АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Дискретная математика
Б2.В. ОД.2.
СОГ СОГЛАСОВАНО :
Проректор по научно – методической
работе__________________М.В.Кузнецова
(подпись, расшифровка подписи)
«_29_»_августа 2015 г.
(по
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой математических и
естественнонаучных дисциплин
_______________________Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №_1_от «_29»_августа_2015г.
Направление подготовки 38.03.01 Экономика
Профиль подготовки: финансы и кредит (оценка собственности)
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Форма обучения: очная
Курск – 2015
1
Составитель: Т.Ю.Ходаковская
Рецензенты: к.т.н. Росляков И.Н. доцент зам. зав. кафедры естественнонаучных
дисциплин КАГИМС
к.ф.-м.н. Погосян С.Л. доцент кафедры математических и естественнонаучных дисциплин
АНОО ВПО «Индустриальный институт»
Рабочая программа курса «Дискретная математика» предназначена для студентов
очной формы обучения, обучающихся по направлению бакалавриата 38.03.01
«Экономика». Дисциплина «Дискретная математика» входит в вариативную часть
математического цикла (Б2.В. ОД.2.).
Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению
подготовки 38.03.01 Экономика, утвержденного приказом Министерства образования и
науки Российской Федерации от "21" декабря 2009 г. № 747.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математических
естественнонаучных дисциплин протокол № 1 от «29» августа 2015 г.
и
Заведующий кафедрой
математических и естественнонаучных дисциплин
_____________________ Т.Ю.Ходаковская
2
Содержание
Название раздела программы
1
Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
2
Место дисциплины в структуре ООП ВПО
3
Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу
обучающихся
4
Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий
5
Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине (модулю)
6
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине (модулю)
7
Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
8
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины
(модуля)*
9
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля)
10
Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
11
Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
3
с.
4
5
5
5
20
21
85
86
86
88
88
1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы
В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть следующими
знаниями, умениями и навыками:
Коды
Результаты освоения
Перечень планируемых
компетенций
ООП
результатов обучения по
по ФГОС
дисциплине
ОК-13
владеет основными методами, Знать:
представление
о
способами
и
средствами современных
информационных
получения, хранения, переработки технологиях,
основанных
на
информации,
имеет
навыки использовании компьютера.
работы с компьютером как Уметь: работать с текстовым
средством
управления процессором Word, работать с
информацией, способен работать электронными таблицами Excel,
с информацией в глобальных работать с программой по созданию
компьютерных сетях
презентаций Power Point.
Владеть:
владеть
основными
методами, способами и средствами
получения, хранения, переработки
информации, навыками работы с
компьютером
как
средством
управления информацией
ПК-1
способен
собрать
и Знать:
основные
понятия
и
проанализировать
исходные определения и свойства объектов
данные, необходимые для расчета дискретной математики,
экономических
и
социально- формулировки
и
доказательства
экономических
показателей, утверждений,
методы
их
характеризующих
деятельность доказательства, возможные сферы их
хозяйствующих субъектов
связи и приложения в других
областях математического знания и
дисциплинах
профессионального
цикла; основные понятия теории
графов, теории кодирования;
Уметь: решать задачи теории
множеств,теории графов, теории
кодирования,
уметь
применять
полученные навыки;
Владеть: навыками использования
аппарата теории множеств, теории
графов, теории кодирования в
решении профессиональных задач.
ПК-12
способен
использовать
для Знать: иметь представления о
решения коммуникативных задач передаче
информации,
канале
современные
технические передачи информации, количестве
средства
и
информационные информации; способы представления
технологии
информации
Уметь:
осуществлять
поиск
информации в глобальной сети
Интернет,
обмениваться
информацией по электронной почте.
4
Владеть:
владеть
основными
методами, способами и средствами
работы с информацией в глобальных
компьютерных
сетях
и
корпоративных
информационных
системах
Уровни сформированности компетенции
ОК-13
знать: основы функционирования
Пороговый
уровень
(уровень,
сетей,
современные
обязательный для всех студентов- глобальных
выпускников ВУЗа по завершении информационные технологии в области
дискретной математики.
освоения ООП ВПО)
уметь: вести поиск информации в
сети, работать с современными средствами
оргтехники Интернет.
владеть: навыками использования
компьютера как средства управления
информацией, навыками использования
информации, полученной из сети Интернет.
Знать Интернет-трейдинг в России и
Повышенный
уровень
(по
за
рубежом:
состояние и перспективы
отношению к пороговому уровню)
развития; современные пакеты прикладных
программ по дискретной математике.
Уметь использовать программные
продукты обработки и формирования
финансовой информации; осуществлять
электронную торговлю ценными бумагами
по средством глобальных компьютерных
сетях; получать, оценивать и обмениваться
информацией для решения проблем и
принятия
финансовых
решений;
обеспечивать достоверность и прозрачность
информации о стоимости для внешних и
внутренних
заинтересованных
сторон;
использовать компьютерные программы
для анализа экономических данных;
правильно интерпретировать результаты
исследований и вырабатывать практические
рекомендации по их применению в области
дискретной математики.
Владеть
навыками
проведения
эконометрического
анализа
и
прогнозирования
с
использованием
компьютерных и программных средств;
эконометрическими
методами
и
практическими
навыками
расчетов;
навыками
поиска
и
использования
информации об экономических концепциях
в разрезе исторических эпох и направлений
5
(школ) экономической мысли; способами
получения первичных данных: опрос,
перепись, анкетирование, наблюдение,
интервью.
ПК-1
Пороговый уровень (уровень,
обязательный для всех студентоввыпускников ВУЗа по за-вершении
освоения ООП ВПО)
знать: основы дискретной математики
уметь:
рассчитывать
экономические
показатели
владеть: навыками сбора и обработки
информации
Знать логику финансовых операций в
рыночной экономике основные методы
финансовых
вычислений;
методы
количественного анализа потоков платежей;
методики применения методов финансовой
математики в практических приложениях;
основные
пропорции,
показатели
и
критерии структурной сбалансированности
национальной
экономики;
сущность
экономического
цикла;
факторы,
определяющие цикличность экономики;
систему аналитических коэффициентов,
характеризующих
финансовую
деятельность хозяйствующего субъекта.
Уметь использовать источники финансовой
информации
в
оценке
финансового
состояния предприятия;
рассчитывать коэффициенты ликвидности,
показатели
деловой
активности
предприятия,
рентабельности,
платежеспособности,
финансовой
устойчивости;
применять
методы
финансовых вычислений для принятия
обоснованных экономических решений
решать конкретные задачи и анализировать
полученные
решения;
использовать
стандартное программное обеспечение
персональных компьютеров для проведения
финансовых вычислений ; рассчитывать
экономический
потенциал,
основные
показатели экономического развития и
роста
Владеть методикой расчета финансовых
показателей
на
основе
финансовой
отчетности;
навыками
использования
вычислительных средств (финансовых и
электронных
таблиц)
в
практике
финансовых
вычислений
в
области
дискретной математики.
Повышенный уровень
(по отношению к пороговому уровню)
ПК-12
Знать:
возможности
современных
технических средств и информационных
Пороговый уровень (уровень,
обязательный для всех студентов6
технологий для решения задач в области
дискретной математики, обмена, хранения и
обработки информации и презентации
результатов работы; способы формирования
информации
на
различных
уровнях
управления; технологию обработки и
защиты данных; основные прикладные
программы,
используемые
на
предприятиях;
систему
управления
электронным документооборотом;
Уметь:
пользоваться
современными
техническими
средствами
и
информационными
технологиями
для
решения
коммуникативных
задач
в
процессе
обсуждения,
принятия
и
реализации управленческих решений;
осуществлять
эффективный
поиск
требуемой информации во всех доступных
источниках; формировать базы данных по
направлениям
деятельности;
решать
профессиональные
задачи
с
использованием современных технических
средств;
Владеть: технологией и техническими
приемами эффективного поиска, хранения и
обмена информацией; технологией и
техническими приемами для создания
эффективного
мультимедийного
сопровождения презентации результатов
работы; навыками создания, хранения и
использования электронных документов;
навыками
работы
с
прикладными
программами,
используемыми
на
предприятии
Знать основные современные средства
обработки, хранения и представления
информации;
основными
принципами
компьютерного набора текста в различных
программных интерфейсах
Уметь
применять
современные
технические средства и информационные
технологии в научной и профессиональной
деятельности;
Владеть
находить
и
применять
необходимую информацию в области
дискретной математики и информационно справочных
системах
для
решения
многосторонних или сложных проблем,
иметь обратную связь с источником
получения
информации;
базовыми
методами и технологиями управления
информацией; стандартными методами
выпускников ВУЗа по завершении
освоения ООП ВПО)
Повышенный уровень (по отношению к
пороговому уровню)
7
компьютерного набора текста.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина относится к базовой части профессионального цикла – Б.2.В.ОД.2.
Изучение дисциплины «Дискретная математика» базируется на школьном курсе
математики.
Для изучения дисциплины необходимы компетенции, сформированные у
обучающихся в результате освоения дисциплин ООП подготовки бакалавра «Линейная
алгебра», «Информатика».
3 Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу обучающихся
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц (144 часа)
Виды работ
3 семестр/
очная форма
обучения
144
38
19
19
–
106
зачет с
оценкой
Общая трудоемкость
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Лабораторные работы (ЛБ)
Самостоятельная работа:
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
Всего
144
38
19
19
–
106
зачет с
оценкой
4 Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных
занятий
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкость по видам учебных занятий (в
академических часах) для очной формы обучения
Количество часов
№
Аудиторная
ВнеНаименование разделов
разработа
ауд.
Всего
дела
работа
ПЗ/интер.
Л/интер.ф
ЛР
СР
ф
1
2
3
4
5
6
7
1
Введение
9
2
7
2
Множества
10
1
3
Отношения
11
4
Комбинаторика
5
Элементарная теория вероятностей
6
Строки
8
7
1
2
3
10
1
2
7
11
11
2/2
2/2
7
2/1
2/2
7
7
7
Графы
10
1/1
1/1
8
8
Функциональная система: алгебра
логики
Полнота и замкнутость
12
2/1
2/1
8
10
1/1
1
8
10
1
1
8
2
1
8
12
Минимизация булевых функций в
классе ДНФ
Функциональная система: k-значная
логика
Кодирование
10
1
1
8
13
Процессы
10
1
1
8
14
Связь дискретного и непрерывного
анализа
9
Итого:
144
9
10
11
11
1
19
8
19
106
4.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)
Таблица 4.2. - Содержание разделов дисциплины
№
раздела
1
1
Наименование
раздела
2
Введение
2
Множества
3
Отношения
4
Комбинаторика
5
Элементарная
теория
Содержание
Форма текущего
раздела
контроля
3
4
Дискретная
математика
как
Письменный
теоретическая основа информатики.
опрос.
Функциональные
системы
с
Тема1. Задача 1.
операциями
Понятие множества. Операции над
Письменный
множествами. Мощность множества. опрос. Домашняя
Диаграммы
Венна.
Определение
работа.
прямого
произведения
множеств. Тестирование. Тест
Разбиения множеств и их свойства.
№1.
Сравнение разбиений. Произведение
разбиений
Письменный
Основные
определения.
Классификация
отношений. опрос. Домашняя
работа.
Эквивалентность.
Частичный
порядок.
Топологическая Тестирование. Тест
№2.
сортировка.
Использование
многоместных
отношений
в
реляционных базах данных
Письменный
Векторы из нулей и единиц,
различные их трактовки. Способы опрос. Домашняя
работа.
перебора и нумерации векторов из
нулей и единиц. Перестановки, Тестирование. Тест
№3.
размещения, сочетания, способы их
перебора и нумерации. Бином
Ньютона и треугольник Паскаля.
Числа Фибоначчи, их свойства
Письменный
Основные
определения.
опрос.
Домашняя
Классическое
определение
9
№
раздела
1
6
7
8
Наименование
раздела
2
вероятностей
Содержание
раздела
3
вероятности. Условные вероятности.
Формула
полной
вероятности.
Формула Байеса и ее использование.
Случайные
величины
и
распределения
вероятностей.
Математическое
ожидание
и
дисперсия, их свойства. Энтропия
случайной схемы, определение и
свойства.
Аксиоматическое
определение энтропии
Строки
Строковые данные в различных
разделах математики и приложениях.
Основные операции над строками.
Лексикографическое
сравнение
строк. Типичные задачи, решаемые
со строками. Методы поиска образца
в строке. Классификация функций от
строк
Графы
Основные
определения:
граф,
частичный граф, подграф. Путь,
простой путь, цепь, контур, цикл.
Связность, бисвязность, сильная
связность.
Остовное
дерево.
Свойства деревьев. Экстремальные
задачи на графах: остовное дерево
минимальной
длины,
дерево
кратчайших путей и т.п. Сетевое
планирование и поиск критического
пути. Связь теории графов с
линейной
алгеброй.
Матрица
инциденций и ее свойства. Решение
линейных систем с матрицей
инциденций. Связь с методами
решения разреженных линейных
систем. Паросочетания в двудольных
графах. Теорема о максимальном
паросочетании. Теорема Дилворта.
Теорема Биркгофа-фон Неймана.
Венгерский метод для задачи о
назначениях
Функциональная
Булевы функции. Способы задания
система: алгебра функций. Элементарные функции.
логики
Операция суперпозиции. Формулы.
Первичный
терм.
Разложение
функций по переменным (СДНФ,
СКНФ). Двойственные функции.
Принцип
двойственности.
Эквивалентные формулы
10
Форма текущего
контроля
4
работа.
Тестирование. Тест
№4.
Письменный
опрос. Домашняя
работа.
Тестирование. Тест
№5.
Письменный
опрос. Домашняя
работа.
Тестирование. Тест
№6.
Письменный
опрос. Домашняя
работа.
Тестирование. Тест
№7.
№
раздела
1
9
10
11
12
13
14
Наименование
Содержание
Форма текущего
раздела
раздела
контроля
2
3
4
Полнота
и Замыкание множества функций.
Письменный
замкнутость
Основные
замкнутые
классы опрос. Домашняя
булевых функций. Классы функций,
работа.
сохраняющих константы. Линейные, Тестирование. Тест
монотонные,
самодвойственные
№8.
функции.
Критерий
полноты
системы БФ. Примеры полных
систем
Минимизация
Интервал, максимальный интервал,
Письменный
булевых функций в простая импликанта. Сокращенная опрос. Домашняя
классе ДНФ
ДНФ. Минимальная ДНФ. Таблица
работа.
Квайна. Покрытие, минимальное Тестирование. Тест
покрытие.
Метод
Петрика
№9.
нахождение минимального покрытия
Функциональная
Функции
k-значной
логики.
Письменный
система: k-значная Элементарные функции k-значной опрос. Домашняя
логика
логики
работа.
Тестирование. Тест
№10.
Кодирование
Письменный
Алфавитное
кодирование.
опрос.
Домашняя
Разделимые
коды.
Неравенство
работа.
Крафта-Макмиллана.
Коды
с
Тестирование.
Тест
минимальной
избыточностью.
№11.
Самокорректирующиеся
коды
Хэмминга
Процессы
Письменный
Конечный автомат. Определение.
опрос.
Домашняя
Использование конечных автоматов
работа.
в программировании. Марковская
цепь. Основные определения. Граф Тестирование. Тест
№12.
переходов.
Классификация
состояний марковской цепи. Процесс
принятия
решений.
Модель
динамического программирования.
Уравнение Беллмана. Процессы в
информатике
Связь дискретного Производящие
Письменный
функции.
и
непрерывного Асимптотика
опрос. Домашняя
анализа
работа.
Тестирование. Тест
№13.
11
4.3 Практические занятия (семинары)
Семинар №1. Множества (2 часа)
Цель практического занятия - обобщить и систематизировать знания студентов по теме
«Множества. Операции над множествами», используя мультимедиа технологии.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Операции над множествами.
2.Мощность множества. Диаграммы Венна.
3.Доказательство тождеств. Представление множеств характеристическим вектором.
4.Прямое произведение множеств. Разбиения множеств и их свойства. Произведение разбиений.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.—— ЭБС. с. 1832
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.—
ЭБС.гл.4.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС. с. 77-88.
Домашнее задание.
1.Установить, какая из двух записей верна:
{1,2}∈{1,2,{1,2}} и {1,2}⊂{1,2,{1,2}}.
В задачах 2, 3 заданные множества задать перечислением всех своих элементов
2. A={x∈N|x2−3x−4≤0}.
3. A={x∈Z|14≤2x<5}.
Изобразить на координатной плоскости следующие множества:
4.{(x,y)∈R2|x+y−2=0}.
5. {(x,y)∈R2|x2−y2>0}.
6. {(x,y)∈R2|(x2−1)(y+2)=0}.
7. Описать перечислением всех элементов множества A∪B,A∩B,A∖B,B∖A.
A={x∈R|x2+x−20=0},B={x∈R|x2−x+12=0}.
В задачах 8, 9, приняв отрезок за универсальное множество T=[0,1] найти и изобразить на
числовой оси дополнения следующих множеств:
8. {0,1};
9. {1/4}∪[3/4,1).
10. Доказать, что операции ∪ и ∩ связаны законом дистрибутивности:
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);
12
Доказать равенства:
11. A∖B=A∩B¯¯¯.
12. A∖B¯¯¯¯¯¯¯¯=A¯¯¯∪B.
Семинар №2. Отношения (3 часа).
Цель практического занятия - ознакомить с главными понятиями теории отношений,
понятиями отношения эквивалентности и отношения порядка. Научить составлять
матрицу и граф бинарного отношения, изображать матрицу и граф отношения
эквивалентности
и
порядка.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Способы представление отношений. Матрица бинарного отношения.
2.Операции над отношениями. Классификация отношений. Классификация бинарных
отношений матричным способом.
3.Эквивалентность. Классы эквивалентности. Фактор-множество. Частичный порядок.
4.Линейный порядок. Диаграммы Хассе. Топологическая сортировка
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС с. 36-47.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС.
Гл.3.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.90-120.
Домашнее задание.
1.Множество R = {(х, у) : х — делитель у} определяет отношение на множестве А = {1, 2,
3, 4, 5, 6}. Найдите все упорядоченные пары, ему принадлежащие. Изобразите граф,
представляющий
отношение
R.
Рисунок 1. Отношение R на множестве А.
2. Отношение R на множестве А = {а, b, с, d} задается матрицей: порядок строк и
столбцов в которой соответствует порядку выписанных элементов множества А. Назовите
13
упорядоченные
пары,
принадлежащие
R.
3. Дано, что отношение «...делитель...» определяет частичный порядок на множестве А =
{1, 2, 3, 6, 12, 18}. Составьте таблицу предшественников и непосредственных
предшественников, после чего постройте соответствующую диаграмму Хассе.
4. . Даны два множества Х и Y и бинарное отношение . Для данного отношения : а)
записать области определения и область значений; б) определить сечение по каждому
элементу из Х; в) определить сечение по подмножествам Х' i X” множества Х; г) записать
матрицу и начертить граф; д) определить обратное отношение.
Варианты: X={x1, x2, x3, x4, x5, x6};
Y={y1, y2, y3, y4} A={(x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x4, y2), (x4, y3), (x5, y1), (x5, y3)};
X’={x1, x4};
X”={ x2, x3, x5};
X={a, d, c, d, e};
Y={k, l, m, n} A={(a, k), (a, m), (a, n), (b, k), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)};
X’={a, d}; X”={k, m};
3) X={x1, x2, x3, x4, x5};
Y={y1, y2, y3, y4, y5, y6} A={(x1, y2), (x2, y1), (x2, y2), (x4, y1), (x4, y6), (x5, y3), (x5, y5)};
X’={x2, x3};
X”={ x2, x4, x5};
4) X={a, d, c, d, e};
Y={k, l, m, n} A={(b, k), (a, l), (a, m), (b, n), (c, k), (c, l), (c, n), (d, l), (d, m), (e, k), (e, l), (e,
m)};
X’={a, b, c};
X”={e,
m,
n};
Семинар №3. Комбинаторика (2 часа).
Цель практического занятия - познакомить студентов с новым разделом математики:
"Комбинаторика", с его историей, основными понятиями и задачами, использованием в
практических целях и в жизни человека; способствовать созданию учебного проекта как
показатель качественного изучения темы занятия.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Правила суммы и произведения. Основные комбинаторные конфигурации.
2.Векторы из нулей и единиц, различные их трактовки. Формула бинома Ньютона.
3.Свойства биномиальных коэффициентов. Полиномиальная теорема.
4.Размещения заданного состава. Использование формулы включений-исключений.
5.Принцип Дирихле. Числа Фибонначи.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС с.50-66.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.125-158.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.133-159.
Домашнее задание.
14
1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти
беговых дорожках?
2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит
в изображение числа только один раз?
3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на
танец?
4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,, 7, 8, 9
при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?
5. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?
6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения
призовых (1, 2, 3) мест?
7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10
спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в
эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и
зеленый
шарики?
9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во
время
каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
10. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для работы
на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,
трех – из 10, и
одного – из 11 . Сколько существует способов выбора
учащихся для работы на
пришкольном участке?
11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на
перемене к
теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими
способами подбежавшие к
столу пятеро девятиклассников могут занять
очередь для игры в настольный теннис?
Семинар №4. Элементарная теория вероятностей (2 часа).
Цель практического занятия - находить необходимые характеристики случайных
величин по известным законам
распределения вероятностей или оценки этих
характеристик по экспериментальным данным.
Реализуемые компетенции: ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Классификация событий и процессов. Операции над событиями.
2.Применение комбинаторики в теории вероятностей. Нахождение классической и
геометрической вероятностей.
3. Вычисление условных вероятностей. Формула полной вероятности. Использование
формулы Байеса.
4.Случайные величины и распределения вероятностей. Классификация случайных
процессов. Нахождение числовых характеристик случайных величин. Математическое
ожидание и дисперсия, их свойства.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС с.78-100.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.160-177.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС, с.161-180.
15
Домашнее задание.
1) Найдите вероятность того, что в семье из двух детей оба ребенка: а) мальчики;
б)девочки; в) один ребенок – мальчик , другой – девочка. Считать, что вероятность
рождения мальчика равна 0,515 и пол каждого последующего ребенка не зависит от
предыдущего.
2) На книжной полке стоят 8 книг, причём 4 книги по 10 руб, и одна книга по 30 руб.
Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 50 рублей (задачу решить
двумя способами: а)используя формулы комбинаторики; б) теоремы сложения/умножения
вероятностей).
3)Три врача независимо друг от друга осмотрели одного и того же больного. Вероятность
того, что первый врач допустит ошибку при установлении диагноза, равна 0,01. Для
второго и третьего врачей эта вероятность соответственно 0,015 и 0,02. Найти вероятность
того, что при осмотре больного хотя бы один из врачей допустит ошибку в диагнозе.
4) Завод выпускает для магнитофонов 3 типа предохранителей. Доля каждого из них в
общем объёме составляет 40%, 50%, 10% соответственно. При перегрузке сети
предохранители срабатывают соответственно с вероятностью 0,85; 0,9 и 0,95.определить
вероятность того, что: а) выбранный наудачу предохранитель не сработает;
б)предохранитель, который не сработал, принадлежит к первому типу.
Семинар №5. Строки (2 часа).
Цель практического занятия - ввести понятие полной вероятности, рассмотреть задачи
на полную вероятность и формулу Байеса.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Примеры строковых данных. Основные операции над строками.
2.Лексикографическое сравнение строк. Типичные задачи, решаемые со строками.
3.Понятие образа. Алгоритмы поиска образца в строке. Классификация функций от строк
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС, с.179190.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.162-187.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.184-192.
Домашние задание.
Пусть задан алфавит A и две строки над этим алфавитом a длины kA и b длины kB.
Требуется найти в этих строках монотонно возрастающие подпоследовательности
совпадающих символов (следовательно, длина у этих подпоследовательностей должна
быть одной и той же), имеющие наибольшую длину.
Семинар №6. Графы (1 час).
Цель практического занятия - задание графа, вычисление степеней вершин.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
16
Вопросы для обсуждения презентаций:
1Путь, маршрут, цепь, контур, цикл. Операции над графами.
2.Матричное представление графов. Матрица инциденций и ее свойства.
3.Связность, сильная связность, методы их определения.
4.Применение алгоритма построения остовного дерева. Использование основных
алгоритмов поиска минимальных путей в ориентированных графах. Постановка задачи
коммивояжера. Решение экстремальных задач на графах: нахождение остовного дерева
минимальной длины, дерево кратчайших путей.
5.Сетевое планирование и поиск критического пути. Паросочетания в двудольных графах.
Венгерский метод для задачи о назначениях.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— Режим ЭБС,
с.191-205.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.188-200.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.194-220.


Домашние задание.
1. Подбирается экипаж космического корабля из 3-х человек: командира, инженера и
врача. Имеются 4 кандидата на должность командира к1, к2, к3, к4, 3 кандидата на
должность инженера и1, и2, и3 и 3 кандидата на должность врача в1, в2, в3. Известно, что
к1 психологически совместим с и1, и3, в2, в3; к2  с и1, и2, в1, в2, в3;
к3  с и1, и2, в1, в3; к4  с и1, и2, и3, в2.
Кроме того, и1 психологически несовместим с в3, и2  с в1, и3  с в2.
Сколькими способами можно составить экипаж?
2.Лист бумаги Плюшкин разрезает на три части. Некоторые из полученных листов он
также разрезает на три части. Несколько новых листочков он вновь разрезает на три более
мелких и т.д. сколько Плюшкин получает листочков бумаги, если разрезает клистов?
3. Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только с
двумя другими. Возможна ли такая компания?
Семинар №7. Функциональная система: алгебра логики (2 часа).
Цель практического занятия булевых функций
и
овладение основами алгебры высказываний и
навыками
решения практических задач.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Способы задания булевых функций. Примеры элементарных функций.
2.Основные операции над ними. Принцип суперпозиции, его использование.
Представление функций формулами.
3.Алгоритмы нахождения СДНФ, СКНФ, полинома Жегалкина. Первичный терм.
4.Двойственные функции. Применение принципа двойственности.
5.Эквивалентные формулы, преобразование формул
Литература:
17
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС, с.207228.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.202-230.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.222-233.
Домашние задание.
Задача 1. Является ли полной система булевых функций, состоящая из дизъюнкции и
импликации?
Задача 2. Семья, состоящая из отца А, матери В и трех дочерей C, D, E купила телевизор.
Условились, что в первый вечер будут смотреть передачи в таком порядке:
1. Когда отец
А смотрит
передачу,
то
мать
В
делает
то
же.
2.
Дочери
D
и
E,
обе
или
одна
из
них,
смотрят
передачу.
3. Из двух членов семьи - мать В И дочь С - смотрят передачу одна и только одна.
4.
Дочери
C
и
D
или
обе
смотрят,
или
обе
не
смотрят.
5. Если дочь Е смотрит передачу, то отец А и дочь D делают то же.
Кто из членов семьи в этот вечер смотрит передачу?
Задача
3. Применяя
равносильные
преобразования
привести
булеву
функцию
Задача 4. Доказать
функций
полноту
к минимальной ДНФ.
(или неполноту) приведенной
системы
булевых
.
Задача 5. Проверить, является ли тавтологией формула:
Задача 6. Построить таблицу истинности и определить выполнимость формулы:
Семинар №8. Полнота и замкнутость (1 час).
Цель практического занятия - доказать критерий полноты класса функций – теорему
Поста.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Основные замкнутые классы булевых функций.
2.Классы функций, сохраняющих константы.
3.Линейные, монотонные, самодвойственные функции.
4.Применение теоремы Поста для определения полноты систем булевых функций.
Примеры полных систем.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС, с.207228.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.202-230.
18
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.222-233.
Домашние задание.
1.Доказать, что функция
2. Выяснить, является ли функция
является самодвойственной.
линейной.
Семинар №9. Минимизация булевых функций в классе ДНФ (1 час).
Цель практического занятия дизъюнктивные
нормальные
научиться
формы
минимизировать
логической
совершенные
функции.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1. Минимизация булевых функций в классе ДНФ.
2.Определение простых импликант заданной формулы. Нахождение минимальных и
сокращенных дизъюнктивных форм. Построение и использование таблицы Квайна.
3.Карты Карно.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС, с.240244.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.259-265
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.258-263.
Домашние задание.
1.Найти сокращенную ДНФ для функции
2. Найти сокращенную ДНФ для функции, заданной следующей таблицей.
X4
0
0
1
1
0
1
1
0
00
1
1
0
1
01
0
1
1
0
11
1
1
1
0
10
0
1
0
0
X3
X1 X2
3. Найти минимальные ДНФ для функции
19
Семинар №10. Функциональная система: k-значная логика (1 час).
Цель практического занятия описать логические системы,
возникновения обобщений функций k-значной логики.
как
область
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.k-значная логика. Обобщение двузначной логики.
2.Функции k-значной логики. Формулы и реализация функций формулами.
3.Примеры полных систем. Распознавание полноты.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС, с.251254.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.272-275
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.271-274.
Домашние задание.
1 Выяснить, полны ли в Pк следующие системы:
1) { 1, J0(x), J2(x), min(x,y), max(x,y) }, k=3
2) { 1, 2, J2(x), min(x,y), max(x,y) }, k=3
3) { 1, 2, J0(x), J1(x), min(x,y), max(x,y) }, k=4
2 Используя метод сведения к заведомо полным системам, доказать полноту:
1) { 1, x2-y, min(x,y) }
2) { k-1, x y, x+y }
3) { 1, 2x+y, x2 y }
3 Используя критерий Слупецкого, доказать полноту:
1) { k-1, j0(x), x+y }
2) { j2(x), x+y2, x∙y+1 }
4 Исследовать на полноту следующие системы:
1) { k-2, x+y, min(x,y) }
2) { 1, 2, x y +1 }
3) { 2 x, max(x,y), x∙y }
4) { ~x, 2j0(x), J1(x), x y }
5 Подсчитать число существенных функций в Pк, зависящих от переменных x1,... xn.
Семинар №11. Кодирование (1 час).
Цель практического занятия -
усвоение методов эффективного кодирования.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
20
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Свойство префикса.
2.Критерий взаимной однозначности алфавитного кодирования.
3.Неравенство Макмиллана.
4.Построение кодового дерева для кода с минимальной избыточностью. Построение
самокорректирующихся кодов (на примере кода Хэмминга)
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС, с.251254.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.272-275
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.271-274.
Домашние задание.
1.Студентка заменила каждую букву своего имени ее номером в алфавите. Получилось
141261. Как зовут студентку?
2. Каждая буква алфавита может быть заменена любым числом из соответствующего
столбика кодировочной таблицы.
А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р
21 37 14 22 01 24 62 73 46 23 12 08 27 53 35 04
40 26 63 47 31 83 88 30 02 91 72 32 77 68 60 44
10 03 71 82 15 70 11 55 90 69 38 61 54 09 84 45
С Т У Ф Х Ц Ч ШЩЪ Ы Ь Э ЮЯ
20 13 59 25 75 43 19 29 06 65 74 48 36 28 16
52 39 07 49 33 85 58 80 50 34 17 56 78 64 41
89 67 93 76 18 51 87 66 81 92 42 79 86 05 57
Какие сообщения закодированы с помощью этой таблицы?
16 55 54 10 69 09 61 89 29 90 49 44 10 08 02 73 21 32 83 54 74
41 55 77 10 23 68 08 20 66 90 76 44 21 61 90 55 21 61 83 54 42
57 30 27 10 91 68 32 20 80 02 49 45 40 32 46 55 40 08 83 27 17
3. Шифр Цезаря. Этот шифр реализует следующее преобразование текста: каждая буква
исходного текста заменяется третьей после нее буквой в алфавите, который считается
написанным по кругу. Используя этот шфр, зашифруйте слова ИНФОРМАЦИЯ,
КОМПЬЮТЕР, ЧЕЛОВЕК.
4. Расшифруйте слово НУЛТХСЕУТЧЛВ, закодированное с помощью шифра Цезаря.
5. Шифр Виженера. Этот шифр представляет шифр Цезаря с переменной величиной
сдвига. Величину сдвига задают ключевым словом. Например, слово ВАЗА означает
следующую последовательность сдвигов букв исходного текста: 3 1 9 1 3 1 9 1 и т.д.
Используя в качестве ключевого слова ВАГОН, закодируйте слова АЛГОРИТМ,
ПРАВИЛА, ИНФОРМАЦИЯ.
6. Придумайте свой способ кодирования информации.
21
Семинар №12. Процессы (1 час).
Цель практического занятия - привить студентам умение самостоятельно изучать
математическую литературу; освоение студентами методики расчетов надежности
сложных систем с использованием метода переходных вероятностей, использующего
аппарат
марковских
процессов
с
дискретным
временем.
Реализуемые компетенции: ПК-1, ОК-13, ПК-12.
Вопросы для обсуждения презентаций:
1.Конечный автомат. Марковская цепь.
2. Граф переходов. Классификация состояний марковской цепи.
3. Процесс принятия решений. Модель динамического программирования.
Литература:
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС, с.257261.
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
с.276-280.
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС с.275-280.
Домашние задание.
Задание 1
Три предприятия данного экономического района могут производить однородную
продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350, 20 единиц. Эта продукция
должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных 110,
90 120, 80, 150 единиц. Затраты, связанные с доставкой продукции задаются матрицей
| 2 4 1 6 7|
С = | 3 3 5 4 2|
| 8 9 6 3 4|.
Составить такой план прикрепления покупателей продукции ее поставщикам,
прикотором общая стоимость перевозок является минимальной.
Задание 2
Для изготовления трех видов изделий А, В, С используется токарное, фрезерное,
сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия
для каждого из типов оборудования, общий фонд рабочего времени каждого из типов
используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого
вида учтены в таблице
Тип
Затраты времени на обработку одного вида Общий
фонд
рабочего
оборудования
изделия
времени
А
В
С
фрезерное
2
4
5
120
токарное
1
8
6
280
сварочное
7
4
5
240
шлифовальное 4
6
7
360
Прибыль
10
14
12
(ден. ед.)
Составить модель производства, обеспечивающую предприятию максимальную прибыль.
22
Задание 3
Решить графически задачу линейного программирования
F(X) = 2х1-5х2 → min
3х1+4х2 ≤ 6
2х1+3х2 ≤ 4
х1 ≥0, х2 ≥0
Задание 4
Интенсивность равномерного спроса холодильников «Ока» в магазине составляет 200 шт.
в год. Организационные издержки для одной партии составляют 40 тыс. руб. Цена одного
холодильника равна 10 тыс. руб., а издержки содержания холодильников на складе
составляют 0,2 тыс. руб. за один холодильник в год. Найти оптимальный размер партии,
число поставок и продолжительность цикла.
4.4. Интерактивные
аудиторных занятиях
образовательные
технологии,
используемые
в
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, должен составлять
не менее 20 процентов от всего объема аудиторных занятий.
Таблица 7 - Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных
занятиях
Вид
занятия
Используемые интерактивные
Количество
Семестр
(Л, ПР,
образовательные технологии
часов
ЛР)
3
Л
Лекция-визуализация
2
Проблемная лекция
2
Изложение лекционного материала в форме
диалога со студентами.
2
3
ПР
Применение электронных средств контроля
знаний
2
Использование электронных
мультимедийных учебных пособий
1
Тренинги, групповая работа
1
Работа в команде, учебная дискуссия.
1
Защита учебных проектов с разбором
авторских вариантов.
1
Итого:
12
5 Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине
Помимо рекомендованной основной и дополнительной литературы, в процессе
самостоятельной работы студенты могут пользоваться следующими методическими
материалами:
Ковалёва Л.Ф. Дискретная математика в задачах [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Ковалёва Л.Ф.— Электрон. текстовые данные.— М.: Евразийский открытый
институт, 2011.— 142 c.— ЭБС
Гаврилов Г.П. Задачи и упражнения по дискретной математике [Электронный
ресурс]: учебное пособие/ Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А.— Электрон. текстовые
данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 416 c.— ЭБС
23
Окулов С.М. Дискретная математика. Теория и практика решения задач по
информатике [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Окулов С.М.— Электрон.
текстовые данные.— М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.— 422 c.— ЭБС
6 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине (модулю)
(Перечень компетенций с указанием этапов их формирования; описание показателей и
критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание
шкал оценивания; типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующих этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы;
методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков
и (или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций).
6.1 Контрольные вопросы для экзамена:
1.Дискретная математика как наука. Области ее применения (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
2.Понятие множества. Мощность множества. Способы задания множества(ПК-1, ПК-12).
3.Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение).
4.Диаграммы Эйлера-Венна (изображение операций над множествами) (ПК-1).
5.Свойства операций над множествами. Доказательства свойств (ОК-13).
6.Булеан множества. Теорема: P( X )  2 n с доказательством. Алгоритм построения
булеана (ПК-1).
7.Декартово произведение множеств. N-местное отношение. Бинарное отношение.
Примеры (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
8.Область определения бинарного отношения. Область значений бинарного отношений.
Обратное отношение для бинарного отношения. Образ множества. Прообраз множества.
Матрица бинарного отношения. Ее свойства (ПК-12).
9.Свойства бинарных отношений. Определение свойств бинарных отношений матричным
методом (ОК-13).
10.Функция. Частичная функция. Инъекция. Сюръекция. Биекция. (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
11.Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности (ПК-1).
12.Покрытие множества. Разбиение множества. Фактор-множество (ОК-13, ПК-12).
13.Теорема о связанности разбиения множества и отношения эквивалентности с
доказательством (ПК-12).
14.Классификация отношений. Отношения частичного порядка. Топологическая
сортировка. Диаграммы Хассе (ПК-1, ПК-12).
15.Комбинаторика, ее основные задачи. Правило суммы. Правило произведения (ПК-1).
16.Число размещений без повторений. Доказательство. Число размещений с
повторениями. Доказательство (ПК-12).
17.Число сочетаний без повторений. Доказательство. Число сочетаний с повторениями.
Доказательство (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
18.Биномиальные коэффициенты. Элементарные свойства биномиальных коэффициентов.
Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Способы их использования(ПК-1).
19.Формула включения и исключения. Форма записи формулы включения и исключения с
использованием свойств элементов множества (ОК-13, ПК-12).
20.Размещения заданного состава. Полиномиальная теорема (ПК-1, ОК-13).
21.Числа Фибоначчи, их свойства (ПК-1).
22.Основные определения теории вероятностей. Классическое определение вероятности
(ПК-1, ПК-12).
23.Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса и ее
использование (ПК-1).
24
24.Случайные величины и распределения вероятностей (ОК-13, ПК-12).
25.Математическое ожидание и дисперсия, их основные свойства (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
26.Определение энтропии случайной схемы, ее свойства. Аксиоматическое определение
энтропии (ПК-12).
27.Строковые данные в различных разделах математики и приложениях. Основные
операции над строками (ПК-1).
28.Лексикографическое сравнение строк. Типичные задачи, решаемые со строками.
Методы поиска образца в строке. Классификация функций от строк (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
30.Графы. Основные понятия и определения. Способы представления (ОК-13, ПК-12).
31.Представление графов матрицами инцидентности и смежности. Свойства данных
матриц (ОК-13, ПК-12).
32.Понятие связного графа, компоненты связности и сильной связности. Метрические
характеристики графов(ОК-13, ПК-12).
33.Нагруженные графы. Постановка задачи коммивояжера (ОК-13, ПК-12).
34.Задача о кратчайшем пути в графе (алгоритм фронта волны, алгоритмы ФордаБеллмана и Дейкстры) (ПК-12).
35.Деревья. Характеристическое свойство дерева. Алгоритм нахождения кратчайшего
остовного дерева (алгоритм Краскала) (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
36.Алгоритм нахождения максимального потока. Теорема Форда-Фалкерсона (ОК-13, ПК12).
37.Функциональные системы с операциями. Булева алгебра. Способы задания булевых
функций. Элементарные функции булевой алгебры (ОК-13, ПК-12).
38.Булева алгебра Формулы булевой алгебры. Равносильные формулы. Двойственные
функции. Принцип двойственности (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
39.Представление булевых функций в классе СДНФ, СКНФ. Алгоритм построения СДНФ,
СКНФ (ОК-13).
41.Замкнутые классы алгебры логики (TO, T1, S, M, L) (ПК-1).
42.Критерий функциональной полноты в алгебре логики. Теорема Поста (ПК-1, ОК-13).
43.Минимизация булевых функций в классе ДНФ. Интервал, максимальный интервал,
простая импликанта. Сокращенная ДНФ. Минимальная ДНФ. Примеры использования
алгоритмов минимизации (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
44.Функциональная система: k-значная логика. Элементарные функции k-значной логики
(ПК-1).
45.Определение кодирования. Свойства кодирования. Код сообщения. Побуквенное
кодирование. Элементарные коды. Алфавитный код. Равномерное кодирование.
Разделимый код (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
46.Схема кодирования. Префиксный код. Взаимно однозначное кодирование. Критерий
взаимной однозначности алфавитного кодирования (ПК-1).
47.Взаимно однозначное кодирование. Неравенство Крафта-Макмиллана. Коды с
минимальной избыточностью (ПК-12).
48.Кодовое дерево. Насыщенная вершина кодового дерева. Насыщенное кодовое дерево.
Исключительная вершина. Порядок ветвления исключительной вершины (ПК-1, ОК-13,
ПК-12).
49.Бинарный
код
Хэмминга.
Схема
кодирования.
Схема
декодирования.
Самокорректирующиеся коды Хэмминга (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
50.Конечный автомат. Определение. Использование конечных автоматов в
программировании (ПК-1, ПК-12).
51.Марковская цепь. Основные определения. Граф переходов. Классификация состояний
марковской цепи (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
52.Процесс принятия решений. Модель динамического программирования. Уравнение
Беллмана. Процессы в информатике (ПК-1, ОК-13).
53.Производящие функции. Асимптотика (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
25
6.2 Образцы заданий для проведения текущего контроля и промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины, а также для контроля самостоятельной
работы обучающегося
1. Перечислите элементы следующего множества В ={x | x  Z и 6х2 + х – 1 = 0}(ПК1, ОК-13, ПК-12).
2. Запишите булеан Р(А) множества А = {0,-1, -2, -3}(ПК-1).
3. Задайте с помощью характеристического свойства множество А = {2, 5, 8, 11, …}(
ПК-12).
4. Для заданного множества A  U составить характеристический вектор:
U={1,2,3,…,20}, A={x| 5|(x+3) }(ПК-1, ОК-13, ПК-12).
5. Доказать равенство множеств, преобразуя множества к одинаковому виду с
помощью основных законов алгебры множеств: ( A  B)  ( B \ A)  ( A \ B)  B  A
(ПК-1, ОК-13).
6. Доказать тождество (тремя способами): ( А  В )  А  В (ПК-1,).
7. Доказать тождество: ( А  В)  С  ( А  С )  ( В  С ) (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
8. Составьте
матрицу
данного
бинарного
отношения:
2
2
2
  1,2,3...,7 , ( x, y )    x  y (ПК-1, ПК-12).
Бинарное отношение между множествами А = {1, 2, 3, 4} и В = {а, b, c, d} задано
1 0 0 1  матрицей. Выпишите элементы этого отношения и постройте его

 изображение (ПК-1, ОК-13).
1 1 1 0 
9. Дано бинарное отношение   ( x, y ) x, y  N , y x , найдите
0 1 0 1 


 0 0 1 0  D , E , ,  1,    ,  1   (ПК-1, ОК-13).


10. Является ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным,


транзитивным?   Z 2 ; ( x, y)    ( x2  y)  2 (ПК-1).
11. Бинарное отношение между множествами А = {1, 2, 3, 4} и В = {а, b, 1 0 0 1 


c, d} задано матрицей. Выпишите элементы этого отношения и  0 1 1 0 
постройте его изображение. Проверьте, является ли это отношение  0 1 1 1 


рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным? 1 0 1 1 
Найдите его области определения и значений (ПК-1, ОК-13).
12. Является ли данная функция инъективной? Сюръективной? Биективной? Почему?
Постройте ее график. f: R→R, f(x)=lnx-1(ПК-1).
13. В = {1, 2, 3, 4},   В 2 . Изобразите  графически. Проверьте с помощью матрицы
является ли отношение  рефлексивным, симметричным, антисимметричным,
транзитивным?   (1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (3,3), (3,2), (3,4), (4,4)(ПК-1, ОК-13,
ПК-12).
14. Построить следующие бинарные отношения (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
А) рефлексивное, симметричное , не транзитивное;
б) не рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное;
в) рефлексивное, не симметричное, транзитивное.
16.Доказать, что отношение {(a, b) | (a – b) – рациональное число} является
отношением эквивалентности на множестве натуральных чисел(ПК-12).
17.К каким типам (эквивалентности; строгого, нестрогого, линейного порядка)
относятся данные отношения (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
1) отношение равносильности на множестве формул;
2) отношения ≤ и < на множестве векторов длины n с компонентами из N,
определяемые следующим образом:
26
а) (a1, …, an) ≤ (b1, …, bn), если a1 < b1, … , an < bn;
б) (a1, …, an) < (b1, …, bn), если (a1, …, an) ≤ (b1, …, bn) и хотя бы для одной
координаты i выполняется ai < bi;
3) отношение предшествования слов упорядоченного конечного алфавита.
18.Проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна следующие разбиения множества
U(ПК-1).
1) А, А
 
2) А  В, А  В, А  В, А  В
3) А \ B, A  B, B \ A.
19.Построить диаграмму Хассе для отношения  на булеане Р(А), где А={1, 2, 3}(
ОК-13, ПК-12).
20.Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех согласных и двух
гласных, можно образовать из букв слова уравнение? (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
21.Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир? 2)
Сколько среди них таких, которые не содержат буквы р? 3) Сколько таких, которые
начинаются с буквы с и оканчиваются буквой р? (ПК-1).
22.Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв слова
перестановка? Сколько из них начинается с буквы п и оканчивается буквой а? (ПК1).
23.Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, поднимая их в
любом количестве и в произвольном порядке? (ОК-13, ПК-12).
24.Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых.
Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15
рядовых? (ПК-1).
25.Найти число всех подмножеств множества Х, если Х содержит k элементов. (ПК-1,).
26.Сколькими способами можно выбрать 2 стандартные и 1 нестандартную детали из
40 деталей, среди которых имеются 10 нестандартных? (ОК-13, ПК-12).
27.Сколько существует различных трехзначных чисел? (ПК-1).
28.По n ящикам случайно распределяются n шаров. Считая, что ящики и шары
различимы, найти вероятности следующего события: два ящика пустых = А2 (ПК-1,
ОК-13, ПК-12).
29.Саша Иванов - средний студент и обычно дает правильные ответы лишь на
половину экзаменационных билетов. На очередном экзамене Саша на билет ответил и
получил положительную оценку. Какие события можно считать случайными: а) Саше
попался «хороший» билет – событие А; (ПК-1).
б) Саша ответил на билет – событие В; в) Саша сдал экзамен – событие С.
30.Саша и Маша разыгрывают билет на концерт. Какие из следующих событий можно
считать случайными? а) Только Саша выиграл билет – событие А; б) Только Маша
выиграла билет – событие В; в) Саша или Маша выиграли билет – событие С; г) Оба
выиграли билет – событие D. (ОК-13, ПК-12).
31.Рассмотрим работу столовой, в плане обслуживания клиентов. Моменты прихода
посетителей (событие А), время, затрачиваемое клиентами на обед (событие В) –
можно ли считать случайными событиями; а процесс обслуживания клиентов –
случайным процессом? (ПК-1).
32.В урне из n шаров - k красных и (n - k) черных. Наудачу извлекаем без возвращения
r шаров. Какова вероятность того, что в выборке из r шаров s шаров – красных? (ПК1, ОК-13, ПК-12).
33.Вычислить вероятность того, что для наудачу взятого значения
х    ),
значение y  0,5  sin 2 x существует. (ПК-1).
27
34.Два друга договорились встретиться между 12 и 13 часами. Пришедший первым
ждет второго в течении 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность, что встреча
произойдет, если каждый наудачу выбирает время своего прихода в промежутке от12
до 13 часов. (ОК-13, ПК-12).
35.Применяя формулу полной вероятности, вычислить вероятность того, что при
подбрасывании симметричного кубика выпадет четная грань. (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
36.Разложите в сумму выражение (3у+2)4 (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
37.Разложить в ряд (а + в + с)3(ПК-1).
38.Сколько положительных целых чисел от 70 до 950 делится ровно на одно из чисел:
1) 7, 11 или 13 2) 3, 5 или 17.
39.Найти кратчайший путь, построить кратчайшее остовное дерево для следующих
2
7
графов(ПК-1, ОК-13, ПК-12).
.
4
4
1
2
2
3
1
3
6
4
5
9
2
1
3
5
3
5
3
6
8
3
5
2
3
1
4
5
1
2
3
8
4
1
4
6
7
7
3
3
6
6
6
3
2 5 6
4
8
1
8
7
7
3
1
4
4
3
5
2
5
40.По заданной матрице смежности построить изображение графа(ПК-1, ОК-13, ПК-12).
0 1 1 1 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 1






1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
: AG   1 1 0 2 0  AG   0 1 1 2 0  AG   1 1 0 1 0 






1 0 1 0 0
1 0 1 0 0
 0 0 1 0 0
1 0 0 0 1
 3 0 0 0 1
1 0 0 0 0






41.По заданной матрице инцидентности построить изображение графа: (ПК-1).
 1 1 1 1 0 0 
 1 1 1 1 0 0




0
1 0 0 0 1
 1 0 0 0 1 0
BG   0 1
0 0  1  1 BG   0 1
0 0 1 0




0 0 1
 0 0 1 0 0 1 
0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 



28
42.Построить таблицу истинности, СДНФ, СКНФ, полином Жегалкина для следующих
булевых функций, заданных формулами (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
1) ( x  y )  x  z  ( x  y ),
2) x ( z ( y  x  z )),
3) ( x  y  z )  ( x  y )  ( x  z ) ,
4) ( x  y )  ( x  z )  y ,
5) xy  ( y  xz ) ,
6) (( x1  x2 x3 )  ( x2 x4  x3 )  x1 x4 )  x1 ,
7) (( x1  x2 )  x3 )  x1 ,
8) (( x3  x2 )  x1 )  ( x2  x1 ) x3 x1  x3 ,
9) ( x1  ( x1  x2 ))  x3 ,
10) ( x  y )  xz  ( y  z ) ,
11) ( x  y  z )  t  x yz ,
12) ( x  y  z )  t  x yz ,
13) ( x  y)  ( x  z ) ,
14) xy  xz  yt  zt ,
15) ( x  y)  (( x  y)  ( x  yz )) ,
16) ( x  y  ( yz  1))  ( y  x) ,
17) ( x1  x2 )  ( x2  x1 )  x3 ,
18) (( x  y )  z )  ( x  yz ) ,
19) (( x  y )  ( x  y ))  (( x  y )  ( x  y ))  z ,
20) ( x  y )  xz  ( y  z ) ,
21) ( x  y  z )  t  x yz ,
22) ( x  y)  ( x  z ) ,
23) ( x  y  z )  t  x yz ,
24) ( x1  x2 )  ( x2  x1 )  x3 ,
25) (x1  x2 )  x3  x2 .
43.Проверить на полноту следующие системы булевых функций (ПК-1, ОК-13, ПК12).
1) x  y, x  y  z ,
2) x  y, (1100001100111100),
3) 0, xy  xz  yz, xy  z,
4) (1011), (1111110011000000),
5) xy, x  yz,
6) 0,1, x( y  z)  x ( y  z),
7) (01101001), (10001101), (00011100),
8) (0010), (1010110111110011).


44.Используя метод Квайна и карты Карно, найти МДНФ И МКНФ формул(ПК-1, ОК-13,
ПК-12).
1) x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3  x1 x2 x3
2) x y z  x y z  x yz  xy z  xyz
29
3) x y z  x y z  xy z  xyz
45.Являются ли схемы данного алфавитного кодирования префиксными? Взаимно
однозначными? (ОК-13, ПК-12).
1) (a  0, b  10, c  011, d  1011, e  1111)
2) (a  0, b  10, c  20)
3) (a  01, b  021, c  12, d  0102, e  10112)
46.Построить префиксное алфавитное кодирование с минимальной избыточностью для
алфавита a, b, c, d  со следующими распределениями вероятностей появления букв(ОК13, ПК-12).
:
1) р0 = ½, р1 = ¼, р3 = р4 = ⅛;
2) р0 = 0,4, р1 = 0,25, р3 = 0,2, р4 = 0,15;
3) р0 = 0,1, р1 = 0,45, р3 = 0,22, р4 = 0,23.
47.Минимизировать конечный автомат (ПК-1, ОК-13, ПК-12).
30
31
Тесты
Тест №1
1. Будет ли пустое множество V каким-либо подмножеством некоторого множества?
а) будет собственным подмножеством;
б) будет несобственным подмножеством;
в) не будет никаким подмножеством.
2. Что есть множество А\В, если А - множество всех книг в библиотеке МЭСИ по
различным отделам науки и искусства, а В - множество всех книг во всех библиотеках
России?
а) множество математических книг в России без математических книг в МЭСИ;
б) множество книг в библиотеке МЭСИ по искусству и науке, кроме математических.
в) другое множество (укажите какое)
3. Совпадают ли дистрибутивные законы Булевой алгебры и алгебры действительных
чисел.
а) оба совпадают;
б) оба не совпадают;
в) один совпадает, другой – нет (какой именно).
4. Вытекает ли из равенства А\В=С что А=В∪С?
а) да;
б) нет;
в) вообще нет, но в частном случае да. (В каком случае?)
5. Есть ли законы для дополнений в алгебре действительных чисел?
а) да (укажите их);
б) нет;
в) некоторых нет, а некоторые есть (укажите их).
6. Справедливы ли законы идемпотентности Булевой алгебры в алгебре действительных
чисел? (Ответ обоснуйте.)
а) справедливы;
б) несправедливы;
в) один справедлив, другой нет.
7. Обладают ли свойством двойственности формулы поглощения?
а) да;
б) нет;
в) одна обладает, другая нет (какая именно).
32
8. Можно ли поставить в соответствие единицу или ноль соответственно универсальному
и пустому множеству, исходя из свойств операций? Если да, то, о каких операциях идёт
речь.
а) можно;
б) единицу - можно, ноль - нет;
в) ноль - можно, единицу - нет.
9. Обладают ли формулы склеивания свойством двойственности
а) нет;
б) да;
в) одна обладает, другая нет (какая именно).
10. Будет ли каждое из множеств A, В, С, D подмножеством другого (т.е. можно ли из них
составить цепочку вложенности из этих множеств), если A - множество действительных
чисел, B - множество рациональных чисел, С - множество целых чисел, D - множество
натуральных чисел.
а) да;
б) нет;
в) лишь некоторые из множеств являются подмножествами перечисленных множеств.
(Какие именно.)
Тест №2
1. Задано отображение f множества Х в Y. X={x1, x2, x3, x4} Y={y1, y2, y3}: f(x1)=y1,
f(x2)= y2, f(x3)= y2, f(x4)= y3, Будет ли это отображение f
а) сюръективно;
б) инъективно;
в) биективно.
2. Можно ли в любом бесконечном множестве выделить счетное подмножество?
а) нельзя;
б) можно;
в) можно, но не всегда (когда именно).
3. Выделим в бесконечном множестве М счетное подмножество А⊂М. В каком
отношении находятся мощности множеств М \ А и М?
а) мощность М \ А < мощности М;
б) мощность М < мощности М \ А;
в) мощность М = мощности М \ А.
4. Отношение "быть старше": "х старше у" является
33
а) рефлексивным;
б) симметричным;
в) асимметричным.
5. Отношение "х - победитель у" является
а) антирефлексивным;
б) симметричным;
в) транзитивным.
6. Каково максимально возможное число классов, на которое можно разбить сумму трех
пересекающихся множеств, не прибегая к произвольному делению отдельных областей на
диаграммах Эйлера-Венна?
а) 3;
б) 5;
в) 7.
7. Если отношение A на множестве М рефлексивно, симметрично и транзитивно, можно
ли разбить множество М на классы?
а) да;
б) нет;
в) можно, но не всегда (когда именно).
8. Пусть на множестве М задано отношение A: "х знаком с у". Почему нельзя разбить
множество М на классы?
а) отношение A не рефлексивно;
б) отношение A не симметрично;
в) отношение A не транзитивно.
9. Почему множество действительных чисел и множество натуральных чисел не являются
подобными?
а) множество натуральных чисел неупорядочено;
б) множество действительных чисел неупорядочено;
в) нет биективного соответствия между множествами.
10. Почему множество М точек отрезка [0, 1] не является вполне упорядоченным
множеством?
а) М не упорядочено;
б) не все подмножества М содержат первый элемент;
в) ни одно из подмножеств М не содержат первый элемент.
34
Тест №3
1. Следующее высказывание может быть интерпретировано как сложное высказывание:
"Неверно, что первым пришел Петр или Павел". Каковы составляющие его элементарные
высказывания?
а) А: "Неверно, что первым пришел Петр"
В: "Неверно, что первым пришел Павел";
б) А: "Первым пришел Петр"
В: "Неверно, что первым пришел Павел";
в) А: "Первым пришел Петр"
В: "Первым пришел Павел".
2. Какой из формул может быть записано высказывание предыдущего вопроса?
а) ;
б) ;
в) .
3. Будет ли высказывание S=(А→В)∧(В→С)→(А→С):
а) тождественно истинным;
б) тождественно ложным;
в) переменным.
4. Каково значение Х, определяемое уравнением =B ?
а) Х =В;
б) В;
в) В \ А.
5. Чему равносильна конъюнкция контроппозиции и ее конверсии?
а) импликации;
б) конверсии импликации;
в) двойной импликации.
6. В высказывании S: "Треугольники равны только тогда, когда равны их стороны".
Равенство углов в треугольнике является:
а) необходимым условием;
б) достаточным условием;
в) необходимым и достаточным условием.
7. Какая из функций соответствует формуле (см. табл.). S = x1 → x2 ∧ x3 ?
x1 0 0 0 0 1 1 1 1
x2 0 0 1 1 0 0 1 1
35
x3 0 1 0 1 0 1 0 1
f1; 1 1 0 1 1 0 1 1
f2 0 0 0 1 0 0 0 1
а) f1;
б) f2;
в) ни f1, ни f2 (тогда напишите таблицу для правильного результата)
8. Какая из переменных х1, х2, х3 является фиктивной в формуле f, где f задана условием
f(0,0,1)=f(0,0,0)? На остальных наборах значений переменных f принимает значение
истинно.
а) х1;
б) х2;
в) х3.
9. Какие из переменных х1, х2 в функции f15 (табл. 3.11) являются фиктивными?
а) х1 - существенная переменная;
б) х2 - существенная переменная;
в) обе переменные х1 и х2 - фиктивные.
10. Какие из пар связок образуют полную систему связок?
а) (∨, );
б) (∨, →);
в) (∧, →).
Тест №4
1. Даны два высказывания S1: " Если треугольники равны, то равны их стороны", S2:
"Стороны треугольников равны тогда и только тогда, когда равны треугольники".
Существует ли отношение следствия между S1 и S2?
а) из S1 следует S2;
б) из S2 следует S1;
в) ни одно из высказываний не следует из другого.
2. Если между высказываниями S1 и S2 существует отношение следствия, являются ли эти
высказывания совместимыми?
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
3. Если из высказывания S1 следует S2 и, наоборот, из S2 следует S1, являются ли
высказывания S1 и S2 эквивалентными?
36
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
4. Если высказывания эквивалентны, существует ли между ними отношения следствия?
а) да;
б) нет;
в) может быть и тот, и другой вариант (приведите примеры).
5. Могут ли быть при правильном рассуждении все посылки истинными, если заключение
ложно?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
6. Существует ли СКНФ у тождественно истинной формулы алгебры высказываний?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
7. Существует ли СДНФ у невыполнимой формулы?
а) да;
б) нет;
в) иногда да, иногда нет (приведите примеры).
8. Каково множество истинности у невыполнимой формулы?
а) "U" - универсальное;
б) "V" - пустое;
в) некоторое множество A, не являющееся ни пустым, ни универсальным.
9. Сколько единиц имеет полная элементарная конъюнкция?
а) ни одной;
б) одну;
в) несколько.
10. Сколько нулей имеет полная элементарная дизъюнкция?
а) один;
б) ни одного;
в) несколько.
Тест №5
1. Сколько слагаемых содержит СДНФ, построенная по функции f(x1, x2, x3) заданной
37
так, что на всех наборах значений переменных x1, x2, x3 она принимает значение 1?
а) 2;
б) 4;
в) 8.
2. Сколько сомножителей содержит СКНФ, построенная по функции f(1,1,1) = f(1,0,1) = 0?
а) 2;
б) 4;
в) 8.
3. Можно ли для функции f(x1, x2, x3) заданной так, что на всех наборах значений
переменных x1, x2, x3 она принимает значение 0, построить какую-либо совершенную
нормальную форму?
а) можно СДНФ;
б) можно СКНФ;
в) нельзя построить ни одной совершенной нормальной формы.
4. Можно ли некоторое высказывание записать в виде релейно-контактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) иногда можно, иногда нет.
5. Могут ли две релейно-контактные схемы, соответствующие одной и той же функции
проводимости, иметь различное число реле?
а) да;
б) нет; если функция проводимости особенная (какая именно)
в) никогда не могут.
6. Имеем формулу , выводимую из формул 1, 2, … n, т.е. 1, 2, … n  .
Являются ли выводимыми формулы 1, 2, … n?
а) да;
б) нет;
в) некоторые из них выводимы, некоторые нет (какие именно).
7. Если формула  выводима из аксиом исчисления высказываний, какой она является как
формула алгебры высказываний?
а)  является тождественно истинной;
б)  является тождественно ложной;
в)  - переменное высказывание.
38
8. Является ли противоречивым некоторое исчисление (формальная аксиомати¬ческая
система), если оно имеет некоторую содержательную интерпретацию?
а) противоречиво;
б) непротиворечиво;
в) может быть и тот, и другой вариант.
9. Формула  есть тождественно истинная формула алгебры высказываний. Будет ли 
выводима из аксиом как формула исчисления высказываний?
а)  выводима;
б)  не выводима;
в) может быть и тот, и другой вариант.
10. Можно ли какую-либо аксиому исчисления высказываний вывести из остальных
аксиом?
а) некоторую аксиому можно, некоторую нельзя (приведите примеры);
б) все можно;
в) все нельзя.
Тест №6
1. Сколько несобственных подмножеств имеет конечное множество, состоящее из n
элементов?
а) 1 (что это за множество?);
б) 2 (что это за множества?);
в) n.
2. Сколько собственных подмножеств имеет конечное множество Х={х1, х2, … хn}?
а) n-1;
б) nn=n2;
в) 2n-2.
3. В каком порядке нужно производить операции, преобразовывая формулу ?
а) ;
б) ;
в) .
4. Пусть n(A∪B) - мощность множества, являющегося объединением конечных множеств
А и В, m1= n(A∪B), если множества пересекаются, т.е. А∩В≠0 и m2=n(A∪B), если
A∩B=0. Равны ли мощности m1 и m2?
а) m1 = m2;
б) m1 > m2;
39
в) m1 < m2.
5. Мощность какого множества больше Х или Y, если Х - исходное конечное множество,
Y - множество подмножеств множества Х?
а) мощность Х больше мощности Y;
б) мощность Х меньше мощности Y;
в) мощность Х равно мощности Y.
6. Существует ли среди бесконечных множеств множества наименьшей и наибольшей
мощности?
а) существуют множества как наибольшей, так и наименьшей мощности;
б) существует множество наибольшей, а наименьшей мощности нет;
в) существует множество наименьшей, а наибольшей мощности нет.
7. Является ли сюръективное отображение инъективным?
а) сюръективное отображение всегда инъективно;
б) сюръективное отображение - неинъективно;
в) сюръективное отображение может быть инъективным, но может и не быть им
(приведите примеры).
8. Всегда ли биективное отображение сюръективно?
а) всегда;
б) никогда;
в) может быть сюръективным, но может и не быть им (приведите примеры).
9. Когда сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств является
конечным множеством?
а) в случае конечного числа суммы счетных множеств;
б) в случае счетного числа суммы конечных множеств;
в) в случае конечного числа суммы конечных множеств.
10. Если к некоторому бесконечному множеству М прибавить счетное множество A, будет
ли отличаться мощность полученного множества М∪А от мощности множества М?
а) мощность множества М равна мощности множества М∪А;
б) мощность множества М меньше мощности множества М∪А;
в) мощность множества М больше мощности множества М∪А.
11. Может ли конечное множество A содержать собственное подмножество,
эквивалентное всему множеству A ?
а) всегда содержит;
б) никогда не содержит;
40
в) иногда содержит, иногда нет (приведите примеры).
12. Отсутствием какого из свойств отношений отличаются отношение толерантности от
отношения эквивалентности?
а) рефлексивности;
б) симметрии;
в) транзитивности.
13. Какие из высказываний S1, S2, S3, состоящих из двух элементарных A и B,
равносильны? S1:“Если A, то не B”. S2:“А или не B”. S3:”Неверно, что A и B”.
а) S1=S2;
б) S1=S3;
в) S2=S3.
14. Что означает высказывание “А только, если B”?
а) А достаточно для B;
б) А необходимо для B;
в) А необходимо и достаточно для В.
15. Чему равносильна конъюнкция импликации и её конверсии (ответ поясните)?
а) контроппозиции;
б) конверсии контроппозиции;
в) двойной импликации.
16. Какая формула соответствует функции f(х1, х2): f(1,1)=1?
а) x1→х2;
б) х1∨х2;
в) х1∧х2.
17. Какие из переменных функций f(х1, х2) являются существенными, если f(х1, х2):
f(1,i)=0
а) x1;
б) х2;
в) обе переменные фиктивны.
18. С помощью какой связки можно записать любую формулу алгебры высказываний?
а) с помощью дизъюнкции;
б) с помощью конъюнкции;
в) с помощью штриха Шеффера.
19. Если множество истинности высказывания A есть подмножество множества
истинности высказывания B, существует ли отношения следствия между A и B?
41
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
20. Если высказывания A и B несовместимы, что можно утверждать о множествах
истинности этих высказываний?
а) множество истинности A есть подмножество множества истинности высказывания B;
б) множества истинности A и B совпадают;
в) множество истинности A и B не пересекаются.
21. Если высказывания A и B несовместимы, существует ли между ними отношение
следствия?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
22. Если при проверке правильности рассуждения получен результат PQ  0, где P конъюнкция посылок, Q - заключение. Означает ли это, что рассуждение правильно?
а) да;
б) нет;
в) может быть правильным в одних случаях и неправильным в других (в каких именно).
23. Каково максимальное число слагаемых СДНФ для формулы S(х1, ... хn)  1?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
24. Каково максимальное число сомножителей СКНФ невыполнимой формулы S(х1, ... хn)
?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
25. Если СДНФ формулы S(х1, х2, х3) содержит 3 слагаемых, сколько сомножителей
содержит ее СКНФ?
а) 3;
б) 4;
в) 5.
26. Соответствуют ли различные релейно-контактные схемы одному и тому же
высказыванию?
42
а) всегда;
б) никогда;
в) могут соответствовать, могут не соответствовать (когда могут, а когда нет).
27. Могут ли равносильные высказывания быть записаны в виде некоторой релейноконтактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) могут, но не всегда (когда могут, а когда нет).
28. Если исчисление противоречиво, имеет ли оно некоторую содержательную
интерпретацию?
а) имеет;
б) не имеет;
в) имеет, но не всегда (когда имеет, а когда нет).
29. Если исчисление является полным, можно ли какую-либо, не выводимую в этом
исчислении формулу добавить к аксиомам так, чтобы исчисление осталось
непротиворечивым?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
30. Если система аксиом некоторого исчисления независима, можно ли какие-либо
аксиомы вывести из других?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
Тест №7
1. Сколько несобственных подмножеств имеет конечное множество, состоящее из n
элементов?
а) 1 (что это за множество?);
б) 2 (что это за множества?);
в) n.
2. Сколько собственных подмножеств имеет конечное множество Х={х1, х2, … хn}?
а) n-1;
б) nn=n2;
43
в) 2n-2.
3. В каком порядке нужно производить операции, преобразовывая формулу ?
а) ;
б) ;
в) .
4. Пусть n(A∪B) - мощность множества, являющегося объединением конечных множеств
А и В, m1= n(A∪B), если множества пересекаются, т.е. А∩В≠0 и m2=n(A∪B), если
A∩B=0. Равны ли мощности m1 и m2?
а) m1 = m2;
б) m1 > m2;
в) m1 < m2.
5. Мощность какого множества больше Х или Y, если Х - исходное конечное множество,
Y - множество подмножеств множества Х?
а) мощность Х больше мощности Y;
б) мощность Х меньше мощности Y;
в) мощность Х равно мощности Y.
6. Существует ли среди бесконечных множеств множества наименьшей и наибольшей
мощности?
а) существуют множества как наибольшей, так и наименьшей мощности;
б) существует множество наибольшей, а наименьшей мощности нет;
в) существует множество наименьшей, а наибольшей мощности нет.
7. Является ли сюръективное отображение инъективным?
а) сюръективное отображение всегда инъективно;
б) сюръективное отображение - неинъективно;
в) сюръективное отображение может быть инъективным, но может и не быть им
(приведите примеры).
8. Всегда ли биективное отображение сюръективно?
а) всегда;
б) никогда;
в) может быть сюръективным, но может и не быть им (приведите примеры).
9. Когда сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств является
конечным множеством?
а) в случае конечного числа суммы счетных множеств;
б) в случае счетного числа суммы конечных множеств;
44
в) в случае конечного числа суммы конечных множеств.
10. Если к некоторому бесконечному множеству М прибавить счетное множество A, будет
ли отличаться мощность полученного множества М∪А от мощности множества М?
а) мощность множества М равна мощности множества М∪А;
б) мощность множества М меньше мощности множества М∪А;
в) мощность множества М больше мощности множества М∪А.
11. Может ли конечное множество A содержать собственное подмножество,
эквивалентное всему множеству A ?
а) всегда содержит;
б) никогда не содержит;
в) иногда содержит, иногда нет (приведите примеры).
12. Отсутствием какого из свойств отношений отличаются отношение толерантности от
отношения эквивалентности?
а) рефлексивности;
б) симметрии;
в) транзитивности.
13. Какие из высказываний S1, S2, S3, состоящих из двух элементарных A и B,
равносильны? S1:“Если A, то не B”. S2:“А или не B”. S3:”Неверно, что A и B”.
а) S1=S2;
б) S1=S3;
в) S2=S3.
14. Что означает высказывание “А только, если B”?
а) А достаточно для B;
б) А необходимо для B;
в) А необходимо и достаточно для В.
15. Чему равносильна конъюнкция импликации и её конверсии (ответ поясните)?
а) контроппозиции;
б) конверсии контроппозиции;
в) двойной импликации.
16. Какая формула соответствует функции f(х1, х2): f(1,1)=1?
а) x1→х2;
б) х1∨х2;
в) х1∧х2.
17. Какие из переменных функций f(х1, х2) являются существенными, если f(х1, х2):
45
f(1,i)=0
а) x1;
б) х2;
в) обе переменные фиктивны.
18. С помощью какой связки можно записать любую формулу алгебры высказываний?
а) с помощью дизъюнкции;
б) с помощью конъюнкции;
в) с помощью штриха Шеффера.
19. Если множество истинности высказывания A есть подмножество множества
истинности высказывания B, существует ли отношения следствия между A и B?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
20. Если высказывания A и B несовместимы, что можно утверждать о множествах
истинности этих высказываний?
а) множество истинности A есть подмножество множества истинности высказывания B;
б) множества истинности A и B совпадают;
в) множество истинности A и B не пересекаются.
21. Если высказывания A и B несовместимы, существует ли между ними отношение
следствия?
а) из A следует B;
б) из B следует A;
в) ни одного из них не следует из другого.
22. Если при проверке правильности рассуждения получен результат PQ  0, где P конъюнкция посылок, Q - заключение. Означает ли это, что рассуждение правильно?
а) да;
б) нет;
в) может быть правильным в одних случаях и неправильным в других (в каких именно).
23. Каково максимальное число слагаемых СДНФ для формулы S(х1, ... хn)  1?
а) n;
б) n2;
в) 2n .
24. Каково максимальное число сомножителей СКНФ невыполнимой формулы S(х1, ... хn)
а) n;
46
б) n2;
в) 2n .
25. Если СДНФ формулы S(х1, х2, х3) содержит 3 слагаемых, сколько сомножителей
содержит ее СКНФ?
а) 3;
б) 4;
в) 5.
26. Соответствуют ли различные релейно-контактные схемы одному и тому же
высказыванию?
а) всегда;
б) никогда;
в) могут соответствовать, могут не соответствовать (когда могут, а когда нет).
27. Могут ли равносильные высказывания быть записаны в виде некоторой релейноконтактной схемы?
а) да;
б) нет;
в) могут, но не всегда (когда могут, а когда нет).
28. Если исчисление противоречиво, имеет ли оно некоторую содержательную
интерпретацию?
а) имеет;
б) не имеет;
в) имеет, но не всегда (когда имеет, а когда нет).
29. Если исчисление является полным, можно ли какую-либо, не выводимую в этом
исчислении формулу добавить к аксиомам так, чтобы исчисление осталось
непротиворечивым?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
30. Если система аксиом некоторого исчисления независима, можно ли какие-либо
аксиомы вывести из других?
а) можно;
б) нельзя;
в) можно, но не всегда (когда можно, а когда нет).
47
Тест №8
48
49
50
Тест №9
51
52
53
Тест №10
54
55
56
Тест №11
57
58
59
Тест №12
60
61
Тест №13
1.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0 1 0 0 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1


1 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1 0


Найти радиус r(G) графа.
2.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0
1
0
0
0
1
 10


0
0
1
1
0

1

0
1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1
Найти диаметр d(G) графа.
3.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
62
0
1
1

0
0
0
0
0

1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0


0

0
1
1

0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Найти радиус r(G) графа.
4.
Тип - простой вопрос.
Граф G задан следующей матрицей смежности:
0
1
1

0
0
0
0
0

1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0


0

0
1
1

0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Найти диаметр d(G) графа.
5.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных деревьев с 6 вершинами?
6.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных связных графов с 5 вершинами и 4 ребрами?
7.
Тип - простой вопрос.
Сколько существует неизоморфных связных графов с 5 вершинами и 5 ребрами?
8.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является необходимым для того, чтобы связный
граф с n вершинами был планарным ( m – число ребер):
a. m  3n  6
b. m  3n  6
c. m = 8 при n = 6
d. m < 19 при n = 8
e. m  3n
9.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является достаточным для того, чтобы граф с n
вершинами был планарным ( m – число ребер):
a. m  3n  6
b. граф не содержит подграфа, гомеоморфного графу K 33 , и подграфа,
гомеоморфного графу K 5
c. m = n – 1, и граф связный
63
d. граф не содержит подграфа, изоморфного графу K 33
e. m = 5 при n = 7
10.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Выберите условия, каждое из которых является достаточным для того, чтобы граф с n
вершинами не был планарным ( m - число ребер):
a. граф содержит подграф, изоморфный графу K 5
b. m = 10 при n = 20
c. граф содержит подграф, гомеоморфный графу K 6
d. m  3n
e. m = 10 при n = 5
11.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является деревом. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения)
a. число ребер m = n - 1
b. граф связный
c. граф не содержит циклов
d. граф планарный
e. граф не эйлеров
f. есть вершина степени 1
g. есть вершина степени больше 1
12.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является несвязным. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения.)
a. число компонент связности всегда равно 2
b. число компонент связности может быть равно 2
c. степень каждой вершины не превосходит n - 2
d. число компонент связности больше 1
e. граф не может быть двудольным
f. граф планарный
g. граф не может быть деревом
13.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Пусть граф G с n вершинами является двудольным. Тогда: (Выберите для G верные
утверждения.)
a. в нем нет циклов четной длины
b. в нем могут быть циклы четной длины
c. в нем все циклы имеют четную длину
d. граф связный
e. степень каждой вершины не превосходит n - 2
f. граф содержит цикл, если каждая доля содержит не менее двух вершин
g. граф планарный
64
14.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
15.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
16.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
17.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
18.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
65
19.
Тип - альтернативный вопрос.
Является ли планарным следующий граф:
a. да
b. нет
20.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
21.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
22.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
23.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
66
24.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
25.
Тип - простой вопрос.
Сколько граней у плоского графа:
26.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (2 2 1 1 4 4 3 3)
b. P(t) = (1 2 1 2 3 4 3 4)
c. P(t) = (1 1 4 2 2 4 3 3) (+10 баллов)
27.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (1 2 3 4 5 6 6 7)
b. P(t) = (1 2 3 4 5 5 6 7)
c. P(t) = (1 2 3 4 5 6 7 7)
67
28.
Тип - альтернативный вопрос.
По дереву найти соответствующий ему код Прюфера P(t) (Указать его вариант).
a. P(t) = (1 1 1 2 2 2 3 3)
b. P(t) = (3 3 1 1 1 2 2 2)
c. P(t) = (1 2 3 1 2 3 1 2 )
29.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  0111 , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
линейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
30.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  0110  , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
линейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
31.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f, заданной вектором  f  1011 , определить, является ли она:
a.
b.
c.
d.
нелинейной
монотонной
самодвойственной
функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
32.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  x  y  z определить, является ли она:
a. линейной
b. монотонной
c. самодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
68
33.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  xy  z  1 определить, является ли она:
a. линейной
b. немонотонной
c. самодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
34.
Тип - дистрибутивный вопрос.
Для функции f  xy  xz определить, является ли она:
a. линейной
b. монотонной
c. несамодвойственной
d. функцией из класса T0
e. функцией из класса T1
35.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {f, g, h} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
36.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {F, G, H} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
37.
Тип - альтернативный вопрос.
Полна ли система функций {f, g, h} (принадлежность функций классам T0 , T1 , L, M , S
отображена в таблице).
a. да
b. нет
69
38.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
T0 S  T1
a. да
b. нет
39.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
T0T1 L  S
a. да
b. нет
40.
Тип - альтернативный вопрос.
Верно ли, что:
MS  T0
a. да
b. нет
70
Задачи
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
Темы учебных проектов:
1. Упорядочивание множества: квадратичная выборка, метод Шелла
2. Представление множеств в программах: битовые шкалы, упорядоченные списки,
алгоритм построения бинарного кода Грея, генерация булеана
3. Вполне упорядоченные множества
4. Производящие функции: метод неопределенных коэффициентов, числа Фибоначчи,
числа Каталана
5. Аксиоматическое определение энтропии
6. Методы сортировки строковых типов данных
7. Алгоритм Прима поиска кратчайшего остова. Алгоритм Форда-Беллмана поиска
кратчайшего пути в графе
8. Основные равносильности алгебры логики. Тождественно-истинные формулы.
Проблема разрешимости алгебры логики
9. Простейшие эквивалентности формул. Релейно-контактные схемы
10. Критерий полноты системы БФ. Примеры полных систем
11. Метод Квайна-Маккласки поиска простых импликант
12. Элементарные функции k-значной логики
13. Самокорректирующиеся коды Хэмминга
14. Методы принятия решения. Коллективный выбор решения
15. Асимптотика
16. Эйлеровы графы.
17. Гамильтоновы графы.
18. Связность графа.
19. Циклы в графах.
20. Плоские графы.
21. Деревья.
22. Свойства эйлеровых графов.
23. Свойства гамильтоновых графов.
24. Раскраски графов.
25. Ориентированные графы.
26. Паросочетания.
27. Теория трансверсалей.
28. Потоки в сетях.
29. Производящие функции в теории графов.
30. Теорема Пойа и перечисление графов.
31. Графы на двумерных поверхностях.
32. Решетки.
33. Булевы алгебры.
34. Минимальные формы булевых многочленов.
35. Приложения булевых алгебр к переключательным схемам.
36. Конечные группы и их графы.
37. Модулярные и дистрибутивные решетки.
38. Полугруппы преобразований.
39. Полугруппы в биологии.
40. Циклы в графах.
6.3 Критерии оценки знаний, умений и навыков
Итоговой формой контроля, знаний, умений и навыков по дисциплине является
зачет с оценкой. Зачет с оценкой проводится по билетам, которые включают один
теоретический вопрос, один теоретико-практический, и одну задачу.
Оценка знаний студентов производится по следующим критериям:
87
- оценка «отлично» выставляется студенту, если он глубоко и прочно усвоил
программный материал курса, исчерпывающе, последовательно, четко и логически
стройно его излагает, умеет тесно связывать теорию с практикой, свободно справляется с
заданиями и вопросами, причем не затрудняется с ответами при видоизменений заданий,
правильно обосновывает принятые решения, владеет разносторонними навыками и
приемами выполнения практических задач;
- оценка «хорошо» выставляется студенту, если от твердо знает материал курса,
грамотно и по существу излагает его, не допуская существенных неточностей в ответе на
вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении практических
вопросов и задач, владеет необходимыми навыками и приемами их выполнения;
- оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если он имеет знания
только основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточности,
недостаточно правильные формулировки, нарушения логической последовательности в
изложении программного материала, испытывает затруднения при выполнении
практических задач;
- оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не знает
значительной части программного материала, допускает существенные ошибки,
неуверенно, с большими затруднениями решает практические задачи или не справляется с
ними самостоятельно.
7 Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
7.1 Основная литература
Редькин Н.П. Дискретная математика [Электронный ресурс]: учебник/ Редькин
Н.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.— 264 c.— ЭБС
Попов А.М. Информатика и математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/
Попов А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.— 303 c.— ЭБС
Грес П.В. Математика для бакалавров. Универсальный курс для студентов
гуманитарных направлений [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Грес П.В.—
Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2013.— 288 c.— ЭБС
7.2 Дополнительная литература
1 Кузнецов, О. П.
Дискретная математика для инженера / О. П. Кузнецов, Г. М. Адельсон-Вельский.2-е изд., перераб. и доп. - М. : Энергоатомиздат, 1988. - 480 с.
2 Отрыванкина, Т. М.
Опорные конспекты к курсу лекций по математической логике: метод. указания / Т.
М. Отрыванкина. - Оренбург : ГОУ ОГУ, 2009. - 27 с.
3 Лихтарников, Л. М.
Математическая логика: курс лекций: задачник-практикум и решения: учеб.
пособие / Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева .- 4-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2009. - 277 с.
4 Горбатов, В. А.
Основы дискретной математики: учеб. пособие для вузов / В. А. Горбатов. - М. :
Высш. шк., 1986. - 312 с.
5 Мальцев, А. И.
Алгоритмы и рекурсивные функции / А. И. Мальцев.- 2-е изд. - М. : Наука, 1986. 368 с.
7.3 Периодические издания
Периодическая литература не рекомендуется к изучению дисциплины.
88
7.5 Методические указания к практическим занятиям
1 Ходаковская Т.Ю. Дискретная математика. Учебно-методический комплекс.Курск. АНОО ВПО «Индустриальный институт»-2013г.
7.6
Программное
обеспечение
коммуникационных технологий
современных
информационно-
Лицензионное программное обеспечение, имеющееся в компьютерном классе
кафедры прикладной математики.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины (модуля)
http://www.matburo.ru/useful.php - На данном сайте предложены различные
полезные материалы по высшей математике и другим предметам (теория вероятностей,
статистика, эконометрика, дискретная математика, ЭММ): учебники, лекции,
методические пособия, программы, формулы, справочники, ссылки на полезные сайты –
всё, чтобы облегчить процесс учебы.
http://rfpro.ru/issues/8/19/525 - Консультации по дискретной математике, решение
задач по дискретной математике.
http://www.sitereferatov.ru/matem/122-14.html - Рефераты по дискретной математике.
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)
9.1. Общие рекомендации по самостоятельной работе студентов
1. Советы по планированию и организации времени, необходимого для изучения
дисциплины.
При контроле знаний основное внимание уделяется способности студентов
применять полученные знания на практических задачах. Поэтому при самостоятельной
работе студент должен уделять внимание решению задач. Обычно, самостоятельной
работе предшествуют занятия в аудитории.
При решении задач необходимо анализировать те или иные алгоритмы, которые
применялись при решении подобных задач на аудиторных занятиях, пытаться построить
логическую схему доказательства. Если задача сразу не получается, то отложить ее на
некоторое время, рассмотреть другие задачи, но обязательно вернуться и попытаться
решить отложенную задачу попозже. Усвоить материал раздела курса можно только
решив достаточный по объему набор задач по данному разделу. При чтении
теоретического материала необходимо попытаться вникнуть в содержание определений,
попробовать построить собственные примеры на данное определение. Необходимо уметь
связывать различные определения и понятия в одно целое.
Рекомендуется следующим образом организовать время, необходимое для
изучения дисциплины:
Изучение конспекта лекции в тот же день, после лекции – 10-15 минут.
Изучение конспекта лекции за день перед следующей лекцией – 10-15 минут.
Изучение теоретического материала по учебнику и конспекту – 1 час в неделю.
Подготовка к практическому занятию – 1 час.
Всего в неделю – 3 часа 25 минут.
2. Описание последовательности действий студента («сценарий изучения дисциплины»).
При изучении дисциплины «Дискретная математика» очень полезно
самостоятельно изучать материал, который еще не прочитан на лекции. Тогда лекция
будет гораздо понятнее. Однако легче при изучении курса следовать изложению
материала на лекции. Для понимания материала и качественного его усвоения
рекомендуется такая последовательность действий:
89
1. После прослушивания лекции и окончания учебных занятий, при подготовке к занятиям
следующего дня, нужно сначала просмотреть и обдумать текст лекции, прослушанной
сегодня (10-15 минут).
2. При подготовке к лекции следующего дня, нужно просмотреть текст предыдущей
лекции, подумать о том, какая может быть тема следующей лекции (10-15 минут).
3. В течение недели выбрать время (1 час) для работы с литературой по дискретной
математике в библиотеке или сети Интернет.
4. При подготовке к практическим занятиям следующего дня, необходимо
сначалапрочитать основные понятия и теоремы по теме домашнего задания. При
выполнении
упражнения или задачи нужно сначала понять, что требуется в задаче, какой
теоретический материал нужно использовать, наметить план решения задачи. Если это не
дало результатов, и Вы сделали задачу «по образцу» аудиторной задачи, или из
методического пособия, нужно после решения такой задачи обдумать ход решения и
опробовать решить аналогичную задачу самостоятельно.
3. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса.
Рекомендуется использовать текст лекций преподавателя. Кроме того, в материалах
УМК представлены примерные варианты проверочных работ, что позволит студенту быть
более готовым к их выполнению на очередном практическом занятии.
4. Рекомендации по работе с литературой. Теоретический материал курса становится
более понятным, когда дополнительно к прослушиванию лекции и изучению конспекта,
изучаются и книги по дискретной математике в библиотеке. Полезно использовать
несколько учебников. Однако легче освоить курс, придерживаясь одного учебника и
конспекта. Рекомендуется, кроме «заучивания» материала, добиться состояния понимания
изучаемой темы дисциплины. С этой целью рекомендуется после изучения очередного
параграфа выполнить несколько простых упражнений на данную тему.
5.Советы по подготовке к экзамену. Прежде всего необходимо ознакомится со списком
экзаменационных вопросов. Затем разбить список на столько равных частей, сколько дней
отведено для подготовки к экзамену. В каждый день подготовки, не отвлекаясь,
необходимо выучить определенное графиком число экзаменационных вопросов. Если
материал не понятен, отметить это место в конспекте закладкой, с целью уточнения у
преподавателя на консультации перед экзаменом. В последний день подготовки
желательно выделить время для повторения выученного материала.
6. Указания по организации работы с контрольно-измерительными материалами, по
выполнению домашних заданий. При выполнении домашних заданий необходимо сначала
прочитать основные понятия и теоремы по теме домашнего задания. При выполнении
упражнения или задачи нужно сначала понять, что требуется в задаче, какой
теоретический материал нужно использовать, наметить план решения задачи. Если это не
дало результатов, и Вы сделали задачу «по образцу» аудиторной задачи, или из
методического пособия, нужно после решения такой задачи обдумать ход решения и
опробовать решить аналогичную задачу самостоятельно.
7. Методические рекомендации по выполнению учебных проектов.
Учебные проекты готовятся студентами индивидуально или небольшими группами по 2-3
человека. По результатам разработки проекта готовится презентация в Microsoft
PowerPoint (10-15 слайдов) и доклад (в пределах 5 минут). На слайды презентации
рекомендуется выносить рисунки, таблицы, схемы, в виде текста только основные
положения доклада.
Студенты выбирают темы учебных проектов согласно порядковому номеру в журнале.
Структура презентации учебного проекта студентов данных специальностей:
титульный лист (1 слайд);
теоретическая часть, раскрывающая суть темы (8-13 слайдов);
90
заключение, в котором излагаются собственные выводы и предложения
автора (1 слайд).
Защита проекта происходит в форме краткого доклада на занятии и ответов на вопросы
преподавателя и студентов по данному докладу. Критериями оценки учебных проектов
являются оформление, содержание (концептуальность, логичность и конструктивность
работы) и форма подачи (доклад, ответы на вопросы).
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
В процессе лекционных и семинарских занятий используется следующее про
граммное обеспечение:
- программы, обеспечивающие доступ в сеть Интернет (например, «Google chrome»);
- программы, демонстрации видео материалов (например, проигрыватель « Windows
Media Player»);
- программы для демонстрации и создания презентаций (например, «Microsoft
PowerPoint»).
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
1. Компьютерный класс, оснащенный современной техникой (PENTIUM 3,
PENTIUM 4, INTEL CORE 2)
2. LCD – проектор EPSON EMP-X3;
3. Ноутбук ASUS A6RP;
4. Экран для проектора ЭКСКЛЮЗИВ MW 213*213.
91