В.В. Лакшина, А.М. Силаев ФРАКТАЛЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Поведение финансовых рынков весьма трудно поддается прогнозированию. В связи с этим возникает необходимость построения новых моделей описания ценообразования финансовых активов, основанных, прежде всего, на эмпирически выявленных свойствах. Фракталы – это эффективный инструмент для построения финансовых моделей и количественной оценки свойств финансовых рядов, потому что свойства, присущие финансовым рядам, естественным образом вытекают из самой природы фракталов, а не введены в модель искусственно. К тому же фракталы присутствуют во многих природных явлениях, что подтверждено в работе примерами из геологии, гидрологии и экономики. Целью работы является установление соответствия между эмпирическими фактами финансовых рядов и определенными типами фракталов. В 1987 г. французский математик Б. Мандельброт ввел понятие «фрактал». Общепринятого значения этого слова нет, по нестрогому определению Мандельброта: «Фрактал – структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому»1. Приведённое определение отражает важный отличительный признак фрактальных объектов, а именно свойство масштабной инвариантности, т.е. степень их неправильности или фрагментации неизменна во всех масштабах. Другими словами, при изменении масштаба наблюдатель видит ту же самую картину, что и вначале (для регулярных фракталов), или статистически подобную исходной (для случайных). Существует множество разновидностей фракталов, применяемых в различных отраслях знаний, но экономистов интересуют, прежде всего, фракталы, которые моделируют движение цены. Основной характеристикой фракталов является хаусдорфова размерность, которая в отличие от топологической может быть дробной. Существует несколько способов её измерить. Приведём способ, применявшийся при измерении длины береговых линий. Он заключается в измерении длины линии L при различных масштабах и построении полученных точек в логарифмических осях. Если график есть прямая, то объект – фрактал с размерностью d , равной разности единицы и наклона этой линии: log L . d 1 lim 0 log Убедимся теперь, что финансовые временные ряды действительно являются фракталами и посчитаем их размерность. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с. 1 В качестве примера была взята цена акций компании Аэрофлот за 2008–2011 гг. Строились графики движения цен в зависимости от времени для разных временных масштабов и вычислялась длина получившихся линий L. Результаты для цены акций компании Аэрофлот сведены в табл. 1. Таблица 1 Цена акций компании Аэрофлот за 2008–2011 гг. Масштаб 5 мин = 1*5 мин 10 мин = 2*5 мин 15 мин = 3*5 мин 30 мин = 6*5 мин 1 час = 12*5 мин 1 день = 288*5 мин 1 неделя = 2016*5 мин 1 месяц = 8640*5 мин Количество значений 58560 33245 22597 11862 6323 728 152 36 Длина, L 60548,42 34775,13 23860,41 12850,49 7178,02 1108,98 389,84 223,11 Построим график зависимости длины от масштаба в логарифмических осях: 5 10 4 Length 10 3 10 2 10 10 min 30 min 1 hour 1 day 1 week 1 month Time scale Рис. 1. Длина финансового ряда для цены акций компании Аэрофлот за 2008–2011 гг. в зависимости от временного масштаба Полученные точки аппроксимируются прямой с наклоном -0.6188 (коэффициент детерминации 99%). Таким образом, хаусдорфова размерность данного финансового ряда равна 1.6188. Итак, мы убедились на примере, что рассматриваемые финансовые ряды являются фракталами. Хаусдорфова размерность необходима для вычисления показателя Херста H: H = 2 – d, где d – фрактальная размерность. Показатель H носит имя Гарольда Эдвина Херста (1880–1978), английского гидролога, работавшего над измерением зависимости между разливами рек в течение длительных периодов времени. Мандельброт выделяет три типа фракталов в зависимости от поведения показателя H: мультифрактал: Н является функцией времени, которая носит имя Гёльдера; унифрактал: неизменность Н; мезофрактал: промежуточный случай. Известно, что финансовые временные ряды характеризуются так называемыми эмпирическими фактами: тяжёлые хвосты и островершинность в распределении доходностей; эффект дальних корреляций для квадратов доходностей; кластеризация выбросов. Каждый из вышеуказанных типов фракталов реализует ту или иную закономерность финансовых рядов (рис. 2). Рис. 2. Соответствие между эмпирическими фактами и типом фрактала Поясним эту схему на примере мезофрактала. Частным случаем мезофрактала является процесс Леви. Это случайный процесс, в котором приращения независимы и распределены по степенному закону с показателем h. Это означает, наличие больших выбросов, или резких, скачкообразных изменений цен, и их значимость в сравнении с малыми изменениями – по сути, речь идёт о тяжёлых хвостах. На рис. 3 показана реализация, а на рис. 4 гистограмма логарифмических доходностей процесса Леви. Коэффициент эксцесса равен 21.32, т.е. плотность вероятности доходности негауссова и характеризуется острой вершиной и тяжелыми хвостами. 80 60 40 20 0 0 200 400 600 800 1000 Рис. 3. Процесс Леви с показателем H 1,77 14 12 10 8 6 4 2 0 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Рис. 4. Гистограмма логарифмической доходности процесса Леви Для сравнения приведём гистограмму логарифмической дневной доходности акций Coca-Cola за 1962–2010 гг. (рис. 5). 35 30 25 20 15 10 5 0 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Рис. 5. Гистограмма логарифмической дневной доходности акций Coca-Cola за 1962–2010 гг. Зададимся теперь вопросом: каким образом можно интерпретировать полученные размерности или, другими словами, что мы можем узнать о финансовом инструменте, посчитав его размерность? Размерность ряда для цен акций компании Аэрофлот равна d = 1.6188. Полученный в логарифмических осях график представляет собой прямую, её наклон постоянен, поэтому это унифрактал, показатель Херста H AFLT 2 d 0.3812 . Это означает, что данный финансовый инструмент характеризуется сильной антиперсистентностью, т. е. уменьшение в прошлом говорит об увеличении в будущем и наоборот. С помощью мезофракталов можно оценить уровень риска того или иного инструмента путем аппроксимации гистограммы модулей приращений доходности степенным распределением с показателем h (см. выше). Для рассматриваемого примера получим hAFLT = 0.09032, что означает большее количество значительных выбросов и, как следствие, высокий уровень риска. В работе рассмотрено понятие фракталов и их количественная характеристика – хаусдорфова размерность. Четырём основным эмпирическим свойствам финансовых рядов поставлен в соответствие определенный тип фрактала. Вычислена фрактальная размерность для финансового временного ряда. На основании вычисленной размерности выявлены и количественно оценены такие свойства финансовых рядов, как уровень риска и эффект дальних корреляций. Тот факт, что финансовые ряды являются фракталами, позволяет использовать концепцию фрактальной геометрии в фундаментальных исследованиях по выявлению глубинных закономерностей функционирования финансовых рынков в целом, что, несомненно, является стимулом к дальнейшим изысканиям по данной теме.