Задания для домашней контрольной работы № 1

КУРС «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Экономический факультет, заочное отделение,
специальность «Менеджмент организаций»
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ПРОГРАММЫ 2003/2004 УЧ. ГОДА
1-Й СЕМЕСТР
ПОНЯТИЯ, КОТОРЫЕ НУЖНО ЗНАТЬ ПРИ ИЗЛОЖЕНИИ МАТЕРИАЛА: Числовые интервалы. Окрестности (действительного числа, бесконечно удаленной точки на числовой прямой, двумерной точки). Функция, ее
область определения, множество значений, график (для функций одного и двух
переменных). Обратная функция и взаимно обратные функции, четные и нечетные функции, периодические функции, монотонные функции. Способы задания
функций одного переменного (в том числе неявное, параметрическое), функциональные зависимости. Элементарные функции одного переменного, их свойства и графики. Числовая последовательность как функция, геометрическая
прогрессия. Предел отношения синуса бесконечного малой дуги к этой дуге
(первый «замечательный» предел). «Цепочка» эквивалентных функций. Понятие об односторонних пределах, функция «знака». Понятие о бесконечной производной. Таблица производных элементарных функций. Дифференциал функции. Понятие о производных и дифференциалах высших порядков. Таблица интегралов для основных элементарных функций.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ, ВХОДЯЩИЕ В ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ (для оценки «4» или «5» необходимо знать доказательства
утверждений №№ 5, 6, 8, 16, 17, 18, 23, 24, 26, 31, 32, 33, 35, 36).
1. Множества, их объединение, пересечение, разность, пустое множество,
подмножество, равенство множеств.
2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа, его
геометрический смысл и основные свойства.
3. Понятие о пределе функции, единственность предела.
4. Теоремы об арифметических действиях с пределами функций.
5. Ограниченность функции и теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.
6. Бесконечно малые функции, их свойства
7. Бесконечно большие функции, их свойства.
8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (определения), теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
9. Непрерывность в точке и на множестве, основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций.
10. Классификация точек разрыва.
11. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.
12. Понятие об эквивалентных функциях, замена функций на эквивалентные в произведении и частном.
13. Предел и сходимость числовой последовательности.
2
14. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Понятие о числе e , функции y  ln x , y  e x .
15. Приращение аргумента и функции одного переменного. Определение
производной функции одного переменного, физический смысл производной.
16. Определение производной функции одного переменного, экономический смысл производной.
17. Определение производной функции одного переменного, геометрический смысл производной.
18. Дифференцируемость функции, зависимость между непрерывностью и
дифференцируемостью.
19. Основные правила дифференцирования (производная константы, производная алгебраической суммы функций, производная произведения, следствия,
производная частного).
20. Сложная функция и ее производная.
21. Вычисление пределов функций с помощью производных (правило Лопиталя).
22. Частные производные функции двух переменных первого и второго порядков (определения). Формулы для вычисления полных дифференциалов первого и второго порядков.
23. Понятие о производной по направлению и градиенте, теорема о связи
между ними.
24. Теорема Лагранжа о конечном приращении (формулировка) и ее следствия (с доказательством).
25. Необходимые и достаточные условия возрастания (убывания) функции
одного переменного.
26. Понятие об экстремумах функции одного переменного. Необходимое
условие экстремума.
27. Понятие об экстремумах функции одного переменного. Достаточные
условия экстремума (теорема об изменении знака производной).
28. Выпуклость графика функции, связь со знаком второй производной.
29. Точки перегиба, необходимое и достаточное условия.
30. Экстремум функции двух переменных, необходимые и достаточные условия экстремума.
31. Первообразная функции и неопределенный интеграл: определение первобразной, теоремы о первообразной, понятие о неопределенном интеграле.
32. Основные свойства неопределенного интеграла.
33. Теорема об интегрирование по частям для неопределенного интеграла
34. Теорема о замене переменных в неопределенном интеграле.
35. Понятие об определенном интеграле от непрерывной функции (формула
Ньютона-Лейбница) и элементарные свойства определенного интеграла.
36. Линейность и аддитивность определенного интеграла.
37. Монотонность определенного интеграла и теорема о среднем.
38. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и связь с первообразной подынтегральной функции.
3
39. Теоремы об интегрировании по частям и замена переменой в определенном интеграле.
40. Понятие о несобственных интегралах с конечной (для неограниченных
функций) и бесконечной особой точкой.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Нахождение пределов функции одного переменного (раскрытие неопределенностей 0/ 0, /,    )
2. Определение характера разрыва у функций одного переменного.
3. Нахождение производных первого и второго порядка, дифференциалов
первого и второго порядка функции одного и двух переменных (в точке и в общем случае).
4. Нахождение пределов функций одного переменного с помощью правила
Лопиталя.
5. Определение точек экстремума функций одного и двух переменных.
6. Решение простейших задач на поиск условного экстремума функции
двух переменных.
7. Определение наибольшего и наименьшего значения функции одного переменного на отрезке.
8. Нахождение неопределенных и определенных интегралов методами интегрирования по частям и замены переменных.
9. Интегрирование простейших иррациональностей (замены).
10. Интегрирование простейших тригонометрических функций
11. Вычисление площадей простейших криволинейных трапеций.
2-Й СЕМЕСТР
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ, ВХОДЯЩИЕ В ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ (для оценки «4» или «5» необходимо знать доказательства
утверждений №№ 3, 6, 8, 12, 13, 14, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 32, 33).
1. Общее уравнение прямой на плоскости, смысл коэффициентов. Вектор
нормали и его координаты.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, смысл числовых параметров. Угловые коэффициенты прямых, параллельных осям координат. Неравенства, определяющие полуплоскости.
3. Угол между прямыми (с выводом), условия параллельности и перпендикулярности прямых.
4. N-мерный вектор и его длина. Скалярное произведение и его основные
свойства.
5 Понятие матрицы, ее строки, столбца, элемента. Основные виды матриц
(определения и примеры). Равенство матриц.
6. Сложение матриц и умножение матрицы на вещественное число (определения операций и их свойства с доказательствами).
8. Транспонирование матриц (определение операции и ее свойства)
4
9. Произведение матриц (определение операции и ее свойства).
10. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Ступенчатая матрица, теорема о сведении матрицы к ступенчатой. Понятие о ранге
матрицы.
11. Минор элемента aij, алгебраическое дополнение к элементу aij . Раскрытие определителя по любой строке (столбцу).
12. Свойства определителей (с доказательствами для случая определителя
2-го порядка).
13. Определение обратной матрицы. Теорема о существовании обратной
матрицы (доказать необходимую часть и выписать формулу для построения).
14. Определение обратной матрицы, её свойства (с доказательствами).
15. Основные понятия теории систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ): общий вид, матрица системы, вектор неизвестных, столбец свободных
членов, расширенная матрица системы, матричная форма записи. Решение
СЛАУ. Равносильность систем.
16. Основные виды СЛАУ (неоднородные и однородные, неопределенные и
определенные, совместные и несовместные). Общее решение СЛАУ.
17. Элементарные преобразования СЛАУ, приведенные и равносильные
СЛАУ. СЛАУ канонического вида, ведущие (базисные) и свободные неизвестные. Теорема о сведении к системе канонического вида.
18. Теорема Кронекера–Капелли и теорема о количестве решений.
19. Теорема Крамера (доказать для случая системы двух уравнений с двумя
неизвестными).
20. Однородные СЛАУ и их свойства (с доказательствами).
21. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ, формулировки
теорем о фундаментальной системе решений и о связи между однородной и неоднородной системами.
22. Понятие о линейном пространстве L, пример пространства Rn .
23. Лемма о единственности для линейного пространства L (с доказательством).
24. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов (определения), теоремы о системе с нулевым вектором, о линейно зависимой подсистеме, о подсистеме линейно независимой системы (с доказательствами).
25. Базис системы векторов (определение). Ранг системы векторов (определение). Ранг и базис линейно независимой системы векторов, ранг линейно зависимой системы векторов.
26. Базис в линейном пространстве L и координаты вектора в данном базисе. Единственность разложения по базису (с доказательством).
27. Единичный базис в пространстве Rn . Размерность пространства (включая понятие бесконечномерного пространства). Размерность пространства Rn.
28. Понятия о линейном операторе и линейном функционале, их виды.
29. Понятие о линейном операторе, линейность пространства линейных
операторов.
5
30. Характеристический многочлен матрицы, характеристическое уравнение. Определения собственного значения и собственного вектора матрицы.
Свойства собственных векторов.
31. Евклидовы пространства (определение, пример пространства Rn).
32. Норма в евклидовом пространстве (определение). Норма пространства
n
R (с доказательством).
33. Ортогональность векторов в евклидовом пространстве, ортогональный
базис в евклидовом n-мерном пространстве. Ортогональный базис в пространства Rn (с доказательством).
34. Квадратичные формы от n переменных, матрица квадратичной формы и
ее основное свойство. Канонический вид квадратичной формы. Закон инерции.
35. Знак квадратичной формы, критерий Сильвестра.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Определение расстояния между двумя точками на плоскости и в пространстве, определение длины вектора.
2. Составление различных уравнений прямых на плоскости: проходящих
через точку паралелльно (перпендикулярно) данной прямой, проходящих через
две точки; прямых с заданным угловым коэффициентом, проходящих через заданную точку; уравнений в параметрическом виде.
3. Определение угла между прямыми, проверка условия параллельности
(перпендикулярности) прямых.
4. Арифметические операции с векторами и матрицами (сложение, умножение на число, транспонирование, скалярное произведение векторов, произведение матриц).
5. Сведение матрицы к ступенчатой, определение ранга матрицы.
6. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:
преобразование к каноническому виду, проверка совместности и определенности, построение общего решения.
7. Вычисление определителей 2-го, 3-го, 4-го порядков (по определению и
с учетом свойств).
8. Нахождение миноров и алгебраических дополнений к элементам матрицы.
9. Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
10. Построение фундаментальной системы решений однородной системы
линейных алгебраических уравнений.
11. Построение обратной матрицы (методом Гаусса и с помощью алгебраических дополнений).
12. Проверка системы векторов на линейную зависимость/независимость.
13. Разложение вектора по системе векторов (по базису).
14. Нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы.
15. Определение знака квадратичной формы, приведение ее к каноническому виду.
6
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.,
1989 (и позднее).
2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш Кремера. М.: Банки и
Биржи, ЮНИТИ. 1998 (и позднее).
3. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова.
М.: ИНФРА-М. 2000.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974 (и позднее)
5. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. М.: ИНФРАМ, 1999. (и последующие).
6. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра (Линейная алгебра. Матрицы. Многочлены. Общая алгебра). Справочная математическая библиотека. - М.: ГИФМЛ, 1962.
7. Фоменко С.В. Математический анализ. Часть I. - Ростов-на-Дону. 2001.
8. Солодовников А.С., Бабайцев П.А., Браилов А.В Математика в экономике.
Ч.1. М.: Финансы и статистика, 2001.