(11 класс, модуль III, урок 3) Урок 3. Непрерывность основных элементарных функций План урока 3.1. Непрерывность многочленов и дробно-рациональных функций 3.2. Неравенства, связывающие значения аргумента со значениями синуса и тангенса 3.3. Непрерывность синуса и косинуса, тангенса и котангенса 3.4. Замечательный тригонометрический предел 3.5. Непрерывность показательной функции Тесты Домашнее задание Цели урока: На этом уроке с помощью теорем о непрерывных функциях, изученных на предыдущем уроке устанавливается непрерывность многочленов и дробно-рациональных функций; с помощью неравенств, связывающих значения аргумента со значениями синуса и тангенса, устанавливается непрерывность синуса и косинуса на всей числовой прямой. В качестве еще одного следствия из упомянутых неравенств доказывается замечательный тригонометрический предел. В заключение сообщается факт непрерывности показательной функции. 3.1. Непрерывность многочленов и дробно-рациональных функций Используя примеры и теоремы об арифметике пределов, рассмотренные в предыдущем уроке темы, нетрудно доказать, что каждый P( x) a0 x n a1 x n 1 an 1 x an многочлен является непрерывной функцией на всей числовой прямой. Вопрос. Как доказать 3 2 P( x) x x x 1 на множестве R ? непрерывность многочлена Используя теорему 9 из пункта 2.3 предыдущего урока, нетрудно доказать, что каждая дробно- рациональная функция, представляющая из себя отношение двух многочленов, непрерывна в своей области определения. 3 Вопрос. Как доказать, что функция f ( x) 2x непрерывна на x 1 множестве (1) (11) (1) ? 3.2. Неравенства, связывающие значения аргумента со значениями синуса и тангенса В десятом классе при изучении тригонометрических функций для 0 x были установлены важные неравенства 2 sin x x tg x (1) связывающие значение аргумента x со значениями тригонометрических функций. Напомним, как доказываются эти неравенства. Изобразим на единичной окружности угол AOB в x радианах. Проведем BH OA и AK OA так, как изображено на рисунке 1. Так как треугольник AOB содержится в секторе AOB , а сектор AOB содержится в треугольнике AOK , то S AOB Sсек AOB S AOK 1 1 1 OA BH OA2 AOB OA AK 2 2 2 Так как OA 1 , AOB x , BH sin x , AK tg x , то 1 1 1 sin x x tg x 2 2 2 откуда сразу следуют неравенства (1). Эти неравенства можно обобщить. Пусть x 0 и x 0 . Обозначим t x . Тогда t 0 и 0 t . 2 2 Поэтому sin t t tg t откуда sin( x) x tg( x) sin x x tg x (2) Неравенства (2) выполняются при всех x таких, что x и 2 2 x 0 , или 0 x . 2 Вопрос. Как доказать, что sin1 0 0175 3.3. Непрерывность синуса и косинуса, тангенса и котангенса Неравенство sin x x позволяет доказать непрерывность функций sin x , cos x , tg x на всей области определения. Разберем доказательство непрерывности функции sin x . Доказательство. Пусть Возьмем произвольную aR . последовательность ( xn ) такую, что xn a и xn a при n . Тогда xn a 0 и xn a 0 при n . Далее, xn a x a cos n 2 2 x a x a x a x a 2 sin n cos n 2 sin n 2 n xn a 2 2 2 2 Следовательно, 0 sin xn sin a xn a при каждом n N . Отсюда по теореме о пределе промежуточной последовательности имеем lim sin xn sin a 0 . Поэтому lim(sin xn sin a) 0 , lim sin xn sin a . sin xn sin a 2sin n n n Ввиду произвольности выбора последовательности ( xn ) с указанными условиями получаем, что lim sin x sin a . Тем самым непрерывность xa функции sin x доказана при любом a R . Вопрос. Как доказать непрерывность функции cos x в каждой точке числовой прямой? Утверждения о непрерывности тангенса и котангенса в каждой точке своих областей определения следуют из теоремы 7 (или теоремы 9) предыдущего урока. 3.4. Замечательный тригонометрический предел Функция f ( x) sin x представляет из себя отношение непрерывных x функций. Однако, непосредственная подстановка x 0 приводит к выражению 0 , которое не определено. Тем не менее отношение sin x 0 x имеет при x 0 предел, равный 1 . Докажем это. Доказательство. Пусть 0 x . Тогда sin x x tg x . 2 Из неравенства sin x x следует, что sin x 1 . x sin x Из неравенства x tg x следует 1 , cos x sin x . x x cos x Функции cos x и sin x четные. Поэтому полученные неравенства x можно записать в виде cos x sin x 1 . Так как lim cos x cos x 1 , x 0 x lim1 1 , то по теореме 4 о промежуточной функции из пункта 1.8 урока 1 x 0 получаем lim sin x 1 . x 0 x Этот предел играет тригонометрических функций. очень Вопрос. Чему равен lim sin 5 x x 0 x важную роль в изучении 3.5 Непрерывность показательной функции При a 0 и a 1 показательная функция a x непрерывна на всей числовой прямой. Доказательство этого свойства сложное и мы его приводить не будем. Вопрос. Пусть a 0 . Как доказать, что lim n a 1 ? n Мини-исследование Попробуйте не использовать непрерывность косинуса при выводе замечательного тригонометрического предела lim sin x 1 . Для этого x 0 x 1) для всех положительных чисел x установите неравенства 0 1 sin x 1 cos x ; x 2) выразите 1 cos x через синус половинного аргумента и получите неравенства 2 0 1 sin x x ; x 2 2 воспользовавшись четностью функций sin x и x , x 2 распространите предыдущие неравенства для всех x 0 ; 4) с помощью теоремы о пределе промежуточной функции установите искомый предел. С помощью полученных соотношений легко получить непрерывность косинуса в точке 0, а с помощью теоремы 10 из предыдущего урока (теоремы о непрерывности сложной функции) непрерывность косинуса в любой точке числовой прямой. 3) Проверь себя. Непрерывность основных элементарных функций Задание 1. Укажите правильный вариант ответа. Функция f ( x) непрерывна на всей числовой прямой: 1. f ( x) tg x x ; 2 . f ( x) x sin x ; 3. f ( x) tg x ctg x ; 4. f ( x) 12 . sin x (Правильный вариант: 2) Функция f ( x) непрерывна на всей числовой прямой: 2 x 2 x ; 2 x 2 x 2 x 2 x 2 . f ( x) x x ; 2 2 2 x 2 x 3. f ( x) x x ; 2 2 4. f ( x) 2 x 2 x . (Правильный вариант: 1) 1. f ( x) Значение lim sin x равно: x 0 3x 1 1. 3 ; 2 . 0 ; 3. ; 4. не существует. 3 (Правильный вариант: 3) Значение lim sin x равно: x 3x 1 1. 3 ; 2. 0 ; 3. ; 4. не существует. 3 (Правильный вариант: 2) tg x равно: x 0 2 x 1 1. 2 ; 2. 0 ; 3. ; 4. не существует. 2 (Правильный вариант: 3) Значение lim Значение lim x cos x равно: x 0 tg 2 x 1 1. 2 ; 2. 0 ; 3. ; 4. не существует. 2 (Правильный вариант: 3) Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа. Укажите, для каких функций значение lim f ( x ) равно x 0 2 : 5 tg 5x 1. sin x ; 2. ; 3. cos 2 x ; 4. sin 2 x . 5x 2x tg 5 x 2 (Правильные варианты: 1, 4) tg 5x Укажите, для каких функций значение lim f ( x ) равно 3 : x 0 1. sin 6 x ; 2. x ctg 3x ; 3. 3 x ctg x ; 4. sin 2 x . sin 2 x 3 2x (Правильные варианты: 1, 4) Домашнее задание 1. Докажите непрерывность функции на всей области определения: а) f ( x) ( x 2 1)5 ; б) f ( x) ( x 2)3 3x ; ( x 1) в) f ( x) 13 22 3 ; г) f ( x) . x x x ( x 1)3 4 2. Докажите непрерывность функции на всей числовой прямой: а) f ( x) sin 2 x ; б) f ( x) cos x sin x ; в) f ( x) sin(2 x 5) ; г) f ( x) cos x 1 cos 2 x 1 cos3x ; д) f ( x) x sin x . 2 3 3. Докажите непрерывность функции на всей области определения: а) f ( x) cos x ; б) f ( x) tg 3 x ; 4 cos 2 x tg x tg x sin x в) f ( x) 2 ; г) f ( x) . 1 cos x tg x 1 4. Найдите предел: x; а) lim sin 2 x ; б) lim sin 3x ; в) lim 1 cos 2 x 0 x 0 x 0 x sin 2 x x tg 2 x г) lim sin 3x sin 2 x ; д) lim ; е) lim sin 3x . x 0 tg 4 x x 0 x 0 x x 5.* Найдите предел: sin x tg x а) lim x ; б) lim x ctg 5 x ; в) lim sin18 x ; г) lim . x x x sin 3 x x sin 37 x sin 3 x 6.** Найдите предел последовательности: 2 а) lim n sin 1 ; б) lim n3 tg 1 sin 1 ; x n 1 x n n n 1 г) lim n sin 2 . x n 1 в) lim n 2 1 cos 1 ; x 2n 7. Найдите предел: x x x x 2 а) lim 2x 3x ; б) lim 3x 1 ; в) lim 3 2 x x 2 . x2 3 4 x1 3 1 x 3 x 2 x 8.* Найдите предел: x x x а) lim 2 x 1 ; б) lim 4 3 x 2 2 ; x1 x0 4 1 4 4 в) lim 9x 1 ; x1 3 1 x г) lim x0 2 11 4 2 1 ; x x 100 x 0 01 . x 10 x 01 д) lim 9.** Докажите, что при всех x 0 выполняется неравенство sin x x . Словарь терминов Непрерывность функции в точке. непрерывной в предельной точке a lim f ( x) f (a) . Часто дают немного x a f ( x ) называется Функция области определения, если отличное от приведенного определение непрерывности функции в точке – функция f ( x) называется непрерывной в точке a из области определения D , если для каждого положительного числа найдется 0 такое, что при всех x , удовлетворяющих условиям x D и x a , выполняется неравенство f ( x) f (a) . Это определение позволяет считать функцию непрерывной во всякой изолированной точке своей области определения. Непрерывность функции на множестве. Функция f ( x) называется непрерывной на множестве M , если f ( x) непрерывна в каждой точке множества M . Рисунки (названия файлов) Рисунок 1. – 11-3-05.cdr