Уравнение Френеля для лучевых скоростей - Medphysics

4.2.4.Уравнение Френеля для лучевых скоростей.
Рассмотрим распространение энергии (лучей) в анизотропных средах. Пусть
энергия плоской монохроматической волны распространяется
в направлении,


S
определяемом единичным вектором потока энергии    .
S
Уравнения:


   
H  e  E n(e )

  
D   e  H n(e )



умножим векторно на 


   
   
 
  

  H    e  E n(e )
 
  

  D     e  H n(e ) .
Получим :
  H   E e  n(e)
  D  H e  n(e) , или
    D   E e  n (e) ,
2
получим
  

 
 
 D   D
E
 2 .
n 2 E
Умножимуравнение
на C 2 , получим


 

 Vф2 D    D
,
C E
 2
E
 
так как Vф  V л (e   ) ,

  
C 2 E  Vл2 D    D
2
 

 
Распишем уравнение по компонентам:

C Ex  V Dx   x ( D)

2
2
C Ex  Vл  xx Ex   x ( D)

  ( D )
2
2
или E x  2 x 2
, учтем, что c  xx  Vxx , получим
c  Vл  xx
2
2
л

  x  D  
2
c Ex 

V 2л 
1 2
V xx 





D

y
c2 Ey  

V 2л 
1 2
V yy 

 z  D  
2
c Ez  
V 2л 
1 2 
V zz 
умножим
на
 x




 y






 z
+
Получаем уравнение Френеля для лучевых скоростей:
 2x
1
1
 2
2
V л V xx

 2y
1
1
 2
2
V л V yy

 2z
1
1
 2
2
V л V zz
0
или
 2 xV 2 xx
 2 zV 2 zz

0
V 2 л  V 2 yy V 2 л  V 2 zz
Можно показать, что Е   Е  .
V 2 л  V 2 xx

 2 yV 2 yy
В каждом направлении распространяются 2 луча со скоростями V
Е   Е 
'
л
иV
''
л
с
4.2.5 Оптические свойства одноосных кристаллов.
В зависимости от структуры кристаллических сред и симметрии тензора
диэлектрической проницаемости кристаллы можно разделить на три группы:
кубические, одноосные, двуосные.
В кубических кристаллах  xx   yy   zz , они ведут себя как изотропные среды.
В одноосных кристаллах  xx   yy    ,  zz   II , ось кристалла совпадает с осью (о,
Z)
Рассмотрим свойства одноосных кристаллов.
Пусть  xx   yy  n 2 0 ;  zz  n 2 l
Z
Рассмотрим следующие случаи:
1) e // Z
e
Y
E
X
D
D x   xx E x  n 2 0 E x
D y   yy E yy  n 2 0 E y
 
D E;
D  D2 x  D2 y  n20 E
2)Рассмотрим произвольное направление
а) D  eZ  вектор D в этом случае лежит в плоскости x y  всегда
D x   xx E x  n 2 0 E x
Z
D y   yy E y  n 2 0 E y
e
D  n20 E
Y
Е – также  x, y 
X
E z  0 , т. Е. и в этом случае
Уравнение Френеля для одноосного кристалла.
Рассмотрим более подробно случай одноосного
кристалла.
Перепишем уравнение Френеля в следующем виде:
Z
e
φ
Y
e xy
Z
 
D || E
 1
1
e x2 

 n 2  yy

 1
1


 n 2  zz

 2 1
1
  e y 

2 
xx

n
 1
1  1
1

 e z2 


2 
 2  yy
xx  n
n
 1
1


2 
zz
 n

 


0


Сделаем преобразования, учтя,
что e x  e y  e z  1 , введем  xx   yy    и  zz   II , e 2 x  e 2 y  sin 2  , e 2 z  cos 2 
2
2
2
2
2
 1 e x  e y e z2 



0

 II
 
 n 2

 1
1  1 sin 2  cos 2  
0
Получим  2   2 

   n
 II
  
n
 1
1


 n2  
Уравнение распадается на два
 1
1 
1.  2    0
 
n
1 sin 2  cos 2 

2. 2 
 II

n
Уравнение 1 описывает распространение сферической волны для которой
показатель преломление не зависит от направления. Такая волна называется
обыкновенной. Для волны описываемой уравнением 2 показатель преломления
зависит от направления распространения волны, эта волна называется
необыкновенной.
Уравнение 2 – уравнение эллипсоида вращения.
При распространении необыкновенной волны:
а) вдоль оси
sin   0 , cos   1 , n   
Скорость совпадает со скоростью распространения обычной волны.
б)  оси
sin   1 , cos   0 , n   II

n0

ne
ne
n0
 II
Отрицательный
кристалл
Положительный
кристалл
Можно построить оптическую индикатрису.
Z
ne
e
Y
n0
X
Для нахождения n 0 и ne строится сечение  e , тогда в этом сечении главные оси
дадут значения n 0 и ne , а их направления, направления D ' и D ''
Уравнение для лучевых скоростей для одноосного кристалла будет иметь вид
OO  Z 
    1
'
2
x
2
y
2
r
V

 1
1  1
1 
1 
 2  2    z2  2  2   0
2 
V  Vr VII 
 Vr V 
Получаем следующие уравнения:
1
 1
1 2  2  0
Vr0 V

1
sin 2  cos 2 

2 2 
Vr
V II2
V2
 e
где VII и V - скорости компонент поляризованных в главной плоскости и
перпендикулярно главной плоскости соответственно.
В каждом направлении распространяются две волны с лучевыми скоростями V .
Волна, определяемая уравнением 1, имеет
Vr  V независящую от направления
Vr  V  V (обыкновенная волна)
Волна определяемая уравнением 2 имеет скорость зависящую от направления
В случае sin   0 ;
0
0
Vre  Vr0  V
При распространении вдоль оптической оси, скорости обеих волн равны.
Если внутри анизотропной среды расположен источник – точечный, то волны
будут распространяться следующим образом.
Ve  t
V0  t
4.2.6. Двойное лучепреломление, построения Гюйгенса для анизотропных сред.
Рассмотрим явление двойного лучепреломления. Пусть свет падает на
поверхность анизотропного кристалла с осью ОО’, ориентированной
произвольным образом.
За время t 

; волна 1 распространится по
c
кристаллу. Построим эллипсоиды (лучевые)!!
для такого случая. Направление луча
определяется на точку касания. Эти
направление не совпадают между собой.
Направления распространения фазы
bc
определяются направлением нормали к
волновому фронту. Волновой – касательная к
лучевым поверхностям.
Нормаль к волновому фронту и направление луча совпадают только для
обыкновенной волны.
Рассмотрим ряд случаев.
1.
Свет падает вдоль оси перпендикулярной
поверхности кристалла, в случае е и о идут по
одному направлению с одинаковыми скоростями.
2. Нормальное падение света, но ось расположена под углом к поверхности
кристалла.
Замечание: Закон Снелиуса выполним только для
фазовой поверхности, т. е. волнового фронта. В
данном случае волновой фронт движется не
преломляясь, тогда как лучи испытывают двойное
лучепреломление.
Если вращать кристалл, то необыкновенный луч будет вращаться вокруг
обыкновенного.
3.
OI
О
Падение света перпендикулярно оптической оси, лежащей параллельно
поверхности кристалла. Две волны каждая из которых движется со скоростями:
V0 
c
c
; Ve 
n0
ne
Эти волны поляризованы в двух взаимно перпендикулярных направлениях,
поэтому в зависимости от толщины кристалла поляризация будет меняться.
Время задержки одной волны относительно другой. Поляризация эллиптическая.
t 
n  ne 
Z Z

Z 0
V0 Ve
c
Разность хода   Z n0  ne 
Разность фаз  
2

Z n0  ne 
В случае   m ; m=1,3,…
Сохраняется линейная поляризация, но направление поляризации
симметрично исходному.
 
Б)   2m ; m=0,1,2,3,…
Состояние поляризации не меняется.
В)  

2
 m ; m=0,1,2,3,…
На выходе будут волны круговой поляризации.
Обычно явления наблюдаются при падении света на кристалл по схеме 3
рассматривается в следующей оптической схеме:
О
Р
О’
А
Если на выходе поместить еще один поляроид, то будут наблюдать окраски
кристаллических пластинок.
в случае параллельных поляризаторов:
P
e

2

Z ne  n0 
в случае скрещенного
O
О'

2

Z ne  n0   
Дальше рассматривается по классическому рассмотрению интерференции.
Условие максимума и минимума приводит к окраске пластинок.