Лекция 9. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Лекция 9.
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Продольные силы при растяжении и сжатии. Построение эпюр продольных сил
Когда к стержню приложены по концам две равные противоположно направленные силы,
действующие по его оси, стержень растянут или сжат. Собственная сила тяжести стержня в
большинстве случаев невелика по сравнению с действующими на него силами и ею можно
пренебречь при определении напряжений и деформаций.
Определим внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержня, растянутого двумя
равными силами F (рис. 64, а). Рассечем стержень произвольным поперечным сечением I — I и,
рассматривая равновесие нижней части (рис. 64, б), найдем величину продольной силы:
В случае растяжения продольную силу N будем считать положительной, при сжатии—
отрицательной. Изменение продольной силы по длине стержня удобно представить в виде
диаграммы, называемой эпюрой продольных сил.
Эпюра продольных сил для стержня, рассмотренного выше, построена на рис. 64, в. Она
изображается прямоугольником, так как значение продольной силы одинаково во всех
сечениях. Однако продольная сила может изменяться по длине стержня. Это имеет место,
например, в случае, когда стержень подвергается действию системы внешних сил,
приложенных не только к его торцам, но и в промежуточных сечениях.
Рассмотрим построение эпюры продольных сил на примере.
Пример. Стержень закреплен одним концом и нагружен приложенными вдоль оси силами F 1,
F2, F3 (рис. 65, а). Построить для этого стержня эпюру продольных сил.
Решение. В защемленном сечении возникает реакция R, которую можно определить из
уравнения равновесия:
Разделим стержень на участки, границы которых определяются точками приложения внешних
сил. Всего таких участков три (рис. 65, а). Пользуясь методом сечений, определим продольные
силы на каждом участке. Проведем сечение на первом участке и рассмотрим правую
отсеченную часть стержня (рис. 65, б):
N1 = F1.
Рассматривая левую отсеченную часть стержня, найдем (рис. 65, б)
Но из условия равновесия R = F3 + F2 – F3.
Подставив значение R в выражение продольной силы, для первой части стержня получим
Значение продольной силы в пределах первого участка не зависит от того, какую из
отсеченных частей мы рассматривали. Очевидно, что целесообразнее всегда рассматривать ту
часть стержня, к которой приложено меньше сил. Проводя сечения в пределах второго и
третьего участков, аналогично найдем:
Эпюра продольных сил построена на рис. 65, г.
Упражнение 1
1. Различаются ли внутренние силовые факторы в поперечных сечениях брусьев, показанных
на рис. 66, а и 66, б?
А. Продольная сила для стержня на рис. 66, а в два раза больше.
Б. Продольные силы одинаковы.
2. На рис. 67 изображена схема нагружения стержня и приведена соответствующая эпюра
продольных сил. Укажите на эпюре величину продольных сил и их знаки для каждого участка
стержня.
3. Какая из эпюр, приведенных на рис, 68, соответствует заданной нагрузке стержня?
А. Изображенная на рис. 68, а.
Б. На рис. 68, б. В,
На рис. 68, в,
Напряжения в поперечных сечениях растянутого (сжатого) стержня
При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные
сечения, достаточно удаленные от точек приложения внешних сил, остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют гипотезой
плоских сечений. На основании сказанного можно заключить, что все точки какого-либо
поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения
распределяются по сечению равномерно (см. рис. 57). Эти напряжения перпендикулярны
поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем,
разделив величину продольной силы N на площадь А,
Продольная сила N с помощью метода сечений всегда может быть выражена через внешние
силы. В формулу (47) следует подставлять алгебраическое значение N, т. е. со знаком плюс в
случае растяжения и со знаком минус в случае сжатия.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии
Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспечена, если для каждого его
поперечного сечения наибольшее расчетное (рабочее) напряжение не превосходит
допускаемого [σ],
где N — абсолютное значение продольной силы в сечении; А — площадь поперечного сечения;
[  ] —допускаемое напряжение при растяжении или сжатии для материала стержня.
С помощью формулы (48) решается три вида задач (выполняется три вида расчетов).
1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силе N и площади
поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с
допускаемым непосредственно по формуле (48).
Превышение расчетного (рабочего) напряжения по сравнению с допускаемым не должно быть
больше 5 %, иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной.
В случаях, когда рабочие напряжения значительно ниже допускаемых   [ ] получаются
неэкономичные конструкции с чрезмерным, необоснованным расходом материала. Такие решения являются нерациональными. Следует стремиться к максимальному использованию
прочности материала и снижению материалоемкости конструкций.
Проверочный расчет деталей машин часто проводят в другой форме. Определяют фактический
(расчетный) коэффициент запаса, исходя из известных значений предельного (опасного)
напряжения  пред и вычисленного значения рабочего (расчетного) напряжения   N / A , и
сравнивают его с требуемым коэффициентом запаса [n], т. е. условие прочности выражают
неравенством
2. Подбор сечения (проектный расчет). Исходя из условия (48), можно определить
необходимые размеры сечения, зная продольную силу и допускаемое напряжение. Решив
неравенство (48) относительно A, получим
3. Определение допускаемой продольной силы. Допускаемое значение продольной силы в
поперечном сечении стержня можно найти по формуле
Допускаемые напряжения назначаются на основе результатов механических испытаний
образцов соответствующих материалов.
Значения допускаемых напряжений для некоторых материалов приведены в табл. 1.
Пример. Для заданного ступенчатого бруса, изготовленного из стали марки СтЗ (рис. 69, а)
построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине; проверить брус на
прочность. Допускаемое напряжение для материала бруса согласно табл. 1 [  ] = = 160 МПа.
Решение. Разобьем брус на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границы
участков определяются точками приложения внешних сил или местами изменения размеров
поперечного сечения. Всего по длине бруса будет пять участков. Проводя сечения и отбрасывая
левые части стержня, можно определить продольные силы в его поперечных сечениях без
вычисления опорных реакций в заделке.
Проводим сечения в пределах первого участка, из условий равновесия выражаем продольную
силу через внешние силы, приложенные к оставленной части, N1 = F1 = 80 кН. Аналогично для
второго участка N2 = F1 = 80 кН.
На первом и втором участках брус растянут.
Проводим сечения на третьем и четвертом участках и находим
На третьем и четвертом участках брус сжат. Наконец, для пятого участка имеем
т.е. на пятом участке брус растянут.
Эпюра продольных сил построена на рис. 69, б. Чтобы определить напряжения в поперечных
сечениях бруса, нужно разделить числовые значения продольных сил на площади этих сечений.
Для первого участка (площадь сечения А1 = 2А = 1000 мм2 = 10-3 м2)
для второго
А = 500 мм2 = 0,5-3 м2)
для третьего
сечения А3 = А = 500 мм2 = 0,5-3 м2)
участка (площадь сечения A2 =
участка
(площадь
для четвертого участка (площадь сечения A4=1,6А = 800 мм2 = = 0,8-3 м2)
для пятого участка (площадь сечения А5 = 1,6A = 800 мм2 = 0,810-3 м2)
Эпюра нормальных напряжений по длине бруса построена на рис. 69, в. Наибольшее рабочее
напряжение возникает в пределах второго участка  = 160 МПа. Сопоставив его с,
допускаемым напряжением, обнаруживаем, что они равны и прочность бруса гарантирована.
Упражнение 2
1. Образцы из стали и дерева с равной площадью поперечного сечения растягиваются
одинаковыми силами. Будут ли равны возникающие в образцах напряжения?
А. В стальном образце возникнут большие напряжения, чем в деревянном,
Б. В образцах возникнут равные напряжения.
2. Вычислите продольную силу, возникающую в поперечном сечении растянутого стержня,
если нормальные напряжения в этом сечении равны 140 МПа, а его площадь составляет
100 мм2.
3. Рабочее напряжение, возникающее в детали, равно 160 МПа, а опасное (предельное)
напряжение для материала детали  пред = 320 МПа. Определить коэффициент запаса
прочности.
4. Допускаемое напряжение при расчете на прочность было принято равным 180 МПа. После
окончательного выбора размеров конструкции рабочее напряжение оказалось равным 185 МПа.
Грозит ли конструкции опасность разрушения?
А. Да.
Б. Нет.
5. Как изменится масса конструкции, если при подборе ее сечений уменьшить коэффициент
запаса прочности?
А. Масса конструкции уменьшится.
Б. Масса не изменится.
РАСЧЕТЫ НА СРЕЗ И СМЯТИЕ
Понятие о срезе и смятии, Условия прочности
Срезом или сдвигом называется деформация, возникающая под действием двух близко
расположенных противоположно направленных равных сил. При этом возникают касательные
напряжения.
Примером элемента металлических конструкций, работающего на срез, может служить
заклепка (рис. 75, а). При некоторой величине действующих сил F стержень заклепки может
быть срезан по сечению аа. Силы F (рис. 75, б) передаются путем давления стенок отверстия на
стержень заклепки.
Деформация среза возникает также в шпоночном соединении, схематично изображенном на
рис. 75, в. Вращающий момент М от шкива передается на вал радиуса г с помощью сил F = M/r.
Эти силы вызывают срез или сдвиг шпонки по ее среднему сечению. Частный случай среза —
скалывание волокнистых материалов, в частности древесины, по плоскостям, параллельным
волокнам. При большом давлении может произойти значительное смятие стенок отверстия или
стержня заклепки по поверхности их соприкосновения. В шпоночном соединении смятие
может произойти по площади контакта вала или шкива со шпонкой.
Смятием называется местная деформация сжатия по площадкам передачи давления.
Возникающие нормальные напряжения смятия являются местными; величина их быстро
убывает при удалении от площадки соприкосновения элементов.
Чтобы найти напряжения, возникающие в сечении аа стержня заклепки под действием сил F,
применим метод сечений. Рассечем мысленно стержень заклепки на две части и рассмотрим
условия равновесия одной из частей стержня (рис. 75, б).
Со стороны листа на нее передается внешняя сила F, а по сечению аа действуют внутренние
силы. Поперечная сила Q, возникающая в сечении аа, уравновешивает внешнюю силу F и
численно равна ей Q = F.
Приближенно можно принять, что касательные напряжения распределяются по сечению
равномерно
Условие прочности элементов, работающих на срез, имеет вид
где Aср—площадь среза; [тср] —допускаемое касательное напряжение.
Величину допускаемого напряжения назначают на основании испытаний на срез. Обычно
принимают [тср] = (0,70-0,80) [σ].
На стержень заклепки давление со стороны отверстия в листе передается по боковой
поверхности полуцилиндра высотой, равной толщине листа б (рис. 76, а, б).
Напряжения смятия распределены по поверхности неравномерно. Так как закон их
распределения точно неизвестен, расчет ведут упрощенно, считая их постоянными по
расчетной площади смятия.
Проверку элементов конструкции на смятие производят по формуле
где Aсм — площадь смятия; [σсм] — допускаемое напряжение на смятие. Обычно принимают
[σсм] = (1,7-2,2) [σсм]. Расчетные площади среза и смятия, входящие в формулы (59) и (60),
вычисляются в каждом конкретном случае в зависимости от вида соединения и характера
передачи усилий. Так, для заклепочного соединения, изображенного на рис. 75, а, б, площадь
среза одной заклепки соответствует ее поперечному сечению Aср = π d2/4.
За площадь смятия заклепки условно принимают ее диаметральное сечение под одним листом,
т. е. прямоугольник (рис. 76, б, в) Асм = d .δ. Для шпоночного соединения, изображенного на
рис. 75, в, г, площади среза и смятия также нетрудно определить
Пример. Определить, исходя из условий прочности на срез и смятие, необходимый диаметр
болта в соединении, показанном на рис. 77, если δ = 20 мм; δ1 = 12 мм; допускаемые
напряжения: [тср] = 100 Н/мм2; [σcм] = 240 Н/мм2, растягивающая сила F = 120 кН. Болт
установлен в отверстие без зазора.
Решение. Так как болт работает на срез одновременно по двум сечениям — аа и бб, то площадь
среза
Поперечная сила в болте равна силе, растягивающей стык Q = F.
По условию прочности на срез имеем:
откуда
Согласно данным задачи 2δ1 > δ, поэтому опасной в отношении смятия является внутренняя
деталь площади смятия Асм = de.
Из условия прочности на смятие
или
откуда
= ( 120 .103)/( 20 . 240) = 25 мм.
Из двух значений диаметра d, найденных по условиям прочности на срез и смятие, следует
принять большее, т. е. d > 27,6 мм; по ГОСТ это болт с диаметром ненарезанной части 28 мм и
резьбой М27.