Методы расчета электрических цепей постоянного тока

ХКЗФМШ – 2011/12
1
ФИЗИКА, 11 класс
Гаврилов Андрей Владимирович, ДВГГУ
Методы расчета электрических цепей постоянного тока
При
решении
задач,
в
которых
необходимо
провести
расчет
электрической цепи, наиболее часто используются следующие методы: метод
свертывания,
метод
подобных
(пропорциональных)
величин,
правила
Кирхгофа, метод двух узлов и метод наложения токов.
Какой из методов придется применить в данной конкретной задаче,
определяется ее условием и структурой рассчитываемой цепи. Так, если цепь
содержит один источник тока, то можно использовать метод свертывания или
метод подобных (пропорциональных) величин. Если цепь содержит два и более
источника – правила Кирхгофа, метод наложения токов или метод двух узлов.
Рассмотрим перечисленные методы на примере решения конкретных
задач.
Методы расчета цепей с одним источником
Метод свертывания
Согласно методу свертывания, сложная электрическая схема поэтапно
упрощается путем замены ее участков последовательно и параллельно
соединенных
сопротивлений
соответствующими
эквивалентными
сопротивлениями. В результате преобразования получают схему с одним
эквивалентным
Рассчитывается
сопротивлением, подключенным к
ток,
протекающий
в
клеммам источника.
преобразованной
схеме
через
эквивалентное сопротивление, а затем возвращаются поэтапно к исходной
схеме, определяя токи, протекающие через ее элементы.
Задача 1. Определите напряжение на участке АВ в цепи, показанной на
рисунке, если R1=R3 = R4 = R6 = 1 Ом, R2 = R5 = 4 Ом. Напряжение источника
U=4,4 В.
Хабаровск - 2011
Физика – 11: Методы расчета электрических сетей
2
Решение. Из анализа схемы следует, что резисторы R4, R5 и R6 соединены
последовательно и эквивалентное сопротивление этого участка цепи R’ =
R4+R5+R6=6Ом. Изобразим эквивалентную схему.
Как видно из рисунка, в новой схеме резисторы R2 и
R’ соединены параллельно. Эквивалентное сопротивление
этого участка схемы Rab 
R2 R '
=2,4 Ом. Заменив участок
R2  R '
параллельно соединенных резисторов – одним, получим конечную схему. К
клеммам источника подключен резистор Re = R1+Rab+R3 = 4,4 Ом.
Ток протекающий в такой цепи I 
U
= 1А.
Re
Напряжение на участке ab U ab  IRab = 2,4 В. Тогда ток,
протекающий по участку АВ I AB 
U ab
U ab
= 0,4 А.

'
R4  R5  R6
R
Для нахождения напряжения на участке АВ U AB  I AB R5 = 1,6 В.
Метод подобных (пропорциональных) величин
В этом методе задаются произвольным значением тока, протекающим
через один из элементов цепи. Выбирается, как правило, элемент, наиболее
удаленный от источника.
Затем поэтапно рассчитываются токи, протекающие через другие
элементы цепи, и в итоге определяется напряжения источника при выбранном
значении тока. Если вычисленное значение напряжения источника в к раз
отличается от известного из условия задачи, то во столько раз
реально
протекающие через элементы цепи токи, отличаются от рассчитанных.
Рассмотрим в качестве примера решение задачи 1.
Наиболее
удаленным
от
источника
является
сопротивление
R5.
'
Предположим, что через это сопротивление протекает ток в I AB
 1A . Тогда
А.В. Гаврилов
ХКЗФМШ – 2011/12
3
'
U ' ab  I AB
( R4  R5  R6 ) =6
В.
В
этом
случае,
ток,
протекающий
через
'
U ab
'
сопротивление R2 I 
=1,5 А. Полный ток в цепи I '  I AB
 I 2' =2,5 А. Тогда,
R2
'
2
'
U '  I ' R1  U ab
 I ' R3 =2,5+6+2,5=11 В. Находим отношение
U
 k  0,4 и умножаем
U'
'
на этот коэффициент полученные значения токов. I AB  kI AB
=0,4 А, I 2  kI2' = 0,6
А и I  kI ' = 1 А. Находим U AB  I AB R5 = 1,6 В.
Методы расчета электрических цепей, содержащих несколько
источников
Правила Кирхгофа
Рассмотрим
применение
правил
Кирхгофа
на
примере
решения
следующей задачи.
Задача 2. В схеме, приведенной на рис. , определите ток
текущий через амперметр, если R = 10 Ом, внутренние
сопротивления источников ЭДС r1 = r2 = r3 = 1 Ом, E1 = E2
= E3 = 3 В.Амперметр считать идеальным.
Решение. Изобразим схему, эквивалентную заданной,
указав на ней внутренние сопротивления источников ЭДС, обозначения узлов,
направления действия ЭДС, направления обхода контуров и выбранные
произвольно направления протекающих токов. Полученная
эквивалентная
схема содержит два узла, следовательно достаточно записать одно уравнение
первого правила Кирхгофа для любого из узлов. Выбираем узел 2.Для этого
узла I1 + I2 – I3 =0. Запишем уравнения второго правила Кирхгофа для контуров
2А1 и 1В2
I1r1 + I1r2 + I3R = E1 + E2 и I2r3 – I1r1 – I1r2 =
E3 – E1 – E2. Таким образом, получена система из трех
уравнений с тремя неизвестными токами.
I1  I 2  I 3  0
I 1 r1  I 1 r2  I 3 R  E1  E 2
I 2 r3  I 1 r1  I 1 r3  E3  E1  E 2
Подставим численные значения
Хабаровск - 2011
Физика – 11: Методы расчета электрических сетей
4
I1  I 2  I 3  0
I 1  I 1  10 I 3  6
I 2  I 1  I 1  3
9
8
3
4
3
8
Решая систему, получаем значения всех токов: I 1  A, I 2   A, I 3  A .
То, что ток I2 имеет отрицательный знак означает, что действительное
направление тока противоположно выбранному. Таким образом, через
9
8
амперметр протекает ток I 1  A .
Следует отметить, что правила Кирхгофа можно использовать не только
при анализе цепей, содержащих два или более источников, но и для цепей с
одним источником ЭДС. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Задача 3. Определите общее сопротивление цепи между точками А и В
Решение.
Для решения задачи, как обычно, мысленно подключим к точками А и В
источник тока с напряжением U0.
Из анализа схемы видно, что приведенная цепь имеет скрытую
симметрию – она переходит сама в себя при двух последовательных
отображениях во взаимно перпендикулярных плоскостях. Следовательно, токи
текущие через соответствующие элементы цепи равны. Обозначим через I –
токи, текущие через горизонтально расположенные резисторы сопротивлением
2 Ом, а через J – через вертикально расположенные резисторы 2 Ом.
А.В. Гаврилов
ХКЗФМШ – 2011/12
5
Тогда для контура АСЕ при обходе его по часовой стрелке справедливо
уравнение:
1Ом ( I  J )  2ОмJ  3Ом ( I  J ) ,
а для контура ACDB содержащего источник U0:
1Ом( I  J )  2ОмI  3Ом( I  J )  U 0 .
Решая уравнения, получаем J 
U0
I
I
3
16Ом
и R
U0 8
 Ом
2I 3
Не всегда решение задачи оптимально при использовании правил
Кирхгофа. В некоторых случаях ответ более просто можно получить используя
метод наложения токов или метод двух узлов.
Метод наложения токов
В методе наложения токов считается, что каждый из источников ЭДС
создает в любой ветви цепи свой ток, независимо от того, если другие
источники или их нет. При использовании данного метода из схемы поочередно
исключаются все источники за исключением одного. Исключаемые источники
заменяются проводником, если источник идеальный, или соответствующим ему
внутренним сопротивлением, если источник реальный. Результирующий ток
равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником.
Рассмотрим пример решения задачи методом наложения токов.
Задача 4. Определите напряжение на резисторе R в схеме, показанной на
рисунке, если E1 = 180 В а E2 = 90 В.Источники ЭДС – идеальные.
Решение. Изобразим схему, эквивалентную исходной из
которой исключен источник Е2. Ток I1 протекает через
резистор
сопротивлением
R
с
лева
на
право.
Эквивалентное сопротивление цепи 3R. Тогда, полный ток
I
E1
. Так как резисторы сопротивлением 2R на схеме
3R
включены параллельно, то через резистор R протекает ток
I1 
E1
.
6R
Хабаровск - 2011
Физика – 11: Методы расчета электрических сетей
6
Исключим из схемы источник E1. В этом случает ток I2 протекает через
резистор R с право на лево. Очевидно, что величина этого тока I 2 
E2
. Так как
6R
токи через резистор R протекают в разных направлениях, то результирующий
ток
I = I1 – I2=
1
1
( E1  E 2 ) Напряжение на резисторе U  IR  ( E1  E 2 )  15 В.
6R
6
Метод двух узлов
Метод двух узлов является частным методом узловых потенциалов и
применяется при анализе электрической цепи, содержащей два узла. Зная
разность узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях схемы.
Для удобства расчетов потенциал одного из узлов принимают равным 0.
Обычно за 0 принимают потенциал узла, соединенного с отрицательной
клеммой источника тока
Задача
5.
Определите
ток,
который
показывает
амперметр, если R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R = 100 Ом, E1 =
E2 = 10 В. Амперметр и источники ЭДС считать
идеальными.
Решение. Схема содержит два узла. Примем потенциал узла
2 φ2 =0. Тогда U12 = φ1 - φ2 = φ1.
Ток, протекающий через амперметр I 
U 12 1

. По первому правилу
R
R
Кирхгофа I  I1  I 2 .
Для определения токов I 1 и I 2 используем закон Ома для неоднородного
участка цепи. I 
1   2  E
R
. (Знак «+» ставится в том случае, если направление
действующей ЭДС совпадает с направлением тока и «–» если направление тока
противоположно направлению действующей ЭДС.) В данной формуле R –
полное (с учетом внутреннего сопротивления источника ЭДС) сопротивление
А.В. Гаврилов
ХКЗФМШ – 2011/12
7
участка цепи. Таким образом,
выражение, получаем
I1 
 1  E1
R1
и
I2 
 1  E 2
.
R2
E1
 E2
Подставляя
1  1  E1  1  E 2
=
+
.
R
R1
R2
Для потенциала 1-го узла получаем 1 
R1
R2
1
1 1


R1 R2 R
= 9,375 В.
Следовательно, амперметр показывает ток 0, 09375 А.
Задачи для самостоятельного решения
Предлагаемые здесь задачи являются контрольной работой №1 для
учащихся 11 классов. Решите эти задачи, запишите решения в отдельную (от
физики и информатики) тетрадь. Укажите на обложке следующую информацию
о себе:
1. Фамилия, имя, класс, профиль класса (например: Пупкин Василий,11 кл.,
математический)
2. Индекс, адрес места жительства, электронная почта (если есть), телефон
(домашний или мобильный)
3. Данные о школе (например: МБОУ №1 п. Бикин)
4. Фамилия, И. О. учителя математики (например: учитель математики
Петрова М.И.)
Задача 1. Найдите сопротивление цепи между точками А и В, если R1 = R5 = 4
Ом, R3 = R4 = 2 Ом, R2 = 1 Ом.
Задача 2. На рисунке изображена электрическая цепь, состоящая из 6-ти
одинаковых звеньев. Все сопротивления одинаковые. На входное звено подают
напряжение от источника тока и
амперметр А показывает ток
I=8,9А. Какой ток показывает
амперметр
А0?
Амперметры
считать идеальными.
Хабаровск - 2011
8
Физика – 11: Методы расчета электрических сетей
Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке, r1 = 1 кОм, r2 = 2 кОм, R = 3 кОм.
Ток через амперметр при замкнутом ключе К1 и разомкнутом ключе К2
совпадает с током через амперметр при замкнутом ключе К2 и разомкнутом
ключе К1 и составляет Iо. Найти ток I через амперметр в случае, когда
замкнуты оба ключа.
Задача 4. Какое напряжение покажет вольтметр,
включенный в схему (Рис.), если его внутреннее
сопротивление 10 кОм. Е1 = Е2 = Е3 =10 В, R1 = 1
кОм, R2 = 2 кОм, R3 = 3 кОм. Источники тока –
идеальные.
Задача 5. Каким должно быть соотношение
между сопротивлениями и ЭДС в схеме, указанной
на рис., чтобы ток через первый источник был
равен нулю?
А.В. Гаврилов