олимпиада по математике 2 тур

7 класс
1) Найдите все такие целые С , при которых дробь
С7
является целым числом.
С4
2) Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик,
заплатив 40 руб; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб; третий купил
пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб; четвертый купил пенал и
тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?
3) Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы одна третья первого слагаемого
была равна одной четвертой второго.
4) Число a составляет 80% числа b, a число с оставляет 140% числа b. Найдите
числа a, b, c, если известно, что c больше a на 72.
5) Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длинной 150 метров за
15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
6) Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, которое делилось
бы на число 33…3 (сто троек).
7) Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоящей воде,
проходят по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются
обратно. В какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с
быстрым течением или в реке с медленным течением?
8) Найдите цифры x и y, пятизначного числа, которое записывается 42x4y, если
известно, что это число делится на 72.
9) Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в
учебнике?
10)
Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?
№1
Основная идея состоит в том, чтобы отсеять ненужные решения.
С7 С 4
3
3
=
+
= 1 +
С4
С4 С 4 С 4
3
Данная сумма будет целым числом, если слагаемое С  4 тоже будет целым
числом. Для этого достаточно, чтобы числитель 3 нацело делился на
знаменатель С + 4.
Делители числа 3: ±1; ± 3.
Следовательно, рассмотрим четыре случая.
С + 4 = 1,
С + 4 = –1,
С + 4 = 3,
С + 4 = –3,
С = 1 – 4,
С = –1 – 4,
С = 3 – 4,
С = –3 – 4,
С = –3.
С = –5.
С = –1.
С = –7.
Ответ. –7; –5; –3; –1.
№2
Решение.
1-й способ.
Вместе первый и второй мальчики купили пенал, 2 ластика и карандаш,
заплатив 52 руб. за всю покупку. Третий мальчик заплатил 50 руб. за пенал, 2
тетради и карандаш. Значит, ластик дороже тетради на 1 руб. Если пенал и
ластик стоят 40 руб., то пенал и тетрадь будут стоить на 1 руб. дешевле, то
есть 39 руб.
2-й способ.
Введем обозначения: п – пенал, л – ластик, к – карандаш, т – тетрадь.
По условию задачи составим систему уравнений:

п + л = 40
л + к = 12
п + к + 2т = 50

п = 40 - л
к = 12 - л
п + к + 2т = 50
Тогда 3-е уравнение можно записать в виде:
40 - л + 12 - л + 2т = 50,
2т - 2л = - 2,
л = т + 1.
Подставим в первое уравнение, получим:
п + (т + 1) = 40,
п + т = 39.
Ответ. Пенал и тетрадь стоят 39 рублей.
№3
Пусть 1-е слагаемое равно х. По условию сумма двух чисел равна 56, тогда
2-е слагаемое равно 56 – х. Известно, что одна третья 1-го слагаемого была
равна одной четвертой 2-го. Следовательно, можно составить и решить
1
1
х = (56 – х),
3
4
уравнение
х = 14 :
1
1
х = 14 – х ,
3
4
1
1
7
х + х = 14,
х = 14
3
4
12
,
7
, х = 24.
12
Итак, 1-е слагаемое равно 24, тогда 2-е слагаемое равно 56 – х = 56 – 24 =32.
Ответ. 56 = 24 + 32.
№4
По условию число a составляет 80% числа b, значит a=0,8b.
Число с оставляет 140% числа b, то есть c=1,4b.
Известно, что c больше a на 72, следовательно c = a + 72.
Отсюда 1,4b=0,8b + 72, 0,6b = 72, b =120.
a=0,8  120=96
с=96+72=168
Ответ: a=96, b =120, с=168.
№5
Пусть S - длина поезда, V – скорость поезда.
Когда поезд проезжает мимо светофора, он проходит путь равный длине
поезда, тогда скорость равна V =
S
5
.
С другой стороны, проезжая мимо платформы длиной 150м, поезд проходит
расстояние (150 + S) м за 15 с, следовательно, V =
150  S
.
15
Так как поезд шел с одной и той же скоростью, то получим уравнение в виде
пропорции
S
5
= 150  S
15
.
15 S = 5(150 + S),
15 S = 750 + 5S,
15 S – 5S = 750,
10 S = 750,
S = 75.
Итак, длина поезда 75 метров.
Найдем его скорость по формуле V =
V=
75
м/с = 15 м/с= 15 км
5
1000
:
1
ч=
3600
S
5
.
54 км/ч
Ответ. Длина поезда 75м, скорость поезда 54 км/ч.
№6
33
⏟ … 3 = 3  11
⏟ … 1, поэтому чтобы число
100
an =
11
⏟ … 1 делилось на 33
⏟ … 3,
100
𝑛
100
необходимо, чтобы an было кратно и 3, и 11
⏟ … 1.
100
Так как сумма цифр числа 11
⏟ … 1 равна ⏟
1 + 1 + ⋯ + 1 = n, то
𝑛
если n нацело делится на 3.
an кратно
3,
𝑛
(*)
Выясним, при каких n число an = 11
⏟ … 1 кратно числу a100 = 11
⏟ … 1.
𝑛
100
Очевидно, что на a2 =11 делятся нацело числа вида 11, 1111, 111111, …, т.е.
чтобы 11 укладывалось несколько раз в записи этого числа.
Аналогично на a3 =111 делятся нацело числа вида 111
⏟ , 111111
⏟
, 11
⏟ … 1;
3
6
3𝑘
на a4 =1111 делятся нацело числа вида 1111
⏟ , 11111111
⏟
, 11
⏟ … 1 и т.д., где k –
4
8
4𝑘
натуральное число.
Можно сделать вывод, что an делится на am тогда и только тогда,
когда n делится на m или n= mk, где k – натуральное число.
Следовательно,
an = 11
⏟ … 1 будет кратно числу a100 = 11
⏟ … 1, если n кратно
𝑛
100
100 или n=100 k, где k – натуральное число.
(**)
Из утверждений (*) и (**) следует, что НОК (3; 100) = 300.
Ответ. Наименьшее число, записываемое одними единицами, которое
делилось бы на число 33…3 (сто троек), имеет вид 11
⏟ … 1.
300
№7
Решение
Пусть скорость катеров v км/ч, скорость течения в первой реке v1 км/ч, а
скорость течения во второй реке v2 км/ч. Пусть v1>v2 . Если обозначить
расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S , то время,
затраченное первым катером на весь путь,
t1=S/(v + v1)+S/(v – v1)=2Sv/(v2 – v12),
а время, затраченное вторым катером, t2=2Sv/(v2 – v22) .
Поскольку числители у обоих выражений одинаковы, то большей будет
дробь с меньшим знаменателем, а так как знаменатели есть разности с
равными уменьшаемыми, то знаменатель меньше у первой дроби, у которой
вычитаемое v12 больше (по условию v1>v2 ).
Ответ. Больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым
течением.
№8
_____
42х4у делится на 72
x,y -?
72=8×9
_____
72 делится на 9, то 42х4у кратно 9, тогда 4+2+х+4+у=(10+х+у) кратно 9.
Наибольшее значение (10+х+у) равно 28, поэтому 10+х+у = 27 или 10+х+у =
18, отсюда х+у=17 или х+у=8.
_____
__
72 делится на 4, тогда 42х4у, значит 4у делится на 4, значит у может
принимать значения: 0,4,8.
Проверим для у=0:
х+у=17,
х=17.
17 – не является цифрой,
следовательно не подходит.
х+у=8,
х=8.
Получаем число 42840,
которое делится на 72
Проверим для у=4:
х+у=17,
х=13.
13 – не является цифрой,
следовательно не подходит.
х+у=8,
х=4.
х≠у по условию, следовательно
цифра 4 не подходит
Проверим для у=8:
х+у=17,
х=9.
Получаем число 42948,
которое не делится на 72.
х+у=8,
х=0.
Получаем число 42048,
которое делится на 72
Ответ: 42840 и 42048.
№9
Для нумерации первых 9-ти страниц учебника использованы 9 цифр.
Следующие 90 страниц занумерованы двузначными числами. Для этого
потребовалось 90 · 2 = 180 цифр.
Остаток, приходящийся на трехзначные номера, составляет:
411 - (180+9) = 222 цифры.
Из этих цифр составлены 222:3 = 74 трехзначных номеров.
Итого число страниц в учебнике равно 9 + 90 + 74 = 173.
Ответ. В книге 173 страницы.
№10
У каждого человека может быть 4 прабабушки и 4 прадедушки. Всего их
4+4=8 человек. У каждого из них в свою очередь по 2 бабушки (а всего
8×2=16 бабушек) и по 4 прабабушки (т.е. 8×4=32 прабабушки).
32+16=48
Ответ: У моих прабабушек и прадедушек 16 бабушек и 32 прабабушки.