ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
1. Метрические пространства
1.1. Основные определения и примеры
Пусть E  некоторое множество.
Определение 1. Метрикой или расстоянием на множестве Е называется
отображение d : E  E  R  , удовлетворяющее следующим условиям:
1) ( x, y )  E  E d ( x, y )  0  x  y
2) ( x, y )  E  E d ( x, y)  d ( y, x) (условие симметрии)
3) ( x, y, z )  E  E  E d ( x, z )  d ( x, y)  d ( y, z ) (неравенство треугольника)
Пара ( E , d ) , состоящая из множества E и заданной на E метрики (или
расстояния) d называется метрическим пространством. Условия 1)  3)
будем в дальнейшем называть аксиомами метрики.
Примеры
1. E  R . Функция d ( x, y ) | x  y | задает расстояние на множестве
действительных чисел. Метрическое пространство ( R, d ( x, y ) | x  y |)
называется действительной прямой.
2. E  R . Функция d ( x, y) | arctg x  arctg у | также задает метрику на R . В
дальнейшем будет показано, что свойства метрического пространства
 R, d ( x, y) | arctg x  arctg y | отличаются от свойств действительной прямой.
3. E  произвольное множество. Отображение d определим равенством:
1, если x  y
d ( x, y )  
0, если x  y
Аксиомы метрики 1) 3) из определения 1 легко проверяются.
Рассмотренное в этом примере метрическое пространство ( E , d ) называется
дискретным метрическим пространством.
def
4. E  R n  R  R  ...  R  {x  ( x1 ,..., xn ) | xi  R, i  1, n}
n
Если x  ( x1 ,..., xn )  R n , то числа xi , i  1, n называются координатами точки
x . Точки x  ( x1 ,..., xn )  R n называют еще векторами, так как пространство Rn ,
наделенное операциями суммы и умножения на число
def
x  y  ( x1 ,..., xn )  ( y1 ,..., yn )  ( x1  y1 ,..., xn  yn )
def
 x   ( x1 ,..., xn )  ( x1 ,...,  xn ),  
действительно есть n -мерное
действительных чисел R .
Определение 2. Функция
векторное
( | ) : ( x, y )  R n  R n
,
пространство
def
над
полем
n
( x | y )   xi yi  R
i 1
называется скалярным произведением векторов из Rn .
Свойства скалярного произведения
Следующие свойства скалярного произведения вытекают из его
определения:
5
1) ( x | x)  0 , причем ( x | x)  0  x  0
2) ( x | y )  ( y | x) (симметрия )
3)  ( x  x) | y   ( x | y)  ( x | y) ,
 x | ( y  y )   ( x | y )  ( x | y) ,
( x | y)  ( x |  y)   ( x | y),   ,
(т.е. скалярное произведение является билинейной формой на Rn , как будет
показано позднее).
4) Имеет место неравенство Коши-Буняковского-Шварца:
n
| ( x | y ) ||  xi yi | ( x | x) ( y | y )
i 1
Доказательство 4)
Пусть   R . Тогда
0   ( x   y) | ( x   y)   ( x | x)  2 ( x | y)   2 ( y | y) .
В правой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно  ,
неотрицательный при всех
Следовательно, дискриминант
 R .
2
удовлетворяет неравенству ( x | y)  ( x | x)( y | y)  0 , которое равносильно
неравенству Коши-Буняковского-Шварца.
5) ( x  y) | ( x  y)  ( x | x)  ( y | y)
Доказательство 5)
Имеет место следующая оценка:
 ( x  y) | ( x  y)   ( x | x)  2( x | y)  ( y | y)  ( x | x)  2 | ( x | y) | ( y | y) 
( x | x)  2 ( x | x) ( y | y)  ( y | y)  ( x | x  y | y )2
Извлекая квадратный корень из обеих частей этого неравенства,
получим требуемое.
Пусть x  ( x1 ,..., xn ) , y  ( y1 ,..., yn )  n .Определим метрику в Rn одной из
следующих формул:
def
1) d ( x, y ) 
n
 (x  y )
i 1
def
i
2
i

 ( x  y) | ( x  y) 
n
2) d1 ( x, y )   | xi  yi |
i 1
def
3) d2 ( x, y)  max | xi  yi |
i 1, n
Аксиомы метрики для функций d1 , d2 легко проверить непосредственно,
неравенство треугольника для метрики d следует из неравенства КошиБуняковского-Шварца. Метрика d называется евклидовой метрикой в Rn , а
пространство ( R, d )  евклидовым пространством.
Отметим, что метрики d , d1 , d2 удовлетворяют следующему неравенству:
d2 ( x, y)  d ( x, y)  d1 ( x, y)  nd2 ( x, y) .
В дальнейшем Rn будем рассматривать с одной из этих метрик.
6
5. Пусть [a, b]  R, E  C[a, b]  множество функций, непрерывных на
отрезке [a, b] . Пусть f , g  C[a, b] . Определим расстояние между функциями f
и g формулой:
def
d ( f , g )  sup | f ( x)  g ( x) | .
x[ a ,b ]
Выполнение аксиом метрики из определения 1 легко проверить. Эта
метрика называется равномерной метрикой на множестве C[a, b] .
Получили метрическое пространство  C[a, b], d ( x, y )  sup | f ( x)  g ( x) |  .

x[ a ,b ]

6. Пусть E  C[a, b] . Зададим метрику на C[a, b] формулой
b
d ( f , g )   | f ( x)  g ( x) | dx .
a
В дальнейшем будем называть ее интегральной метрикой. Выполнение
первой аксиомы метрики следует из следующего свойства интеграла Римана:
пусть функция f интегрируема по Риману и неотрицательна на отрезке [a, b] ,
т.е. f  R[a, b] , f ( x)  0 на [a, b] . Если существует точка x0 [a, b] такая, что f
непрерывна в точке x0 и f ( x0 )  0 , то
b
 f ( x)dx  0 .
a
Аксиомы 2), 3) легко проверить непосредственно. Получим метрическое

b


a

пространство  C[a, b], d ( f , g )   | f ( x)  g ( x) | dx  .
7. Пусть ( E1 , d1 ), ( E2 , d2 )  два метрических пространства и E  E1  E2 .
Рассмотрим ( x, y), ( x, y)  E1  E2 . На E можно задать метрику одной из
следующих формул:
def
a) d  ( x, y), ( x, y)   d12 ( x, x)  d22 ( y, y)
def
b) d1  ( x, y), ( x, y)   d1 ( x, x)  d ( y, y)
def
c) d2  ( x, y), ( x, y)   max  d1 ( x, x), d2 ( y, y) 
Эти метрики удовлетворяют неравенству
d2  ( x, y), ( x, y)   d  ( x, y), ( x, y)   d1  ( x, y), ( x, y)   2d 2  ( x, y), ( x, y)  .
Метрическое пространство ( E , d ) , где d  любая из указанных выше метрик
a)  c), называется произведением метрических пространств ( E1 , d1 ) и ( E2 , d 2 ) .
1.2. Сходимость в метрическом пространстве. Полнота.
Эквивалентные метрики.
(E, d ) 
Пусть
метрическое
пространство.
Рассмотрим
последовательность точек ( xn )n , где xn  E .
Определение 3. Последовательность ( xn )n сходится к элементу x0  E ,
при n стремящемуся к бесконечности, если числовая последовательность
(d ( xn , x0 ))n сходится к нулю на действительной прямой. При этом x0
7
называется пределом последовательности ( xn )n и это записывается в виде:
lim xn  x0 .
n 
На языке «    » это определение записывается в следующем виде:
def
lim xn  x0    0,  p  , n  p d ( xn , x0 )   .
n 
Примеры
1. Пусть ( R, d ( x, y ) | x  y |) действительная прямая
lim xn  x0  R    0,  p  N , n  p d ( xn , x0 ) | x  x0 |  , т.е. имеет обычное
x 
определение сходящейся последовательности действительных чисел.
2. Пусть ( E , d )  дискретное пространство и ( xn )n последовательность
элементов множества E . Так как
1, если xn  x0
d ( xn , x0 )  
,
0, если xn  x0
xn  x0  E равносильно тому, что, начиная с некоторого номера,
то условие lim
n 
все члены последовательности равны
называются стационарными.
x0 .
Такие последовательности
3. Пусть  C[a, b], d ( f , g )  sup | f ( x)  g ( x) |  .


x[ a ,b ]
xn
, x  [0,1] .
n
lim f n  0 (нулевая функция) в пространстве C[0,1] с
Рассмотрим последовательность функций ( f n )n , где f n ( x) 
Докажем, что
n 
равномерной метрикой.
Решение
Имеет место следующее неравенство:
0  d ( f n , 0)  sup
x[0,1]
xn 1
 .
n n
Переходя в обеих частях этого неравенства к пределу при n   ,
d ( f n , 0)  0 , т.е. lim f n  0 .
получим: lim
n 
n 
1


4. Пусть в метрическом пространстве  C[0, 1], d ( f , g )   | f ( x)  g ( x) | dx 
0


задана последовательность непрерывных функций ( f n )n , где
1

0, если 0  x 

2

n
1
1 1

f n ( x)  nx  , если  x  
2
2
2 n

1 1

 1 , если 2  n  x  1

Доказать, что последовательность ( f n )n не сходится к непрерывной
функции в C[a, b] с интегральной метрикой.
Решение
8
График функции y  f n ( x) изображен на рис.1.
Рис.1
Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует
непрерывная функция f :[0,1]  R такая, что
1
lim d ( f n , f )  lim  | f n ( x)  f ( x) |dx  0 .
n 
n 
0
Тогда:
0
1/2
1/2
1
0
0
0
 | f ( x) | dx   | f n ( x)  f ( x) | dx   | f n ( x)  f ( x) | dx  d ( f n , f ) .
Переходим к пределу при n   , получим, что
1/2
 | f ( x) | dx 0 .
Так как
0
1
1
функция f непрерывна на отрезке 0,  , то f ( x)  0 x  0,  .
 2
 2
Пусть теперь  удовлетворяет условию:
номера n такого, что
1
   1 . Тогда для каждого
2
1 1
   , получим:
2 n
1
1
1


0
0   | f ( x)  1| dx   | f n ( x)  f ( x) | dx   | f n ( x)  f ( x) |dx  d ( f n , f ) .
Переходя к пределу при n   , получим, что f ( x)  1, x  [ ,1] . Имеем:

 1
0, x  0, 2  ,


f ( x)  
1, x   , 1 , 1    1.

2
1
2
Таким образом, функция f не может быть непрерывной в точке x  .
Полученное противоречие доказывает, что предположение было неверным,
последовательность ( f n )n не сходится в пространстве
1


C
[0,1],
d
(
f
,
g
)

| f ( x)  g ( x) | dx  .


0


Пусть ( xn )n  последовательность элементов метрического пространства
(E, d ) .
9
Определение 4. Последовательность ( xn )n называется
последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью в
метрическом пространстве ( E , d ) , если для нее выполняется
условие:   0,  p  N , n, m  p d ( xn , xm )   .
Примеры
1. Пусть  R, d ( x, y) | x  y |  действительная прямая.
( xn )n 
последовательность
Коши
действительных
чисел
   0  p  N , n, m  p d ( xn , xm ) | xn  xm |  .
2. ( R, d ( x, y) | arctg x  arctg y |) . Докажем, что последовательность

( xn ) n 1  (n) n является последовательностью Коши в этом пространстве.
Решение
По определению последовательности Коши необходимо проверить
выполнение условия:
  0,  p  N , n, m  p d ( xn , xm ) | arctg xn  arctg xm |  .
Пусть m  n . Тогда
d ( xn , xm ) | arctg xm  arctg xn | arctg m  arctgn  arctg
mn

1  mn
m
1
 arctg
 arctg   ,
mn
n
,
если n достаточно велико.
3. Докажем, что последовательность функций, ( f n )n , где
1

0, если 0  x 

2

n
1
1 1

f n ( x)  nx  , если  x   ,
2
2
2 n

1 1

 1 , если 2  n  x  1

является последовательностью Коши в пространстве C[0,1] с интегральной
метрикой.
Доказательство 3.
Если n  m , то
1
1
1
1
0
0
0
0
d ( f n , f m )   | f n ( x)  f m ( x) | dx   ( f n ( x)  f m ( x))dx   f n ( x)dx   f m ( x)dx .
Вычисляя интегралы, получим:
1 1 1
d ( fn , fm )     , n  m .
2m n
Если m достаточно велико, то d ( f n , f m ) будет сколь угодно малым.
Cледовательно, последовательность ( f n )n является последовательностью
Коши.
4. В дискретном метрическом пространстве последовательностями Коши
являются только стационарные последовательности.
10
Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность в метрическом
пространстве ( E , d ) является последовательностью Коши. Обратное
утверждение неверно.
Доказательство
Пусть lim
xn  x0  E . Возьмем произвольное   0 .Тогда
n 
d ( xn , xm )  d ( xn , x0 )  d ( x0 , xm )   ,
если m, n достаточно велики, что и доказывает теорему.
Как показывает пример 3, обратное утверждение не имеет места.
Определение 5. Метрическое пространство ( E , d ) называется полным,
если всякая последовательность Коши в этом пространстве является
сходящейся.
Примеры
( R, d ( x, y ) | x  y |)
1.
действительная прямая является полным
пространством.
2. Дискретное метрическое пространство является полным.
3. Пространство непрерывных функций C[a, b] с интегральной метрикой
не является полным.
4. Пространство (C[a, b], d ( f , g )  sup | f ( x)  g ( x) |) является полным.
x[ a ,b ]
Докажем 4.
( f n )n
Пусть
последовательность
функций
является
последовательностью Коши в C[a, b] с равномерной метрикой. Тогда x  [a, b]
имеет место неравенство | f n ( x)  f m ( x) | d ( f n , f m )   , если m и n достаточно
( f n ( x))n
велики.
Следовательно,
последовательность
является
последовательностью Коши в R и, по критерию Коши, существует
def
lim f n ( x)  f ( x)  R , причем, так как
n
| f n ( x)  f m ( x) |

3
, x  [a, b] ,
если m и n достаточно велики, то переходя в этом неравенстве к пределу при
m   , получим: | f n ( x)  f ( x) |

.
3
Докажем, что функция f : x  [a, b]
является непрерывной на
отрезке [a, b] . Возьмем произвольную точку x0 [a, b] . Имеем:
| f ( x)  f ( x0 ) || f ( x)  f n ( x) |  | f n ( x)  f n ( x0 ) |  | f n ( x0 )  f ( x0 ) | .
Тогда
  0 p 
f ( x) 
n  p | f n ( x)  f ( x) |

3

, | f n ( x0 )  f ( x0 ) | .
3
Фиксируем номер n , удовлетворяющий последним двум неравенствам.
Из непрерывности функции f n в точке x0 следует, что для любой окрестности
V ( f n ( x0 )) существует окрестность W ( x0 ) точки x0 такая, что x W ( x0 ) [a, b]
| f n ( x)  f n ( x0 ) |

3
.
11
Тогда | f ( x)  f ( x0 ) |  x W ( x0 ) [a, b] , т.е. f непрерывна в точке
x0 [a, b] . Так как точка x0  произвольная точка отрезка [a, b] , то f  C[a, b] .
Следовательно,
d ( f n , f )  sup | f n ( x)  f ( x) |
x[ a ,b ]

3
 ,
т.е. lim
d ( f n , f )  0 . Можно сделать вывод, что любая последовательность
n 
Коши в C[a, b] с равномерной метрикой является сходящейся в C[a, b] , т.е.
пространство  C[a, b], d ( f , g )  sup | f ( x)  g ( x) |  является полным.


x[ a ,b ]
Другие примеры полных пространств будут получены в следующем
параграфе.
Определение 5. Пусть E  произвольное множество и d1 , d2 две метрики
на E . Метрика d1 равномерно эквивалентна метрике d 2 , если существуют
постоянные a  0 , b  0 такие, что для всех ( x, y)  E  E имеет место
неравенство: ad1 ( x, y)  d2 ( x, y)  bd1 ( x, y) . Если d1 эквивалентна d 2 , то пишем
d1 d 2 .
Поскольку в дальнейшем не будет рассматриваться иное понятие
эквивалентных метрик, кроме понятия равномерно эквивалентных, то для
краткости
равномерно
эквивалентные
метрики
будем
называть
эквивалентными.
Определение 5 является отношением эквивалентности на множестве
метрик, задаваемых на E . Проверку соотношений:
а) d1 d1 ; b)
d1 d2  d2 d1 ; c) d1 d2 , d2 d3  d1 d3 произвести самостоятельно.
Теорема 2. Пусть ( E , d1 ) , ( E, d 2 )  два метрических пространства и
метрики d1 и d 2 эквивалентны ( d1 d2 ). Тогда будут равносильными
следующие условия:
xn  x  E в ( E , d1 )  lim xn  x0  E в ( E , d 2 ) .
1) lim
n 
n 
2)
( xn )n Последовательность
последовательность Коши
( E , d1 )  ( xn )n - последовательность Коши в ( E , d 2 ) .
3) Пространство ( E , d1 ) полно  пространство ( E, d 2 ) полно.
Доказательство следует из определения эквивалентных метрик.
в
1.3.Сходимость в Rn
В Rn были определены три метрики (п.1.1).
d ( x, y 
n
 (x  y )
i 1
i
i
2
 евклидова метрика,
n
d1 ( x, y )   | xi  yi | ,
i 1
d2 ( x, y)  sup(| xi  yi |) .
i 1, n
12
Неравенство d2 ( x, y)  d ( x, y)  d1 ( x, y)  nd2 ( x, y) показывает, что эти
метрики эквивалентны.
Рассмотрим последовательность ( xm )m , где xm  ( x1m , x2 m ,..., xnm )  n , т.е.
Последовательности ( xim )m , i  1, n ,
( xm )mN  (( x1m )m ,( x2m )m ,...,( xnm ) m ) .
называются координатными последовательностями последовательности
( xm )m .
Пусть a  (a1 ,..., an )  n . Имеет место следующее утверждение.
Теорема 3.
1) Последовательность элементов пространства Rn сходится в Rn к
вектору a тогда и только тогда, когда все координатные последовательности
сходятся к координатам вектора a в R , т.е.
lim xm  a  lim xim  ai i  1, n .
m 
m 

 

2) Последовательность ( xm )m является последовательностью Коши в Rn
тогда и только тогда, когда i  1, n координатная последовательность ( xim )m
является последовательностью Коши в R .
3) Пространства ( Rn , d ) , ( R n , d1 ) , ( R n , d 2 ) являются полными.
Доказательство
Проведем доказательство для пространства ( R n , d1 ) .
def
1) Необходимость. Дано:
lim xm  a  (a1 ,..., an )  lim d1 ( xm , a)  0 .
m
m
n
i  1, n 0 | xim  ai |  | xim  ai |  d1 ( xm , a) .
Тогда
Переходя к пределу при m   ,
i 1
xim  ai .
получим mlim

Достаточность. Дано:
i  1, n
lim xim  ai
m 

. Рассмотрим вектор
n
a  (a1 ,..., an ) .Тогда d1 ( xm , a )   | xim  ai | . Переходя в этом равенстве к пределу
i 1
d1 ( xm , a)  0 , т.е. lim xm  a в ( R n , d1 ) .
при m   , получим mlim
m 

2) Необходимость следует из неравенства i  1, n | xim  xik | d1 ( xm , xk ) .
Достаточность. Так как i  1, n ( xim )m является последовательностью
Коши в R , то для любого   0 существует номер p  N такой, что для всех
k, m  p

и для всех i  1, n | xim  xik | . Тогда d ( xm , xk )   для всех k , m  p .
n
3) Утверждение теоремы следует из 1), 2) и критерия Коши сходимости в
. Теорема 3 доказана.
m 1


, 2 , sin  в R 3 .
Пример. Найти mlim

 m  1
m
m

Решение
В соответствии с теоремой 3 получим:
m
1
1 
m
m 1
1
 m m 1
lim 
, 2 , sin    lim
, lim 2 , lim sin   (1, 0, 0) .
m  m  1
m
m   m m  1 m m m
m

13
1.4. Окрестности и открытые множества в метрическом
пространстве.
Пусть ( E , d )  метрическое пространство.
Определение 6. Открытым шаром с центром в точке a  E и радиуса
def
  0 называется множество B(a,  )  {x  E | d ( x, a)   } .
Соответственно, замкнутый шар  множество
def
B ( a ,  )  { x  E | d ( x, a )   } .
Сферой с центром в точке a  E радиуса   0 называется множество
def
S (a,  )  {x  E | d ( x, a)   } .
Примеры
1. ( R, d ( x, y ) | x  y |)  действительная прямая.
B(a,  )  (a   , a   ) , B(a,  )  [a   , a   ] , S (a,  )  {a   , a   } .
2. Опишем шар B((0, 0),1) в пространствах ( R2 , d ) , ( R 2 , d1 ) , ( R 2 , d 2 ) .
a) Пусть ( x, y)  R 2 и d (( x, y ), (0, 0))  x 2  y 2 .
Тогда
B((0,0),1)  {( x, y  R 2 | x 2  y 2  1)} и B((0,0),1)  {( x, y  R 2 | x 2  y 2  1)} 
соответственно открытый и замкнутый круг с центром в точке (0, 0) радиуса
1; а сфера S ((0,0),1)  {( x, y)  R2 | x2  y 2  1)}  окружность радиуса 1 с центром
в точке (0, 0) (см.рисунок 2 а), б))
а)
б)
Рис. 2.
Пусть ( x, y)  R . В метрике d1 (( x, y),(0,0)) | x |  | y |
B((0,0),1)  {( x, y  R 2 | | x |  | y | 1)} и B((0,0),1)  {( x, y  R 2 | | x |  | y | 1)} 
соответственно открытый и замкнутый круг с центром в точке (0, 0) радиуса
1 и сфера  S ((0,0),1)  {( x, y  R2 | | x |  | y | 1)} . Соответствующие множества
точек изображены на рисунке 3 а), б).
b)
а)
2
б)
Рис. 3.
14
с) Если ( x, y)  R 2 и рассматривается метрика d2 (( x, y), (0, 0))  sup(| x |,| y |) , то
открытый, замкнутый круги и сфера единичного радиуса соответственно
задаются условиями:
B((0,0),1)  {( x, y  R 2 |sup(| x |,| y |)  1)}
B((0,0),1)  {( x, y  R 2 |sup(| x |,| y |)  1)}
S ((0,0),1)  {( x, y  R 2 |sup(| x |,| y |)  1)} .
Изображения соответствующих множеств точек даны на рисунках 4 а),
б).
а)
б)
Рис. 4.
3. Пусть ( E , d )  дискретное метрическое пространство и x  E 
фиксированная точка и 0    1. Тогда B( x,  )  B( x,  )  {x} , а сфера S ( x,  )   .
, если   1
Если   1 , то B( x,  )  B( x,  )  E . Сфера S ( x,  )  
.
 E \{x}, если   1
4. Пусть множество А задается условием:
def
A  {( x, y)  R 2 | ( x  0, 0  y  2) или ( y  0, 0  x  2)} .
Определим метрику на A  A формулой:
d (( x, y ), ( x ', y '))  sup(| x  x ' |,| y  y ' |) .
Тогда открытым шаром с центром в точке (1,0) радиуса 1 в ( A, d )
является множество: B  (1,0),1  {( x, y)  R2 | y  0и0  x  2}. Замкнутый шар 
множество
B  (1,0),1  {( x, y)  R2 | ( y  0 и 0  x  2) или ( x  0 и 0  y  1)} .
Определение 7. Пусть U  E . Множество U называется открытым в
метрическом пространстве ( E , d ) , если для любой точки x U существует
открытый шар B( x,  x ) такой, что B( x,  x )  U .
Примеры
1.
 , E открыты в ( E , d ) .
2.
Открытый шар B(a,  ) является открытым множеством в ( E , d ) .
Доказательство 2.
x  B ( a,  ) .
Пусть
Тогда d (a, x)   .Рассмотрим открытый шар
B ( x,   d (a, x)) . Для любого y  B ( x,   d (a, x)) d ( y, x)    d (a, x) .
Из неравенства треугольника получим, что d ( y, a)  d ( y, x)  d ( x, a)   , т.е.
шар B( x,   d (a, x))  B(a,  ) . Следовательно, шар B(a,  ) является открытым
множеством.
15
Отметим следующие свойства открытых множеств, доказательство
которых вытекает из определения 7:
1) Объединение любого множества
U открытых в ( E , d ) множеств
 J
открыто в ( E , d ) .
2) Пересечение конечного числа открытых множеств открыто в ( E , d ) .
Замечание: Пересечение бесконечного семейства открытых множеств
может не быть открытым в ( E , d ) .
Пример
На действительной прямой пересечение открытых интервалов
n
 1 1
  ,   {0} . Множество {0} не является открытым в ( R, d ( x, y ) | x  y |) .
 n n
Определение 8. Пусть x  E . Множество V  E называется окрестностью
точки x , если существует шар B ( x,  ) такой, что B( x,  )  V .
Если V  окрестность точки x , то будем писать V ( x ) . Окрестность V ( x )
называется открытой окрестностью точки x , если множество V открыто в
( E , d ) . Множество V ( x)  V ( x) \{x} называется проколотой окрестностью точки
x.
В частности, открытый шар B( x,  ) является открытой окрестностью
точки x и его называют  -окрестностью точки x .
Свойства окрестностей
Следующие свойства окрестностей вытекают из определения 6:
1) Объединение любого множества
V ( x) окрестностей точки x
 J
является окрестностью точки x .
2) Пересечение конечного множества окрестностей точки x является
окрестностью точки x .
3) Для того, чтобы множество V  E было окрестностью каждой своей
точки, необходимо и достаточно, чтобы V было открыто в ( E , d ) .
Доказательство 3)
Достаточность следует из определения 6.
Необходимость. Пусть V окрестность каждой своей точки. Тогда x V
существует открытый шар B( x,  x ) такой, что B( x,  x )  V . Тогда B( x,  x )  V .
xV
Следовательно, V  открытое множество. Свойство 3) доказано.
4) Пусть x, y  E и x  y . Существуют окрестности V ( x ) , V ( y ) такие, что
V ( x) V ( y )   .
Доказательство 4)
По определению метрики, d ( x, y)  0 . Рассмотрим открытые шары
 d ( x, y ) 
 d ( x, y ) 
 d ( x, y ) 
 d ( x, y ) 
B  x,
 и B  y,
 . Если точка z  B  x,
 B  y,
 , то
2 
2 
2 
2 




d ( x, y ) d ( x, y )
d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z , y ) 

 d ( x, y ) .
2
2
Получим противоречивое неравенство: d ( x, y)  d ( x, y) .
16
Следовательно B  x,

d ( x, y ) 

2 
 d ( x, y ) 
B  y,
   . Свойство 4) доказано.
2 

Свойство 4) называется свойством отделимости метрического
пространства ( E , d ) .
Определение 9. Пусть D  E . Открытой окрестностью множества D
называется любое открытое множество, содержащее D , а окрестностью
множества D  любое множество, содержащее открытую окрестность D .
Если множество V  E является окрестностью D , то в дальнейшем будем
писать V ( D ) .
1.5. Замыкание множества. Замкнутые множества
Пусть ( E , d )  метрическое пространство и D  E .
Определение 10. Точка x  E называется предельной точкой множества
D , если в любой проколотой окрестности точки x содержатся точки из D ,
т.е. V ( x) D  V ( x) \{x} D   . Множество предельных точек множества D
называется производным множеством и обозначается D ' .
Определение предельной точки можно сформулировать в следующем
виде:
def
x  D ' V ( x) V ( x) D   .
Следующая теорема характеризует предельные точки.
Теорема 4. Точка x  E является предельной точкой множества D тогда
и только тогда, когда существует последовательность ( xn )n , xn  D , xn  x
xn  x .
такая, что lim
n 
Доказательство


Необходимость. Пусть x  D ' . Тогда пересечение  B  x,  \{x}  D   .
  n

1

1

1
xn  x .
Пусть xn   B  x,  \{x}  D . Так как 0  d ( xn , x)  , то lim
n 
n
n
 


Достаточность. Пусть ( xn )n
xn  x и lim xn  x .
n 
 такая последовательность, что xn  D ,
xn  x , то существует
Рассмотрим любую окрестность V ( x ) . Так как lim
n 
.
номер p  такой, что для всех n  p , xn V ( x) . Следовательно, V ( x) D   .
Теорема 4 доказана.
Пример. Пусть D   (0,1) {2}  . Тогда D '  [0,1] .
Определение 11. Точка x  E называется точкой прикосновения
множества D , если в любой окрестности V ( x ) этой точки содержатся точки из
D , т.е. V ( x), V ( x) D   . Множество точек прикосновения называется
замыканием множества D и обозначается D .
Свойства замыкания.
1) D  D , D '  D
2) D  D D '
17
3) A  B  A  B
4) A B  A  B
Замечание.
Может
случиться,
что
Например,
A B  A B.
A  (0, 1), B  (1, 2) . Тогда A B  {1} , но A B   .
Доказательство этих свойств опирается на определения входящих в них
множеств. Например, докажем, что в свойстве 2) имеет место
включение: D  ( D D ') .
Доказательство
Пусть

или V ( x) D    x  D '
x  D  V ( x) D   
  xD D',
или W ( x) такая, что W ( x) D    x  D 
т.е. D  ( D D ') . Обратное включение проверить самостоятельно.
Определение 12. Множество D  E замкнуто в метрическом
пространстве, если D  D .
Пусть D  E . Дополнение множества D до множества E будем
обозначать CE D . Следующее утверждение характеризует замкнутые
множества.
Теорема 5. Следующие предложения эквивалентны:
1) множество D замкнуто в пространстве ( E , d ) .
2) дополнение множества D до E , т.е. CE D открыто в ( E , d ) .
3) D '  D .
Доказательство
Доказательство проведем по следующей схеме: 1)  2)  3)  1) .
1)  2) Рассмотрим x  CE D . Так как D  D , то x  D . Следовательно,
существует окрестность V ( x ) такая, что V ( x) D   . Тогда V ( x)  CE D , т.е.
CE D открыто.
2)  3) Так как CE D открыто, то CE D  D '   . Можно сделать вывод, что
D'  D .
3)  1) Так как D '  D , то D  D  D '  D . Теорема 5 доказана.
Примеры
1. Множества  , E замкнуты в ( E , d ) .
2. Отрезок [a, b] является замкнутым множеством на действительной
прямой.
3. Замкнутый шар B(a,  ) является замкнутым множеством.
Доказательство 3.
Достаточно доказать, что дополнение CE B(a,  ) в ( E , d )
является
открытым множеством.
Возьмем x  CE B (a,  ) . Тогда d (a, x)   . Рассмотрим открытый шар
B ( x, d (a, x)   ) . Для любой точки y  B( x, d (a, x)   ) выполняется условие
y  B( x, d (a, x)   )  d ( x, y )  d (a, x)   (*).
18
Из неравенства треугольника
d ( a, x )  d ( a, y )  d ( y , x )
получим: d (a, x)  d ( x, y)  d (a, y) .
Используя неравенство (*), получим оценку:
d (a, x)  d (a, x)    d (a, x)  d ( x, y)  d ( a, y) ,
т.е. d (a, y)   . Следовательно, шар B( x, d (a, x)   )  CE B(a,  ) , т.е. множество
CE B (a,  ) открыто.
4. Сфера S (a,  ) замкнута в ( E , d ) .
Доказательство 4.
Так как
имеет место представление CE S (a,  )  B(a,  ) CE B(a,  ) и
множество CE S (a,  ) открыто в ( E , d ) , то S (a,  )  E \ CE S (a,  ) замкнута в ( E , d ) .
Замечание: Может случиться , что замыкание открытого шара B(a,  ) не
совпадает с замкнутым шаром B(a,  ) (смотрите пример 4 п. 1.4 )
Среди точек множества D выделяются изолированные точки.
Определение 13.
Точка x  D называется изолированной точкой
множества D , если существует окрестность этой точки V ( x ) такая, что
пересечение V ( x) D  {x} .
Примеры
1) Дискретное пространство состоит только из изолированных точек.
2) Множество
состоит из изолированных точек на действительной
прямой.
1.6. Расстояние между множествами. Ограниченные множества.
Пусть A, B  E  непустые подмножества.
Определение 14. Расстоянием между множествами A и B называется
def
неотрицательное число d ( A, B)  xinf
d ( x, y ) .
A, yB
Отметим, что если A B   , то d ( A, B)  0 , но обратное утверждение
неверно.
Пример. Пусть A  {( x, y) 
d ( A, B)  0 , но A
2
| y  0} ,

B  ( x, y ) 

2
1
| x  0, y   . Тогда
x
B  .
Пусть D  E  непустое подмножество.
Определение 15. Диаметром множества D называется величина
def
 ( A)  sup d ( x, y) .
( x , y )D D
Множество называется ограниченным в ( E , d ) , если его диаметр конечен.
Например,  ( B(a,  ))  2 .
1.7. Внутренние, внешние и граничные точки множества
Пусть ( E , d )  метрическое пространство и D  E .
19
Определение 16. 1)
Точка x  D называется внутренней точкой
множества D , если существует шар B( x,  ) такой, что B( x,  )  D . Множество
0
внутренних точек называется внутренностью множества и обозначается D .
1)
Внутренняя точка дополнения CE D называется внешней точкой
множества D .
2)
Точка x  E называется граничной точкой множества D , если в
любой ее окрестности V ( x ) содержится по крайней мере одна точка D и по
крайней мере одна точка дополнения, т.е. выполняются условия: V ( x) D  
и V ( x) CE D   . Множество всех граничных точек называется границей
множества D и обозначается D .
Примеры
1. D ]1, 2] {3}  R , D  {1, 2,3} .
2. D  Q  R , Q  R
0
0
Отметим, что
(доказать самостоятельно).
D  D \ D  D ( E \ D)
Следовательно, D является замкнутым множеством в ( E , d ) .
1.8. Подпространства метрического пространства.
Пусть ( E , d )  метрическое пространство и D  E .
Определение 17. Сужение d DD определяет метрику на D и эта метрика
называется индуцированной в D метрикой пространства ( E , d ) . Метрическое
пространство ( D, d DD ) называется подпространством пространства ( E , d ) .
Пусть x  D и B( x,  )  открытый шар в ( E , d ) . Тогда пересечение
B( x,  ) D является открытым шаром в подпространстве ( D, d DD ) .
Следующее утверждение характеризует открытые и замкнутые
подмножества, а также окрестности точек в подпространстве ( D, d DD ) .
Теорема 6.
1) Для того, чтобы множество U  D было открытым (замкнутым) в
подпространстве ( D, d DD ) необходимо и достаточно, чтобы существовало
такое множество U , открытое (замкнутое) в пространстве ( E , d ) , что
U U D .
2) Пусть x  D . Для того, чтобы подмножество V  D было окрестностью
точки x в ( D, d DD ) необходимо и достаточно, чтобы V  V ( x) D , где V ( x) 
окрестность точки x в ( E , d ) .
Доказательство 1)
Доказательство 1) проведем для открытых множеств.
Необходимость.
Пусть
множество
открыто
в
U D
подпространстве ( D, d DD ) . Тогда x U существует открытый шар B( x,  x )  U
с центром в точке x и радиуса  x в подпространстве ( D, d DD ) , т.е. такой, что
B( x,  x ) D  U ,
U
xU
 B ( x,  x ) 
D

B ( x,  x ) 
xU
B ( x,  x )

шар
D U
D , где U 
в
xU
(E, d ) .
Тогда
B( x,  x )  открыто в ( E , d ) .
20
Достаточность. Пусть U  U D , где U  открыто в ( E , d ) , и x U D .
Так как U открыто в ( E , d ) , то существует B( x,  x )  U . Следовательно,
x   B( x,  x ) D   U D   U , т.е. U открыто в подпространстве D .
Доказательство части 2) теоремы провести самостоятельно.
Замечание. Пусть ( E , d )  полное пространство и D  E замкнуто. Тогда
подпространство ( D, d DD ) является полным.
Доказательство
Рассмотрим произвольную последовательность Коши ( xn )n , где xn  D .
Тогда в силу полноты пространства ( E , d ) существует lim
xn  x0  E . Так как
n 
замкнуто, то x0  D , что по определению равносильно полноте ( D, d DD ) .
1.9 Пределы отображений. Непрерывные отображения.
Рассмотрим два метрических пространства ( E1 , d1 ) , ( E2 , d2 ) и
отображение f : D  E2 , где D  E1 . Пусть a – предельная точка множества D,
т.е. a  D .
Определение 18. Точка b  E2 называется пределом отображения f , когда
x стремится к a по множеству D, и это записывается в виде lim f ( x)  b ,
D
x a , xD
если для любой окрестности W (b) существует окрестность V (a ) такая, что
для всех x V (a) D f ( x) W (b) .
Краткая запись определения 18 имеет вид:
 lim
x  a , xD

f ( x)  b   W (b), V (a) f (V (a)  D)  W (b)  .
Так как каждая окрестность некоторой точки содержит  -окрестность
этой точки, то определение 18 можно записать на языке «    »:


def
lim f ( x)  b      0   0,  x  D |0  d1 ( x, a)   d2 ( f ( x), b)    .
x  a , xD
Если D  R и f : D  R , то имеем определение предела функции одного
действительного переменного.
Так как метрическое пространство удовлетворяет условию отделимости,
то предел единственен.
Теорема 7. Следующие предложения эквивалентны:
1. lim f ( x)  b .
x a , xD
2. Для любой сходящейся в ( E1 , d1 ) последовательности точек
( xn )n
xn  D
xn  a
xn  a , последовательность их образов ( f ( xn ))n сходится в
, lim
n 
( E2 , d2 ) и lim f ( xn )  b .
n 
Доказательство единственности предела и теоремы 7 дословно повторяет
доказательство этих утверждений для функций из R в R .
21
Определение 19. Пусть x0  D . Отображение f непрерывно в точке x0
если для любой окрестности W ( f ( x0 ))  E2 существует окрестность V ( x0 )  E1
такая, что f (V ( x0 ) D)  W ( f ( x0 )) .
На языке «    » это определение можно записать в эквивалентной
форме:
(отображение f непрерывно в точке x0  D ) 
     0,   0,  x  D 0  d1 ( x, x0 )   d 2 ( f ( x), f ( x0 ))   
def
Определение 20. Отображение f непрерывно на множестве D, если f
непрерывно в каждой точке множества D.
Пример
Докажем, что метрика d : E  E  непрерывна на E  E .
Решение
Рассмотрим точки ( x0 , y0 ) , ( x, y)  E  E . Тогда по третьей аксиоме
метрики имеем:
d ( x, y)  d ( x, y0 )  d ( y0 , y) и d ( x, y0 )  d ( x, y)  d ( y, y0 ) .
Из этих двух неравенств следует, что | d ( x, y0 )  d ( x, y) |  d ( y0 , y) . Аналогично
получим неравенство: | d ( x, y0 )  d ( x0 , y0 ) |  d ( x, x0 ) .
Оценим модуль разности:
| d ( x, y)  d ( x0 , y0 ) |  | d ( x, y)  d ( x, y0 ) |  | d ( x, y0 )  d ( x0 , y0 ) |  d ( x, x0 )  d ( y, y0 ) .


Если ( x, y )  B  x0 ,   B  y0 ,  , то | d ( x, y)  d ( x0 , y0 ) |   . Можно сделать

2

2
вывод, что d непрерывна в точке ( x0 , y0 ) . Ввиду того, что ( x0 , y0 ) -
произвольная точка множества E  E , d непрерывна на E  E .
Множество отображений, непрерывных на D, будем обозначать
C ( D, E2 ) .
Теорема 8. Следующие предложения эквивалентны:
1) отображение f : D  E2 , D  E1 непрерывно на множестве D, т.е.
f  C ( D, E2 ) ;
2) для любого открытого множества U  E2 , прообраз f 1 (U ) открыт в
подпространстве ( D, d1 |DD ) ;
3) для любого замкнутого множества W  E2 , прообраз f 1 (W ) замкнут в
подпространстве ( D, d1 |DD ) .
Доказательство
Напомним, что множество A открыто (или замкнуто) в подпространстве
( D, d1 |DD ) , если A  A D , где A  открыто (или замкнуто) в ( E, d1 ) .
Докажем, что 1)  2)
Необходимость. Пусть f  C ( D, E2 ) . Рассмотрим любое множество U  E2 ,
открытое в E2 . Мыслимы две возможности:
22
1) f 1 (U )  
2) f 1 (U )  
Если выполняется 1), то пустое множество открыто в подпространстве.
2) Пусть f 1 (U )   и возьмем любую точку a  f 1 (U ) D . Так как f
непрерывно в точке a, то существует открытый шар B(a,  a ) в ( E1 , d 1) такой,
что образ f ( B(a,  a ) D)  U или B(a,  a ) D  f 1 (U ) .
Следовательно,
a f 1 (U ) D
 B ( a,  a )
Таким образом, множество


D  
B(a,  a )  D  f 1 (U ) .
 1

 a f (U ) D

B(a,  a )  U открыто в ( E1 , d 1) и
a f 1 (U ) D
f 1 (U )  U
D  открытое множество в подпространстве ( D, d1 |DD ) .
Достаточность. Пусть прообраз любого открытого множества в E2
открыт в подпространстве ( D, d1 |DD ) . Возьмем a  D . Рассмотрим
произвольную открытую окрестность W ( f (a)) точки f (a ) . Для ее прообраза
имеем: f 1 (W ( f (a))) = V (a) D . Тогда f (V (a) D)  W ( f (a)) . Так как всякая
окрестность содержит открытую окрестность, то f непрерывна в
произвольной точке a  D . Следовательно, f  C ( D, E2 ) .
Эквивалентность 2)  3) следует из равенства CD f 1 ( B)  f 1 (CE B) , т.е.
дополнение прообраза совпадает с прообразом дополнения.
Замечание. В теореме 8 прообразы нельзя заменить образами. Например,
если f : x  1, 1 f ( x)  x2 , тогда f (]  1, 1[)  [0, 1) , т.е. образом открытого
множества не является открытым множеством.
Вместе с тем, имеет место следующее утверждение:
Теорема 9. Непрерывность отображения f : D  E2 , D  E1 равносильна
тому, что образ замыкания любого подмножества области определения
содержится в замыкании его образа, т.е.:
( f  C ( D, E2 ) )  (B  D f ( B )  f ( B) )
Доказательство
Необходимость. Множество f ( B ) замкнуто в ( E2 , d2 ) . Тогда
множество f 1 ( f ( B)) замкнуто в ( D, d1 |DD ) и B  f 1 ( f ( B)) . Следовательно,
B  f 1 ( f ( B)) . Тогда f ( B )  f ( B ) .
Достаточность. Докажем, что из условий теоремы 9 следует
утверждение 3 теоремы 8.
2
def
Пусть множество K  E2 замкнуто и f 1 ( K )  A . Тогда f ( A)  K и
f ( A)  K . Следовательно, по условиям теоремы 9 f ( A)  f ( A)  K . Из
последнего включения получаем, что A  f 1 ( K )  A . Следовательно, A  A ,
т.е. множество A замкнуто. Получили, что прообраз замкнутого множества
K  E2 есть замкнутое множество A  D . Ввиду произвольности выбора
множества K  E2 по утверждению 3) теоремы 8 это равносильно
непрерывности отображения f на множестве D . Теорема 9 доказана.
23