Лекции. Основы кибернетики. Кратко

Основы Кибернетики
основные утверждения
Утв. 1 Следующая система тождеств является полной для множества функций над
базисом Б0 : {&, |, отрицания !} :
1. тождества для отрицания &, отрицания | и двойного отрицания
2. коммутативность & и |
3. ассоциативность & и |
4. две дистрибутивности
5. отождествление переменных ((x & !x) и т.п.)
6. подстановка констант
Утв. 2 Способ получения сокращенной ДНФ
1. Взять любую КНФ
2. Провести раскрытие скобок по тождеству дистрибутивности
3. В каждой конъюнкции применить тождества отождествления переменных и
подстановки полученных констант
4. Поглощение слагаемых (1 или повторяющиеся)
Получится сокращенная ДНФ
Утв. 3 ДНФ - пересечение тупиковых ДНФ равно ядру функции.
Утв. 4 (теорема Журавлева) Простая импликанта K не входит в ДНФ объединение тупиковых ДНФ <=> грань NK не является регулярной.
Утв. 5 Если дана линейная функция, то минимальная длина ДНФ, реализующей
эту функцию: K(n) = 2^(n -1), а минимальная сложность: L(n) = n*2^(n-1).
Прим. От Яна
1. Это действительно только для функций без фиктивных переменных
2. Указанные длина и сложность являются максимально возможными для
ДНФ любой функции от n неизвестных
Утв. 6 Функция f монотонна => сокращенная ДНФ = дизъюнкция по всем точкам
al из Nf+ от K+(al)
Nf+ - множество нижних единиц (подмножество Nf)
K+(al) - конъюнкция по всем ali = 1 (координатам точки al) от xi
Нахождение всех неприводимых покрытий множества N элементами из
множества N: Каждому элементу N ставится в соответствие булева переменная yi
= 1, если этот элемент включен в подмножества N. Таким образом для любого
подмножества N определяется функция F(y) = 1, если это подмножество является
покрытием N.
Утв. 7 F(y1, ..., yp) = конъюнкция по всем точкам al из N от дизъюнкции по всем
индексам i : al принадлежит Ni от yi
Следствие: слагаемые сокращенной ДНФ для этой функции соответствуют
неприводимым покрытиям.
Утв. 8 Если T - диагностический тест для матрицы M размером n*m,
то | T | >= ] log2 m [
( ] ... [ - ближайшее сверху целое)
Утв. 9 Если Btn,m - множество матриц размера n*m, первые t строк которых
составляют диагностический тест. Тогда при n >= t >= 2*log2m + phi(m), где
phi(m)>0 и стремится к бесконечности при m -> бесконечности :
| Btn,m | / | Bn*m | -> 1 при m -> бесконечности
то есть почти все матрицы удовлетворяют этой оценке
Утв. 10 Построение градиентных подпокрытий.
Если каждая точка ali встречается более, чем в yp подмножествах. 1/s <= y <= 1, то
число элементов в градиентном подпокрытии d <= 1/y (ln (ys) + 1) + 1.
p - общее число множеств в исходном покрытии
s - число точек (мощность покрываемого множества)
y - гамма
Для любого n и r <= n в n-мерном пространстве существует множество A протыкающее для Grn - множество всех граней ранга r.
Утв. 11 Мощность протыкающего множества A не превосходит (n+1)*2^r.
Утв. 12 Сложность линейной функции ln = x1 + x2 +...+ xn:
L(ln) <= 4*n - 4
LФ(ln) <= 4*n^2
Утв. 13 Существуют схемы S’ и S’’, реализующие дешифратор и мультиплексор и
L(S’) <= 2^n + O( n*2^(n/2) )
T(S’) <= [ log2 n ] + 2
L(S’’) <= 3*2^n + O( n*2^(n/2) )
T(S’’) <= n + [ log2 n ] + 3
Утв. 14. Система Tосн - полная система тождеств в классе SC.
Утв. 15. Для любого полного базиса Б в SфБ существуют бесповторные формулы,
реализующие функции базиса Б0.
Утв. 16. Пусть на каком-либо классе СФЭ задан какой-либо функционал
сложности Q. Утверждается, что 1) (Sc ,Q) линейно моделируется в (SСБ ,Q); 2)
тоже самое верно и в классе формул.
Утв. 17. Класс Sk двухполюсных контактных схем c любым числом переменных и
с функционалом сложности L линейно с коэфф. 1 и сдвигом 0 моделирует
(SДНФ,L).
Утв. 18.
Утв. 19.
Утв. 20. Если подсхема заменяется на эквивалентную, то функционирование
основной схемы не меняется.
Утв. 21. Сложность универсального многогранника в классе КС(ПИ) не
превосходит 2*2^(2^n).
Утв. 22. Функция Шеннона для класса КС удовлетворяет оценке:
Lk(n)(4+o(1))(2n/n).
Утв. 23. Сложность универсального многогранника в классе СФЭ не превосходит
3*2^(2^n)+n.
Утв. 25. Функция Шеннона для класса СФЭ удовлетворяет оценке:
Lс(n)6*(1+o(1))(2n/n).
Утв. 26. Если функция f существенно зависит от всех своих n переменных, то
Lф(f) Lc(f)(n-1).
Утв. 27. Если функция f существенно зависит от всех своих n переменных, то
Lk(f)n; а если f является монотонной по первым k переменным, но не является
симметрической по этим переменным, то LKПИ(f) n+k .
Утв. 29: О нижних оценках функций Шеннона в классах СФЭ, КС, формул.
Утв. 30. О глубине функций в классах СФЭ, КС, формул: T(n) n-log(log(n))+o(1).
Утв. 31. Для любой l-местной функции f и любых чисел s1,s2,...,sl найдется fуниверсальная матрица M(h,q), где h= s1+s2+...+sl, и q = 2s1+2s2+...+2sl.
Утв. 32. Функция Шеннона для класса СФЭ удовлетворяет оценке:
Lс(n)(1+o(1))(2n/n).