Приложение - Московский государственный университет леса

Приложение к разделу I
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА
Если функция y=f(x) имеет в точке Х0 производную, то ее приращение можно
представить в виде
 y=  x+0(  x), ∆x  0
где x  x  x0 , y  f x   y 0 , y0= f x0  и   f '  x 0  , т. е. f x  =y0+A(x-x0)+0(x-x0).
. Иначе говоря, существует линейная функция
P1(x)=y0+A(x-x0)
(13.1)
такая, что
f(x)=P1(x)+o(x-x0), х  x0,
причем
=y0=f (x0), Р’1 (x0)=А=f'(х0).
Поставим более общую задачу. Пусть функция f имеет в точке Х0 n производных.
Требуется выяснить, существует ли многочлен Рn(х) степени не выше п, такой, что
P1 (x0)
f(x)=Pn(x)+o((x-x0)n), x  x0,
(13.2)
f (x0)= Pn(x0), f'(х0)= Р’n (x0),....,f(n)(x0)= Р(n)n (x0) . (13.3)
Будем искать этот многочлен, по аналогии с формулой (13.1), в виде
Pn(x)=A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)2+...+An(x-x0)n.
Замечая, что Рn (x0)=A0, из nеpвoгo условия (13.3), т. е. f(x0)=Рn(х0),имем A0=f(x0). Далее,
Р’n (x)= A1+2A2(х-х0)+... +nAn(х-х0)n-1,
отсюда P’n(x0)=A1, и так как P’n(x0)=f’(x0),то A1= f’(x0). Затем найдем вторую производную
многочлена Рn(x):
Р''n (x) = 2 • 1 • A2,+... +n (n - 1)-An(х – х0)n-2. Отсюда и из условия f" (x0)= Р''n (x0) получим
A2 
f (k ) ( x0 )
f "" ( x 0 )
вообще Ak 
k=0, 1, 2,..., n.
k1
21
В силу самого построения, для многочлена Рn(х)=
’
=f(x0)+f (x0)(x+x0)+...+
f
(k )
( x0 )
f ( n) ( x0 )
(x-x0)+...+
k!
n!
выполнены все соотношения (13.3). Проверим, удовлетворяет ли он условию (13.2). Пусть
rn(x) =f(x)-Pn(x)
Из условия (13.3) следует, что rn(x0)= r’n(x0)=0
Поэтому, применяя п раз правило Лопиталя для раскрытия неопределенности
rn ( x)
( x  x0 )
n
при х->хо, а именно сначала п—1 раз
теорему 2 из § 12, а затем теорему 1 того же параграфа, получаем:
(13.4)
lim
x  x0
rn ( x 0 )
( x  x0 ) n
 lim
x  x0
r " n ( x0 )
n( x  x 0 ) n 1
r n ( x0 )
r ( n 1) ( x)
 .....  lim

0
x  x0 n! ( x  x )
n!
0
т. е. действительно. rn(x)=0 ((x-x0)n), x  x0
Итак, доказана следующая очень важная теорема. Теорема 1. Пусть функция f (х)
определенная НА интервале (а, b), имеет в точке Х0  (а, b) производные до порядка п
включительно. Тогда при x  x0
f ' ( x0 )
f ( n) ( x0 )
( x  x 0 )  ....... 
( x  x 0 )  0(( x  x 0 ) n ) (13.5)
f(x)=f(x0)+
11
n!
n
или f(x)= 
k 0
f
(k )
( x0 )
( x  x0 ) k  0(( x  x0 ) n )
k!
Эта теорема остается справедливой, вмсте с ее доказательством, и для функции /,
определенной на отрезке[а, b], при х0  [а, b]
если для x0=a и x0=b под производные понимать соответствующие односторонние
производные.
Формула (13.5), называется формулой Тейлора п-гопорядка с остаточным членом в
форме Псчно. Многочлен
f ' ( x0 )
f ( n) ( x0 )
( x  x 0 )  ....... 
( x  x 0 ) n ) (13.6) называется
f(x)=f(x0)+
11
n!
многочленом Тейлора функция
rn(x)=f(x)-Pn(x)
(13.7)
—остаточным членом п-го порядка форму Тейлора. Как показано, остаточный член rn(x)
является бесконечно малой, при х  x0 , более высокого порядка, чем все члены
многочлена Тейлора (13.6).
Укажем другой вид записи формулы (13.5). Полагая
получим
x-x0= x ,  y =f(x0+ x )- f(x0)
n
y  
k 1
f
(k )
( x0 ) k
x  0(x), x  0 (13.5')
k!
Еслг в формуле (13.5) x0=0 то получается частный вид формулы Тейлора, называемый
обычно формулой Л1аклорена':
n
f ( x)  
k 0
f
(k )
(0) k
x  0( x n ), x  0
k!
(13.8)
Доказанная теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую;
условиям этой теоремы заменить, в окрестности некоторой точки, многочленом с
точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким
многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности дается при этом
остаточным членом.
формула Тейлора с остаточным членом? в форме Пеано дает единообразный метод
выделения главной части функции в окрестности данной точки. На этом обстоятельстве и
основаны многочисленные и разнообразные приложения формулы (13.5) в различных
вопросах анализа.
Отметим полезное следствие из теоремы 1.
Следствие. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b). и пусть в точке х она
имеет производные до порядка n +1
.
включительно. Тогда при x  x0
f ( k ) ( x0 )
(13.9)
( x  x0 ) k  0( x  x0 ) n1
k!
k 0
Действительно, в силу теоремы 1 при x  x0
n
. f(x)= 
n 1
f ( k ) ( x0 )
f(x)= 
( x  x0 ) k  0(( x  x0 ) n 1 )
k!
k 0
и поскольку
(13.10)
f n 1 ( x 0 )
( x  x 0 ) n 1  0(( x  x 0 ) n 1 )  0(( x  x 0 ) n 1 ) при x  x0
(n  1)!
то из формулы (13.10) непосредственно следует формула (13.9).
Упражнение 1. Доказать, что если функция f (х} , некоторой окрестности точки x0
имеет производную порядка n, то, каковы бы ни были точка х этой окрестности и функция
 (t), непрерывная на отрезке с концами в точках х и x0 имеющая неравную нулю
производную внутри этого отрезка, найдется такая точка  , лежащая между x0 и x, что
для остаточного члена rn-1(x) формулы Тейлора функции f (х) имеет место формула
rn 1 ( x) 
 ( x)   ( x 0 ) f ( n ) ( )
( x   ) n 1 , n  1,2,......
"
(
n

1
)!
 ( )
Получить отсюда следующие виды записи остаточного члена:
rn 1 ( x) 
f ( n ) ( )
( x  x 0 ) p( x   ) n  p , (форма Шлёмильха- Роша ).
(n  1)! p
( )
( x  x 0 ) n ,p>0 (форма Лагранжа),
n!
(n)
f x 0  0( x  x 0 )
rn 1 ( x) 
(1  0) n 1 ( x  x 0 ), 0<0<1 (форма Коши)(n  1)!
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
rn 1 ( x) 
f
(n)
n 1
f ( k ) (t )
(x  t) k
k
!
k 0
и применить к функциям (φ и ψ теорему Коши о среднем значении. Для вывода
остаточного члена в виде Шлёмильха- Роша положить Ψ (f)=(x—t)p.
 (t )  f ( x)  
Применение аппроксимирующих дифференциальных
уравнений для решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
можно использовать вспомогательные, аппроксимирующие дифференциальные
уравнения (АДУ) со свободными параметрами.
Рассмотрим пример. Пусть требуется решить ОДУ:
(1.1.1)
y'=f(x,y), у(хо)=уд, x  [Xo,B].
Для решения примера выберем простейшее АДУ— однородное дифференциальное
уравнение первого порядка:
(1.1.2)
Yj'-KjyrO, j-=0,l,...,n.
(1.1.3)
y(Xj+hj)=y(Xj) exp(Kj(Xj+hj)) —решение (1.1.2). Величины Kj
определяются на каждом j-м шаге из (1.1.2);
(1.1.4)
Kf=y'(Xj+hj)/y(Xj+hj).
Формула (1.1.3) является экстраполяционной.
Решение (1.1.3) можно уточнить с помощью расчётной формулы интерполяционного
типа:
(1.1.5)
у(х, +h,)=y(x,)-exp(K„(x,+h,)).
Здесь
(1.1.6)
Ko,=f(Xf+hj,y(Xj+hj))/y(Xj+hj). Пример/ Для
задачи Коши
(1.1.7)
у'=у-2х/у, у(хо)=1,
хо=0.
Вычислим величины y(Xg+h) и yf-Xg+h) при h=0,4 по расчётным
формулам (1.1.3) и (1.1.5):
(1.1.За) у(0+0,4)=у(0)-ехр(К,(0+0,4))=1,492; у(0)= 1; К, = 1;
6 =((1,492 -1,342) /1,342) -100% ==11%. (1.1.5а) у(0 + 0,4) = у(0) • ехр(К„ (0 +
0,4)) = 1,285; у(0) = 1; К„ = 0,638;
8 = ((1,285 -1,342)/1,342) • 100% =. 3,8%.
При решении (1.1.1) с использованием МВС вычисления проводятся с h=ho, ho/I,
2ho для контроля ^выбора шага.
Формулы (1.1.3) и (1.1.5) характеризуются тем, что в качестве аппроксимирующих
функций используются экспоненциальные функции.
Применение ОМНК при регуляризации таблично заданных функций своими
значениями и значениями своих производных
Пусть аппроксимируемая функция задана своими значениями и значениями своих
производных/^ (Xkm), k=0, 1, .... г, т=1, 2, ..., mk.
При необходимости сглаживания аппроксимируемой функции Fn(C„ x) коэффициенты С,
определяются по А.Н.Тихонову из условия минимума выражения
Ф(Fn)+λiΨ(Fn)=min
(1)
В случае применения ОМНК
Ф(Fn)=   f ( k ) ( xkm )  Fn( k ) (Ci , x km ) g km
r
(2)
mk
2
k  0 m 1
(3)
( Fn ) 
 grad F
 
(k )
n

2
(C i , x) dx
Ak
В общем случае функционал Ψ (Fn) выбирается из условия, что, если значение этого
функционала невелико, то функция Fn(Ci, x) обладает определённой гладкостью.
При λk=0 метод регуляризации переходит в ОМНК.
При r=0 и λk=0 (=О метод регуляризации А.Н.Тихонова переходит в классический метод
наименьших квадратов Лежандра-Гаусса.
УДК517.91+518(075.8)+519.6
6Л2 Гольцов НА. Лекции о применении теории вероятностей для решения задач
прикладного численного анализа.— М.: МГУ Л, 2001.
Автор: Гольцов Николай Алексеевич Издается в
авторской редакции
| Московский государственный университет леса, 2002
Лицензия ЛР №020718 от 2.02.1998 г. Лицензия
ПД №00326 от 14.02.2000 г.
Подписано к печати 17.5.2002
Формат 60х88/16 Бумага 80 г/м2 "Снегурочка"
Ризография Объем____п.л.______________Тираж 100 экз._______Заказ №_____
Издательство Московского государственного университета леса 141005,
Московская обл., Мытищи, ул. 1-я Институтская, 1, МГУЛ. Телефон:
(095)588-57-62 E-mail: izdat@mgul.ac.ru
Литература:
1. Gauss C.F., Theoria interpolationist methodo nova tractada.—Werke, 1805. 13.3, p.
265-330.
2. Legendre A.M., Nouvelles methodes pour la determination des orlites comets.—Paris,
1806
3. Гаус К.Ф., Способ наименьших квадратов // Избранные геодезические сочинения /
Под. ред. Г.В.Багратуни—М.: Геодезиздат, 1957.—144 стр.
4. Гаус К.Ф., Способ наименьших квадратов.—М.: ГИФМЛ, 1959.—160 стр.
5. Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика.—М.: Высшая
школа, 1998.—478 стр.
6. Гмурман В.Е., Руководство к решению задач по теории вероятности и
математической статистике.—М.: Высшая школа, 1998.—400 стр.
7. Венцель Е.С., Теория вероятностей.—М.: Наука 1968.—576 стр.
8. Гольцов Н.А., Конструирование алгоритмов прикладного численного анализа для
многопроцессорных вычислительных комплексов.—М.: Изд.МГУЛ, 2001.—55
стр.
9. Соболь И.М., Численные методы Монте-Карло.—М.: Наука, 1972.—312 стр.
10. Сурков А.В. Использование MS Excel для решения экономических задач.—М.:
Изд.МГУЛ, 2000.—123 стр.
11. Колмогоров А.Н. К обоснованию метода наименьших квадратов // Успехи
математических наук.-1946. Вып. 1 (11). Т. 1.-С. 57-70
2 Дополнительная литература
2.1
Митропольский А.К., Элементы математической статистики.—Л.: Издат.
ВЗЛТИ, 1969.—205 стр.
2.2
Математическая энциклопедия. Авторы и предметный указатель даны в
пятом томе.
Лекции подготовлены к печати студентами В.Б.Вакулинским,
М.В.Максимовым, В.К.Бабаяном.