15. Решение. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

15. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
Используя формулу приведения
, получаем:
и формулу синуса двойного угла
Заданный промежуток имеет длину π, поэтому ему принадлежит не больше двух корней
из первой серии и не больше одного корня второй серии. Очевидно, что это числа
О т в е т : а)
б)
16. В правильной треугольной призме
ния равно Точка — середина ребра
Решение.
боковое ребро равно
а ребро основаНайдите объём пятигранника
Пусть
— высота треугольника
тогда
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, поскольку в правильной призме
и, значит,
Пятигранник
— четырёхугольная пирамида с вершиной в точке и
основанием
— прямоугольной трапецией.
Высота пирамиды
Площадь основания равна
Ответ: 6.
17. Решите неравенство
Решение.
1) Если
то
откуда
2) Если
или
то
откуда
или
Объединяя найденные промежутки, получаем решение неравенства:
или
или
или
Ответ:
18. В треугольнике
известны стороны:
. Окружность, проходящая через точки и , пересекает прямые и соответственно в точках и , отличных
от вершин треугольника. Отрезок касается окружности, вписанной в треугольник
.
Найдите длину отрезка .
Решение.
Обе точки и не могут лежать вне треугольника, поскольку
в этом случае отрезок не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней
мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.
Пусть обе точки и лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник
ный, следовательно,
Значит, треугольник
подобен треугольнику
коэффициент подобия равен , тогда
,
ложных сторон описанного четырехугольника
, так как угол
,
равны:
— вписан-
— общий. Пусть
. Суммы противопо-
Подставляя известные значения сторон, находим
. Следовательно,
.
Пусть точка лежит на продолжении стороны
. Углы
и
равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник
подобен треугольнику
, так как угол
— общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники
и
равны, поэтому
. Заметим, что
и точка действительно лежит на продолжении
стороны .
Если точка лежит на продолжении стороны , то
, но, аналогично предыдущему случаю, получаем
. Значит, этот случай не достигается.
Ответ:
.
19. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке
увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое
число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На
сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло
пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из
банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?
Решение.
Пусть сумма, которой первоначально располагала администрация края, составляла у.е., а
цена барреля сырой нефти у.е. Тогда первоначально возможный объем закупок составлял
баррелей. Этот объем примем за 100 процентов. За 2 месяца хранения в банке положенная сумм выросла до
до
у.е., а цена барреля сырой нефти за это же время убыла
у.е. Следовательно, 1 ноября 2001 г. руководство края на эту сумму могла заку-
пить
баррелей сырой нефти. Процентное отношение этого объема к первоначально
возможному объему закупок составит:
% то есть
%=
%.
Значит, руководство края смогло пополнить 1 ноября 2001 г. нефтяные запасы края на
96% больше, чем 1 сентября того же года.
О т в е т : 96.
20. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Запишем уравнение в виде
. Рассмотрим две функции:
и
Графиком функции
является полуокружность радиуса 2 с центром в точке
лежащая в верхней полуплоскости
(см. рис.). При каждом значении графиком функции
является прямая с угловым коэф-
фициентом
, проходящая через точку
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций
и
имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в
единственной точке.
Касательная
, проведённая из точки к полуокружности, имеет угловой коэффициент,
равный нулю, то есть при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Прямая
, заданная уравнением
проходит через точки
и
следовательно, её угловой коэффициент
При
прямая, заданная уравнением
полуокружностью. Прямая
заданная уравнением
имеет две общие точки с
заданная уравнени-
ем
и
следовательно, её угловой коэффициент
. При
прямая, заданная уравнением
имеет угловой коэффициент больше, чем у
прямой
и не больше, чем у прямой
, и пересекает полуокружность в единственной
точке. Получаем, что при
При
исходное уравнение имеет единственный корень.
прямая не имеет общих точек с полуокружностью.
Ответ:
21. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все
их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если
какое-то число n, выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы
числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 9,
12, 15.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан
набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.
Решение.
а) Задуманные числа 3, 3, 3, 3, 3 дают требуемый набор, записанный на доске.
б) Поскольку задуманные числа натуральные, наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных
чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 23 − 1 = 22. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких
задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.
в) Число 8 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а
наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части числа
то есть 5. Кроме того, числа 9 и 10
меньше, чем сумма двух восьмёрок, поэтому они также являются задуманными. Значит,
сумма оставшихся задуманных чисел равна 47 − 8 − 9 − 10 = 20. Таким образом, так как
наименьшее задуманное число равно 8, оставшиеся задуманные числа — это 10 и 10 или
20 (если бы 20 получалось как 8 + 12 или 9 + 11, то были бы выписаны числа 12 или 11, но
их нет). Для задуманных чисел 8, 9, 10, 10, 10 и 8, 9, 10, 20 на доске будет записан набор,
данный в условии. (Для чисел 8, 9, 10, 20 это можно проверить непосредственно, а для
чисел 8, 9, 10, 10, 10 — заметить, что они будут давать точно те же суммы, что и числа 8,
9, 10, 20.)
О т в е т : а) 3, 3, 3, 3,3; б) нет; в) 8, 9, 10, 10, 10 или 8, 9, 10, 20.