МОУ Нижнеспасская сош Открытый урок по алгебре Формула корней квадратного уравнения 8 класс Учитель математики Комисарова И.Н. 2009 г Имя урока: Уравнения, как растения, могут иметь корни, а могут и не иметь. Посредством уравнений, теорем Я уйму разрешил проблем. Чосер Тема урока: Формула корней квадратного уравнения. Цели урока: образовательная: знакомство с формулой корней квадратного уравнения и формирование первичных умений применения ее при решении квадратных уравнений; развивающая: развитие математической речи, критического и объективного мышления; воспитательная: формирование познавательного интереса, умения планировать свою работу, формирование объективной самооценки и взаимооценки. Оборудование: 1. компьютер, 2. медиапроектор, 3. экран, 4. презентация к уроку, 5. листы контроля, 6. раздаточный материал. План урока: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Оргмомент. Проверка домашнего задания. Повторение. Постановка целей и задач урока. Объяснение нового материала. Закрепление. Подведение итогов. Домашнее задание. Ход урока: 1. Оргмомент. Наш урок сегодня я хотела бы начать с таких слов: В класс вошел – не хмурь лица, Но будь разумным до конца. Ты не зритель и не гость – Ты программы нашей гвоздь. Не ломайся, не смущайся, Всем законам подчиняйся. А законы у нас сегодня на уроке такие: Первый закон: каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных этапах. Для этого на столах у вас листы контроля, в которых вы будете фиксировать свои успехи. Второй закон: для ответа на вопрос вы поднимаете руку и ни в коем случае не перебиваете друг друга. Третий закон, известный всем: Доверяй, но проверяй. Сейчас мы проверим выполнение домашнего задания. Поменяйтесь тетрадями с соседом по парте и проверьте домашнюю работу по слайду на экране. За верное выполнение задания поставьте 1 балл в лист контроля соседа по парте. После проверки передайте тетради на первый стол. Четвертый закон. Повторение – мать учения. Вы уже достаточно много знаете о квадратных уравнениях. И сейчас мы это проверим. Я предлагаю вам ответить на несколько вопросов: Вопрос 1. Какие уравнения называются квадратными? (Уравнения вида ax²+bx + c = 0 , где a,b, c – некоторые числа называется квадратным.) Вопрос 2 . Что значит решить уравнение? (Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.) Вопрос 3. Какие из них называются полными, а какие неполными квадратными уравнениями? (Если коэффициенты b, c отличны от нуля, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Если хотя бы один из коэффициентов b, c равен нулю, то уравнение называется неполным.) Вопрос 4. Перечислите виды неполных квадратных уравнений и расскажите о способах их решения и числе возможных корней уравнений. (Виды неполных квадратных уравнений ax² = 0 ax²+bx = 0 ax²+ c = 0 Способы решения Уравнение всегда имеет Уравнение решается один корень, х = 0. разложением на множители, вынесением общего множителя за скобки. Всегда имеет два корня, один из которых равен нулю. Уравнение решается разложением на множители по формуле разность квадратов, если c < 0 и имеет два противоположных корня. Если c > 0, то уравнение не имеет корней.) Вопрос 5. Практический. Установите соответствие между уравнением и ответом, не решая уравнения. Уравнение Ответ 1. х² - 4 = 0 А. нет корней 2. х² + 5х = 0 Б. 0 3. х² + 25 = 0 В. ± 2 4.2х² - 6х = 0 Г. – 5; 0 5. 5х² = 0 Д. ± 3 6. 9 – х² = 0 Е. 0; 3 Те, кто на практический вопрос ответили без ошибок, поставьте себе 2 балла, допустили 1-2 ошибки – 1 балл. Пятый закон. Усердие все превозмогает. Мы повторили пройденный материал о неполных квадратных уравнениях, перейдем к полным. Какие способы решения полных квадратных уравнений вы знаете на данный момент? (Графический способ и способ выделения полного квадрата.) Какие недостатки этих способов были нами отмечены ранее? (Графический способ не всегда дает точный результат, а способ выделения полного квадрата достаточно сложный и трудоемкий) А теперь скажите, могли ли математики спать спокойно, если бы для таких нужных и важных уравнений не было бы более простого и универсального способа решения? Таким образом, цель нашего урока (рассмотреть универсальную формулу для решения квадратных уравнений и научиться ее применять) Итак, приступим. Квадратное уравнение имеет вид ax²+bx + c = 0. Преобразуем квадратный трехчлен, выделяя полный квадрат: b ax 2 bx c ax 2 bx c a x 2 x c a 2 2 b2 b b b 2 a x 2 x c a x 2 x c 4a 2a 2 a 2 a b 4ac b 2 b b 2 4ac a x a x 2 a 4 a 2a 4a 2 2 b b 2 4ac И вспомним, что означает и - числа при построении графика 2a 4a квадратичной функции. b 2 4ac a 0 и b 4ac 0, 0 , то вершина параболы Если 4a будет расположена ниже оси Ох. 2 y y y 0 0 а b x а b x а b 0x Как бы не располагалась вершина параболы относительно оси Оу, мы видим наличие двух корней квадратного уравнения. b 2 4ac 2 0 , то вершина параболы будет Если a 0 и b 4ac 0, 4a расположена на оси Ох. y 0 y y а x 0 x b 0 x Как бы не располагалась вершина параболы относительно оси Оу, мы видим наличие одного корня квадратного уравнения. b 2 4ac 2 0 , то вершина параболы будет Если a 0 и b 4ac 0, 4a расположена выше оси Ох. y 0 y y x 0 x 0 x Как бы не располагалась вершина параболы относительно оси Оу, мы видим квадратное уравнение не имеет корней. Аналогично, все происходит и для случая, когда a < 0. Т.е. число корней квадратного уравнения зависит от знака выражения b 2 4ac . Это выражение назвали дискриминантом квадратного уравнения и обозначили D. D = b 2 4ac . А это значит, мы можем воспользоваться теоремами, доказанными в § 25 вашего учебника и составить следующий алгоритм решения квадратных уравнений. 1. Выписать значения коэффициентов a, b, c. 2. Найти дискриминант D по формуле D = b 2 4ac . 3. Если D < 0, то уравнение не имеет корней. b . 2a b D b D , x2 . 5. D > 0, то уравнение имеет два корня: x1 2a 2a 4. D = 0, то уравнение имеет один корень: x Итак, формулу мы получили, и я предлагаю ее испытать, так ли она хороша. Шестой закон. Книга – книгой, но и мозгами двигай. Решим три уравнения. Пример 1. . 5 x 2 x 6 0. a 5, b 1, c 6. D b 2 4ac 1 4 5 6 1 120 119, D 0 Ответ : нет корней. 2 Пример 2. 4 x 2 12 x 9 0. a 4, b 12, c 9. D b 2 4ac 12 4 4 9 144 144 0, D 0 b 12 12 3 x 1,5 2a 24 8 2 Ответ :1,5. 2 Пример 3. 5 x 2 x 6 0. a 5, b 1, c 6. D b 2 4ac 1 4 5 6 1 120 119, D 0 Ответ : нет корней. 2 А теперь мы перейдем к самостоятельной работе по задачнику. Два ученика будут решать у доски, остальные самостоятельно, с последующей проверкой ответов. Продолжаем набирать баллы. № 25.2 (а,б) № 25.3 (а,б) № 25.5 Давайте подведем итоги нашего урока. Что же мы сегодня на уроке узнали? (Мы узнали новую формулу для корней квадратного уравнения) Чему научились? (Мы научились вычислять дискриминант квадратного уравнения и решать его с помощью дискриминанта) Таким образом, цель нашего урока достигнута. Мы узнали универсальную формулу решения квадратных уравнений, в ее универсальности мы еще не раз убедимся. А теперь седьмой закон. Любой труд должен быть вознагражден. Подсчитайте баллы, набранные за урок, и оцените свою работу на уроке по таблице. Баллы Оценка 18 и более Отлично 14 – 17 Хорошо 10 – 14 Удовлетворительно Наш урок подходит к концу и пора домашнего задания приходит. § 25. № 25.2 (в,г), 25.3 (в,г), 25.6. А еще в конце урока хочу вам басню прочитать. Мартышка – апельсинов продавщица, Приехав как-то раз к себе на дачу, Нашла там интересную задачу. Но сосчитать не в силах стройный ряд, Разбрасывать вдруг стала все подряд И молвила: «Что толку в той задаче, Коль из нее не слепишь новой дачи». Я верю все же, что мартышки мненье – Не истинно для тех, кто знает толк в ученье. И я прошу девчонки и мальчишки, Решить «задачу на хвосте мартышки». Чтобы «решить эту задачу» вы можете обратиться в школьную библиотеку, а можете воспользоваться ресурсами Интернета. Вы найдете как старинные способы решения квадратных уравнений, так и современные. Результаты вашей работы мы сможем представить на школьной научно-практической конференции «Первые шаги в науку».