Вопросы к экзамену по линейной алгебре

Вопросы к экзамену по линейной алгебре
(экономисты, вечерники, 2007)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
Общий вид СЛАУ m x n и основные определения.
СЛАУ 2 x 2, решение системы и ее геометрическая интерпретация.
СЛАУ 3 x 3, решение системы и ее геометрическая интерпретация.
СЛАУ m x n. Равносильные (эквивалентные) системы и элементарные преобразования со строками трех
типов.
СЛАУ n x n, основные определения. Теорема о разрешимости СЛАУ с верхне (нижне) треугольной
матрицей системы.
СЛАУ со ступенчатой матрицей. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду (Метод Гаусса).
Решение СЛАУ со ступенчатой матрицей.
СЛОАУ. Свойства решений СЛОАУ. Теорема о СЛОАУ с числом уравнений меньшим, чем число
неизвестных.
Матрицы, основные определения и простейшие свойства.
Умножение матриц и его свойства. Примеры, связанные с не коммутативностью произведения и
равенству ноль-матрице.
Элементарные преобразования с матрицами трех типов. Приведение матрицы к ступенчатому виду.
Элементарные матрицы трех типов. Матричные единицы. Приведение матрица к диагональному виду.
Определение определителя матрицы произвольного порядка.
Основные свойства определителей. Критерий равенства нулю определителя.
Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы и ее единственность.
Метод Гаусса нахождения обратной матрицы и пример с произвольной матрицей второго порядка.
Ранг матрицы и его простейшие свойства. Теорема о ранге матрицы при элементарных преобразованиях.
Связь ранга матрицы с линейной независимостью сток (столбцов).
Матричная форма записи СЛАУ. Решение с помощью обратных матриц. Метод Крамера для СЛАУ n x n.
Матричные уравнения.
Линейное (векторное) пространство, определение и примеры.
Системы векторов, линейная зависимость и независимость. Линейная оболочка. Базис и размерность
пространства. Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора.
Переход к новому базису. Матрица перехода. Базис СЛОАУ. Фундаментальная система решений
СЛОАУ состоит из n-r – решений (r – ранг матрицы системы).
Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами одного и того же оператора
в различных базисах.
Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Характеристическое уравнения и
характеристический многочлен. Теорема о характеристическом многочлене в различных базисах.
Некоторые свойства собственных векторов линейного оператора. Теоремы о линейном операторе с
диагональной матрицей.
Квадратичная форма. Матричная форма записи. Преобразование матрицы квадратичной формы при
невырожденном преобразовании. Теорема о каноническом виде квадратичной формы. Закон инерции
квадратичной формы.
Евклидово пространство. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема
Пифагора.
Ортонормированный базис в Евклидовом пространстве. Процесс ортогонализации. Ортогональные
матрицы и ее связь с преобразованием ортонормированного базиса.
Уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.
Уравнение прямой и плоскости в трехмерном пространстве. Векторное произведение и его
геометрический смысл.
Кривые второго порядка на плоскости. Канонический вид кривых второго порядка. Эллипс. Гипербола.
Парабола.
Система неравенства на плоскости. Системы линейных неравенств.
Комплексные числа и действия над ними.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма записи
комплексного числа.
Извлечение корня n степени из комплексного числа. Основная теорема алгебры.
Задания к контрольной работе.
1) Найти матрицу C=B(A-2B)+A(A+B). (матрицы из задания 1 (начало задания на стр.4), в задании две
матрицы, первая будет A, вторая B)
2) Решить СЛАУ методом Крамера и методом обратных матриц (СЛАУ из задания 7. стр. 18, только пункт
1).
3) Решить СЛАУ методом Гаусса и найти два частных решения. (СЛАУ из задания 4 на стр.41,
вычеркиваем 2 уравнение, т.е. СЛАУ 3х5)
4) Найти определитель для матрицы системы из задания 2) методом Гаусса. Проверить решения по
определению.
5) Найти ранг системы векторов. (задание 3. на стр. 38)
6) Показать, что вектора X1,X2,X3 образуют базис и найти координаты вектора Y в этом базисе. (задание 9.
на стр. 27)
7) Определить собственные значения и собственные вектора. (задание 10. на стр. 29)
8) Задание № 3 на стр. 48. (прямые на плоскости).
9) Задание №4 на стр. 54 (кривые второго порядка на плоскости).