Математика, 9 – 10 классы

Математика, 9 – 10 классы
Мария Олеговна Авдеева, ученый секретарь Хабаровского отделения ИПМ РАН
Решение текстовых задач с помощью уравнений и их систем
Решение задач на составление уравнений (или систем уравнений) обычно
осуществляется в три этапа: 1) выбор неизвестного, обозначаемого, как правило,
через x (или нескольких неизвестных, обозначаемых x , y , z , …), и составление
уравнения (или системы уравнений), связывающего некоторой зависимостью
выбранное неизвестное с величинами, заданными условием задачи; 2) решение
полученного уравнения (или системы уравнений); 3) отбор решений по смыслу
задачи.
1. Задачи на движение. При решении этих задач принимают следующие
допущения:
1. Если нет специальных оговорок, то движение считают равномерным.
2. Скорость считается величиной положительной.
3. Все переходы на новый режим движения или новое направление движения
считают происходящими мгновенно.
4. Если тело с собственной скоростью x движется по реке, скорость течения
которой равна y , то скорость движения тела по течению считается равной ( x  y ) , а
против течения – равной ( x  y ) .
П р и м е р 1 . Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу
из пунктов A и B и встретились в 70 км от A . Продолжая двигаться с теми же
скоростями, они доехали до A и B и повернули обратно. Второй раз они встретились
в 90 км от B . Найдите расстояние от A до B .
Р е ш е н и е . Пусть x км – расстояние от A до B . Тогда до первой встречи оба
велосипедиста проехали x км, а до второй – 3 x км. Это означает, что до второй
встречи велосипедист, выехавший из A , проделал путь втрое больший чем до первой
встречи, а именно 3  70  210 (км). Поскольку известно, что до второй встречи этот
велосипедист проехал все расстояние от A до B и еще 90 км, то получаем
следующее простое уравнение
x  90  210 .
Откуда находим x  120 .
О т в е т . Расстояние от A до B равно 120 км.
П р и м е р 2 . Пароход от Горького до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани
до Горького 7 суток. Сколько дней будут плыть по течению плоты от Горького до
Астрахани?
Р е ш е н и е . Нам потребуется три неизвестные величины. Пусть v км/ч –
скорость течения реки, u км/ч – скорость парохода, а l км – расстояние от Горького
до Астрахани. Сравнивая время затраченное на прямой путь и обратный, очевидно
получаем, что течение реки направлено от Горького к Астрахани. Тогда по условию
задачи составляем систему из двух уравнений с тремя неизвестными
l  5(u  v)
.

l

7
(
u

v
)

Поскольку требуется найти величину l / v , преобразуем систему следующим образом:
l  5u  5v

5
 7 l  5u  5v

l  5u  5v


5
5u  7 l  5v
и находим необходимое отношение l / v  35 .
О т в е т : 35 дней.

2
 7 l  10v

5u  5 l  5v

7
2. Задачи на совместную работу. Содержание задач такого типа сводится
обычно к следующему. Некоторую работу, объем которой не указан и не является
искомым (например, перепечатка рукописи, рытье котлована, заполнение резервуара
и т.д.), выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно (т.е.
с постоянной для каждого из них производительностью). В таких задачах объем всей
работы, которая должна быть выполнена, принимается за единицу. Время t ,
требующееся для выполнения всей работы, и V - производительность труда, т.е.
величина работы, выполняемой за единицу времени, связаны соотношением V  1 / t .
П р и м е р 3 . В бассейн проведены две трубы разного сечения. Одна –
равномерно подающая, другая – равномерно отводящая воду, причем через первую
бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При
заполненном на 1/3 бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым
спустя 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая
опорожняет бассейн?
Р е ш е н и е . Значения искомых и заданных величин запишем в форме таблицы
Производительность
Труба
Время, ч
Вместимость
труда
Подающая
1
x
1/ x
1 /( x  2)
Отводящая
1
x2
Вместе
8
1/ 3
1 / 24
Поскольку по условию за 8 ч одновременной работы труб выливается ровно 1/3 часть
бассейна, то совместная производительность двух труб составляет 1/24 часть
бассейна, что можно отразить в уравнении
1
1
1

 .
x x  2 24
Равносильное квадратное уравнение x 2  2x  48  0 имеет два корня x1  8 и
x2  6 . Поскольку второй корень отрицательный, то он не удовлетворяет условию
задачи.
О т в е т : первая труба наполняет бассейн за 8 часов, а вторая опорожняет его за
6 часов.
П р и м е р 4 . Бригада рабочих выполнила некоторое задание. Если бригаду
уменьшить на 20 человек, то такое же задание она выполнит на 5 дней позже, чем при
первоначальном составе, а если бригаду увеличить на 15 человек, то она выполнит
задание на 2 дня раньше. Сколько рабочих было в бригаде первоначально и за
сколько дней они выполнили задание?
Р е ш е н и е . Пусть x рабочих выполнили задание за y дней. Тогда объем всего
задания равен xy человеко-дней. По условию задачи этот же объем работы равен
( x  20)( y  5) человеко-дней и ( x  15)( y  2) человеко-дней, поэтому составляем и
решаем систему
 xy  ( x  20)( y  5)

 xy  ( x  15)( y  2)
0  5 x  20 y  100
 
0  2 x  15 y  30
 x  4 y  20
 
7 y  70
 x  60
 
 y  10
О т в е т : в бригаде было 60 человек, которые выполнили задание за 10 дней.
3. Задачи на сплавы и смеси. Решение этих задач связано с понятиями
«концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность» и т.д. и основано
на следующих допущениях:
1. Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны;
2. Не делается различия между литром как единицы емкости и литром как
единицы массы.
Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ A , B и C (которые
имеют массы соответственно m1 , m 2 и m3 , то величина
m1
m
(соответственно 2 ,
m
m
m3
) называется концентрацией вещества A (соответственно B , C ) в смеси.
m
m
m
m
Величина 1  100% (соответственно 2  100 % , 3  100 % ) называется процентным
m
m
m
содержанием вещества A (соответственно B , C ) в смеси. Ясно, что
m1 m2 m3


 1 , то есть от концентрации двух веществ зависит концентрация
m m m
третьего.
При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь
одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются и т.д.)
П р и м е р 5 . Из колбы, содержащей раствор соли, отливают 1 / n раствора в
пробирку и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не
повысится вдвое. После этого получившийся раствор выливают в колбу и смешивают
с оставшимся в ней раствором. В результате содержание соли в растворе повысилось
на p% . Определить процентное содержание соли в первоначальном растворе.
Р е ш е н и е . Удобно будет считать, что в колбе первоначально находится n
условных единиц (в дальнейшем, у.е.) раствора. Предположим, что этот раствор
содержал x% (или
nx
1
у.е.) соли. По условию задачи, в пробирку отлили n   1
100
n
у.е. раствора. После его выпаривания количество соли осталось неизменным, но стало
составлять уже 2x% . При этом объем оставшегося в пробирке раствора равен
x 100
 0,5 у.е. После переливания этого остатка обратно в колбу в ней окажется
100  2 x
nx
у.е. соли.
n  1  0,5  n  0,5 у.е. раствора, в котором по-прежнему содержится
100
Поскольку это количество соли составляет теперь ( x  p)% раствора, то составляем
следующее уравнение
nx n  0,5

 ( x  p)
100
100
Осталось решить его относительно x .
nx  nx  0,5 x  np  0,5 p


nx  (n  0,5)( x  p) .
0,5 x  p(n  0,5)

x  p(2n  1).
О т в е т : первоначальный раствор содержал p(2n  1)% соли.
П р и м е р 6 . Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в
отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей
каждого сплава нужно взять, чтоб получить третий сплав, содержащий те же металлы
в отношении 17:27?
Р е ш е н и е . Пусть для третьего сплава взято x частей первого и y частей
второго. Тогда по содержанию в нем первого металла составляем уравнение
1
2
17
x y 
( x  y)
3
5
17  27

51  44
88  85
x
y
132
220

x 9
 .
y 35
О т в е т : нужно взять 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.
Литература
1. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике:
Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. –
3-е изд., перераб. и доп. – М.: «ABF», 1995.
2. Прасолов В.В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. // М.: МЦНМО, 2005.
3. Сборник задач по математике для поступающих во вузы: Учебное пособие (под
ред. Сканави М.И.) Изд. 6-е // М:Оникс. 2002.
Контрольная работа №1 для учащихся 9 и 10 классов
Приведенные ниже задания являются контрольной работой №1 для учащихся 9 и 10
классов. Каждая задача оценивается в 5 баллов, для зачета нужно набрать не менее
20 баллов.
Правила оформления работ:
Решения по каждому предмету оформляется отдельно. Каждое задание имеет свой
шифр (М9-10.1.1 и т.д.), который указывается перед записью решения.
Переписывать текст задачи не надо, достаточно краткой записи, если это
необходимо. Оформлять решения в порядке следования заданий. Можно присылать
нам столько решений, сколько удалось вам сделать, даже если оказалось
невозможным выполнить всю работу.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ (ХКЗФМШ).
Подробнее познакомиться со школой, ее традициями можно на нашем сайте:
www.khspu.ru/~khpms/. Там же, на форуме, можно проконсультироваться по
вопросам, связанным с решением задач (и не только).
9-10.1.1. В полдень из пункта А в пункт Б выехал «Москвич». Одновременно из Б
в А по то же дороге выехали «Жигули». Через час «Москвич» находился в полпути от
А до «Жигулей». Когда он окажется на полпути от «Жигулей» до Б?
9-10.1.2. Сначала катер шел a км по озеру, а затем половину этого расстояния по
реке, впадающей в озеро. Весь рейс продолжался 1 ч. Найти собственную скорость
катера, если скорость течения реки равна c км/ч.
9-10.1.3. Два поезда длиной в 490 м и 210 м равномерно движутся навстречу друг
другу по параллельным путям. Машинист одного из них заметил встречный состав на
расстоянии 700 м. После этого через 27 с поезда встретились. Определить скорость
каждого поезда, если известно, что один из них проезжает мимо светофора на 35 с
дольше другого.
9-10.1.4. Рукопись в 80 страниц отдана двум машинисткам. Если первая
машинистка начнет перепечатывать рукопись через 3 часа после второй, то каждая из
них перепечатает по половине рукописи. Если же обе машинистки начнут работать
одновременно, то через 5 ч останутся неперепечатанными 15 страниц. За какое время
может перепечатать рукопись каждая машинистка в отдельности?
9-10.1.5. Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и третья бригады
обработали древесины в 2 раза больше, чем вторая, а вторая и третья – в три раза
больше, чем первая. Какая бригада победила в этом соревновании?
9-10.1.6. В одном стакане 5 ложек чая, а в другом 5 ложек молока. Ложку молока
перелили из второго стакана в первый, а затем ложку чая с молоком перелили
обратно во второй стакан. Чего оказалось больше: чая в молоке или молока в чае?
9-10.1.7. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной
массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с 75% содержанием воды?
9-10.1.8. Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20
г и сплавить их с 2 г олова, то во вновь получившемся сплаве масса меди будет равна
массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г цинка,
то в этом новом сплаве масса олова будет равна массе цинка. Определить в процентах
состав первоначального сплава.