Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Нижнетагильский государственный

Государственное автономное образовательное учреждение среднего
профессионального образования «Нижнетагильский государственный
профессиональный
колледж им. Н. А. Демидова»
Методические указания
для выполнения контрольной работы
по дисциплине «Элементы высшей математики»
230113 «Компьютерные системы и комплексы»
для студентов заочного отделения
2014
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ
РАБОТЫ
При выполнении контрольных работ по математике нужно придерживаться
следующих правил.
1. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета,
кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
2. На обложке тетради ясно написать фамилию, инициалы, учебный шифр, номер
контрольной работы, название дисциплины. В конце работы указать использованную
литературу, дату выполнения и расписаться.
3. В работу включить все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту.
4. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера
задач.
5. Перед решением каждой задачи записать полностью ее условие.
6. Решения задач излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по
ходу решения и делая необходимые чертежи.
7. После получения прорецензированной работы, исправить все отмеченные рецензентом
ошибки и недочеты, и выполнить все рекомендации рецензента.
Если работа возвращена на доработку, то нужно выполнить указания рецензента в той
же тетради в короткий срок и сдать работу на повторную проверку. В связи с этим
рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов.
По каждой работе со студентом проводится собеседование, после чего выставляется
зачет по контрольной работе. Без зачтенных контрольных работ студент к аудиторной
контрольной работе не допускается.
ПРАВИЛО ВЫБОРА ВАРИАНТА
Вариант контрольной работы определяется по таблице в зависимости от двух
последних цифр номера шифра личного дела студента. В колонке таблицы по вертикали
расположены цифры от 0 до 9, каждая из которых - предпоследняя цифра номера шифра. В
верхней строке по горизонтали размещены так же цифры от 0 до 9, каждая из которых –
последняя цифра шифра.
Пересечение вертикальной и горизонтальной линий определяет номера заданий
контрольной работы. Например, по последним двум цифрам номера шифра “78” находят
вариант контрольной работы на пересечении строки с цифрой 7 и столбец с цифрой 8. Для
контрольной работы это номера: 4, 17, 23, 39, 47, 56
Будьте внимательны при выборе варианта. Работа, выполненная не по своему
варианту, возвращается без проверки.
2
ТАБЛИЦА ВЫБОРА ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Последняя цифра номера шифра
0
0
П .
р
е
д
п
о
с
л
е
д
н
я
.
я
2
ц
и
ф
р
а
н
о
м .
е
р
а
ш
и
ф
р
а
1
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
10
4
5
6
7
8
9
11
12
13
20
14
15
16
17
18
19
30
21
28
29
27
26
24
25
23
22
39
40
31
38
32
33
34
35
36
37
44
41
46
45
49
47
50
48
43
42
60
57
56
54
51
52
53
55
58
59
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
43
44
45
46
47
48
49
50
41
42
54
56
55
60
57
53
51
58
59
52
2
1
6
7
3
8
4
5
10
9
12
13
14
11
19
16
15
17
20
18
28
30
22
23
24
25
26
27
29
21
40
38
39
36
31
37
32
33
34
35
45
46
42
41
43
44
50
47
48
49
51
54
58
53
55
59
52
57
56
60
9
10
7
6
5
4
3
1
8
2
19
18
20
17
16
15
14
12
13
11
30
29
28
27
26
25
24
23
21
22
39
40
37
38
31
32
33
34
35
36
42
41
43
44
45
46
47
48
49
50
54
56
55
59
58
57
60
52
51
53
.
4
П ..
р
е
д
п
о
с
л
е
д
н ..
я
я
ц
и
ф
р
а
5
6
3
2
1
4
5
7
9
10
6
8
13
17
15
16
14
12
18
11
20
19
27
29
30
21
22
24
25
26
28
23
31
33
32
34
35
36
39
37
40
38
46
45
47
48
50
49
41
42
43
44
51
56
57
54
55
53
60
52
58
59
8
7
10
5
4
6
2
1
9
3
18
19
17
20
12
14
13
15
11
16
22
23
24
25
21
27
28
29
30
26
38
31
32
33
34
35
36
37
39
40
42
46
45
49
48
47
50
41
43
44
58
56
57
60
52
59
53
55
51
54
7
6
9
10
3
2
1
8
5
4
17
18
19
16
20
11
12
14
13
15
23
24
25
26
27
28
29
30
22
21
37
38
31
32
33
34
35
36
40
39
49
50
48
47
41
42
43
44
45
46
54
55
58
56
60
52
59
53
51
57
н ..
3
о
м
е
р
а
ш
и
ф
р ..
а
7
8
9
6
10
8
9
7
1
2
3
4
5
16
15
14
13
12
20
18
19
17
11
24
26
27
28
29
30
21
22
23
25
36
37
40
31
32
33
34
35
39
38
49
50
41
42
43
44
45
46
47
48
54
60
57
55
53
58
52
59
56
51
5
4
3
2
1
10
7
9
8
6
15
14
13
12
11
16
20
19
18
17
25
27
28
30
29
21
22
23
24
26
40
32
33
34
35
36
37
31
38
39
48
47
50
49
44
45
46
41
43
42
51
55
60
52
59
57
53
58
56
54
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
3
2
1
8
9
10
6
5
7
14
15
13
12
17
16
11
20
19
18
26
28
29
30
21
22
23
24
25
27
32
31
34
35
36
37
38
33
39
40
47
48
49
50
42
43
44
45
46
41
53
60
59
52
58
56
55
54
57
51
В предлагаемых методических указаниях решены задачи, аналогичные тем, которые
даются студентам-заочникам в контрольных работах; обращено внимание на основные
трудности и типичные ошибки, которые допускаются при выполнении контрольных работ.
Перед решением каждой задачи предлагаем ознакомиться с основными вопросами
теории. Перечисленные ниже вопросы по каждой теме являются основными при защите
контрольных работ.
При выполнении контрольных работ, давая детальные решения задач, не следует
вдаваться в подробные словесные объяснения.
Задачи 1-10
Предварительно ознакомьтесь со следующими вопросами по теме «Аналитическая
геометрия на плоскости»:
1. Метод координат на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости
А(х1;у1) и В(х2;у2):
2. Деление отрезка пополам (нахождение середины отрезка):
3. Угловой коэффициент прямой:
, где - угол, угол наклона прямой к оси ОХ,
.
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b.
5. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (x0;y0) в данном направлении
(уравнение пучка прямых): y-y0=k(x-x0).
6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1;y1) и (x2;y2):
4
7. Общее уравнение прямой Ax+By+C=0,его частные случаи: AB+Ву=0, Ах+В=0,
Ву+С=0.
8. Угол между двумя прямыми:
где k1 и k2 - угловые коэффициенты данных
прямых.
9. Условие параллельности двух прямых: k1 =k2.
10. Условие перпендикулярности двух прямых: k1=-1/k2.
11. Расстояние от точки (x0;y0) до прямой Ax+By+C=0:
Обратите внимание, что уравнение прямой, в каком бы виде оно ни было записано,
является уравнением первой степени.
Задача.
Даны вершины треугольника А(2;1), В(-4;4), С(-1,5).
Сделать чертеж и найти:
1.
длину стороны АВ;
2.
внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001;
3.
уравнение высоты CD, проведенной через вершину С;
4.
уравнение медианы ВЕ, проведенной через вершину В;
5.
точку пересечения высоты CD и медианы ВЕ;
6.
длину высоты, опущенной из вершины С.
Решение.
Начнем решение задачи с выполнения чертежа (рис.1). Построим точки А(2;1), В(-4;4),
С(-1;5) в прямоугольной системе координат и, соединив их отрезками прямых, получим
треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых нужно найти.
1.
Длину стороны АВ находим как расстоянием между двумя точками А(2;1) и В(4;4) по формуле:
5
2.
При ответе на вопрос пункта 2 ( найти внутренний угол) воспользуемся
чертежом. Отметим искомый угол А дугой и на ней поставим стрелку, показывающую
направление, противоположное движению часовой стрелки. Первой будет та прямая, от
которой, второй - та, к которой направлена стрелка. Так , на рис.1 первая прямая АС, вторая
- АВ.
Следовательно, в формуле
надо положить k1=kАС и k2=kАВ.
Найдем указанные угловые коэффициенты прямых. Для этого нет необходимости
составлять их уравнения, проще воспользоваться формулой, где угловой коэффициент
прямой находится по координатам двух ее точек:
Так, в нашем примере:
Тогда
Заметим, что tgA>0, так как угол А - острый.
Из таблицы (например, Брадиса) видно, что такое значение тангенса соответствует
углу А=26037/.
Обратите внимание на то, что ответ следует дать в радианах. Для перевода градусов в
радианы можно воспользоваться соответствующими таблицами либо формулой :
(радиан), где
- угол в градусах.
Итак, в радианах угол
3.
Составим уравнение высоты СD. Высота СD перпендикулярна стороне АВ.
Угловой коэффициент прямой АВ был найден ранее: kAB=-1/2
По условию перпендикулярности двух прямых
Уравнение высоты СD составим по известной точке С(-1;5) и найденному угловому
коэффициенту, воспользовавшись уравнением пучка прямых: у-у0=k(х-х0); у-5=2(х+1).
Ответ обычно дают в виде уравнения с целыми коэффициентами и с правой частью,
равной нулю.
Преобразуем полученное уравнение: у-5=2х+2; 2х- у+7=0 (СD).
Замечание.
6
Возьмите себе за правило проверять полученные результаты, причем это следует
делать не простым повторением проделанных действий, а каким-либо другим способом.
Например, полученное уравнение высоты СD проверьте, подставив в него координаты точки
С, при этом должно получится тождество.
Действительно: 2(-1)-5+7=0.
4.
Уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В, составляется по
координатам двух точек В и Е. Координаты точки В известны, а координаты точки Е
находим как координаты середины отрезка АС по формулам деления отрезка пополам:
В рассматриваемой задаче
Имея две точки В(-4;4) и Е(1/2;3), запишем уравнение ВЕ
а именно
2х-1=-9у+27; 2х+9у-28=0 (ВЕ)
5.
Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив
систему уравнений СD и ВЕ:
Итак, К(-1,75; 3,5), что соответствует чертежу на рис. 1
6.
Длина высоты СD есть расстояние от вершены С до стороны АВ. Поэтому
длину высоты находим по формуле расстояния от точки (х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0:
В данной задаче С(-1;5), а уравнение стороны АВ можно составить используя
уравнение пучка прямых:
у-уА=kАВ(х-хА), где А(2;1) и kAB=-1/2
y-1=-1/2(x-2)
2y-2=-x+2
x+2y-4=0 (AB).
Тогда
Задачи 11-20
Предварительно ознакомьтесь со следующими вопросами по теме «Элементы
линейной алгебры»:
1. Матрицы и определители второго и третьего порядка
7
2. Функции нескольких переменных
3. Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса,
матричный метод
Пример 1. Найти сумму и разность матриц:
 2 1
7 5 




A 3
0  ; B   2  3
  5  2
0 1 




Складывая и вычитая соответствующие элементы матриц, находим:
1 5   9
4 
1  5    5  6
 27
 27

 


 

A  B   3  2 0  (3)    5  3  ; A  B   3  2 0  (3)    1
3 
  5  0  2  1    5  1
  5  0  2  1    5  3

 


 

 4 
  3
 
 
Пример 2. Вычислить 3 A  2 B , если A   1  ; B   0  .
  3
 1 
 
 
Используя правила вычитания матриц и умножения матрицы на число, имеем:
 3  4   2  (3)   18 

 
 

3 A  2B   3 1    2  0    3 
 3  (3)   2  1    11

 
 

Пример 3. Найти произведение матриц:
2 
1 0
 2 1 2




A  3 1 0 ; B   3 0 2
1 1  2
1 1 1




Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, поэтому произведение этих
матриц существует. Используем правило умножения матриц: каждый элемент результирующей
матрицы равен сумме произведений элементов соответствующей строки первой матрицы на
элементы соответствующего столбца второй матрицы:
1  1  0  0  2  (1)
1  2  0  2  2 1   4  1 4 
 1 2  0  3  2 1

 

A  B   3  2  (1)  3  0  1 3  1  (1)  0  0  (1) 3  2  (1)  2  0  1   3 3 4 
 1  2  1  3  (2)  1 1  1  1  0  (2)  (1) 1  2  1  2  (2)  1   3 3 2 

 

Пример 4. Транспонировать матрицу:
 6  5


A 1
2 
 4 1 


По определению операции транспонирования, меняем в исходной матрице строки и столбцы
местами:
 6 1  4

AT  
 5 2 1 
Пример 5. Вычислить определитель матрицы размерностью 2  2 :
8
 2  1

A  
7 5 
Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной
диагонали:
2 1
A 
 2  5  7  (1)  17
7 5
Пример 6. Вычислить определитель матрицы размерности 3  3 :
2 3 2 


A   1 2  3
3 4 1 


Определитель третьего порядка находится по правилу треугольников:
2 3 2
A  1 2  3  2  2  1  3  (3)  3  1  4  2  3  2  2  1  3  1  4  (3)  2  6
3 4 1
Пример 7. Вычислить определитель матрицы, используя разложение определителя по строке или
столбцу:
5 1 3 3 


2 3 1 6 
A
9 3 7 11


3 1 3 5 


Запишем разложение определителя по первой строке:
5 1 3 3
2 3 1 6
A 
 5  A11  1  A12  3  A13  3  A14 , где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij .
9 3 7 11
3 1 3 5
Найдем алгебраические дополнения по формуле Aij  (1) i  j  M ij , где M ij - минор элемента aij ,
который получается из исходного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении
которых стоит данный элемент.
3 1 6
1

1
2
A11  (1)
 M11  (1)  3 7 11  3  7  5  1  1  11  3  3  6  1  7  6  1  3  5  3  3  11  14
1 3 5
2 1 6
1

2
3
A12  (1)
 M12  (1)  9 7 11  (2  7  5  3  1  11  9  3  6  3  7  6  1  9  5  2  3  11)  28
3 3 5
2 3 6
1

3
4
A13  (1)
 M14  (1)  9 3 11  3  2  5  3  3  11  1  9  6  3  3  6  9  3  5  2  1  11  28
3 1 5
2 3 1
1

4
4
A14  (1)
 M14  (1)  9 3 7  (3  2  3  3  3  7  1  9  1  3  3  1  9  3  3  2  1  7)  14
3 1 3
9
Подставляем полученные значения в разложение определителя:
A  5  A11  1  A12  3  A13  3  A14  5 14  1  (28)  3  (28)  3 14  0 .
Пример 8. Для данной матрицы найти обратную матрицу:
3  2 5 


A  2 1
3
 4 2  1


Используем алгоритм нахождения обратной матрицы:
1. Матрица квадратная (число строк равно числу столбцов), следовательно обратная к ней матрица
существует.
2. Находим определитель исходной матрицы:
3 2 5
A  2 1
3  3  1  (1)  (2)  3  4  2  2  5  4  1  5  2  (2)  (1)  2  3  3  49  0
4 2 1
3. Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:
1 3
2 3
A11  (1) 2 
 1  (1)  2  3  7; A12  (1) 3 
 (2  (1)  4  3)  14
2 1
4 1
A22  (1) 4 
A31  (1) 4 
A33  (1) 6 
3 5
 3  (1)  4  5  23;
4 1
2 1
5
3
 (2)  3  1  5  11;
A23  (1) 5 
A32  (1) 5 
3 2
 (3  2  4  (2))  14
4 2
3 5
2 3
 (3  3  2  5)  1
3 2
 3  1  2  (2))  7
2 1
Таким образом, получаем матрицу:
0 
  7 14


 8  23  14 
  11 1
7 

4. Полученную матрицу транспонируем:
Т
0 
8
 11
  7 14
 7




 23  14    14  23 1 
 8
  11 1
 0  14
7 
7 


5. Последнюю матрицу делим на определитель исходной матрицы и получаем обратную матрицу:
8
11 
 1



49
49 
8
 11  7
 7

1 
2
23
1
A 1    14  23 1    
 

49 
49
49 
  7
0

14
7
2
1 


 
 0
7
7 

4. Осуществляем проверку полученного результата. Для этого находим произведение полученной
матрицы на исходную:
10
 1

 7
2
1
1
A  A  A A  
 7

 0

8
11 

49 49   3  2 5 

23
1 
 2 1
3 

49
49 

2
1   4 2  1
 
7
7 

 1

11
1
11
1
11
 8 
 8 
 8 

3    2 
4
 (2)      1 
2
5   3 
 (1) 
7
49
49
7
49
49
7
49
49








 2 

23
23
23
 1 
 2
 1 
 2
 1 
 2      4     (2) 
1      2     5 
 3      (1)  
    3 
49
49
49
 49 
 7
 49 
 7
 49 
 7 

2
2
2
 1
 1
 1


0

3


2



4
0

(

2
)


1



2
0

5


3



(

1
)








7
7
7
7
7
7








1 0 0


  0 1 0
0 0 1


Таким образом, получили в результате единичную матрицу. Следовательно, обратная матрица была
найдена верно.
Пример 9. Решить систему уравнений тремя способами.
 x1  2 x2  x3  2

2 x1  3x2  2 x3  2
 3x  x  x  8
2
3
 1
1 способ: метод Гаусса.
Составляем расширенную матрицу системы, в которую входят коэффициенты при переменных и
свободные члены:
1 2 1 2


 2  3 2 2
3 1
1 8 

Чтобы исключить переменную x1 из второго и третьего уравнений, умножим первую строку на (-2) и
(-3) и полученные строки прибавим ко второй и третьей строке соответственно:
 1 2  1 2  (2)(3)  1 2  1 2 




  0  7 4  2
 2  3 2 2
3 1
0  5 4 2 
1 8 



Чтобы исключить переменную x3 из третьего уравнения, умножим вторую строку на (-1) и
полученную строку прибавим к третьей строке:
1 2 1 2 
1 2 1 2 




 0  7 4  2 (1)   0  7 4  2 
0  5 4 2 
0 2
0 4 



Получили систему уравнений, равносильную исходной системе, в которой первое уравнение
содержит три переменных, второе – две, а третье – одну переменную:
 x1  2 x 2  x3  2

 7 x 2  4 x3  2

2 x2  4

Отсюда последовательно находим:
x 2  2;
 14  4 x3  2  x3  3;
x1  4  3  2  x1  1
Таким образом, решение системы:
x1  1; x 2  2; x3  3 .
11
Проверяем полученное решение, подставляя найденные значения в исходную систему:
 1 2 2  3  2

2  1  3  2  2  3  2
 3 1  2  3  8

Получили тождественные равенства, следовательно система решена правильно.
Второй способ: метод Крамера.
Составляем матрицу системы:
 1 2  1


2  3 2 
3 1 1 


Вычисляем определитель этой матрицы:
1 2 1
  2 3
3 1
2  3  12  2  9  2  4  8  0
1
Находим определители
1 ,  2 ,  3 ,
получающиеся
из
исходного определителя заменой
 2
 
соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:  2  .
8
 
2 2 1
1 2 1
1  2  3 2  6  32  2  24  4  4  8;  2  2 2 2  2  12  16  6  16  4  16;
8 1
1
3 8 1
1 2 2
 3  2  3 2  24  12  4  18  32  2  24
3 1 8
Теперь используя формулы Крамера x1  1 ; x 2   2 ; x3   3 , находим решение системы:

x1 
8
 1;
8
x2 
 16
 2;
8
x3 


 24
 3.
8
Третий способ: метод обратной матрицы.
 2
 1 2  1
 


Запишем матрицу системы A   2  3 2  и матрицу-столбец свободных членов B   2  .
8
3 1
1 
 

Определитель матрицы А был найден ранее: A  8 .
Найдем матрицу, обратную к матрице А. Для этого составляем матрицу из алгебраических
дополнений элементов определителя матрицы А и транспонируем ее:
3 2
2 2
 5; A12  (1) 3  M 12  
 4;
1 1
3 1
2 3
2 1

 11; A21  (1) 3  M 21  
 3;
3 1
1 1
A11  (1) 2  M 11 
A13  (1) 4  M 13
12
A22  (1) 4  M 22 
1 1
 4;
3 1
A31  (1) 4  M 31 
2 1
 1;
3 2
A33  (1) 6  M 33 
1 2
 7
2 3
A23  (1) 5  M 23  
1 2
 5;
3 1
A32  (1) 5  M 32  
1 1
 4;
3 1
T
  5 4 11 
 5  3 1 




5   4
4  4
 3 4
 1  4  7
 11 5  7 




Полученную матрицу делим на определитель исходной матрицы и записываем обратную матрицу:
 5  3 1 

1 
1
A    4
4  4
8 

 11 5  7 
 x1 
 
Решением исходной системы уравнений будет матрица-столбец X   x 2  , найденная как
x 
 2
произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов:
  5  3 1   2
  10  6  8 
  8  1
  

  
1 
1
1
1
X  A  B    4
4  4    2     8  8  32      16    2  .
8 
8
8
  

  
 11 5  7   8 
 22  10  56 
  24   3 
Таким образом:
x1  1; x2  2; x3  3.
Задача 21-30.
Относятся к теме «Дифференциальное исчисление». Требуется исследовать и
построить график функции. Предварительно ознакомьтесь с планом исследования функции.
Задача. Исследовать функцию y 
1 x2
и построить ее график.
1 x2
Решение:
Используем схему исследования функции:
1. Находим область определения функции.
1 x2
определена на всем множестве вещественных чисел, кроме тех значений,
1 x2
при которых знаменатель этой функции обращается в ноль: x  1 и x  1 . Следовательно,
Функция y 
областью определения этой функции будет объединение интервалов:
  ;  1   1 ; 1  1 ;  .
2.
f ( x) 
Исследуем функцию на четность.
1  ( x) 2 1  x 2

 f ( x)
1  (  x) 2 1  x 2
13
Таким образом, данная функция является четной, следовательно ее график будет
симметричен относительно оси ординат.
3. Находим вертикальные асимптоты к графику функции.
Вертикальные асимптоты могут быть в точках разрыва функции x  1 и x  1 . Сначала
рассмотрим точку x  1. Если хотя бы один из пределов этой функции при x  1 слева и
справа равен бесконечности, то прямая x  1 является вертикальной асимптотой.
При x  1 слева:
1 x2
 
lim
2
x 1 0 1  x
При x  1 справа:
1 x2
 
lim
2
x 1 0 1  x
Таким образом, прямая x  1 является вертикальной асимптотой. Аналогично можно
проанализировать x  1. Но, поскольку график функции симметричен относительно оси
ординат, то, очевидно, что прямая x  1 тоже будет вертикальной асимптотой.
4. Исследуем поведение функции на бесконечности. Определим горизонтальные и
наклонные асимптоты.
Для этого найдем пределы функции при x   и x   :
1 x2
 1 ;
lim
2
x   1  x
1 x2
 1 .
lim
2
x   1  x
Следовательно, прямая y  1 является горизонтальной асимптотой.
Для того, чтобы найти наклонные асимптоты, нужно исследовать предел
lim
x 
существует и равен конечной величине
lim  f ( x)  kx  b , то прямая
lim
x 
f ( x)
. Если он
x
f ( x)
 k , а также существует конечный предел
x
y  kx  b является наклонной асимптотой. В нашем случае:
x 
1 x2
.
lim
2
x  x(1  x )
Конечного предела не существует, следовательно, наклонных асимптот у графика функции
1 x2
y
нет.
1 x2
5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции.
Для этого вычислим первую производную функции:


2 x(1  x 2 )  (2 x)(1  x 2 ) 2 x  2 x 3  2 x  2 x 3
4x
 
.


2 2
2 2
(1  x )
(1  x )
(1  x 2 ) 2

Найдем значения x , при которых производная y  обращается в ноль или не существует:
1 x2
y   
2
1 x
y 
4x
0 
(1  x 2 ) 2
x  0.
Производная не существует в точках x  1 и x  1 , но эти точки не входят в область
определения функции. Поэтому критической является только точка x  0 . Если в этой точке
производная функции меняет знак, то эта точка будет точкой экстремума функции.
Исследуем поведение производной при переходе через эту точку.
14
На промежутке   ;  1  (1;0) первая производная y   0 , следовательно, функция y на
этом промежутке убывает.
На промежутке 0 ; 1  (1; )
производная y   0 , следовательно, функция y на этом
промежутке возрастает.
Поскольку в точке x  0 функция меняет знак с минуса на плюс, то точка x  0 является
точкой минимума.
6. Находим интервалы выпуклости и точки перегиба функции.
Для этого вычисляем вторую производную:


 4 x  (4 x)  (1  x 2 ) 2  4 x  (1  x 2 ) 2  4  (1  x 2 ) 2  4 x  2(1  x 2 )  (2 x)
 
y   


2 2 
(1  x 2 ) 4
(1  x 2 ) 4
 (1  x ) 
4  4 x 2  16 x 2 4(1  3x 2 )


(1  x 2 ) 3
(1  x 2 ) 3
Исследуем поведение второй производной. Точек, в которых вторая производная
обращается в ноль, нет (числитель этой дроби всегда отличен от нуля). Поэтому точек
перегиба у графика функции не будет. Числитель будет всегда положителен, поэтому знак
второй производной определится знаменателем 1  x 2  .
Отсюда следует, что на промежутке  1 ; 1 вторая производная положительна
3
следовательно, функция y 
 y  0 и
1 x2
будет выпукла вниз.
1 x2
На промежутках   ;  1  1 ;   вторая производная будет отрицательна, следовательно,
данная функция будет выпукла вверх.
7. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
Полагаем x  0 . Тогда y 
1 0
 1 . Точка пересечения графика функции с осью ординат (0
1 0
; 1).
Теперь полагаем y  0 . Нет таких значений x , которые удовлетворяли бы этому требованию
(числитель данной функции всегда отличен от нуля). Поэтому график функции не пересекает
ось абсцисс.
8. На основе проведенного анализа строим график функции.
15
Задачи 31-40 и 41-50 относятся к теме «Интегральное исчисление». Ознакомьтесь с
основными вопросами этой темы:
1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица интегралов.
4. Основные
методы
интегрирования:
непосредственное
интегрирование,
интегрирование подстановкой, интегрирование по частям.
5. Интегрирование некоторых рациональных дробей.
6. Понятие определенного интеграла и его основные свойства.
7. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
9. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
Интегрирование есть операция, обратная дифференцированию.
, где
F(x)-первообразная для подынтегральной функции f(x), то есть F`(x)=f(x), а С – произвольная
постоянная. При интегрировании часто используют свойства неопределенного интеграла:
16
Идея интегрирования заключается в том, чтобы свести данный интеграл к одному из
табличных интегралов. Поэтому, приступая к решению задач ознакомьтесь с таблицей
интегралов.
Примечание. Формулы верны, когда х является независимой переменной, а также
когда х является функцией другой переменной: х=х(t).
Задачи 31-40
Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
Интегралы а) и б) в ваших контрольных работах берутся методом замены переменной
(подстановкой).
При этом вводится новая переменная t=(x) , которая является функцией от x. Если
новая переменная введена удачно, то в результате замены получаем табличные интегралы.
Некоторые рекомендации по введению новой переменной смотрите ниже в примерах.
Напомним формулу для нахождения дифференциала функции одной переменной:
Пример 1.
Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую
переменную t часто удобно принимать показатель степени, если к тому же под интегралом
присутствует производная этого показателя с точностью до постоянного множителя.
В конце возвращаемся к старой переменной, подставив вместо t выражение (-x3).
17
Проверка: Если интеграл взят правильно, то производная от полученного результата
равна подынтегральной функции:
,
что и требовалось доказать.
Пример 2.
Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то часто удобно принять
ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует к тому же и производная
этой функции (с точностью до постоянного множителя).
Проверка:
Пример 3.
Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дроби подынтегральной
функции.
Проверка:
Пример 4.
Проверка:
18
Пример 5.
Часто за новую переменную удобно взять подкоренное выражение, если под
интегралом присутствует также его производная с точностью до постоянного множителя.
Проверка:
Пример 6.
Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.
Пример 7.
Новая переменная иногда выбирается из следующих соображений: в знаменателе стоит
разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую
переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного
множителя).
Пример 8.
Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.
19
Пример 9.
За новую переменную иногда выбирают функцию, стоящую в основании степени, если
подынтегральное выражение содержит производную этой функции с точностью до
постоянного множителя.
Пример 10.
Подстановка выбирается аналогично предыдущему примеру.
Сделайте самостоятельно проверку в примерах 6-10.
Интеграл из пункта в) вашей контрольной работы берется методом интегрирования “по
частям”. Этим методом интегрируются некоторые произведения, например произведения
степенной функции на логарифмическую или на показательную, или на
тригонометрическую, или на обратные тригонометрические функции и др.
Интегрирование “по частям” производится по формуле
Чтобы воспользоваться этой формулой, следует один множитель в подынтегральном
выражении обозначить за “u”, а оставшийся множитель вместе с dx принять за “dv”.
Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного интеграла, надо
правильно выбрать “u” и “dv”.
В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные
тригонометрические функции принимают за “u”. Если подынтегральная функция содержит
произведение степенной функции на показательную или тригонометрическую, то за “u”
принимается степенная функция.
Пример 11.
20
Пример 12.
Пример 13.
Пример 14.
Чтобы взять последний интеграл, умножим и разделим числитель на 9, затем в
числителе прибавим и отнимем единицу, после чего разобьем интеграл на два табличных:
Обязательно сделайте проверку в примерах 11-14.
В пункте г) вашей контрольной работы предлагается взять интеграл от рациональной
дроби.
21
Пример 15.
Под знаком интеграла стоит рациональная дробь.
1.
Так как подинтегральная рациональная дробь неправильная (степень многочлена
в числителе выше степени многочлена в знаменателе),то выделим целую часть, разделив
числитель на знаменатель “углом” (аналогично тому, как в задачах 41-50):
Итак, подынтегральную функцию можно записать в виде:
Тогда данный интеграл (обозначим его J), можно представить как сумму интегралов:
2.
Чтобы взять полученный новый интеграл от правильной рациональной дроби
(обозначим его J1, разложим знаменатель подынтегральной функции на множители.
Для этого найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе: x2-3x+12=0.
Тогда
3.
Представим полученную правильную дробь в виде суммы элементарных дробей:
Здесь А и В - числа, которые нужно найти. Сделаем приведение к общему знаменателю
в правой части:
Так как дроби тождественно равны и равны их знаменатели, то должны быть равны и
их числители:
7x-12=A(x-2)+B(x-1);
7x-12=Ax-2A+Bx-B;
7x-12=(A+B)x+(-2A-B).
Это тождество выполняется тогда и только тогда, когда слева и справа равны
коэффициенты при одинаковых степенях х:
Получена система двух уравнений с двумя неизвестными А и В, решив которую,
найдем А=5; В=2.
22
Подставим найденные числа в равенство (*):
4.
Вернемся к интегралу J1:
5.
Окончательно искомый интеграл равен:
Проверка:
Задачи 41-50
В этих задачах используется определенный интеграл, который вычисляется по
формуле Ньютона-Лейбница.
где F(х) – первообразная для
, то есть
;
a и b - пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная
интегрирования х.
Обратите внимание на то, что определенный интеграл – это число, в отличие от
неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула НьютонаЛейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться,
следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную,
не прибавляя произвольной постоянной), а затем вычислить разность значений
первообразной в верхнем и нижнем пределах.
Например: 162*.
Задача.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=x2-6x+5 и прямой y = x-1.
Сделать чертеж.
Решение.
Построим параболу и прямую.
Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с
осями координат.
Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем
производную и приравняем ее к нулю.
23
тогда
Итак, вершина параболы в точке (3;-4).
Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда
х2-6х+5=0, откуда х1=1; х2=5, то есть точки (1;0) и (5;0).
Точка пересечения с осью Оу: х=0, тогда y=5; то есть точка (0;5).
Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены
вверх (рис. 9).
Прямую y=х-1 строим по двум точкам: (0;-1) и (1;0).
Получены точки заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой.
Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:
Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой
где функции
ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть
при
В нашей задаче
Поэтому:
Ответ:
Площадь искомой криволинейной трапеции:
24
Задачи 51-60
Названные задачи относятся к теме «Дифференциальные уравнения». По этой теме
необходимо изучить следующие вопросы:
1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок
дифференциального уравнения?
2. Что называется решением дифференциального уравнения? Общее и частные решения
дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
3. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков.
Геометрический и механический смысл начальных условий.
4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:
P(x)dx+Q(y)dy=0. Нахождение их общего и частного решений.
5. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
. Отыскание
его общего и частного решений.
6. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.
Задача.
Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное
решение, удовлетворяющее начальному условию y=y0 при x=x0.
Уравнения предлагаемого вида являются линейными, так как содержат искомую
функцию “y” и ее производную “y/” в первых степенях. Один из способов решения таких
уравнений заключается в том, что функцию y(x) ищем в виде произведения двух
дифференцируемых функций u(x) и v(x), одна из которых побирается специальным образом,
а другая находится из условия удовлетворения их произведения исходному уравнению. С
помощью этого приема решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
соответственно для функций u(x) и v(x).
Рассмотрим ряд примеров. Напомним, что производная равна отношению
дифференциалов:
Пример 1.
Ищем решение уравнения в виде y=uv. Найдем производную этого произведения:
y =u v+uv/. Подставим функцию y и ее производную у/ в исходное уравнение:
/
/
В левой части уравнения сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель “u”, и
вынесем его за скобку:
Подберем вспомогательную функцию “v” так, чтобы обратилось в нуль выражение,
стоящее в круглых скобках: v/-2v=0
Тогда уравнение примет вид: u/v=e2x
Оба последних уравнения решаются разделением переменных. Сначала находим
частное решение первого из них, то есть функцию v(x), а затем, подставив ее во второе
уравнение, найдем функцию u(x,с).
25
Замечание. Решая первое уравнение (для вспомогательной функции v(x)), берем лишь
его частное решение, соответствующее С=0. При решении второго уравнения для функции
u(x) находим общее решение уравнения.
Так как y=uv, то y=(x+С)e2x – общее решение уравнения.
Для нахождения частного решения обратимся к начальному условию: у0=2 при х0=0.
Подставим эти значения в найденное общее решение дифференциального уравнения:
2=(0+С) е0, так как е0=1, то С=2.
Подставляя найденное значение С в общее решение дифференциального уравнения,
получим его частное решение:
у=(х+2)е2х.
Ответ: у=(х+С)е2х – общее решение дифференциального уравнения;
у=(х+2)е2х – частное решение дифференциального уравнения.
Пример 2.
Ищем решение в виде у=uv.
Найдем производную: y/=u/v+uv/.
Подставим в исходное уравнение у и у/:
Сгруппируем подчеркнутые слагаемые, вынеся за скобку общий множитель u:
Подберем вспомогательную функцию v(x) из условия:
Тогда уравнение примет вид:
Решаем поочередно два последних уравнения, причем для первого из них берем лишь
частное решение v(x), соответствующее С=0.
26
Таким образом,
уравнения.
Для нахождения
- общее решение данного дифференциального
частного
решения
воспользуемся
начальными
условиями:
, подставив их в найденное общее решение:
Подставим С=-2, в общее решение уравнения:
- искомое частное решение.
Ответ:
- общее решение;
- частное решение.
27
Пример 3.
Ищем решение в виде у=uv, тогда y/=u/v+uv/.
Подставим у и у/ в данное уравнение:
Потребуем, чтобы (x2+1)v`+xv = 0, тогда (x2+1)u`v=1.
Решим последовательно оба уравнения, причем для первого из них берем лишь частное
решение при С=0.
Так как y=uv, то
- общее решение исходного дифференциального уравнения.
Для нахождения частного решения обратимся к начальным условиям х0=1; у0=2 и
подставим их в найденное общее решение:
Искомое частное решение получим из общего, подставив в него найденное значение
С=20/3:
Ответ:
28
- общее решение;
- частное решение.
Замечание. Чтобы проверить правильность найденного решения (общего или
частного), нужно подставить его в исходное уравнение и убедиться, что получиться верное
равенство (тождество).
29
СОДЕРЖАНИЕ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Задачи с 1 – 10. Даны вершины А(х1; у1), В(х2; у2 ), С(х3, у3) треугольника.
Сделать чертеж и найти:
длину стороны АВ;
внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01;
уравнение высоты, проведенной через вершину С;
уравнение медианы, проведенной через вершину В;
точку пересечения медианы ВЕ и высоты СD;
длину высоты, проведенной через вершину С.
1. А ( 4; 1 )
В ( -4; 7 )
С ( -3; 2 )
2. А ( 10; 0 )
В ( 2; 6 )
С ( 3; 1 )
3. А (8 ; 2 )
В ( 0; 8 )
С ( 1; 3 )
4. А ( 5 ; -1 )
В ( -3; 5 )
С ( -2; 0 )
5. А ( 6; 2 )
В ( -2; 8 )
С ( -1; 3 )
6. А ( 7; 3 )
В ( -1; 9 )
С ( 0; 4 )
7. А ( 8; 3 )
В ( 0; 9 )
С ( 1; 4 )
8. А ( 12; -2 )
В ( 4; 4 )
С ( 5; -1 )
9. А ( 14; -1 )
В ( 6; 5 )
С ( 7; 0 )
10. А ( 9; 3 )
В ( 1; 9 )
С ( 2; 4 )
Задачи с 11 - 20
11.
1. Вычислить определитель
1 0  4 2
2 3 0 9
3
4 7 1
2
0
0
4
2. Решить систему уравнений тремя способами:
 xz  4

3x  4 y  2
 2y  z  2

12.
1. Вычислить определитель
15 0  7
0 0 3
3 1 2
7
5
4
1
9
1
2
2. Решить систему уравнений тремя способами:
2 x  3 y  3z  10

 x  3 y  3z  13

xz 0

30
13.
1. Вычислить определитель
8 1 4 3
1 2 6 0
0 0 3 7
3 4 5
6
2. Решить систему уравнений тремя способами:
 x yz 3

2 x  y  z  11
 x  y  2z  8

14.
1. Вычислить определитель
1
1
7
1
5 4 3
7 0 2
0 4 1
0
6 7
2. Решить систему уравнений тремя способами:
 x  2y  z  8

 2 x  3 y  3z  5
 3x  4 y  5 z  10

15.
1. Вычислить определитель
1 2 3 4
1 7 9 0
0 2 0 9
2
4 5 8
2. Решить систему тремя способами:
16.
1. Вычислить определитель
2
8
2
2 x  y  z  0

 3 y  4 z  6
 x z 1

5 7 0
2 4 7
4 6 7
 10 7
0
0
2. Решить систему уравнений тремя способами:
 2 x  3 y  z  6

3x  4 y  3z  5
 x  y  z  2

17.
1. Вычислить определитель
4 5 7
0
1 3 7 7
0 1 1  9
0
3
0
1
2. Решить систему уравнений тремя способами:
  2 x  y  6

 x  2y  z  5
3x  4 y  2 z  13

18.
1. Вычислить определитель
2 5 0 9
1 1 2 7
0 9 0 8
1 1 1 7
2. Решить систему уравнений тремя способами:
 x  2 y  3z  6

2 x  3 y  z  4
3x  y  4 z  0

31
19.
1. Вычислить определитель
1
1
3
4
7
3
0
4
9
5
5
5
1
0
7
0
2. Решить систему уравнений тремя способами:
 x  2 y  3z  4

 4 x  y  2 z  13
2 x  5 y  z  7

20.
1. Вычислить определитель
7
0
5
5
0
3
0
3
7
1
4
3
5
2
2
1
2. Решить систему уравнений тремя способами:
 x  y  5 z  6

 2 x  3 y  3z  3
2 x  y  4 z  1

Задачи с 21 – 30. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию
y=f(x) и построить ее график.
21. y = x3 - 9x2 + 24x - 16
27. y = x3 - 14x2 + 60x - 72
22. y = x3 -11x2 + 39x - 45
28. y = x3 - 12x2 + 45x - 54
23. y = x3 + 6x2 + 9x + 4
29. y = x3 - 18x2 + 105x -196
24. y = x3 + x2 - 5x + 3
30. y = x3 - 10x2 + 28x - 24
25. y = x3 + 10x2 +32x + 32
26. y = x3 + 9x2 + 24x + 20
32
Задачи с 31 – 40. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить
дифференцированием.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
33
37.
38.
39.
40.
Задачи с 41 – 50. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
у=ах +bх+с и прямой у=kх+b. Сделать чертеж.
41. у = -х2 + 4х - 1;
у = -х - 1.
42.
у = х2 - 6х + 7;
у=х+1
2
43.
у = -х + 6х -5;
у=х-5
2
44.
у = х - 6х + 7;
у = -х + 7
45.
у =-х2 + 6х - 5;
у = -х + 1
2
46.
у = х + 6х + 7; у = х + 7
47.
у = -х2 - 6х - 5;
у=х+1
2
48.
у = х + 6х + 7; у = -х + 1
49.
у = -х2 - 6х - 6;
у = -х - 6
2
50.
у = х - 4х + 1;
у=х+1
2
34
Задачи с 51 – 60. Найти общее решение дифференциального уравнения и
частное решение, удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
35
Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов,
дополнительной литературы
Основные источники:
1.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие
для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. – 10-е изд.,
перераб – М.: Высш. шк., 2008.-495с.
2.
Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике:
учеб. пособие для ссузов / Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергиенко. – М.:
Дрофа, 2010.-236с.
3.
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф.
учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 3-е
изд., стер – М.: Издательский центр «Академия», 2008.-384с.
Дополнительная литература:
4.
Малугин В.А. Математический анализ. Курс лекций. – М.: Эксмо,
2009.-272с.
5.
Соболь Б.В. Практикум по высшей математике / Б.В. Соболь, Н.Т.
Мишняков, В.М. Поркшеян. – Изд. 6-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2010630с.
36