Задачи для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения
1. Опыт состоит в том, что стрелок произвел 3 выстрела по мишени. Событие Аi
– попадание в мишень при i-м выстреле (i = 1, 2,3). Выразите через А1, А2 и А3
следующие события:
А – хотя бы одно попадание,
В – три промаха,
С – три попадания,
D – хотя бы один промах,
Е – не меньше двух попаданий,
F – не больше одного попадания,
G – попадание в мишень после первого выстрела.
2. Опыт состоит в бросании трех монет. Пусть монеты занумерованы и события
Г1, Г2 и Г3 означают выпадение герба соответственно на первой, второй и третьей
монетах. Выразите через Г1, Г2 и Г3 следующие события:
А – выпадение одного герба и двух цифр,
В – выпадение не более одного герба,
С – число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр,
D – выпадение хотя бы двух гербов,
Е – на первой монете выпал герб, а на остальных – цифры,
F – на первой монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал
герб.
3. Пусть А, В и С – произвольные события. Что означают следующие события:
A ВС, A В С , A + В + С , А В С + A В С + A В С, A В С + A В С + A В С +
АВ С?
4. Перечислите все случаи наступления и ненаступления следующих событий в
зависимости от наступления или ненаступления входящих в них событий А, В и С:
а) А В + С; б) AВ + С ; в) А + ВС; г) (А + В) С; д) А( В + С).
5. Перечислив все случаи наступления и ненаступления событий, стоящих в
левой и правой частях, докажите следующие равенства (свойства операции над
событиями):
1) А + А = А, АА = А; 2) А + В = В + А, АВ = ВА;
3) A + V = A, AV = V, A + U = U, AU = A;
4) (A + B) + C = A + (B + c), (AB)C = A (BC);
5) (A + B) C = AC +BC, A + BC = (A + B) (A +C);
6) A  В = A В , AВ = A + В , A + A = U, A A = V.
6. Используя свойства операций (см. задачу 5), докажите равенства:
а) А  В = АВ; б) А В = А + В; в) А В + A В = (А + В) AВ ;
г) А В + В С + A С + АВС = А + В + С; д) А  AВ + В = А + В.
7. Докажите достоверность следующих событий:
а) (А + В) (А + В ) + ( A + В) ( A + В );
б) (А + В) ( A +В) + (А + В ) ( A + В ).
8. Упростите выражения:
а) (А + В)(А + В ); б) (А + В) ( A +В) + (А + В ).
9. Докажите равенства:
а) А  В  С  АВС ; б) АВС  А  В  С .
10. Методом математической индукции докажите:
а) А1  А2  ...  Аn  А1 A2 ... An ;
б) А1 А2 ...  An  А1  A2  ...  An .
11. Установите, какие из следующих утверждений истинны:
а) АВС  АВ +АС + ВС; б) А В С  А + В;
в) АВ + АС + ВС  А + В + С; г) (А + В) С  А + В С .
12. Докажите следующие утверждения:
а) В  А  А В +В = А; б) АВ = V  (A + B) В = A;
б) А  В  АС  ВС; г) ВС = V  В С + C = В ;
д) А В + А В = С D + С D  А C + А С = B D + B D ;
e) ( A  B )C = А C + B C  AC = BC;
ж) А В + А В  С  А  В С + В С.
13. Прибор состоит из 2 блоков I типа и 3 блоков II типа. Событие Ak
(k =
1,2) – исправен k-й блок I типа; Bi (i = 1, 2, 3) – исправен i-й блок II типа.
Прибор работает, если исправен хотя бы один блок I типа и не менее 2 блоков
II типа. Выразите событие С, означающее работу прибора, через Ak и Bi.
14. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Событие А
означает исправность рулевого устройства, Вk ( k = 1, 2, 3, 4) – исправность k-го
котла и Сi ( i = 1,2) – исправность i-й турбины; событие D – судно управляемое, что
будет, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна
турбина. Выразите D и D через А, Вk и Сi.
15. Электрическая цепь составленная по схеме,
приведенной на рисунке 3.
Выход из строя элемента Ak (k = 1,2) событие Ak,
элемента Bi (i = 1,2) событие Bi .
А1
В1
А2
В2
Запишите события С и С ,
Рис. 3
если С означает разрыв цепи.
16. Электрическая цепь составлена по схеме,
приведенной на рисунке 4.
А1
В1
С
Выход из строя элемента Ak (k = 1,2) событие Ak,
А2
Элемента С – событие С иэлемента Bi (i = 1,2)
событие Bi .
В2
Запишите события D и D , если D – разрыв цепи.
Рис. 4
17. Электрическая цепь составлена по схеме,
приведенной на рисунке 5.
Выход из строя элемента А – событие А,
В1
С
А
В2
элемента Bk (i = 1,2) – событие Bk и
элемента С – событие С.
Запишите события D и D , если D – разрыв цепи.
Рис. 5
18. Производятся наблюдения за группой, состоящей из четырех однородных
объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не
обнаружен. Рассматриваются события:
А – обнаружен ровно один из 4 объектов;
В – обнаружен хотя бы один из объектов;
С – обнаружено не менее 2 объектов;
D – обнаружено ровно 2 объекта;
Е – обнаружено ровно 3 объекта;
F – обнаружены все 4 объекта.
Укажите, в чем состоят события:
1) А + В; 2) АВ; 3) В + С; 4) ВС; 5)
19. Опыт состоит в бросании точки в прямоугольник. События А, В и С
означают соответственно попадание точки в области А, В и С (рис.6). Что означают
следующие события:
а) А + В + С;
г) А + В + С;
е) АВ + С ;
б) АВС;
в) А + В + С ;
д) А + В + С ;
ж) АВ С ; з) А В + С?
А
В
(Требуется в каждом случае воспроизвести
рис.6 и заштриховать соответствующую область).
С
20. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий в партии
из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.
Рис.6
21. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно
в лабораторных
условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту
нормального всхода семян.
22. Пользуясь таблицей простых чисел, найдите частоту появления простых
чисел в отрезках натурального ряда: от 1 до 100, от 101 до 200, от 201 до 300 и т.д.,
от 901 до 1000.
23. Найдите частоту появления буквы «о» в тексте на с.10 учебного пособия
«Теория вероятностей» [6].
24. Найдите частоту появления шестерки при 60 бросаниях игральной кости.
25. Найдите частоту шестибуквенных слов в любом газетном тексте.
26. Найдите частоту имени существительного в любом газетном тексте.
27. В письменном тексте одной из «букв» считается пробел между словами.
Найдите частоту просвета в любом газетном тексте.
28. Большой лист бумаги разграфите параллельными прямыми, расстояния
между которыми равны 6 см. Расстелите этот лист на горизонтальной поверхности и
наудачу бросьте на нее иглу длиной 4 см 200 раз. Найдите частоту пересечения
иглой какой-нибудь прямой в данной серии испытаний.
29. Путем опроса всех студентов третьего курса определите частоты дней
рождения, падающих на каждый месяц года.
30. Составьте таблицу частот букв русского алфавита, используя текст
стихотворения Н.А.Некрасова «Родина».
31. Используя таблицу 1 случайных чисел в конце книги Ф.Мостеллера и др.
«Вероятность» (М:. Мир, 1969), найдите распределение частот цифр 0, 1, …, 9.
Используйте для этого случайные числа, стоящие в первых 5 столбцах и 10 строках
таблицы.
32. Двое по очереди бросают монету, причем выигрывает тот, у кого раньше
появится герб. Воспроизведите эту игру 20 раз и найдите частоту выигрыша для
начинающего игру.
33. (Случайное блуждание на прямой). В точке нуль числовой оси находится
частица (подвижная точка). Каждую секунду она с равной вероятностью сдвигается
на единицу либо вправо, либо влево. Сколько времени эта частица будет находится
на положительной полуоси, если за ней наблюдать в течение 60 с?
Чтобы ответить на поставленный вопрос, проделайте следующий опыт: монету
последовательно бросьте 60 раз. Если выпадет герб, то передвигаете точку (частицу)
вправо на единицу, если выпадает цифра, то передвигаете ее влево на единицу.
Подсчитайте, после скольких бросаний монеты точка оказывалась на
положительной полуоси. Предполагая, что каждому бросанию монеты
соответствует 1 с, найдите время пребывания частицы на положительной полуоси.
52. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова
вероятность того, что это число кратно 5?
53. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова
вероятность того, что это число окажется делителем 20?
54. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что это число
окажется: а) простым; б) составным; в) кратным 5; г) взаимно простым с 100?
55. Наудачу выбрана кость домино из полного набора. Какова вероятность того,
что сумма очков на выбранной кости равна 5?
56. На одинаковых карточках написаны в троичной системе счисления все
целые числа от 1 до 15. Наудачу извлекается одна карточка. Какова вероятность
того, что выбранное число в своей записи содержит: а) не менее 2 единиц; б) хотя
бы одну двойку; в) один нуль?
57. В урне a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу
извлеченный шар из этой урны окажется белым?
58. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны вынимают один шар и
откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще
один шар. Какова вероятность того, что этот шар также белый?
59. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе
цифры одинаковы?
60. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 100. Какова
вероятность того, что выбранное число при делении на 8 дает в остатке 2?
61. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что
выбранное число имеет простой делитель, больший 10?
62. Какова вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число простое
и сумма его цифр равна 5?
63. Из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} наудачу выбрано число q, после чего
составлено уравнение х2 + 4х + q = 0. Какова вероятность того, что корни этого
уравнения окажутся: а) действительными числами; б) целыми рациональными
числами; в) действительными иррациональными числами?
64. Даны отрезки длиной 2, 5, 6, 10. Какова вероятность того, что из наудачу
взятых 3 отрезков можно построить треугольник?
65. Наудачу выбрано простое число, не превосходящее 20. Какова вероятность
того, что оно имеет вид: а) 4х + 1; б) 4х + 3; в) 6х + 5?
66. Найдите вероятность того, что случайно выбранное число из множества {1,
2, 3,…, n} делится на фиксированное натуральное число k. Найдите предел этой
вероятности при n   .
67. Из множества {1, 2, …, n} случайно выбирается число а. Найдите
вероятность Pn того, что число а2 – 1 делится на 10. Найдите предел Pn при n   .
68. Из множества {1, 2, …, n} случайно выбирается число а. Найдите
вероятность того, что а при делении на фиксированное натуральное число q дает
остаток r. Найдите предел этой вероятности при n   .
69. Из множества {1, 2, …, n} случайно выбирается число а. Найдите
вероятность того, что число 2а+1 делится на 5. Найдите предел этой вероятности
при n   .
70. Из множества {1, 2, …, n} случайно выбрано число а. Найдите вероятность
того, что это число окажется точным квадратом. Найдите предел этой вероятности
при n   .
71. Наугад выбирают по одной букве из слов «дама» и «мама». Какова
вероятность того, что эти буквы : а) одинаковы; б) различны?
72. Игральная кость бросается дважды и записывается двузначное число ab , где
первая цифра а – число очков, выпавшее при первом бросании, а вторая цифра b –
число очков, выпавшее при втором бросании. Найдите вероятность того, что у
полученного двузначного числа: а) цифры различные; б) цифры нечетные; в) a < b;
г) 2a = b; д) a2 = b; e) a + b = 5; ж) 9  a + b  12; з) a – b = 1.
73. Игральная кость бросается трижды. Пусть х – сумма очков, полученных при
всех бросаниях. Что более вероятно: х = 12 или х = 11?
74. В качестве знаменателя обыкновенной дроби
1
наудачу выбирается
а
натуральное число от 30 до 39 включительно. Найдите вероятность того, что
1
а
обращается: а) в конечную десятичную дробь; б) в чистую периодическую; в) в
смешанную периодическую.
75. На две наудачу выбранные клетки шахматной доски поставлены два
разноцветных слона. Какова вероятность того, что слоны не бьют друг друга?
76. На две наудачу выбранные клетки шахматной доски поставлены два
разноцветных ферзя. Найдите вероятность того, что ферзи не бьют друг друга.
77. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она
попадает внутрь данного вписанного квадрата.
78. В квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) наудачу брошена
точка (х,у). Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют
неравенству y < 2x.
79. Расстояние от пункта А до В автобус проходит за 2 мин, а пешеход – за 15
мин. Интервал движения автобусов 25 мин. Вы подходите в случайный момент
времени к пункту А и отправляетесь в В пешком. Найдите вероятность того, что в
пути вас догонит очередной автобус.
80 На отрезок АВ длиной 12 см наугад ставят точку М. Найдите вероятность
того, что площадь квадрата, построенного на отрезке АМ, будет заключена между
36 см2 и 81 см2.
81. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от
друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a.
Найдите вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.
82. На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной а,
случайно брошена монета радиуса r. Найдите вероятность того, что монета не
заденет границы ни одного из треугольников.
83. Точка (c, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1),
(0,1). Найдите вероятность того, что корни уравнения х2 +сх + q = 0 окажутся
действительными и одного знака.
84. Точка (c, q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (-1,-1),(1,-1),
(1,1), (-1,1). Найдите вероятность того, что корни уравнения х2 + сх + q = 0: а)
действительные; б) мнимые; в) положительные; г) разных знаков; д) одного знака.
85. Стержень длины а наудачу разломан на 3 части. Найдите вероятность
того, что длина каждой части окажется больше
а
.
4
86. Найдите вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел из
отрезка [-1,1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
87. На плоскости заданы окружность радиуса R и точка А, находящаяся на
расстоянии d (d > R) от центра окружности. Найдите вероятность того, что: а)
прямая, проведенная случайным образом через точку А пересечет окружность; б)
луч, проведенный случайным образом из точки А, пересечет окружность.
88. Заданы две концентрические окружности с радиусами r и R (r < R). В
области между окружностями наудачу взята точка, через которую затем проводятся
касательные к меньшей окружности. Найдите вероятность того, что угол между
касательными окажется меньше .
89. Даны две концентрические сферы с радиусами r и R (r < R) и некоторая
точка А на меньшей сфере. В шаровом кольце между сферами наудачу берется
точка и в ней помещается точечный источник света. Какова вероятность того, что
точка А будет освещена?
90. (Задача о встрече). Два лица договорились встретиться в определенном
месте между 12 и 13 ч, причем каждый пришедший на свидание ждет другого в
течение 20 мин, после чего уходит. Найдите вероятность встречи этих лиц, если
каждый из них приходит на свидание в случайный момент времени, не
согласованный с моментом прихода другого.
91. (Задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми,
расстояние между которыми равно 2а. На эту плоскость наудачу брошена игла
длиной 2l (l < a). Найдите вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь
прямую.
92. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от
друга на расстояние 2а. На плоскость наудачу брошен выпуклый многоугольник,
диаметр которого меньше чем 2а. Найдите вероятность того, что многоугольник
пересечет какую-нибудь из параллельных прямых, если периметр многоугольника
равен 2l.
93. На окружность радиуса R наудачу поставлены три точки А, В, С. Найдите
вероятность того, что треугольник АВС остроугольный.
94. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время
прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Найдите
вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала,
если время стоянки первого парохода 1 ч, а второго – 2 ч.
95. В квадрат со стороной 1 наудачу брошена точка А. Найдите вероятности
следующих событий:
а) расстояние от точки А до фиксированной стороны квадрата не превосходит
х;
б) расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата превосходит х;
в) расстояние от точки А до центра квадрата не превосходит х;
г) расстояние от точки А до фиксированной вершины квадрата не превосходит
х.
96. В квадрат со стороной 1 брошена точка А. Найдите вероятность того, что
расстояние от точки А до ближайшей диагонали квадрата не превосходит х.
97. В прямоугольник со сторонами 1 и 2 брошена точка А.
Найдите вероятности следующих событий:
а) расстояние от точки А до ближайшей стороны прямоугольника не
превосходит х;
б) расстояние от точки А до любой стороны прямоугольника не превосходит
х;
в) расстояние от точки А до ближайшей диагонали прямоугольника не
превосходит х.
98. В квадрат со стороной а брошена точка А. Найдите вероятность того, что
расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от
А до ближайшей диагонали.
99. В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1) наудачу брошена точка
(х,у). а) Докажите, что для любых а, b  [0; 1] имеет место равенство
p (x < a; y < b) = p (x < a) p( y < b) = ab;
б) найдите для z   0;1  :
1) p (x - y< z); 2) p ( xy < z); 3) p (min (x,y) < z);
4) p (max(x, y) < z); 5) p ( x + y < 2z).
100. В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,1) и (1,0) наудачу брошена точка (а,
b).
1
3
Пусть S – число действительных корней многочлена f a ,b ( x)  x 3  a 2 x  b .
Найдите вероятности : а) p(S = 1); б) p (S = 3).
101. В интервале времени [0, T] в случайный момент времени u появляется
сигнал длительности . Приемник включается в случайный момент времени   [0,
T] на время t. Найдите вероятность обнаружения сигнала приемником.
102. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой
стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки
письма?
103. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно
выполнить переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского,
немецкого, итальянского – на любой другой из этих 5 языков?
104. У одного студента 5 книг, у другого – 9. Все книги различные. Сколькими
способами студенты могут произвести обмен: а) одной книги на книгу? 2 книги на 2
книги?
105. На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист может
подняться в гору и потом спуститься с нее? Решите эту задачу с дополнительным
условием: подъем и спуск должны происходить по разным тропинкам.
106. Сколькими способами на шахматной доске можно указать: а) 2 клетки? б)
2 клетки одного цвета? в) 2 клетки разного цвета?
107. Имеются 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 различным
адресам. Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если: а)
никакие 2 письма не посылать по одному адресу; б) по одному можно адресу
посылать более одного письма.
108. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить
в поезде 4 человек при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
109. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых
состоит не более чем из 3 цифр. Сколько таких чисел можно составить, если: а)
повторение цифр в числах не разрешается; б) разрешается повторение цифр?
110. Сколькими способами 3 различных подарка А, В и С можно сделать
каким-то 3 из 15 лиц, если: а) никто не должен получать более одного подарка; б)
подарок А должно получить определенное лицо?
111. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при
условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
112. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят
из пяти цифр, если первая цифра не равна нулю.
113. Проверьте то, что число трехбуквенных «слов», которые можно образовать
из букв слова «гипотенуза», равно числу всех возможных перестановок букв слова
«призма».
114. Три дороги соединяют города А и В, четыре дороги соединяют города В и
С. Сколькими способами можно совершить поездку из А в С через В и вернуться в
А также через В?
115. Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг,
если: а) две определенные книги должны стоять рядом; б) эти две книги не должны
стоять рядом?
116. На окружности выбрано 10 точек. а) Сколько можно провести хорд с
концами в этих точках? б) Сколько существует треугольников с вершинами в этих
точках?
117. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую
бригаду должны входить 3 человека, во вторую – 5 и в третью – 12. Сколькими
способами это можно сделать?
118. Для участия в команде тренер отбирает пять мальчиков из десяти.
Сколькими способами он может сформировать команду, если два определенных
мальчика должны войти в команду?
k
k 1
k
119. Докажите равенство С n  C n  C n 1 .
120. Сколько шестизначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, если каждое число должно состоять из трех четных и трех нечетных цифр, причем
никакая цифра не входит в число более одного раза?
121. В течение четырех недель студенты сдают четыре экзамена, в том числе
два экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены
по неделям так, чтобы экзамены по математике не следовали один за другим?
122. Восемь человек должны сесть в два автомобиля, причем в каждом должно
быть по крайней мере три человека. Сколькими способами они могут это сделать?
123. Сколько различных слов можно получить из всех букв слова
«перестановка»?
124. Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа 2 233
344 455?
125. Сколькими способами можно в строчку написать шесть плюсов и четыре
минуса?
126. Найдите число всевозможных «слов» из букв слова «зоология». Сколько
таких слов, в которых три буквы «о» стоят рядом?
127. Имеется 20 наименований товаров. Сколькими способами их можно
распределить по трем магазинам, если известно, что в первый магазин должно быть
доставлено восемь наименований, во второй – семь наименований и в третий – пять
наименований товаров?
128. Используя формулу бинома Ньютона, преобразуйте выражения:
а) (1 – 3а)4; б) (1 – х2)5; в) (2 + 4m)4; г) (1 – х3)5; д) (х2 + х3)6; е) (х - 7 )7.
129. Докажите равенства:
'
2
3
3
а) С n  6C n  6C n  n ;
0
1
2
3
3
б) Сn  7Cn  12Cn  6Cn  (n  1) .
130. Пользуясь полиномиальной формулой, преобразуйте выражения:
а) (1 + х – х2)3; б) (1 – х – х2)3.
131. Найдите коэффициент при х8 в разложении (1 + х2 – х3)9.
132. Найдите коэффициент при х17 и х18 после раскрытия скобок и приведения
подобных членов в выражении ( 1 + х5 + х7)20.
133. Сколько различных членов содержит разложение:
а) (х + у + z)3; б) (x + y + z)4?