Занятия в летней математической школе «Юный математик-2012»

Занятия в летней математической школе «Юный математик-2012»
Входная диагностическая работа
1. Во дворе бегают 14 кошек и котят. Каждая кошка-мама вывела на прогулку не меньше двух котят. Каким может быть наибольшее
количество кошек-мам?
2. Садовнику дали 55 цветов на 10 клумб. В несколько клумб он посадил по 3 цветка, в несколько — по 5, а в остальные — по 7. По
окончании работы Садовник обнаружил, что у него не осталось цветов. Докажите, что по крайней мере один цветок он потерял.
3. Одиннадцать ребят сидят за круглым столом. Можно ли раздать им конфеты таким образом, чтобы у любых двух рядом сидящих детей
количество конфет отличалось на единицу?
4. Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:
«В этой тетради ровно одно неверное утверждение»; «В этой тетради ровно два неверных утверждения»; «В этой тетради ровно
три неверных утверждения»;
«В этой тетради ровно сто неверных утверждений».
Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?
5. В классе 28 человек. Каждая девочка дружит ровно с четырьмя мальчиками, а каждый мальчик — ровно с тремя девочками. Сколько в классе
мальчиков и сколько девочек?
6. Умножим число 199 на число, состоящее из 199 двоек. Какова сумма цифр полученного произведения?
7. На концах полоски 1 х 23 стоит по одной фишке. Играют двое, ходят по очереди. За ход можно сдвинуть любую фишку в направлении другой
на одну или две клетки (перепрыгивать через фишку нельзя). Тот, кто не может сделать ход проигрывает. Может ли кто-либо из игроков
(начинающий или второй) выиграть независимо от действий соперника, и если да, то как ему играть?
§ 1. Занятия в 1-й группе День 1 Занятие 1
Неравенство о средних и задачи, связанные с неравенствами
Определение. Для чисел а и b выражение √
𝑎2 +𝑏2
называется средним квадратичным,
2
арифметическим, √𝒂𝒃 — средним геометрическим,
Неравенство о средних: √
𝒂𝟐 +𝒃𝟐
𝟐
≥
𝒂+𝒃
𝟐
≥ √𝒂𝒃 ≥ 𝟏
𝟐
𝟏
𝒂 𝒃
+
𝟐
𝟏 𝟏
+
𝒂 𝒃
𝒂+𝒃
𝟐
-
средним
— средним гармоническим.
, где 𝒂, 𝒃 ≥ 𝟎
1. Докажите неравенство 𝑎2 + 𝑏 2 ≥ 2𝑎𝑏.
2. Докажите неравенство
𝑎+𝑏
2
≥ √𝑎𝑏, где 𝑎, 𝑏 ≥ 0
3. Докажите неравенство √ab≥ 1
2
1
+
a b
4. Докажите неравенство √
5. Докажите неравенство
𝒂𝟐 +𝒃𝟐
𝒂+𝒃
𝟐
𝟐
≥𝟏
, где a, b > 0
≥
𝟐
𝟏
+
𝒂 𝒃
𝒂+𝒃
𝟐
.
, где 𝒂, 𝒃 ≥ 𝟎
6. Докажите неравенство 𝑎 + 𝑏 ≥ 1 + 𝑎𝑏, где 𝑎 > 1, 𝑏 < 1
𝑎
𝑏
7. Докажите неравенство + ≥ 2, где 𝑎𝑏 > 0
𝑏
𝑎
𝑥1 +𝑥2 +⋯𝑥𝑛
8. Докажите неравенство 𝑥1 ≤
≤ 𝑥𝑛 , где 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ … ≤ 𝑥𝑛
𝑛
9. Докажите неравенство 𝑎(𝑥 + 𝑦 − 𝑎) ≥ 𝑥𝑦, где 𝑥 ≤ 𝑎, 𝑦 ≥ 𝑎
Занятие 2
Комбинаторика. Правило суммы и произведения. Размещения и
перестановки
Правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать п способами,
то выбор «либо А, либо В» можно осуществить т + n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать т способами и если после каждого такого выбора объект В можно
выбрать п способами, то выбор пары (А; В) в указанном порядке можно осуществить т∙п способами.
1. Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков каждое, надо выделить по одному
фехтовальщику для состязания. Сколькими способами это можно сделать?
2. Из города А в город В ведут пять дорог, из города В в город С — три. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А
в С?
3. Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имеющий восемь граней. Сколькими способами они
могут упасть?
4. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи (все разной упитанности). Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью?
Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его ещё раз?
5. Сколькими способами на шахматной доске можно выбрать белое и черное поля, не лежащие на одной горизонтали или одной
вертикали?
6. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает из неё яблоко или апельсин, после чего Надя берет и яблоко, и
апельсин. В каком случае Надя имеет большую свободу выбора: если Ваня взял яблоко или если он взял апельсин?
7. Сколько слов, содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом
буквы различны?
8. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (то
есть чтобы какое-то число очков встречалось на обеих костях)?
9. Сколько можно составить из 32 различных букв шестибуквенных слов, содержащих хотя бы один раз букву «ф»?
10.Сколько существует четырёхзначных чисел с разными цифрами?
11.Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых хотя бы две цифры совпадают?
12.Сколько существует четырёхзначных чисел, цифры которых идут в возрастающем порядке?
13.Сколько чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9? А с помощью цифр 0,1,8,9?
Определение. Перестановкой п различных элементов будем называть способ расставить все эти элементы на п местах.
Количество всех перестановок п элементов обозначают 𝑃𝑛 и справедлива формула Pп = n! = n• (n -1) • (n - 2) •... • 2 • 1.
14.Сколько существует способов рассадить 10 человек в ряд? А n человек?
15.Сколько существует способов рассадить 10 человек на 10-ти креслах карусели? Рассадки, переходящие друг в друга при
вращении карусели, считаются одинаковыми.
16. Сколько способов рассадить на 10-ти креслах карусели 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы девочки и мальчики
чередовались?
17.Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы никакие две из них не били друг друга?
18.Сколько пятизначных чисел содержат все цифры 1, 3, 5, 7, 9? А все цифры 0,2,4,6,8?
Определение. Размещением из n элементов по к будем называть способ разместить на к местах некоторые из п элементов так,
чтобы элементы не повторялись. Количество всех размещений из n элементов по к обозначают 𝐴𝑘𝑛 и справедлива формула 𝐴𝑘𝑛 =
𝑛!
.
(𝑛−𝑘)!
19. Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого
секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если один член общества может занимать только
один пост?
20. Сколькими способами можно расставить 10 различных книг на двух полках? Каждая полка способна вместить все 10 книг.
Домашнее задание
1. Докажите неравенство 𝑎2 + 𝑏 2 > 𝑐 2 + (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)2 , где 𝑎 > 𝑐, 𝑏 < 𝑐.
1
1
𝑎+𝑏
2
4
2
2. Для a,b > 0 докажите неравенство (𝑎 + 𝑏) + ≥ √
3. Пусть х > 1. Докажите неравенство
1
1
2
+
>
𝑥−1 𝑥+1 𝑥
4. Для чисел хъ х2,..., хn > 0 докажите неравенство
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏
𝒏
≥
.
𝟏
𝟏
𝟏
𝒏
+ +⋯
𝒙𝟏 𝒙𝟐
𝒙𝒏
(Указание: воспользуйтесь тем, что для любых положительных чисел а, b справедливо неравенство
𝒂
𝒃
+ 𝒂 ≥ 𝟐.)
𝒃
5. Есть 5 девочек, 5 мальчиков. Сколько существует способов рассадить их за круглым столом так, чтобы мальчики и
девочки чередовались? (Две рассадки считаем одним способом, если соседи у каждого не поменялись.)
6. Сколько существует 6-значных чисел без цифры 7 в записи?
7. Сколько существует 7-значных чисел, у которых хотя бы 3 цифры одинаковые?