лабораторная работа м-7 изучение колебаний струны

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-7
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
ОБОРУДОВАНИЕ: установка, линейка, технические весы.
Пусть дана струна длины l, сечения S, плотности ρ , закрепленная на
концах. Для грубой оценки частоты ее свободных колебаний идеализируем задачу, полагая, что масса струны m  ρlS сосредоточена в ее середине и что натяжение струны можно считать постоянным, тогда при
перемещении массы на небольшой отрезок а (рис.1) возникает возвращающая сила:
f  2 F sin α  2 Ftgα  4 F
a
 ka ,
l
(1)
поэтому собственная частота такой идеализированной струны составит:
ω
k
F
2
.
m
ml
(1а)
Очевидно, наш приближенный результат приуменьшен, так как
натяжение при деформации растет, следовательно, мы взяли уменьшенное значение жесткости. Далее мы приписали максимальную скорость
всей массе струны.
F
F

a
l
Рис. 1
В действительности большая часть массы будет двигаться с меньшей
скоростью. Значит в выражение для частоты должна войти меньшая масса. Обе эти причины ведут к заниженному значению частоты. Истинную
частоту можно найти, зная, что на струне должна уложиться половина
λ
длины l  .
2
1
Действительно, в закрепленной с обоих концов натянутой струне
при возбуждении поперечных колебаний устанавливается стояние волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы.
Поэтому в струне с заметной интенсивностью возбуждаются только такие колебания, половина длины которых укладывается на длине струны
целое число раз. Отсюда вытекает условие:
ln
2l
x
λ
или λ  ,τ  .
n
υ
2
(2)
Известно, что уравнение плоской волны можно записать следующим
образом:
 x
ψx, t   a cos ω(t  τ)  a cos ω t   ,
 υ
(3)
где ψx, t  – смещение колеблющейся точки,
 – скорость распространения волны (фазовая скорость),
x – координаты.
ω
Обозначим отношение
через k и назовем его волновым числом.
υ
Тогда уравнение плоской волны получим в виде:
k
ω
;ψ( x, t )  a cos(ωt  kx) .
υ
(4)
Оказывается, что уравнение любой волны есть решение некоторого
дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные
по координате и времени от функции (3), описывающей плоскую волну,
продифференцировав дважды по каждой из переменных, получим:
d 2ψ
 ω2 a cosωt  kx  ω2 ψ
dt 2
d 2ψ
 k 2 a cosωt  kx  k 2 ψ.
dx2
(5)
Теперь, сопоставив (4) и (5), находим, что
d 2ψ k 2 d 2ψ
.

dx2 ω2 dt 2
Учитывая, что
(6)
ω
k2
1
 k и 2  2 , получаем окончательно:
ω
υ
υ
2
d 2ψ 1 d 2ψ
.

dx2 υ2 dt 2
(7)
Уравнение (7) есть искомое волновое уравнение. Скорость распространения упругих волн должна зависеть от упругих свойств среды, в
которой они распространяются. Найдем эту зависимость. Пусть в
направлении оси X распространяется волна. Выделим в среде (в нашем
случае в струне) цилиндрический объем длиной x с площадью основания, равной 1 (рис.2).
+ 

x+ x
x
Рис. 2
Смещение  частиц в разных x для каждого момента времени оказывается различным. Если основание цилиндра с координатой x имеет в
некоторый момент времени смещение , то смещение основания с координатой x  x будет  следовательно, рассматриваемый объем

деформируется, он получает сдвиг  или относительный сдвиг
–
x
эта величина дает среднюю деформацию.
В силу того, что  меняется с изменением х не по линейному закону,
истинная деформация в различных сечениях струны (цилиндра) будет
неодинакова. Чтобы получить деформацию  в сечении х, нужно устреd
мить х к нулю, следовательно, ε 
. Наличие деформации сдвига
dx
свидетельствует о существовании касательного напряжения , при малых деформациях пропорционального величине деформации:
σ  Gε  G
d
,
dx
(8)
3
где G –модуль сдвига среды (материала струны).
Напишем уравнение движения для нашего цилиндра. Беря х очень
d 2
. Масса цилиндра равdt 2
на х, где  - плотность недеформированной струны.
Сила, действующая на цилиндр, равна разности касательных напряжений в сечении x  x и в сечении х:
малым, ускорение цилиндра можно принять
 dy 
d  dy 
 dy  
f  G  
     G   Dx 
dx
dx
dx




 dx 
x  Dx
x

2
d y
 G 2 Dx.
dx
(9)
Подставляя массу, ускорение и силу в уравнение второго закона
Ньютона, получим:
ρx
d 2ψ
d 2ψ

G
x .
dt 2
dx2
(10)
Сокращая на х, получаем уравнение:
d 2ψ ρ d 2ψ
,

dx2 G dt 2
(11)
которое представляет собой волновое уравнение. Сопоставляя (7) и
(11), находим, что
υ
G

ρ
F

ρS
F
,
񑏒 .
(12)
где F - сила натяжения струны,
ρ‘’  ρS –линейная плотность струны, численно равная массе металла, приходящегося на единицу длины.
λ
, равенство, связывающее 
2
υ
со скоростью распространения деформации λ  Tυ или ν  , получаем,
λ
что частоты колебаний струны при резонансе будут равны:
Теперь, имея условие резонанса l  n
4
hυ
.
(13)
2l
Подставив в это выражение скорость распространения деформации,
получим:
ν
ν
n
2l
F
,
񑏒
(14)
где n –целые числа при n = 1,  - основная частота.
Частоты, отвечающие n = 2,3..., носят название обертонов (первый
обертон соответствует n = 2, второй n = 3 и т.д.).
Прибор, с помощью которого производится изучение колебаний
струны, представлен на рис.3. Натяжение струны осуществляется грузом, подвешенным к нижней части струны.
Периодически вынуждающая сила действует на струну посредством
Ì
Ð

Рис. 3
магнитного поля электромагнита, питаемого переменным током. При
подаче на обмотку электромагнита переменного напряжения струна
начинает колебаться. В момент совпадения частоты переменного тока
с одной из собственных частот струны в последней устанавливается стоячая волна. Зная длину струны l, вес груза и плотность материала струны, можно вычислить частоту колебаний струны по формуле (14).
ЗАДАНИЕ И ОТЧЕТНОСТЬ
1. Подвесьте к струне груз F и включите питание магнита.
2. Плавно раздвигая опоры, начиная от электромагнита, найдите их
положение, при котором наблюдается резонанс колебаний струны.
3. Измерьте расстояние между точками опоры струны (l).
4. Повторите п.п.1-3 для других грузов (не менее 4).
5
5. Рассчитайте линейную плотность струны, измерив диаметр струны.
6. Определите по формуле (14) частоту колебаний струны.
7. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.
Таблица
№№
F
l

n
1
2
3
8. Постройте график зависимости между длиной струны, где наблюдается резонанс, и ее натяжением, используя опытные данные п.п. 1-4 в
координатах.
l
F
9. Повторите п.п.1-3 для неизвестного груза и по графику найдите
вес данного груза.
10. Взвесьте неизвестный груз и сравните полученные результаты.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое продольная волна, поперечная волна?
2. Каковы основные различия между бегущей и стоячей волнами?
3. Уравнение стоячей и бегущей волн?
6
4. Какова зависимость смещения точек стоячей волны от времени?
5. Поясните, каким образом находятся координаты узлов и пучностей стоячей волны.
РАСЧЕТЫ И ВЫВОДЫ
7