn=(1+
p n
) S
100
Значение процентной ставки р=10, количество лет п=4 и величину первоначального
вклада S=5000 рублей. Получим S4=(1+ 10 )4 5000=1,14 5000=1,4641 5000=7320,5 (руб.)
100
Ответ: через 4 года на счете будет 7320,5 рублей.
Полученная выше формула применима, естественно, не только к задачам о росте
вклада, но и к любой ситуации, когда рассматривается величина, которая за каждый
заданный промежуток времени увеличивается на определенное число процентов, считая
от предыдущего ее значения. При уменьшении величины на определенное число
процентов, считая от предыдущего ее значения, в формуле, как и для простого роста,
проявляется знак минус. Рассмотрим задачи.
1) Численность населения в городе Т. В течение двух лет возрастала на 2%
ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было
в городе Т. первоначально ?
Решение: Пусть х человек (х
N) было первоначально. Тогда согласно условию
2
задачи через два года количество жителей составило x(1+ 2 ) или (х+11312) человек.
Получим уравнение:
100
x(1+ 2 )2=x+11312; x 1,022 = x+11312; x(1,022-1)=11312; x(1,02-1)(1,02+1)=11312
100
x=
11312
; x=280000
0, 02 2,02
Ответ: 280000 жителей было в городе Т. первоначально
2) Для определения оптимального режима повышения цен социологи предложили
фирме с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя
способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2%, в
другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же
число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали
одинаковыми. На сколько процентов надо повысить цену товара через каждые два месяца
во втором магазине?
Решение: Пусть исходная цена товара равна х (х>0), пусть на р% (p>0) надо
повышать цену товара через каждые два месяца во втором магазине. В первом магазине
через полгода, то есть 6 месяцев цена станет равной
6
x(1+ 2 ) = x 1,026
100
Во втором магазине после трех повышений на р% (в марте, в мае, в июле) цена
товара будет равна
x(1+
р 3
100
) .
6
Согласно условию задачи x 1,02 = x(1+
р
100
2
=1,02 -1;
р
100
р 3
100
) ;
2
1,02 =1+
р ;
100
=(1,02-1)(1,02+1);
p=100 0,02 2,02; p=4,04.
Ответ: на 4,04% надо повышать цену товара во втором магазине.
Список литературы:
1. Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А. и др. Сборник задач по математике для
поступающих в вузы под редакцией Сканави М.И. М.: «ОНИКС 21 век», «Мир и
Образоване», «Альянс-В», 2003г.
2. Г.Г.Гильмиева, Р.Г.Хамитов. Задачи с процентами. Решаем с легкостью. Учебнометодическое пособие, 2008г. Риц «Школа».