Физика. Урок №5 Тема: «Электростатика»

Физика. Урок №5
Тема: «Электростатика».
Задача 1.
Два маленьких одинаковых проводящих шарика заряжены одинаковыми зарядами q1=q2=q,
подвешены на длииных нитях равной длины к одному крючку и находятся в вакууме на расстоянии
r1=5cм друг от друга. Один из шариков разрядили. На каком расстоянии друг от друга будут
находиться после этого шарики?
Дано: q1=q2= q, r1=5cм
Найти:
Решение
Рис.1
Рис.2
Одинаково заряженные шарики взаимодействуют силами отталкивания по закону Кулона:
2
kq1q2 kq2
1
9 Н м
.
F12  F21  2  2 , где k 
 9  10
r1
r1
40
кг 2
Если один из шариков разрядили, то кулоновские силы исчезнут и шарики соприкоснутся. Так
как шарики одинаковые и проводящие, а в проводниках заряды распределяются по поверхности, то
оставшийся на одном шарике заряд поделится пополам. Поэтому шарики будут отталкиваться друг
k q
kq2
от друга с другими по модулю силами: F12  F21  2 ( ) 2  2 .
r2 2
4r2
Чтобы найти новое расстояние между шариками, необходимо рассмотреть их равновесие до и
после разрядки. Так как шарики одинаковые рассмотрим равновесие одного из них. Согласно





первому условию равновесия до разрядки: F12  F1  mg  0 , где F1 - сила натяжения нити, mg сила тяжести (рис.1).
Для проекций: на ОХ F12  F1 sin   0 , на ОУ F1 cos   mg  0 , где  - угол нити с
вертикалью.
Отсюда : F12  F1 sin  и mg  F1 cos  . Разделим первое из полученных выражений на второе:
F12
kq2
 2
.
mg r1 mg
Так как, по условию, нити длинные, то длина каждой нити много больше половины расстояния
r
между шариками 1 , и угол между нитью и вертикалью  мал.
2
r
r
kq2
2 Lkq2
Тогда tg1  sin 1  1 . Следовательно: 1 = 2
или r13 
.
2L
2 L r1 mg
mg
После разрядки одного из шариков установилось новое положение равновесия ( рис.2) и
tg1 



F12  F1  mg  0 .
Для проекций на оси координат: на ОХ
F1cos   mg  0 , где  - угол нити с вертикалью.
F12  F1sin   0 ,
на ОУ
Lkq2
. Сравнив выражения для обоих
2mg
r
r3
5
5
расстояний между шариками, получим: r23  1 , r2  3 1 , r2  3 
 3,14  3 (см).
4
4
4 1,59
Ответ: r2  3 см.
Проделав те же преобразования, получим
r23 
Задача 2.
В трех вершинах равностороннего треугольника со стороной а=10см расположены два
положительных и один отрицательный точечные заряды, модули которых равны q1=q2= q3=q.
Напряженность электрического поля в середине стороны треугольника между положительным и
кВ
отрицательным зарядами Е=14,8
. Чему равен потенциал поля в данной точке? Какую работу
м
нужно совершить для размещения этих зарядов вдоль одной линии, причем так, чтобы
отрицательный заряд находился посредине между положительными на расстоянии а=10см от
каждого из них?
кВ
Дано: q1=q2= q3=q, Е=14,8
, а=10см
м
Найти:  -? А-?
Решение
Рис.3
Рис.4.
Чтобы найти потенциал результирующего поля в указанной точке О, необходимо узнать
модули зарядов, создающих это поле. Используем то, что в условии дан модуль напряженности
результирующего поля в этой точке. Найдем связь между модулем вектора напряженности и
модулем заряда, а затем выразим из полученного соотношения эту величину.
Вектор
напряженности
результирующего
поля
определяется
по
принципу
 


суперпозиции: E  E1  E2  E3 (рис.3).
Модуль напряженности поля первого заряда записываем по известной формуле для
kq
3
kq
напряженности поля точечного заряда: E1  21  2 , где r1  a sin 60 0  a
.
2
r1
r1
4kq
Тогда: E1  2 .
3a
Так как точка О находится посредине между вторым и третьим зарядами и модули зарядов
kq
a
равны, то равны и модули напряженности E 2  E 3  2 , где r  . Так как эти вектора
r
2
сонаправлены, то модуль
результирующей напряженности поля этих двух зарядов
2kq 8kq
равен E 23  2  2 и направлен перпендикулярно вектору напряженности поля первого заряда.
r
a
Следовательно, заданный модуль вектора напряженности результирующего поля в точке О:
4kq
8kq
4kq 1
4kq 37
.
E  E12  E122  ( 2 ) 2  ( 2 ) 2  2
4  2
3a
a
a
9
a
9
Ea 2 9
14,8  103  10 2 9
Тогда модуль заряда : q 
, q
 2,0нКл .
4k 37
4  9  109
37
Для ответа на первый вопрос используем принцип суперпозиции для потенциала:
  1   2   3 , где слагаемые потенциалы записываем согласно известной формуле для
потенциала точечного заряда и с учетом использованных соотношений.
Тогда:  1 
kq
kq1 2kq
kq
2kq
2kq

, 2  2 
, 3   3  
.
r
a
r
a
r1
a 3
2  9  109  2  10 9
2kq 2kq 2kq 2kq
 208В  0,21кВ .
,



a
a
a 3
a 3
0,1 3
Для ответа на второй вопрос необходимо учесть, что электрическое поле является
потенциальным, а следовательно работу по изменению взаимного расположения зарядов проще
всего рассчитать, как разность энергий взаимодействия зарядов системы в конечном и исходном
состоянии.
1
Энергия системы точечных зарядов определяется по формуле: W   qi i , где qi – i-тый заряд
2

системы,  i - потенциал результирующего поля других зарядов системы в точке расположения
этого заряда.
Найдем энергию при исходном расположении зарядов:
1
1
kq kq
kq kq
kq kq
2kq2
W1  ( q1 ( 21   31 )  q2 (12   32 )  q3 ( 31   32 ))  ( q(  )  q(  )  q(  ))  
2
2
f
a
a
a
a
a
a
Энергия взаимодействия зарядов системы в конечном положении (рис.4):
1
1
kq kq
kq kq
kq kq
3kq2
   31
 )  q2 (12
   32
 )  q3 ( 31
   32
 ))  ( q(  )  q(  )  q(  ))  
W2  ( q1 ( 21
2
2
2a a
2a a
a
a
2a
Работа по изменению расположения зарядов: A  W2  W1  
3kq2
2kq2
kq2
 (
)
,
2a
a
2a
А=180нДж=0,18мкДж
Ответ:   0,21kВ , А=0,18мкДж
Задача 3.
Два электрона движутся навстречу друг другу с очень большого расстояния со скоростями V1
=100м/c и V2 =200м/с. На какое минимальное расстояние сблизятся электроны?
Дано: m=9,1*10-31кг , q=-1,6*10-19Кл, V1 =100м/c , V2 =200м/с
Найти: r-?
Решение
В начальный момент, по условию, расстояние между электронами очень большое, поэтому их
кулоновским взаимодействием можно пренебречь. При приближении электронов друг другу
кулоновской силой отталкивания между ними нельзя пренебречь, модуль этой силы непрерывно
возрастает, и следовательно уменьшение скорости обоих электронов происходит с непостоянным
ускорением a  const .
Поэтому наиболее рационально рассматривать движение электронов с точки зрения законов
сохранения импульса и энергии.
Запишем закон сохранения импульса для проекций на ось, совпадающую с направлением
движения второго электрона:
mV2 – mV1=2mV.
Левая часть этого выражения не равняется нулю, т.е. в момент наибольшего сближения оба
электрона будут двигаться с общей скоростью V относительно выбранной оси:
V  V1
V 2
2
В этот момент каждый электрон находится в поле другого, и вся система обладает
kq 2
потенциальной электрической энергией W 
, где r- минимальное расстояние между
r
электронами.
mV12 mV22 2mV 2 kq 2
Запишем
закон
сохранения
энергии:
.
Отсюда:



2
2
2
r
kq 2 mV12 mV22 2mV 2
2kq2
, r
, r=1,1см.



r
2
2
2
m(V12  V22  2V 2 )
Ответ: r=1,1см
Задача 4.
Два проводящих шарика радиусами R1=4,0см
и R2=5,0cм заряжены до потенциалов
1  40В и  2  30В . Расстояние между шариками много больше их радиусов. Найти количество
теплоты, выделившееся при соединении шариков проволокой.
Дано: R1=4,0см , R2=5,0cм, 1  40В ,  2  30В
Найти: Q-?
Решение
Рис.5
Рис.6
При соединении заряженных тел происходит перераспределение зарядов, т. е. их перемещение
по заданной системе проводников. Так как сопротивление проводников в задаче не указано, то
количество выделившегося тепла можно найти только по закону сохранения энергии.
Если выделилось количество теплоты, то часть начальной электрической энергии перешла в
тепловую, т.е. по закону сохранения энергии: W1  W2  Q , Q  W1  W2 .
C1 12
- энергия первого
2
заряженного проводника (шарика), С1- его емкость, которую для шарика можно рассчитать по
R1
C2 22
1
9 Н
 9  10
формуле C1  40 R1 
, где k 
; W2 
- энергия первого заряженного
k
40
м
2
проводника (шарика), С2- его емкость, которую для шарика можно рассчитать по формуле
R
C 2  40 R2  2 .
k
Чтобы найти энергию системы после соединения проволокой (рис.6), рассмотрим, что
изменяется при этом в системе.
Соединение шариков проволокой «по умолчанию» происходит так, что заряд системы
сохраняется. Кроме того, поверхностная плотность зарядов на каких-то участках поверхности
обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности, т.е. зарядов больше всего на участках
поверхности с малым радиусом кривизны.
Поэтому после соединения проволокой заряды перемещаются по ней, но при установившемся
распределении зарядов они расположены только на шариках, а на проволоке их практически нет.
Поэтому до и после соединения алгебраическая сумма зарядов шариков остается постоянной:
q1  q2  q1  q2 , где q1  C11 -заряд первого шарика до соединения, q2  C2 2 - заряд
второго шарика до соединения, q1 и q2 - заряды шариков после соединения проволокой. Так
как заряд первого шарика по модулю больше, то после соединения заряд обоих шариков будет
отрицательным (рис.6).
В проводниках заряды располагаются на поверхности, поэтому после соединения шариков
общая емкость С=С1+С2.
Следовательно, после соединения энергию системы проще всего рассчитать по формуле:
(C11  C2 2 ) 2
q2
, где q=q1+q2 – общий заряд системы, С=С1+С2 -общая емкость
W2 

2(C1  C2 )
2C
Начальная энергия системы W1  W1  W2 (рис.5),
где W1 
C112 C2 22 (C11  C2 2 ) 2


системы. Q  W1  W2 
2
2
2(C1  C2 )
Найдем выделившееся при соединении шариков количество теплоты
, Q=0,13нДж
Ответ: Q=0,13нДж
Задача 5.
Электрон влетает в плоский конденсатор со скоростью направленной параллельно пластинам.
Расстояние между пластинами d=0,85см, длина пластин L=2,0см, напряжение между ними U=30В.
При вылете из конденсатора отклонение электрона равно h=2,0мм. Найти модуль начальной
скорости электрона.
Дано: d=0,85см, L=2,0см, U=30В, h=2,0мм, m= 9,1  1031 кг, q=  1,6  1019 Кл
Найти: V0-?
Решение
При такой формулировке условия задача называется обратной, т.е. чтобы найти начальную
скорость нужно решать задачу в общем виде так, как будто начальная скорость частицы известна.
Получив в общем виде соотношение между заданными в условии величинами и начальной
Рис.7
скоростью, можно найти ее модуль.
Поэтому сначала решаем прямую задачу, т.е. рассматриваем движение электрона влетевшего в

конденсатор с начальной скоростью V0 , которая направлена параллельно пластинам. «По
умолчанию» силами сопротивления движению частицы можно пренебречь. Кроме того, масса
большинства элементарных частиц так мала, что их силой тяжести

 
можно пренебречь.По второму закону Ньютона ma  F  qE , и так как заряд электрона
отрицательной, то ускорение частицы противоположно напряженности электрического поля (рис.7).
Поле конденсатора считается однородным, и тогда напряженность поля можно найти по
U
формуле E  .
d
Запишем кинематические уравнения для координат электрона в выбранной системе
at 2
отсчета: y 
, x  V0t . В момент, когда электрон вылетает из конденсатора, координата х=L, а
2
qU
L
2h
2hdm
координата у=h. Тогда: t 
, V0   L

t
2hdm
a
qU
1,6  10 19  30
м
 7,9  106
3
2
31
2  2  10  0,85  10  9,1  10
с
м
Ответ: V0  7,9  10 6
с
V0  2  10 2
Задача 6.
Плоский воздушный конденсатор заряжен до некоторого напряжения. Вплотную к одной из
обкладок конденсатора вставляют поочередно стеклянную и металлическую пластины, толщина
которых одинакова и равна половине расстояния между обкладками конденсатора. Площадь
пластин равна площади обкладок конденсатора, относительная диэлектрическая проницаемость
стекла равна  . Во сколько раз изменится энергия конденсатора в каждом случае?
Дано:  , d1 
Найти:
d
2
W2
?
W1
Решение
Рис.8
Рис.9
Рис.10
Пусть емкость плоского воздушного конденсатора c0 
расстояние между ними (рис.8),
0S
d
, где S –площадь обкладок, d –
 0 - электрическая постоянная. Пусть конденсатор был заряжен до
c0U 02
.
2
Так как в условии не сказано о подключении конденсатора к источнику напряжения, то
считается, что он отключен и при вставлении пластин не изменяется его заряд. Следовательно в
обоих случаях заряд конденсатора остается равным первоначальному q0  c0U 0 .
Если вставлена стеклянная пластина, то напряженность поля в стекле меньше в  раз, чем в
воздухе, а направление поле осталось прежним (рис.9).
Такую систему можно рассматривать как два последовательно соединенных конденсатора.
1
1
1
 /  / , где
Общая емкость при последовательном соединении рассчитывается по формуле:
c1 c1 c2
 S 2 S
 S 2 S
1
d
d
d (1   ) (1   )
c1/  0  0 , c2/  0  0 ,




.
Энергию
d1
d
d1
d
c1 2 0S 2 0 S
2 0S
2 0 c0
напряжения U0. Тогда начальную энергию конденсатора можно вычислить по формуле: W1 
конденсатора в этом случае можно найти по формуле: W2 
q02
( c U ) 2 (1   ) c0U 02 (1   )
 0 0

.
2c1
4 0 c0
4
W2 1  

. Для всех диэлектриков   1 и из полученного соотношения
W1
2
следует, что энергия конденсатора уменьшилась, так как часть начальной энергии затрачена на
поляризацию молекул диэлектрика, т.е. ориентацию их в электрическом поле.
Если вставить в конденсатор проводящую пластину, то внутри нее электрическое поле
 S 2 S
отсутствует (рис.10). Следовательно, емкость конденсатора в этом случае c2  0  0  2c0 и ,
d1
d
Найдем отношение:
соответственно энергия W / 2 
Ответ:
q02
(c U ) 2 c U 2
W/ 1
 0 0  0 0 . Отношение энергий: 2 
2c 2
4 c0
4
W1 2
W2 1   W2/ 1

 .
,
W1
2
W1 2
Задача 7. Два конденсатора емкостью с1=2мкФ и с2=3мкФ заряжены до напряжений U1=70В и
U2=120В. Конденсаторы соединяют разноименно заряженными обкладками. Какое количество
теплоты выделится при соединении конденсаторов?
Дано: с1=2мкФ , с2=3мкФ, U1=70В , U2=120В.
Найти: Q-?
Решение
При соединении разноименных обкладок конденсаторов перераспределение зарядов будет
продолжаться до тех пор, пока не установится одинаковое напряжение. В результате этого каждая
обкладка конденсатора с1 изменит знак на противоположный, и конденсаторы будут соединены
параллельно.
Кроме того, подразумевается, что при соединении обкладок выполняется закон
сохранения заряда: q1  q2  q1  q2 .
c U  c2U 2
Тогда с1U1+c2U2=c1U+c2U, U  1 1
.
c1  c2
При соединении обкладок проводами, по ним движутся электроны, и часть электрической
c U 2 c U 2 (c  c 2 )U 2
энергии переходит в тепловую. Поэтому Q=W 1-W2, Q  1 1  2 2  1
, Q=1,5мДж.
2
2
2
Ответ: Q=1,5мДж
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
Какой угол с вертикалью составляет шелковая нить, на которой подвешен шарик массой m=2,0г
и зарядом q=2,0мкКл, если вся система находится в горизонтальном, однородном электрическом
kB
поле с напряженностью Е=10
?
м
Задача 2.
Два точечных заряда q1=10нКл и q2=40нКл расположены на расстоянии d=30 см друг от
друга. В какой точке напряженность электрического поля равна нулю? Чему равен потенциал поля
в этой точке? Изменятся ли ответы, если вся система расположена в диэлектрике с диэлектрической
проницаемостью   2 ?
Задача 3.
Три одинаковых маленьких металлических шарика имели заряды q1=10Кл, q2=-15нКл и q3=12нКл. Шарики привели в соприкосновение, а затем поместили в вершины квадрата со стороной
а=20см. Найти напряженность и потенциал электростатического поля в четвертой вершине
квадрата.
Задача 4.
Электрон влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е=10
kB
со скоростью
м
kм
, направленной под углом   300 к линиям напряженности. Через какое время
c
скорость электрона будет направлена перпендикулярно линиям напряженности?
V0=1000
Задача 5.
Проводящая полая сфера имеет радиус R1=5,0см, заряд q=10мкКл и покрыта сферическим
слоем диэлектрика с внешним радиусом R2=15cм. Найти напряженность и потенциал точек поля,
расположенных на расстояниях r1=4,0см, r2=10см, r3=20cм от центра сферы.
Задача 6.
Два последовательно соединенных конденсатора емкостями с1= 2,0мкФ и с2=4,0мкФ
подключены к источнику напряжением U=180В. Конденсаторы отсоединили друг от друга и от
источника и соединили одноименно заряженными пластинами. Какое количество тепла
выделилось?
Задача 7. Три шарика, заряды которых q1=q2=q3=2,0мкКл, закреплены на прямой и на
расстоянии r=2,0см друг от друга. Если после одновременного освобождения шарики движутся
поступательно, то максимальная кинетическая энергия одного из крайних шариков равна…