ТЕМА 8 «Дифференциальные уравнения»

ФГОУ СПО «Чебоксарский электромеханический колледж»
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
по математике
для студентов 2 курса
специальности «Прикладная информатика»
Тема: «Дифференциальные уравнения»
Разработал:
Беккер С.Ф.
Чебоксары 2012
1
ТЕМА 8 «Дифференциальные уравнения»
УРОК 1 «Основные понятия дифференциальных уравнений. Дифференциальные
уравнения 1-го порядка».
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к
уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту или иную
задачу, с какой-либо функцией этих переменных и производными этой функции различных
порядков. В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного
движения материальной точки.
Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является
функцией времени и выражается по формуле: S  V0 t  at
2
2
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая
также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
dS
dV
d 2S
V 
;
a

;
dt
dt
dt 2
Тогда получаем: S  f (t )  V0 t 
f (t )  t - уравнение связывает функцию f(t) с
2
независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее
независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.
Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то
оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется
порядком дифференциального уравнения.
Пример.
x 3 y   8 y  x  5  0 - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В
общем виде записывается F ( x, y , y )  0 .
x
d2y
dy
 xy
 x 2  y - обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка.
dx
dx 2
В общем виде записывается
F ( x, y, y , y )  0
Определение. Любая функция y=(x), обращающая дифференциальное уравнение в
тождество, называется решением этого уравнения, а график этой функции - интегральной
кривой.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая
дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо
неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
Определение. Решение вида у = (х, С0) называется частным решением
дифференциального уравнения.
Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик)
называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х,
С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.
y  sin x является решением уравнения
Пример 1.
Проверить, что функция
y   y  0
Решение:
2
y   cos x, y    sin x
Подставим в уравнение, получим y   y   sin x  sin x  0 , ч.т.д.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется
соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е.
соотношение вида: F ( x, y , y )  0
Если такое соотношение преобразовать к виду y   f ( x, y ) то это дифференциальное
уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно
производной. P ( x, y )dx  Q( x, y )dy  0
- это так называемая дифференциальная
форма уравнения первого порядка.
Уравнения вида y’ = f(x).
Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале a < x < b. В таком
случае
все
решения
данного
дифференциального
уравнения
находятся
как
y   f ( x)dx  C .
Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно определить
постоянную С.
Пример 2. Решить уравнение
y    xdx  
y   x
2
x
 C - общее решение
2
Уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение y   f ( x, y ) называется уравнением с
разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
X ( x)dx  Y ( y )dy; -
уравнение с разделенными переменными
Интегрируем обе части
 Y ( y)dy   X ( x)dx  C
После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение
дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится
постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения: y   y  0.
Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и
правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:
dy
 y
dx
dy
   dx ; ln y   x  C ; y  e  x  e C ; y  C  e  x
y
Найти общее решение дифференциального уравнения xy   y  0 .
dy
 dx ;
y
;
Пример 4
x
Теперь интегрируем:

dy
y0
dx

dy
dx
 
y
x
ln y  ln x  C0
y
C
x
xdy   ydx
ln xy  C0
dy
dx

y
x
ln y   ln x  C0
xy  e C0  C
- это общее решение исходного дифференциального уравнения.
3
Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем
С
2
;
1
C  2;
При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное
решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).
y
2
x
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения: yy 
 2x
cos y
dy
y cos ydy  2 xdx
y cos ydy  2 xdx
 2 x
dx
u  y; dv  cos ydy;
 y cos ydy  du  dy; v  sin y   y sin y   sin ydy  y sin y  cos y

y cos y 
y sin y  cos y   x 2  C

y sin y  cos y  x 2  C  0
это есть общий интеграл дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена
через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от
общего (частного) решения.
Пример 6. Найти решение дифференциального уравнения
ydx
 ln y
dy
dx 
ln ydy
y
 dx  
ln ydy
y
2
при у(2) = 1 получаем 2  C  ln 1 ;
2
Итого: 2( x  2)  ln y; или y 
Для самостоятельного решения
2
2
e


xC 
ln 2 y
2
C  2;
- частное решение;
1
(x  C)3
27
1.Решить уравнение
y  y 3 .
2. Решить уравнение
y   x( y 2  1). Ответ:
Ответ: y 
при условии у(2) = 1.
x  C   ln yd (ln y )
2  C  0;
2 x 4
y
 ln y
y
 x2

y  tg
 C 
2


Домашнее задание
Задание1. Выясните, является ли данная функция решением данного дифференциального
уравнения:
а)
y  e  x ; y  2 xy  0,
2
б) y 
ln x dy y
1
;
  2.
x dx x
x
Задание 2. Найдите общее решение дифференциального уравнения и его частное решение,
удовлетворяющее начальному условию:
1. а) y   2 xy , y  1  1; б) xy   1  y , y 1  0 ; в) dy  y  1 , y 7  0 ;
dx
x 1
 

ТЕМА 8 «Дифференциальные уравнения»
УРОК 2 «Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка».
Линейные уравнения.
4

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным
неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
относительно
y   P( x) y  Q( x),
при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным
однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое
уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Рассмотрим метод нахождения общего решения линейного
дифференциального уравнения первого порядка вида
y   P( x) y  0 .
ln y    P( x)dx  ln C ;
dy
  P( x)dx
y
Общее решение:
ln
однородного
y
   P ( x) dx;
C
 P ( x ) dx
y  Ce 
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)0) применяются в основном
два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Рассмотрим только метод Бернулли (Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)
Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения
двух функций y  uv .
При этом очевидно, что
y  u 
dv
du
v
dx
dx
Подставляя в исходное уравнение,
получаем:
u
dv
du
v
 P ( x )uv  Q ( x )
dx
dx
dv
 du

 v
 P ( x)u   Q ( x ) Таким образом
dx
 dx

можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение
u
du
 P ( x)u  0 .
dx
Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение
как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
du
du
  P ( x) dx;
ln u    P ( x ) dx;
 u    P( x)dx;
u
 P ( x ) dx
ue 
ln u   P( x)dx;
Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для
du

функции u в исходное уравнение u dv  v
 P ( x)u   Q ( x ) с учетом того, что

dx
 dx

выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
 P ( x ) dx dv
e 
 Q( x);
dx
dv  Q( x)e 
P ( x ) dx
dx;
Интегрируя, можем найти функцию v:
v   Q( x)e 
P ( x ) dx
dx  C ;
v   Q( x)e 
P ( x ) dx
dx  C ;
Подставляя полученные значения, получаем:
5
 P ( x ) dx 
P ( x ) dx
y  uv  e 
   Q( x)e 
dx  C 


 P ( x ) dx 
P ( x ) dx
ye 
   Q( x)e 
dx  C  , С - произвольный коэффициент.


Пример1. Найти решение дифференциального уравнения xy' y  х  1  0 .
y x 1
uv x  1

u ' v  v' u 

x
x , y  u v ,
x
x
u
x 1
u
v(u ' )  v' u 
u '  0
x
x
x
du u
du dx
du
dx




ln u  ln x
dx x
u
x
u
x
u=x.
x 1
x 1
dv
x 1
v' x 
dv  2 dx

2
x
x
dx
x ,
,
,
x 1
dx
1
2
 dv   x 2 dx , v   x   x dx v  ln x  x  C
1
y  u  v  x(ln x   С )
x
, отсюда y  x ln x  Cx  1
y '
Домашнее задание:
Задание1. Найдите общее решение дифференциального уравнения и его частное решение,
удовлетворяющее начальному условию:
а)
y  y  e x ; y 
1
e
при
x  1 ;б) dy  4 x  2 y y  2
dx
при
x  0.
ТЕМА 8 «Дифференциальные уравнения»
УРОК 3
«Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
понижение порядка».
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:
F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0
Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное
количество решений.
y  (x) удовлетворяет
Определение.
Решение
начальным
условиям
x0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n 1) , если ( x0 )  y 0 ,
Определение.
Нахождение
решения
удовлетворяющего начальным условиям
Коши.
6
( x0 )  y 0 , .... ,  ( n 1) ( x0 )  y 0( n 1) .
уравнения
x0 , y 0 , y 0 ,..., y 0( n 1) ,
F ( x, y, y ,..., y ( n ) )  0 ,
называется решением задачи
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x).
Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений
высших порядков. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.
Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может
быть найдено последовательным интегрированием.
y ( n 1)   f ( x)dx  C1 ;
 f ( x)dx  C dx  C   dx  f ( x)dx  C x  C ;
y   dx  dx.... f ( x)dx  C x  C x  ...  C  C
y ( n2)  
1
2
1
n 1
1
n2
2
n 1
2
n
;
y   sin 2 x
Пример 1. Решить уравнение
1  cos 2 x
1
1
1
1
dx   dx   cos 2 xdx  x  sin 2 x  C1
2
2
2
2
4
1
1
1
1
y   ( x  sin 2 x  C1 )dx  x 2  cos 2 x  C1 x  C 2 - общее решение
2
4
4
8
y    sin 2 xdx  
Пример2. Решить уравнение
y   e 2 x
с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1;
y0  1; y0  0.
1
1 2x
1

e  C1 ;
y     e 2 x  C1 dx  e 2 x  C1 x  C 2 ;
2
4
2

1
1
 1
y    e 2 x  C1 x  C 2   e 2 x  C1 x 2  C 2 x  C 3 ;
2
4
 8
y    e 2 x dx  C1 
Подставим начальные условия:
1
1
1
1   С3 ;  1 
 C2 ; 0 
 C1 ;
8
4
2
C1  
1
;
2
Получаем частное решение (решение задачи Коши): y 
C2  
5
;
4
C3 
7
;
8
1 2x 1 2 5
7
e  x  x .
8
4
4
8
Для самостоятельного решения на уроке
1. Найти общее решение
y   cos 2 x
2. Найти частное решение
y   18 x  2, если при
3. (на скорость)
1 вариант
2 вариант
y  sin 2 x
y  
x  0, y  4, y   5
3 вариант
x
2
y   3 x
3. Найти частное решение
y   xe x ,
если y (0)  1, y (0)  0
4. По учебнику «Математика для техникумов» И.И. Валуцэ разобрать Пример 2 стр.337
7
Вопросы для закрепления:
1. Определение дифференциального уравнения высшего порядка.
2. Вид простейших дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.
3. Алгоритм решения простейших дифференциальных уравнений, допускающих
понижение порядка.
4. Сколько начальных условий должно быть для нахождения частного решения уравнения
вида y    (x ) ?
Домашнее задание:
1.
Найти общее решение а)
y   3  2 x
б) y  
4
2. Найти частное решение y   sin 3 x y 
9
3
x
y  0
при
x  /2
3. Ускорение прямолинейного движения точки задано формулой а=2t+3. Найти закон
движения точки, если v=0 и s=0 при t=0.
ТЕМА 8 «Дифференциальные уравнения»
УРОК 4 «Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами».
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами имеет вид
y   py   qy  r (x) , где p, q— некоторые действительные числа, r{х) — некоторая
функция.
Если r(x)=0, то уравнение y   py   qy  0 называется однородным; в противном случае
при r(x) ≠0 уравнение называется неоднородным.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами
Теорема 1. Если y1(х) и y2(х) — линейно независимые частные решения уравнения, то общее
решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, т.е. имеет
вид для некоторых действительных чисел C1 и C2
Итак, чтобы найти общее решение уравнения, надо знать два его частных решения y1 и y2
Будем искать решение уравнения в форме
у=еax,
где a — некоторое (действительное) число, (если такое существует). Так как
(еax) "+р(еax) '+q еax = (a2+рa+q) еax,, то функция является решением уравнения, если число a
есть корень уравнения a2+рa+q =0 , которое называется характеристическим уравнением
исходного уравнения .
Описание решений уравнения зависит от того, имеет ли соответствующее характеристическое
уравнение два различных корня, один корень или не имеет действительных
корней.
Справедлива теорема.
Теорема 2.
1. Если характеристическое уравнение уравнения имеет действительные корни a1 и a2, причем
y  C1e  C 2 e , где С1 и
a1 не равно a2. Тогда общее решение уравнения имеет вид
C2— некоторые числа.
2. Если характеристическое уравнение имеет один корень (кратности 2), то общее решение
a1x
8
a2x
уравнения имеет вид y  C1e  C 2 xe ,
где С1 и C2 — некоторые числа.
3. Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение
ax
уравнения имеет вид
ax
y=C1exsinx+C2excosx , где a1    i, a2    i ,
C1 и C2 – некоторые числа.
Пример 1. Решить уравнение y   y   2 y  0.
Характеристическое уравнение: k 2  k  2  0;
x
k1  1; k 2  2;
Общее решение: y  C1e  C 2 e .
Пример 2. Решить уравнение y   4 y   4 y  0.
2x
Характеристическое уравнение: k 2  4k  4  0;
k1  k 2  2.
Общее решение: y  C1e  C 2 xe .
Пример 3. Решить уравнение y   2 y   5 y  0.
Характеристическое уравнение: k 2  2k  5  0;
D  16;
2x
2x
k1  1  2i;
k 2  1  2i.
Общее решение: y  e  x (C1 cos 2 x  C 2 sin 2 x).
Для самостоятельного решения на уроке
Задание
1) Найдите общее решение уравнения:
а) y   2 y   y  0 ; б) y   49 y  0 ; в) y   64 y  0
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) y   14 y   49 y  0; y  1, y   2 при x  0 ;
б) y   10 y   26 y  0; y  5, y   1 при x  0 ;
Вопросы для закрепления:
1. Дифференциальное уравнение какого вида называется линейным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами?
2. В каком случае дифференциальное уравнение называется однородным, в каком
неоднородным?
3. Что называется характеристическим уравнением?
4. Сформулируйте теорему 1.
5. Сколько случаев решения линейного однородного дифференциального уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами? От чего зависит каждый случай?
Самостоятельная работа по карточкам (10 мин)
Домашнее задание:
1) Найти общее решение уравнения
y   26 y   169 y  0
2) Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
а) y   6 y   9  0; y  2, y   3 при x  0 ;
б) y   3 y   0; y
 2, y   1 при x  0 .
ТЕМА 8 «Дифференциальные уравнения»
УРОК 5 «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами и специальной правой частью».
Перейдем теперь к решению линейного неоднородного уравнения с постоянными
коэффициентами.
Теорема 3. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно
сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
9
исходного неоднородного уравнения.
Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов)
Применим в том случае, когда правая часть уравнения имеет вид:
r ( x)  e x ( Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x)
Вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения, и задача
сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.
Рассмотрим возможные случаи нахождения частных решений в зависимости от вида правой
части уравнения
Случай 1.
r ( x)  aex
  i  
y ч  x t Aex , t – число корней
характеристического уравнения, равных α.
Пример 1
Найти общее решение дифференциального уравнения y   2 y   3 y  e
Решение:
Его характеристическое уравнение k 2  2k  3  0 имеет корни : k1  1 и k 2  3 ,
4x
y  C1e  x  C2 e3 x
4x
Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде y ч  Ae ,   4
потому общее решение однородного уравнения
не является корнем характеристического уравнения, т.е. t=0.
yч  4 Ae 4 x
Подставим в само уравнение в место у, получим
yч  16 Ae 4 x
16 Ae 4 x  8 Ae 4 x  3 Ae 4 x  e 4 x ,
5 Ae 4 x  e 4 x  A  1 / 5
1 4x
e
5
t
Случай 2. r ( x)  a cos  x  b sin  x    i   i y ч  x ( А cos  x  В sin  x) ,
где t – число корней характеристического уравнения, равных  i
Следовательно, общее решение уравнения
y  C1e  x  C 2 e 3 x 
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям:
1
у  5 у  6 у  2 cos x; y0  3, у0  .
2
Решение: Сначала найдем общее решение однородного уравнения
Его характеристическое уравнение k
2
у   5 у   6 у  0
 5k  6  0 имеет корни : k1  2 и k 2  3 ,
а потому общее решение однородного уравнения y  C1e 2 x  C 2 e 3 x . Так как t=0, то
частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде yч  A cos x  B sin x
yч   A sin x  B cos x; yч   A cos x  B sin x
yч  5 yч  6 yч  5B  A cos x  5 A  B sin x  2 cos x
1

A   5
 5 A  5 B  2
 5 A  1




5 A  5 B  0
 A  B
B  1

5

10
и таким образом общее решение y  C1e 2 x  C2 e 3x 
1
sin x  cos x
5
Найдем решение при y0  3, у0  1
2

0
0 1
3  C1e  C 2 e  5 sin 0  cos 0
C  8.1
таким образом
 1

 1  2C e 0  3C e 0  1 cos 0  sin 0 C 2  5.3
1
2
5
 2
y  8.1e 2 x  5.3e 3x  0.2sin x  cos x 
Случай 3.
r ( x)  Pn ( x)    i  0
той же степени, что и
Pn (x) ,
yч  Qn ( x) x t , где Qn (x)  полный многочлен
t – число корней характеристического уравнения, равных 0.
Пример 3
у   2 у   у  x  1
Сначала найдем общее решение однородного уравнения у   2 у   у  0
Найти общее решение дифференциального уравнения
Его характеристическое уравнение
k 2  2k  1  0 имеет корни : k1  k 2  1 ,
y  (C1  C2 x)e x . Так как t=0, то
частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде y ч  Ax  B
а потому общее решение однородного уравнения
y ч  A
y ч  0
Подставим в само уравнение в место у, получим
-2A+Ax+B=x+1 => A=1, -
2A+B=1, находим A=1, B=3.
Следовательно, общее решение уравнения
Случай 4.
y  (C1  C2 x)e x  x  3
r ( x)  Pn ( x)e x   i  
многочлен той же степени, что и
Pn (x) ,
y ч  Qn ( x) x t e x , где Qn (x)  полный
t – число корней характеристического уравнения,
равных α, если α=0, то имеет место случай 3.
Пример 4
Найти общее решение дифференциального уравнения
у  4 у  3 у  xex
Сначала найдем общее решение однородного уравнения
Его характеристическое уравнение
у  4 у  3 у  0
k 2  4k  3  0 имеет корни : k1 1, k 2  3 ,
x
3x
а потому общее решение однородного уравнения y  C1e  C2 e . Так как
k1  1, то t=1 и частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
α=1 и
y ч  ( Ax  B ) xe x
yч  ( Ax 2  2 Ax  Bx  B)e x
yч  ( Ax 2  4 Ax  Bx  2 A  2 B)e x
11
Подставим в само уравнение в место у, получим  4 Ax  2 A  2B 
 4 A  1
 A  1 / 4


2
A

2
B

0

 B  1 / 4
x
3x 1 2
x
 ( x  x )e
Общее решение имеет вид y  C1e  C 2 e
x.
4
Для самостоятельного решения на уроке
Задание
1) Найдите общее решение уравнения или частное решение уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям:
а) y   2 y   y  e x б) y   y   2,5 y  25 cos 2 x ;
1
5
в); у  2 у  5 у  х 2  1; y 0   3, у0    .
Вопросы для закрепления:
1. Сколько рассмотрено случаев решения неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами ? От чего зависит каждый случай?
2. Какой вид должна иметь правая часть неоднородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами для решения разобранным методом?
Как он называется?
3. Как находится общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами?
4. От чего зависит, нужно умножать частное решение на х в какой то степени или нет?
Домашнее задание:
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям:
1) у   4 у   45 у   х 2  3х; y 0  3, у 0  4 .
3
2) у   6 у   8 у  e ; y0  1, у 0  0.
3) у   3 у   2 у  e 3 x ( х 2  х) 4) у   5 у   6 у  13 sin 3х
2x
Проверь себя!
Пробная самостоятельная работа по теме: «Дифференциальные уравнения
второго порядка»
Найти общее и частное решения дифференциального уравнения.
x
4



2. y  6 y  13 y  0 y (0)  0 y (0)  2
3. у   4 у   3 у  х 2 e x ; y0  1, у 0  1.
1. y   cos 2
12
13