Первообразная Функция F называется первообразной для функции f на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка верно равенство F '(x)=f(x). Если функция у=F(x) является первообразной для функции y=f(x) на некотором промежутке, то и функция y=F(x)+C (С – постоянная) является первообразной для функции f на этом промежутке. Функция f k (постоянная) Общий вид первообразных для f kx+C xn nZ, n - 1 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 +C 1 sin x cos x 1 cos2 𝑥 1 sin2 𝑥 - cos x+C sin x+C tg x+C - ctg x+C √𝑥 2√𝑥+C Правила нахождения первообразных Правило 1. Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Правило 2. Если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf. Правило 3. Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, 1 причем k0, то 𝐹(𝑘𝑥 + 𝑏) - первообразная для f(kx+b). 𝑘 Примеры решения задач Пример 1. Доказать, что первообразной для функции f(x)=2x – 3 является функция F(x)=x2 – 3x. Решение. F ‘(x)=(x2 – 3x)’=2x – 3=f(x). Ответ: F ‘(x)=f(x). Пример 2. Для функции f(x)=3x2 – 2 найдите первообразную, график которой проходит через точку Р( - 1; 0). Решение. F(x)=x3- 2x+C. Зная, что график функции у=F(x) проходит через точку Р( - 1; 0), получим – 1+2+С=0, откуда С= - 1. Следовательно, F(x)=x3- 2x - 1. Ответ: F(x)=x3- 2x – 1 Пример 3. Найти общий вид первообразной для функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + Решение. Так как для х3 одна из первообразных есть 1 𝑥4 4 , а для 1 𝑥2 1 𝑥2 . одной из первообразных является − , то одной из первообразных для функции 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑥4 𝑥 4 будет 2 𝑥 1 𝑥4 𝑥 4 − . Т.е. F(x)= 1 − +C. 𝑥 Ответ: 𝑥4 4 1 − +C 𝑥 Упражнения 1. Найдите общий вид первообразных для функции: 1) 𝑓(𝑥) = 4 sin 𝑥 + cos 3𝑥 3) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥4 − 2) 𝑓(𝑥) = 1 cos2 𝑥 4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 −5 + 𝑥 2+√3 2√𝑥 5) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 7) 𝑓(𝑥) = 1 6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos 2𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 + 3 8) 𝑓(𝑥) = sin 3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 9) 𝑓(𝑥) = (4 − 5𝑥)3 − 1 (2𝑥−1)3 10) 𝑓(𝑥) = 2 + 2 cos2 𝑥 2 3 𝑥−1 2. Найдите общий вид первообразных для функции: 1) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥 4 2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + cos 𝑥 3) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 4) 𝑓(𝑥) = −3 5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 6 6) 𝑓(𝑥) = 8) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 9) 𝑓(𝑥) = (4 − 5𝑥)3 − 7) 𝑓(𝑥) = 1 − 1 𝑥4 10) 𝑓(𝑥) = 2 + 1 𝑥 3 −2 1 (2𝑥−1)3 3 𝑥−1 3. Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку М: 2 1 𝑥 𝑒 2) 𝑓(𝑥) = (2 − 3𝑥)2 , 𝑀(1; 2) 1) 𝑓(𝑥) = , 𝑀( ; 2) 𝜋 3) 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥, 𝑀( ; −2) 4 𝜋 𝜋 2 2 𝜋 4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 −2 + cos 𝑥 , 𝑀( ; − ) 𝜋 5) 𝑓(𝑥) = √2 cos 𝑥, 𝑀 ( ; 2) 6) 𝑓(𝑥) = 2 cos 𝑥, 𝑀(− ; 1) 7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 −4 , 𝑀(2; −3) 8) 𝑓(𝑥) = − 9) 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2 , 𝑀(−3; 9) 10) 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥, 𝑀(0; 1) 4 2 1 √𝑥+1 , 𝑀(0; 3) 4. Запишите уравнение кривой: 1) Проходящей через точку А(2; 3), если угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х равен 3х2 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 5. Является ли функция F первообразной для функции f на R: 1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 3) 𝑓(𝑥) = − 1 𝑥3 − cos 𝑥, 𝐹(𝑥) = 1 𝑥2 4) 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 + 3, 𝐹(𝑥) = − 5) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 4 − sin 𝑥 cos 2𝑥 2 + 3𝑥 + 𝑥, 𝐹(𝑥) = 𝑥 3 + 1 6) 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 5, 𝐹(𝑥) = − 𝑥4 4 + 5𝑥 + 2 7) 𝑓(𝑥) = 1 − sin 𝑥, 𝐹(𝑥) = 𝑥 + cos 𝑥 𝑥 𝑥 2 2 8) 𝑓(𝑥) = − cos + 1, 𝐹(𝑥) = −2 sin + 𝑥 9) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 3 , 𝐹(𝑥) = 5 − 𝑥 4 , 10) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, 𝐹(𝑥) = 3 − sin 𝑥 6. Для функции f найдите первообразную F, принимающее заданное значение в данной точке: 1) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − cos 𝑥, 𝐹(𝜋) = 1 3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5, 𝐹(1) = −2 5) 𝑓(𝑥) = 7) 𝑓(𝑥) = 1 𝑥2 1 2) 𝑓(𝑥) = 4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 3 − 1 √𝑥−2 3 𝑥2 , 𝐹(3) = 5 , 𝐹(6) = 10 , 𝐹 ( ) = −12 2 6) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝐹(−𝜋) = −1 1 8) cos2 𝑥 𝜋 , 𝐹( ) = 0 4 9) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , 𝐹(−1) = 2 10) 7. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке: 1) 𝐹(𝑥) = 𝑥 5 , 𝑓(𝑥) = 5𝑥 4 , 𝑥 ∈ (−∞; +∞) 2) 𝐹(𝑥) = 0,5 cos 2𝑥 , 𝑓(𝑥) = − sin 2𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅 3) 𝐹(𝑥) = 𝑥 −3 , 𝑓(𝑥) = −3𝑥 −4 , 𝑥 ∈ (0; +∞) 4) 𝐹(𝑥) = sin 3𝑥 , 𝑓(𝑥) = 3 cos 3𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑅 5) 𝐹(𝑥) = 𝑥7 7 , 𝑓(𝑥) = 𝑥 6 , 𝑥 ∈ (−∞; +∞) 6) 𝐹(𝑥) = 4𝑥 5 , 𝑓(𝑥) = 20𝑥 4 , 𝑥 ∈ (−∞; +∞) 7) 𝐹(𝑥) = − 𝑥 −6 6 , 𝑓(𝑥) = 𝑥 −7 , 𝑥 ∈ (0; +∞) 8) 𝐹(𝑥) = 4𝑥√𝑥, 𝑓(𝑥) = 6√𝑥, 𝑥 ∈ (0; +∞)