Лекция 2-1

§2 Идеальный больцмановский одноатомный газ из N частиц
Простейшая система из N частиц, не взаимодействующих между собой и описывающаяся
гамильтонианом
N
H   hi ,
(1.1)
i 1
представляющем сумму по всем частицам одночастичных гамильтонианов, называется
обычно идеальным газом. Если частица в объёме V, обладает только кинетической
энергией, то одночастичный гамильтониан, учитывающий наличие границ, можно
представить в виде:
p2


h
 U  x, y,z  , где U  x, y,z   U x  x   U y  y   U z  z  : U  r   0 L ,   x, y,z (1.2)
2m
Потенциальные ящики с бесконечными стенками, моделирующие границы объёма,
позволяет строго и однозначно задать квантовое состояние частицы с помощью тройки
чисел k  n x , n y , n z  . Волновая функция этого одночастичного состояния:
 k   n  x   n  y   n  z  , при этом :
x
k  n
x ,n y ,n z
y

2
z
2
2  m  L2x
n 2x 
2
2
2  m  L2y
n 2y 
2
2
2  m  L2z
n z2 ;
(1.3)
 p2x

2 2

U
x

x

  n x  x  ,...





x
 nx
2  m  L2x
 2m

Состояние всех N частиц системы можно указать, если задать совокупность тройки
чисел для всех частиц:
k N  n x 1 , n y 1 , n z 1 ;...;n x  i  , n y  i  , n z  i  ;...;n x  N  , n y  N  , n z  N 
(1.4)
В соответствии с гамильтонианом (1.1) энергия этого состояния складывается из
энергий отдельных частиц системы, поэтому с этой точки зрения каждая из них может
рассматриваться как квазинезависимая подсистема, а статистическая сумма системы
превращается в произведение одночастичных стат. сумм.1
ZN  z N
 1 N !
(1.5)
В свою очередь, одночастичная сумма распадается на произведение статистических сумм
по трём независимым степеням свободы (трём координатным осям) z .
z

e
 n x ,n y ,nz T


e
n x 1
n x ,n y ,n z
 n 2x  2
2
 2mL T 
2
x

e
 n 2y  2
2
2mL T 
n y 1
2
y

e
 n 2z  2
2
2mL T 
2
z
 z x z y z z   z (1.6)

n z 1
Величина статистической суммы по одной координате z зависит от соотношения между
температурой T и энергией основного состояние в соответствующем одномерном
потенциальном ящике  0   2 2  2mL2  .
 e 0 T

z   e  n 0 T     x 2  T
1 T
mT
0
dx 
 L
n 1
 e
2 0
2 2
0
Зависимость z  x  T  0  от температуры,
обезразмеренной на энергию основного
состояния, при соотношении x  T  0 1 видна из

На выражения, выделенные красным цветом, пока не следует
обращать внимание.
1
при
Т
0
при
Т
0
2
(1.7)
рисунка.
Случай Т
 0 может реализоваться только в тонких плёнках L~1000A, поскольку
даже для частиц с массой электрона  0   2
 2m
2
e
 (105 cm) 2   0.437  K . В гетеро
структурах, расстояние между уровнями энергии для электронов при характерных
размерах L~100Ả по одной из координат
(например, по x) может оказаться
2 2
2
больше температуры:   3
 2me L  100K T . При этом zx exp0 T :
заселены только состояния с n x  1 .\, - это соответствует тому, что система станет
двумерной, когда движение возможно только в плоскости y-z . Одночастичная
статистическая сумма в этом случае z 2d  L y Lz mT  2 2  .
В случае макроскопических размеров системы по всем координатам для всех разумных
температур  0   2

z  Lx Ly Lz mT  2
2m 1 cm 
2
2
e
2

32
1011 K

 V mT  2
2

32
T и реализуется трехмерный случай:
. Свободная энергия F  T,V, N   T  ln ZN и,
в соответствии с соотношением (1.5), имеем:
32
e
1
 mT 
F  T, V, N   T  N  ln V 
 T  N  ln  T  ln  2 N  (1.8)
2 
N
2
 2 
Такая формула для свободной не может быть правильной, поскольку она не аддитивна.
Это «расплата» за не учёт квантового принципа тождественности частиц, который был
проигнорирован, когда задавалось квантовое состояние для N частиц. Согласно (1.4) для
каждой (i-ой) пронумерованной частицы указывалась тройка чисел: nx  i  ,n y  i  ,nz i  ,
которая задавала её состояние, но частицы неразличимы, поэтом, задавая таким способом
квантовое состояние всей системы из N частиц, одно и тоже с точки зрения квантовой
механики состояние будет учтено N! раз. «Грубый» учёт принципа тождественности,
N
таким образом, можно обеспечить поделив выражение в (1.5) на N!   N e  2 N
(красный текст в формулах (1.5) и (1.8)). Это приводит к правильной формуле для
свободной энергии для больцмановского идеального газа:
32
V  mT 
F  T, V, N   T  N  ln 
(1.9)
  e  z вн  T  ,
N  2 2 
В ней одночастичная статистическая сумма включает возможный вклад и внутренних

степеней свободы отдельной частицы: z  V mT  2
2

32
 z вн  T  , - например, спин s .
В отсутствии внешних магнитных полей, когда энергия частицы не зависит от её
проекции спина z вн  T   g  2s  1 - кратности вырождения по проекции спина. Наличие
такого множителя никак не сказывается на теплоёмкости, которая в данном случае 3/2 на
частицу2, а для двумерной системы 1.
В заключение этого параграфа ещё раз подчеркнём, что деление на N! только
«грубо» учитывает принцип тождественности и допустимо только для случая, когда
волновые функции частиц газа слабо перекрываются. В противном случае нужно газ
станет вырожденным и станет подчиняться в зависимости от спина частиц либо
статистике Бозе, либо Ферми. Наглядной ллюстрацией этого замечания служит рис.1.1, на
котором изображена система из двух частиц ( N  2 ) для случая, когда одна из частиц
2
Если одночастичная
z  A  N,V   T  e0 T , то теплоёмкость на одну частицу c   . Действительно:
 F 
 S 
F   N  T  ln A  T  N   0  S      N  ln A  N  ln T  N    C  T    
 T  V,N
 T V,N
находится в одном из состояний малого фазового объёма dp1dr1 , такого, что
dp1dr1
 2 
3
1 , а другая в аналогичном объёме dp2 dr2 .С точки зрения квантового
принципа тождественности частиц это состояние ничем ни отличается от состояния , в
котором частица i  1 заменена на i  2 , поэтому при суммировании по всем состояниям
p
 i 1
dpdr  
i   2
p
2
dp1dr1  i  1
r
r
dp2dr2  i  2
1
Рис.1.1
квантовой системы из двух частиц мы их не имеем права учитывать дважды. По этой
причине, когда частицы находятся в разных объёмах и, соответственно, в разных
состояниях деление на 2! необходимо (левая часть рисунка). Но, если обе частицы часто
3
оказываются в одном и том же фазовом объёме dpdr  2  1 , то для ферми-частиц
такая ситуация вообще невозможна (предполагается, что спиновые состояния у частиц
одинаковы), поскольку фермионы не «хотят» находиться в одном состоянии (правая часть
рисунка), и такие состояния должны быть исключены при суммировании. Для фермионов
при этих ситуациях деление на 2! не достаточно. Бозоны, наоборот, «любят» находится а
одинаковых состояниях и при больших плотностях, как мы увидим, происходит бозе конденсация частиц идеального газа в одном основном состоянии.
Поэтому, когда
средне количество частиц n k в каком либо квантовом состоянии порядка 1( n k 1 ),
существенны квантовые эффекты, частицы теряют свою индивидуальность, а волновые
функции частиц сильно перекрываются. Соотношение между температурой и плотностью
частиц идеального газа, когда начинают быть существенны квантовые эффекты, легко
устанавливается из условия перекрытия волновых функций отдельных частиц. Для
классического газа средняя энергия и импульс диктуются температурой T. Тепловой
импульс pT  T  m определяет порядок тепловой длины волны частицы T 2
mT .
Частица не может быть локализована меньше, чем её длина волны, поэтому волновые
13
функции начинают перекрываться, если T r   V N  . Откуда сразу следует, что
квантовые эффекты станут существенными, или, иными словами, газ становиться
вырожденным, когда
23
N
(1.10)
 
2
mV
m r
При этом условии будет справедлива формула (1.9) для свободной энергии
больцмановского идеального газа, в которой под знаком логарифма стоит большое число
32
1 , отражающее слабое перекрытие волновых функций.
порядка  V N  T3  T Tв 
T  Tв
2

2