Только формулы.

http://teormex.net/
1
N
L
; относительная деформация  
; Закон Гука:
F
L

N
NL
; абсолют. удлинение L 
; относит. поперечная дефор  ;  = Е;  
E
EF
EF
L
N( z )
a
I
dz ; работа
мация I 
; коэфф.Пуассона   ; удлинение стержня L  
E

F
(
z
)
a

0
Нормальное напряжение:  
P  L
P 2L
при растяжении A 
; потенциальная энергия U  A 
; учет собств. веса
2 E F
2
P
P  L   L2
стержня: N(z) = P + FL; max     L ; L 
; условие прочности при

EF 2E
F

растяж.-сж: max []; []  o – допуск. напр.; линейное напряженное состояние: полn
P P
ное напр.: p  
 cos     cos  ; нормальное:     cos2  ; касательное:
F F


    sin 2 ; на перпендикулярных площадках     sin 2  ;     sin 2 ;
2
2
 = — ; главные напряжения: 1>2>3; на наклонной площадке:
  z
sin 2   xz cos 2 или
   x cos2    z sin2    xz sin 2 ;    x
2
  z x  z
  x

cos 2   xz sin 2 ; закон парности касательных напр. xz= — zx;
2
2
1   2
   2 1   2

cos 2 ;
sin 2 ;    1
  1 cos2    2 sin2  ;   
2
2
2
  2
  1 sin 2    2 cos 2  ;    1
sin 2 ; +=1+2; макс. касательное
2
  2
  z 1
напряжение max  1
; главные напр-ния max  x

( x   z ) 2  4 2xz ;
2
2
2
min
2 xz
2 xz
положение главных площадок tg2 0  
; tg 0  
;
x  z
1   z
объемное напряженное состояние:   1 cos2 1   2 cos2  2  3 cos2  3 ;
  3
;
  12 cos2 1   22 cos2  2  32 cos2  3   ;макс.касат.напр. max  1
2
   2  3
напряжения по октаэдрической площадке  окт  1
;
3
1
2 2
2
;
 окт 
(1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3  1 ) 2 ;  окт 
12   223  13
3
3
3
2
интенсивность напряжений i 
окт 
(1   2 ) 2  ( 2  3 ) 2  (3  1 ) 2 ;
2
2
первый инвариант: x+y+z=1+2+3; обобщенный закон Гука:
http://teormex.net/
1
1
1
[1  ( 2  3 )];  2  [ 2  (3  1 )];  3  [3  (1   2 )] ;
E
E
E
V
1 2
относит. объемная деформация  
 1   2   3 ;  
(1   2  3 ) ;
V
E
ср
   2  3
1 2
среднее напряжение  ср  1
; 
; модуль объемной де3ср 
3
E
К
P  L
E
формации: К=
; потенц.энергия U=
; удельная потенциальная энергия
3(1  2)
2
 
 
 
U

2
u=
; u
;u 1 1  2 2  3 3;

2
2
2
FL
2
2E
1 2
u
[1   22  32  2(1 2  13   2 3 )] ; u = uо + uф; энергия из-за изменения
2E
1  2
объема: uo 
(1   2   3 ) 2 ; энергия из-за изменения формы:
6E
1  2
uф 
[1   22   32  1 2  1 3   2  3 )] ; тензор напряжений:
3E
  x  yx  zx 
0
1 0



TH   xy  y  zy  ; тензор для главных напряжений: TH  0  2 0 


  xz  yz  z 

0
0

3




1 
Инварианты напряженного состояния:
J1= x + y + z; J2= xy +yz + yz — 2xy — 2zx — 2yz;
J3= xyz — x2yz — y2zx — z2xy + 2xyzxyz.
Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского сост.:
   2 1   2
   2 1   2
  1

cos 2 ;    1

cos 2 ;
2
2
2
2

  2
  2
  1
sin 2 ;   1
sin 2 ; Инварианты деформированного состояния:
2
2
2
1
1
1
J1= x + y + z; J2= xy +yz + zx — 2xy — 2yz — 2zx;
4
4
4
1
1




 zx 
x
yx

2
2
1 0 0 
1

1
y
 zy  ; Tд   0  2 0  .
тензор деформаций: J3    xy
2
2

 0 0  3 
1
1
 



z 
 2 xz 2 yz

1-ая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений):max= 1 [].
2-ая теор. прочности (теория наибольших относительных деформаций): max= 1 [].
1
1= [1  ( 2  3 )] , условие прочности эквII= 1 — (2 + 3) [].
E
  3
3-я теор. проч. (теория наибольших касательных напряжений):max  [], max= 1
,
2
2
http://teormex.net/
3
условие прочности: эквIII= 1 — 3 [], эквIII=
( z   y ) 2  4 2zy  []. При y=0
 эквIII   2  4 2  [] . 4-я теор. прочности (энергетическая теория):
uф[uф].  эквIV  0,5  [(1   2 ) 2  (1   3 ) 2  ( 2   3 ) 2  [] . Для плоского напряж.
сост.:  эквIV  (
z   y
2
) 2  3(
z   y
2
Теория прочности Мора:  эквМ  1 
) 2  3 2zy  [] . y=0,   эквIV   2  3 2  [] .
[ p ]
  3 , когда допускаемые напряжения на растя[ c ]
жение [p] и сжатие [с] не одинаковы (чугун).
Q

Чистый сдвиг.   ; угол сдвига   . Закон Гука при сдвиге:  = /G;  = G;
a
F
E
модуль сдвига (модуль второго рода): G 
; потенциальная энергия при сдвиге
2(1  )
  Q Q2a
U
Q2a
2
; удельная потенц. энергия: u  
; объем V=аF; u 
;
U

V 2GFaF
2
2GF
2G
Геометрические характеристики сечений: площадь F   dF ; статический момент отноF
сительно оси x или y:
S x   ydF ; S y   xdF ; координаты центра тяжести:
F
F
n
n
n
Sy
S
xC 
; y C  x ; S x   Fi y i ; S y   Fi x i ; x C 

F
F
F
i 1
i 1
Sy
 Fi x i
i 1
n
 Fi
i 1
2
n
S
; yC  x 
F
 Fi y i
i 1
n
 Fi
;
i 1
2
Осевой момент инерции: J x   y dF ; J y   x dF ; полярный момент инер.: J p    2 dF ;
F
F
Jy + Jx = Jp; центробежный момент инерции: J xy   xydF . Прямоугольник: J x 
F
4
bh
;
12
hb
r
d
r 4 d 4
Jy 
; Jxy=0. Круг: J p 

; Jx  Jy 

; J xy  0 . Четверть круга:
12
2
32
4
64
Jy=Jx=0,055R4; Jxy=0,0165R4; Jx0=0,0714R4; Jy0=0,0384R4. Моменты инерции относительно параллельных осей: Jx1=Jx + a2F; Jy1=Jy + b2F; Jy1x1=Jyx + abF. Моменты инерции
при повороте осей: Jx1=Jxcos2 + Jysin2 — Jxysin2; Jy1=Jycos2 + Jxsin2 + Jxysin2;
1
Jx1y1= (Jx — Jy)sin2 + Jxycos2; Jy1 + Jx1= Jy + Jx. Угол, определяющий положение
2
2  J xy
главных осей: tg 2 0 
. Мом-ты инерц. относит. главн. центр. осей инерц.:
Jy  Jx
3
J max 
min
Jx  Jy
2

4
F
3
1
(J y  J x ) 2  4  J 2xy ; Jmax+Jmin=Jx+Jy.
2
http://teormex.net/
4
Jy
Jx
; Jx=Fix2, Jy=Fiy2. Осевой момент сопротивления:
; iy 
F
F
Jy
Jx
bh 2
b2h
; для прямоугольника: Wx 
; для круга:

; Wy 

h/2
6
b/2
6
Радиус инерции: i x 
Wx 
Jx
y max
3
Jx  R3
Jx
  dH


(1   4 ) ;
Wx=Wy=
; трубчатое сечение (кольцо): Wx=Wy=
R
4
dH / 2
32
Jp
R3
 = dН/dB. Полярный момент сопротивления: Wp 
; для круга:Wр=
.
2
 max
Jp
M  M
M L
Кручение.   k  k , Wp  . Угол закручивания:   k ; относит. угол заR
Jp
Wp
GJ p
M 2k L
 Mk
1
кручивания:   
. Потенциальная энергия при кручении: U  M k  
;
2
2GJ p
L GJ p
 пред
M
Условие прочности:  max  k  [] ; [] =
; условие жесткости: mкax[]. Кручение
[n ]
W
M L
Mk
;   k ; Wk= hb2; Jk= hb3; = max.
Wk
GJ k
Ey
Изгиб. M   ydF; Q    y dF; N   dF . Нормальные напряжения:  
. Закон

F
F
F
My
1
M
Гука при изгибе: 
, формула Навье:  
. Максимальные напряжения:
 E  Jx
Jx
M  y max
M
, Jx/ymax=Wx—момент сопротивления сечения при изгибе,  max 
.
 max 
Jx
Wx
Q  S x ( y)
Касательные напряжения – формула Журавского:  
. Для прямоугольного сеb ( y)  J x
3Q
4Q
чения:  max 
, F=bh, для круглого сечения:  max 
, F=R2, для любого сечения:
3F
2F
 1
Q
 2  4 2 .
 max  k . Главные напряжения при поперечном изгибе:  max  
2 2
F
min
M
Условие прочности по нормальным напряжениям  max  max  [] , условие прочности
Wx
Q S
M
по касательным напряжениям   max max  [] . Wx  max
b  Jx
[]
1
Условия прочности по различным теориям прочн.: I-я:  эквI  [   2  4 2 ]  [] ;
2
2
2
II-я:  эквII  0,35  0,65[    4 ]  [] (при коэфф.Пуассона =0,3);
бруса прямоугольного сеч.:  max 
III-я:  эквIII   2  4 2 ]  [] , IV-я:  эквIV   2  3 2 ]  [] ,
http://teormex.net/
теория Мора:  эквM 
5
[ ]
1 m
1 m

 2  4 2 ]  [] , m  P .
[ C ]
2
2
d2y
1
M( x ) 1
M( x )
dx 2
Закон Гука при изгибе:
.
— дифференциальное



( x ) E  J x 
EJ
dy 2 3
[1  ( ) ]
dx
уравнение изогнутой оси балки. Приближенное дифференциальное уравнение изогнуdy 1
d2y
той оси балки:  EJ 2  M( x ) .  

 M( x )dx  C — уравнение углов поворота,
dx EJ
dx
1
y
 M(x )dxdx  Cx  D — уравнение прогибов. Метод начальных параметров.
EJ
x2
(x  a) 2
0


EJ y = M(x) = RAx – q
– M(x – a) + q
– P(x – a – b); интегрируем:
2
2
( x  a  b) 2
x2
x3
(x  a) 3
EJ y  = EJ0 + RA
–q
– M(x – a) + q
–P
;
2
2
6
6
(x  a) 4
x4
(x  a ) 2
( x  a  b) 3
x3
EJy =EJy0 + EJ0x + RA
–q
–M
+q
–P
.
24
24
2
6
6
dM( x )
dQ( x )
Дифференциальные зависимости при изгибе:
 Q( x ) ;
 q( x ) ;
dx
dx
dy
d2y
  . Определение перемещений способом фиктивной нагрузки.
EJ 2  M( x ) ;
dx
dx
Qф
dM ф
Mф
d2M
d 2 y M dy

q
;
;
;
;
. Теорема о трех моментах:




Q
y



ф
dx
EJ
EJ
dx 2
dx 2 EJ dx
 a
 b
M n 1L n  2  M n (L n  L n 1 )  M n 1L n 1  6  ( n n  n 1 n 1 ) .
Ln
L n 1
M y Myx
Косой изгиб. Напряжение в произв. точке с координатами "x,y":   x 
;
Jx
Jy
tg 
My
, Mx=Mcos; My=Msin,   M(
y  cos  x  sin 

) . Уравнение нейтр. линии:
Jx
Jy
Mx
M x y0 M y x 0
y cos  x 0 sin 

 0 , или 0

 0 .Угол наклона нейтральной линии к главJx
Jy
Jx
Jy
My Jx
My
y
M
J
 [ ] ,
ной оси "х": tg  0  
. tg   x tg . Наиб. напр.  max  x 
x0
Mx Jy
Wx Wy
Jy
d2w
d2v
Wx=Jx/ymax; Wy=Jy/xmax. Прогиб "f": EJ x
 M x ; EJ y 2  M y , f  v 2  w 2 .
2
dz
dz
http://teormex.net/
6
Внецентренное сжатие–растяжение. Нормальное напряжение в произвольной точке:
M
N My
 
x  x y ; N>0 – если сила растягивающая, Mx, My>0, если моменты "расF Jy
Jx
тягивают" сеч. в I-ой четверти. Внутренние усилия: N=P; My=Pxp; Mx=Pyp. НапряжеxpF
ypF
xp
yp
J x,y
P
P
x
y) или   (1  2 x  2 y) , i x , y 
ния:   (1 
F
Jy
Jx
F
F
iy
ix
xp
yp
Уравнение нейтр. линии: 1  2 x  2 y  0 . Отрезки, отсекаемые нейтр. линией на осях
iy
ix
i 2y
2
iy
i 2x
i 2x
коорд.: x H   ; y H  
. xP  
– координаты контура ядра.
; yP  
xP
yP
xH
yH
Изгиб с кручением. Макс. нормальные и касательные напряжения в опасных точках:
 max
M 2x  M 2y
M кр
R3
M
,  max 
, (для круга: W=
–осевой момент сопротивле

4
Wр
W
W
R3
ния, Wр=
–полярный момент сопротивления сечения). Главные напряжения в
2
1
1
опасных точках: 1  (   2  4 2 ) ;  2  0; 1  (   2  4 2 ).
2
2
Проверка прочности: по IV-ой теории прочности:  эквIV   2  3 2  [];
1 m
1 m
теория Мора:  эквM 

 2  4 2  []; m=[p]/[c].
2
2
1 1 m
1 m
2
 эквM  [
M 2x  M 2y 
M кр
 M 2x  M 2y ]  [];
W 2
2
1
2
 эквIV 
0,75M кр
 M 2x  M 2y  [] .
W
1 m
1 m
2
Приведенный момент: M прM 
M 2x  M 2y 
M кр
 M 2x  M 2y ] ;
2
2
1
2
I-ая теория: M прI  [ M 2x  M 2y  M кр
 M 2x  M 2y ];
2
2
 M 2x  M 2y , при коэффициент Пуассона =0,3;
II-ая: M прII  0,35 M 2x  M 2y  0,65 M кр
2
2
2
 M 2x  M 2y ; IV-ая: M прIV  0,75M кр
 M 2x  M 2y  0,75M кр
 M2 ;
III-я: M прIII  M кр
 экв 
M пр
 [] , момент сопротивления: W 
M пр
, диаметр вала: d  3
32M пр
.
[]
[]
W
Перемещение, вызванное несколькими силовыми факторами: Р=РP+РQ+РM. Перемещение вызванное силой Р, будет: Р=РР. Работа внешних сил, действующих на упруP
 PP P 2
P
гую систему: A   Pd   P PP dP 
. A
– работа при статическом дей2
2

0
ствии обобщенной силы на упругую систему.
http://teormex.net/
7
Работа внутренних сил (сил упругости) в случае плоского изгиба:
L
L
L
M 2 dx
N 2 dx
Q 2 dx
. Потенциальная энергия U=A.
A  
 
 k 
0 2EJ
0 2EF
0 2GF
Теорема о взаимности работ (теорема Бетли): А12=А21, Р112=Р221.
11– перемещение по направлению силы Р1 от действия силы Р1;
12– перемещение по направлению силы Р1 от действия силы Р2;
21– перемещение по направлению силы Р2 от действия силы Р1;
22– перемещение по направлению силы Р2 от действия силы Р2.
А12=Р112 – работа силы Р1 первого состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р2 второго состояния. Аналогично: А21=Р221 – работа силы Р2 второго
состояния на перемещении по ее направлению, вызванном силой Р1 первого состояния..
Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) Если Р1=1 и Р2=1, то
Р112=Р221, т.е. 12=21, в общем случае mn=nm. Обобщенное перемещение (формула
или интеграл Мора):
L M x M x dx
L M y M y dx
L M кр M кр dx
i
p
p
p
i
i
 mn   [ 



EJ
EJ
GJ
x
y
k
0
0
0
L
 kx 
0
L
Для плоской системы:  mn   [ 
0
Qix Q px dx
GF
M i M p ds
EJ
L
 ky 
0
L

0
Qiy Q py dx
GF
N i N p ds
EF
L

0
L
 k
0
N i N p dx
EF
Qi Q p ds
GF
]
] .  mn   
Вычисление интегр. Мора способом Верещагина.  M i M p dz    y C .
L
L
M i M p ds
EJ
0
  yC
.
 iP  
EJ
.
L
(2ac  2bd  ad  bc) .
6
При действии равномерно распределенной нагрузки на шарнирно опертую балку эпюра
2hL
qL2
строится в виде выпуклой квадратичной параболы, площадь  
, h
, т.е.
3
8
2 qL2
qL3
, хС=L/2. Для "глухой" заделки при равномерно распределенной

L
3 8
12
qL2
hL
нагрузке имеем вогнутую квадратичную параболу, для которой  
;h
,
2
3
L
U
M 2 dx
1 qL2
qL3
,
х
=3L/4.
Теорема
Кастильяно:
,
,


U  

L
С
P
P
2
EJ
3 2
6
0
M(s)ds M(s)
11Х1+12Х2+…+1nХn+1p=0
P  
.
EJ
P
21Х1+22Х2+…+2nХn+2p=0
S
Канонические уравнения метода сил:
. . . . . . . . . . . .
n1Х1+n2Х2+…+nnХn+np=0
Перемножение эпюр, имеющих вид трапеций:   y C 
http://teormex.net/
8
L
1P   
M1M p ds
L
;  2P   
M 2 M p ds
L
; ….;  nP   
M n M p ds
;
EJ
EJ
EJ
0
0
0
L
L
L
M M ds
M M ds
M M ds
11    1 1 ;  22    2 2 ; ….;  nn    n n ;
EJ
EJ
EJ
0
0
0
L
L
L
M M ds
M M ds
M M ds
12    1 2 ; 13    1 3 ; ….;  ik    i k ,
EJ
EJ
EJ
0
0
0
 P  y Cp
 y
коэффициенты находят по способу Верещагина: 1P 
; 11  1 C1 и т.д.
EJ
EJ
My
F
При чистом изгибе кривых брусьев большой кривизны:  
; rН 
–
dF
eF(rн  y)

F
радиус нейтр. слоя Для прямоугольного сеч. высотой h, с наружным радиусом R2 и
J
N
My
h
внутренним R1: rН 
. При h/R<1/2 e  x . При наличии N:   
.
R2
F eF(rн  y)
RF
ln
R1
N
My
Условие прочности:  max  
 [] , y= – h2 или y= h1.
F eF(rн  y)
Продольный изгиб. Устойчивость. Формула Эйлера: Pкр 
 2 EJ min
L2
– для стержня с
 2 EJ min
шарнирно закрепленными концами. При различных закреплениях: Pкр 
,
L2
 – коэффициент приведения длины. При шарнирном закреплении обоих концов стержня  = 1; для стержня с заделанными концами  = 0,5; для стержня с одним заделанным
и другим свободным концом  = 2; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом  = 0,7.
Pкр  2 E
L
Критическое сжимающее напряжение.:  кр 
– гибкость стержня,
 2 , 
i min
F

i min 
J min
– наименьший главный радиус инерции. Формула Эйлера применима при
F
гибкости стержня:    кр 
2E
. Для 0<  < кр используется формула Ясинского:
 пц
кр= a — b, где 0, при котором кр=т, a,b – опытные данные, для стали Ст3:
40 <  < 100.
P
P
Условие устойчивости:  
–
 [ у ] ; [у]=кр/nу; [у]=[]. Fбрутто 
Fбрутто
  []
площадь брутто поперечного сечения, т.е. без учета его ослаблений.