Задача Дано: Решение

Задача
Дано:
J  1A
  120o
  250c 1
R  75Ом
L  0,6 Гн
C  107 мкФ
Решение
1. Рассчитаем переходной процесс в цепи
при замыкании ключа S1 классическим
методом.
1.1.
Определим состояние цепи до коммутации ключа S1:
i1  t   i2  t   Je j


j L 


i1  t  R  j L   i2  t  R  i2  t    i1  t   1 
R 


j L 

j
i1  t   i1  t  1 
  Je
R 

Je j
e 120 j
e 120 j
e 120 j



 0,354e 165 j
45
j
j L
j  250  0,6 2  2 j 2 2e
2
2
R
75
165 j
i2  t   0,354e
1  2 j   0,791e101 j
i1  t  
Запишем мгновенные значения токов цепи до коммутации:
i1  t   0,354sin  250t  165o  , A
i2  t   0,791sin  250t  101o  , A
1.2.
Определим состояние цепи в момент коммутации ключа S1 (согласно
законам коммутации):
i1  0   i1  0   0,354sin(165o )  0,092 А
i2  0   J  i1  0   1sin  1200   0,092  0,774 А
1.3.
Определим состояние цепи в принужденном режиме после коммутации
ключа S1:
i1пр  t   i2 пр  t   Je t


i1пр  t  j L
i1пр  t  j L  i2 пр  t  R  i2 пр  t  

R
i1пр  t  j L
i1пр  t  
 Je t
R
t
Je
e 120 j
i1пр  t  

 0,447e 120 j
j L 1  2 j
1
R
I1пр  t  j L
i2 пр  t  
 0,447e 120 j  2e90 j  0,894e 30 j
R
Запишем мгновенные значения токов в принужденном режиме:
i1пр  t   0, 447sin  250t  120o  , A
i2 пр  t   0,894sin  250t  30o  , A
Определим начальные условия для принужденных составляющих токов:
i1пр  0   0, 447sin  120o   0,387 A
i2 пр  0   0,894sin  30o   0, 447 A
Определи начальные условия для свободных составляющих токов:
i1св  0   i1  0   i1пр  0   0,092  0,387  0, 295 A
i2 св  0   i2  0   i2 пр  0   0,774  0, 447  0,327 A
1.4.
Рассчитаем свободные составляющие токов при коммутации ключа S1.
Составим систему уравнений для свободных составляющих по законам
Кирхгофа в дифференциальной форме и решим ее:
 di1
 i2 R
L
 dt
i1  i2  J  i2  J  i1
di
L 1   J  i1  R
dt
L di1
 i1  J
R dt
Решением полученного дифференциального уравнения является выражение
i1св  Ae pt
Где р – корень характеристического уравнения
L
p 1  0
R
R
75
p 
 125c 1
L
0,6
Постоянную интегрирования А найдем с помощью независимых начальных
условий:
A  i1св  0  0,295 А
Запишем выражение для тока i1:
i1  i1пр  i1св  0, 447sin  250t  120o   0, 295е 125t , A
Определим ток i2 по закону Кирхгофа:
i2  J  i1  1sin  250t  120o   0, 447sin  250t  120o   0, 295е 125t 
 0,553sin  250t  120o   0, 295е125t , A
2. Рассчитаем переходной процесс в цепи при замыкании ключа S2 классическим методом.
2.1. Состояние цепи до коммутации ключа S2 определяется принужденным
режимом после коммутации ключа S1:
i1  t   0, 447sin  250t  120o  , A
i2  t   0,894sin  250t  30o  , A
2.2.
Определим состояние цепи в момент
коммутации ключа S2 (согласно законам
коммутации):
i1  0   i1  0   0,447sin  120o   0,387 A
i2  0   J  i1  0   1sin  120o   0,387  0,479 A
uC  0   0 B
2.3.
Определим состояние цепи в принужденном режиме после коммутации
ключа S2:
i1пр  i2 пр  Je j


1 


i1пр j   L 
C 

i j   L  1   i R  i 
2 пр
 1пр 
C  2 пр
R
j 

uCпр  i1пр  

 C 
1 

i1пр j   L 
C 

i1пр 
 Je j
R
Je j
e 120 j
i1пр 

1 
1
 L
 250  0,6
1 j 


 1 j 
250  75 107 106
 R  RC 
 75
i2 пр  0,555e 176 j 1,5e90 j  0,833e 86 j
e 120 j

 0,555e 176 j
 1  1,5 j


uCпр  0,555e 176 j  37,38e 90 j  20,75e 266 j
Запишем мгновенные значения токов и напряжения на конденсаторе:
i1пр  t   0,555sin  250t  176o  , A
i2 пр  t   0,833sin  250t  86o  , A
uCпр  t   20,75sin  250t  266o  , A
Определим начальные значения для свободных составляющих токов и напряжения:
i1св  0   i1  0   i1пр  0   0,387  0,555sin  176o   0,348 А
i2св  0   i2  0   i2 пр  0   0,479  0,833sin  86o   0,352 А
uCсв  0   uC  0   uCпр  0   0  20,75sin  266o   20,7 B
i2св  0   C
2.4.
duCсв  0 
dt

duCсв  0 
dt

i2св  0 
C

0,352
 3289,7 B / c
107 106
Рассчитаем свободные составляющие токов при коммутации ключа S2.
Составим систему уравнений для свободных составляющих по законам
Кирхгофа в дифференциальной форме и решим ее:
 di1
 L dt  uC  i2 R

duC

i1  C
dt

duC

i1  i2  J  i2  J  i1  J  C dt

d 2 uC
du 

LC 2  uC   J  C C  R
dt
dt 

d 2 uC
du
LC 2  RC C  uC  JR
dt
dt
Решением полученного дифференциального уравнения является выражение
uCсв  A1e p1t  A2 e p2t
Где р1,2 – корни характеристического уравнения
LCp 2  RCp  1  0
p1,2  
R
R2
1
75
752
1






 62,5  108i
2L
4 L2 LC
2  0,6
4  0,62 0,6 107 10 6
Постоянные интегрирования найдем с помощью независимых начальных
условий:
 A1  A2  uCсв  0 


duCсв  0 
 A1 p1  A2 p2 
dt

 A1  A2  20,7  A2  20,7  A1

 A1 p1  A2 p2  3289,7
A1 p1   20,7  A1  p2  3289,7
Отсюда находим:
A1 
3289,7  20,7 p2 3289,7  20,7   62,5  108 j  1995,95  2235,6 j



p1  p2
216 j
216 j
 10,35  9, 24 j
A2  20,7  A1  20,7  10,35  9, 24 j  10,35  9, 24 j
Запишем выражение для напряжения на емкости:
uC  uCпр  uCсв  20,75sin  250t  266o    10,35  9,24 j  e
62,5108i t

  10,35  9,24 j  e 62,5108i t  20,75sin  250t  266o   10,35e 62,5t  e108 jt  e 108 jt  
9,24 je62,5t  e108 jt  e108 jt   20,75sin  250t  266o   e62,5t  20,7cos 108t   18,5sin 108t   
 20,75sin  250t  266o   27,65e62,5t sin 108t  48o 
Таким образом получаем мгновенное значение напряжения на емкости:
uC  t   20,75sin  250t  266o   27,65e 62,5t sin 108t  48o 