Қазақстан Республикасының Министерство Білім және ғылым образования и науки

Қазақстан Республикасының
Білім және ғылым
министрлігі
Министерство
образования и науки
Республики Казахстан
Д. Серікбаев атындағы
ШҚМТУ
ВКГТУ
им. Д. Серикбаева
УТВЕРЖДАЮ
декан ФИТЭ
_________Мухамедиев Г.Х.
«___» _____________ 2014 г.
НАУЧНЫЙ СЕМИНАР
ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Специальность: 6D060100 – «Математика»
Өскемен,
Усть-Каменогорск
2014
3
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение в теорию разностных схем. Постановки задач математической физики.
Трехслойные разностные схемы
4
2. Разностные схемы для одномерных уравнений эллиптического, параболического,
гиперболического типов
8
3. Методы построения разностных схем для дифференциальных уравнений
13
4. Аппроксимация краевых и начальных условий. Методы повышения
аппроксимации
20
5. Метод гармоник для исследования устойчивости разностных схем
22
6. Разностные схемы с весами
23
7. Принцип максимума
25
4
1. Введение в теорию разностных схем. Постановки задач
математической физики. Трехслойные разностные схемы
а) Разностные схемы для уравнения колебания.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения колебания:
  2u  2u
 t 2  x 2 ,

u (0, t )  1 (t ),

u ( x,0)  u0 ( x),

0  x  1,
0  t  T,
u (1, t )   2 (t ),
0  t  T,
u
( x, 0)  u0 ( x),
t
(1)
0  x  1.
Рассмотрим сетку h  h   ,

i  0, N ,

n  0, k ,
h  xi  ih,
  tn  n ,

hN  1 ,

k  T .
Шаблон для схемы имеет вид:
n 1
n
n 1
i 1
i
i 1
Здесь используются три слоя, поэтому разностная схема называется трехслойной,
когда значения на слоях n  1 , n – известны.
 yin 1  2 yin  yin 1 yin1  2 yin  yin1

,

2
2

h

n  1, 2, , k  1,
i  1, N  1,
 n 1
y Nn 1   2 (t n 1 ),
 y 0  1 (t n 1 ),

(2)
n  0, k  1.
Разрешим (2) относительно yin1 , получим:
5
n 1
n
n 1
n
n
n

 yi  2 yi  yi   ( yi 1  2 yi  y i 1 ),


n  1, k  1,
   2 h2.
i  1, N  1,
(3)
Разностная схема (2) имеет порядок аппроксимации о( 2  h 2 ) .
Для счета на схеме (3) должны быть известны значения yi0 yi1 , i  0, N .
Из начального условия получим:
yi0  u0 ( xi ),
i  1, N  1.
(4)
u
( x,0)  u0 ( x)
–
t
( yi1  yi0 ) /   u0 ( xi ) – имеет порядок o ( ).
Замена
условия
конечно
разностным
соотношением
Выше было сказано, что схема (2) имеет порядок o( 2 ) . Поэтому необходимо
добиться аппроксимации и начального условия порядка o( 2 ) .
Для этого используем разложение:
u ( x, )  u ( x,0)


u ( x,0)   2u ( x,0)
 
 0( 2 ).
t
2
t 2
Из уравнения (1) следует, что
 2u ( x,0)  2u ( x,0)

 u0( x).
t 2
x 2
Тогда
u ( x,0) u ( x, )  u ( x,0) 

 u0( x)  о( 2 ).
t

2
Следовательно, если в место
yi1  yi0

u ( x, )  u ( x,0)

 yt возьмем:

 u0, xx , i  u0 ( xi ), i  1, N  1 ,
2
(5)
который аппроксимирует со вторым порядком.
Совокупность (2), (4), (5) аппроксимируют уравнение (1) со вторым порядком по 
и h.
Для исследования устойчивости будем искать решение (2) в виде:
y hj  q n ei j h  .
Подставляя это выражение в (2) и сокращая на e i j h  , получим
(6)
6
q 2  2(1  2 sin 2
h
)q  1  0,
2
 
2
h2
(7)
.
Разностное уравнение (2) устойчиво, если оба корня уравнения (7) не превосходят
по модулю 1.
Разностное уравнение (2) устойчиво, если при действительных  выполняется
равенство это выполняется

2 h 
1  2 sin
  1,
2 

2
 sin 2
т.е.
y
1,
2
при всех  , если   h .
б) Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.
u  2 u

t x 2 .
Рассмотрим уравнение
Заменим явной симметричной схемой (схема Ричардсона):
y nj1  y nj1
2

y nj1  2 y nj  y nj1
h2
(*)
.
Применяя метод гармоник, получим
q 2  8 sin 2
h
q  1  0,
2
 

h2
Решим квадратное уравнение, имеем корни:
q1, 2  4 sin 2
h
h
 16 2 sin 4
 1,
2
2
 a 

a2 1 .
Один из корней всегда будет по модулю больше единицы, следовательно схема (*)
абсолютно неустойчива (условно устойчива).
Заменим y nj полусуммой, имеем (схему ромб: Дюфорта - Франкля);
y nj1  y nj1
2

y nj1  y nj1  y nj1  y nj1
h2
Схема абсолютно устойчива.
Схема ромб, может быть записана в виде:
y0 
t
2
h2
ytt  y.
7
Т.е. схема ромб получена из схемы Ричардсона добавлением к левой части члена
2
h2
ytt , обеспечивающего устойчивость.
8
2. Разностные схемы для одномерных уравнений эллиптического,
параболического, гиперболического типов
1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами
1.Исходная задача. Процесс распространения тепла в одномерном стержне
0  x  l описывается уравнением теплопроводности
c
u   u 
  k   f 0  x, t ,
t x  x 
(1)
где u  u ( x, t ) -температура в точке x стержня в момент t, c -теплоемкость единицы
 -плотность,
c -теплоемкость
массы,
единицы длины,
k -коэффициент
теплопроводности, f 0 -плотность тепловых источников. В общем случае k , c,  , f 0
могут зависеть не только от x и t , но и от температуры u  u ( x, t ) (квазилинейное
уравнение теплопроводности) и даже от u / х (нелинейное уравнение). Если k , c, 
постоянны, то (1) можно записать в виде
2
u
2  u
a
 f,
t
x 2
f 
f0
,
c
(2)
где a 2  k c  - коэффициент температуропроводности. Без ограничения общности
можно считать a  1, l  1.
в самом деле, вводя переменные x1 
u  2 u

 f1 ,
t1 x12
x
a 2t
, t1  2 ,
l
l
f1 
l2
f , получим
a2
0  x1  1.
Мы будем рассматривать первую краевую задачу (иногда говорят: начальнокраевую задачу) в области D  0  x  1, 0  t  T . Требуется найти непрерывное в D
решение u  u ( x, t ) задачи
u  2 u

 f x, t ,
0  x  1,
0  t  T,
t x 2
ux, 0  u 0 x ,
0  x  1,
u0, t   u1 t ,
u1, t   u2 (t ),
(3)
0  t  T.
2.Некоторые свойства решений уравнения теплопроводности. В силу принципа
максимума для решения задачи (3) имеет место оценка
9
T
ux, t   max  max u 0 ( x) ,
0 x 1, 0t T
 0 x1
max
max u1 (t ) ,
0t T
max u 2 (t )    max f ( x, t ) dt.
0t T
 0 0 x1
(4)
Рассмотрим однородное уравнение с однородными краевыми условиями:
u  2 u

,
0  x  1,
0  t  T,
t x 2
u (0, t )  u (1, t )  0,
0  t  T,
u ( x,0)  u 0 ( x),
0  x  1.
(5)
Решение этой задачи находится методом разделения переменных в виде

u ( x, t )   c R e R t X R ( x),
(6)
R 1
где  R и X R (x) - собственные значения и ортонормированные собственные функции
задачи
X   X  0,
0  x  1,
X (0)  X (1)  0,
Равные
 R  k 2 2 ,
X R ( x)  2 sin kx,
(7)
Причем
1
 X R , X m    X R ( x) X m ( x)dx   Rm ,
0
1,
0,
 Rm  
k  m, 

k  m,
В самом деле, все частные решения (гармоники) ur ( x, t )  cR e  t X R( x) удовлетворяют
уравнению и краевым условиям (5). Из начального условия
R

u ( x, 0)  u 0 ( x)   c R X R ( x)
R 1
находятся коэффициенты c R  (u0 , X R ).
Из (6) и (8) следует
(8)
10
u (t )
2
 u x, t , u ( x t )  

  c R2 e 2Rt X R
R 1
2

 e 21t  c R2  e 21t u 0 ,
2
R 1
так как
u0
2

  c R2 ,
R 1
 R   R 1    1   2 .
Таким образом, для решения задачи (5) верна оценка
u(t )  e 1t u0 ,
1   2 ,
(9)
Выражающая свойство асимптотической (при t   ) устойчивости задачи (5) по
начальным данным . в силу возрастания R  k 2 2 с ростом k , начиная с некоторого
момента t , в сумме (6) будет преобладать первое слагаемое (первая гармоника), т.е.
будет иметь место приближенное равенство
u ( x, t )  c0 e  1t X 1 ( x).
Эта стадия процесса называется регулярным режимом.
3.Разностные схемы. В области D введем сетку
 h  xi t j  : xi  ih,
j  0, 1, , L,
t j  j ,
i  0, 1, , N , h  1 / N ,
  T / L
с шагами: h по x и  по t . Заменяя производную по x разностным выражением
  2 u  ui 1  2ui  ui 1
 2  ~
 u xx,i  ui ,
h2
 x  i
вместо (3) получим систему дифференциально-разностных уравнений (метод
прямых)
d i
  i  f i ,
dt
i  1, 2, ,
с краевыми и начальными условиями
 0 (t )  u1 (t ),
 N (t ),
 i (0)  u 0 xi .
11
Для численного решения этой задачи, по аналогии с гл. V , заменим производную
по t разностным отношением
di i (t j 1 )  i (t j ) i j 1  i j
~

 (t )ij ,
dt


правую часть возьмем в виде линейной комбинации значений при t  t j (на j -м
слое) и t  t j 1 (на ( j  1) -м слое):
yij 1  yij
  yij 1  (1   )yij   i j ,
(10)

где  -параметр, а  i j -некоторая правая часть, например,
 ij  f i j ,
 i j  f i j 1 / 2 и т.д. Сюда надо присоединить дополнительные условия
y0j  u1 (t j ),
y Nj  u 2 (t j ),
yi0  u0 ( xi ),
(11)
j  0, 1, 2, ,0  i  N .
Схема (10) определена на 6-точечном шаблоне
x
i 1
, t j 1 
x , t 
j 1
i


xi1 , t j 


xi , t j 
x
i 1
, t j 1 


xi1 , t j 
Рассмотрим явную схему (  0) на 4-точечном шаблоне:
yij 1  yij


yij1  2 yij  yij1
 ij .
2
h
(12)
Значения на ( j  1) -м слое находятся по явной формуле

 2 
y ij 1  1  2  y ij  2  y ij1  y ij1    i j .
h
 h 
В случае   1 получаем полностью неявную схему-схему с опережением на
шаблоне
yij 1  yij




:
yij11  2 yij 1  yij11
  ij .
2
h
(13)
12
Для определения yij 1 из (13) получаем краевую задачу

 2
y ij11  1  2
h
 h
2
Fi j  yij  i j ,
 j 1  j 1
j
 y i  2 y i 1   Fi ,
h

y0j 1  u1 (t j 1 ),
0  i  N,
y Nj 1  u2 (t j 1 ),
которая решается методом прогонки.
Часто используется симметричная неявная схема (иногда ее называют схемой
Кранка-Николсона) с   1/ 2 и шаблоном

:

yii 1  yij 1  yij11  2 yij 1  yij11 yij1  2 yij  yij1 

   i j .

2
2

2
h
h

(14)
Значения yij 1 на новом слое и в этом случае находятся методом прогонки для
краевой задачи:

 


yij11  1  2  yij 1  2 yij11   Fi j ,
2h
2h
 h 
j 1
j 1
y 0  u1 t j 1 ,
y N  u 2 t j 1 ,
2


Fi j  1  2
 h
0  i  N,
(15)

 j
j
j
j
 y i  2  y i 1  y i 1    i .
2h

В общем случае (при любом  ) схема (10) называется схемой с весами. При
  0 она неявная и y ij 1 определяется методом прогонки как решение задачи
  yij 1  yij 1   Fi j ,
y0j 1  u1 t j 1 ,
0  i  N,
y Nj 1  u2 t j 1 ,
j  0, 1, 
Перейдем к изучению свойств схемы (10) с любым  .
(16)
13
3. Методы построения разностных схем для дифференциальных
уравнений
Разностные схемы для уравнения теплопроводности
1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для
уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {0<x<1,
0< t  T} требуется найти решение уравнения
u  2u

 f ( x, t )
t x 2
удовлетворяющее начальному условию
и(х, 0) =u0(x)
и граничным условиям
(1.1.1)
(1.1.2)
u0 (0, t )  1 (t ), u(1, t )  2 (t ).
(1.1.3)
Здесь u0(x), 1 (t ),  2 (t ) —заданные функции. Известно, что при определенных
предположениях гладкости решение задачи (1.1.1)-(1.1.3) существует и единственно.
В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем
предполагать, что решение и(х, t) обладает необходимым по ходу изложения числом
производных по x и по t. Решение задачи (1.1.1)-(1.1.3) удовлетворяет принципу
максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.
2. Явная схема. Для построения разностной схемы, надо прежде всего ввести сетку в
области изменения независимых переменных и задать шаблон, т. е. множество точек
сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем
сетку по переменному х, т. е.
 h  xi  ih, i  0, N , hN  1 ,
и сетку по переменному t с шагом  , которую обозначим




   t n  n , n  0, K , K  T .
Точки ( xi , t n ), i  0, N , i  0, K , образуют узлы пространственно-временной сетки
 h,   h    (см. рис. 10). Узлы ( xi , t n ), принадлежащие отрезкам I0={0  x  1,t=0},
I1={x=0,0  t  T}, I2={x=1,0  t  T}, называются граничными узлами сетки  h , , а
остальные узлы — внутренними. На рис. 1 граничные
узлы
обозначены
крестиками, а внутренние — кружочками.
Слоем называется множество всех узлов сетки  h , , имеющих одну и ту же
временную координату. Так, п-м слоем называется множество узлов
( x0 , t n ), ( x1 , t n ),..., ( x N , t n ),
Для функции y(x,t), определенной на сетке  h , , введем обозначения yin=y(xi,tn),
14
Рис. 1. Пространственно-временная сетка  h , .
y 
n
t ,i
yin1  yin
, y
n
xx ,i
yin1  2 yin  yin1

,
h2

n
Иногда для упрощения записи индексы i и п будем опускать, обозначая yt  yt ,i ,
yxx  yxnx,i .
Рис. 2. Шаблоны разностных схем: а —явная схема; б — чисто неявная схема; в —
симметричная схема; г — трехслойная схема
Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке ( xi , t n ), введем шаблон
изображенный на рис. 2, а и состоящий из четырех узлов ( xi 1 , t n ), ( xi , t n ), ( xi , t n1 ) .
n
Производную д2и/дt заменим в точке ( xi , t n ) разностным соотношением yt ,i , а
n
производную д2и/дх2 — второй разностной производной y xx ,i . Правую часть f(x, t)
n
n
заменим приближенно сеточной функцией  i , в качестве  i можно взять одно из
следующих выражений:
xi  1
2
1
1
f ( xi , t n ),
f ( x, t n )dx,
hx
h

i 1
2
xi  1
t n 1
2
  f ( x, t )dx.
dt
tn
xi  1
2
В результате получим разностное уравнение
yin1  yin

yin1  2 yin  yin1

 in ,
2
h
15
которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке ( xi , t n ) с
первым порядком по  и вторым порядком по h при условии, что разность
 in  f ( xi , t n ) имеет тот же порядок малости.
Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений,
аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних
узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия — в граничных
узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем
называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид
yin1  yin yin1  2 yin  yin1

 in ,
2

h
i  1,2,..., N  1, n  0,1,..., K  1, hN=1, K  T ,
y0n  1 (t n ), y Nn   2 (t n ), n  0,1,..., K ,
yi0  u 0 ( xi ), i  0,1,..., N .
Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений
с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы
следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями
yi0  u 0 ( xi ), i  0,1,..., N . Если решение yi0 , i  0,1,..., N на слое п уже найдено, то решение
yin1 на слое п+1 находится по явной формуле
yin1  yin   ( y xnx ,i  in ), i  1,2,..., N  1,
n
  2 (t n ), доопределяются из граничных условий.
а значения y0n1  1 (t n1 ), y N
По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже
мы познакомимся и с неявными схемами, в которых для нахождения yin1 при
заданных y in требуется решать систему уравнений.
Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность zin  yin  u ( xi , t n )
между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1)-(3). Подставляя в (6)
yin  zin  u ( xi , t n ), получим уравнение для погрешности
zin1  zin
zin1  2 zin  zin1

  in ,
2

h
i  1,2,..., N  1, n  0,1,..., K  1, hN=1, K  T ,
z 0n  z Nn  0, n  1,2,..., K , z i0  0, i  0,1,..., N ,
где  in  utn,i  u xnx,i  in —погрешность аппроксимации разностной схемы (6) на
решении задачи (1)-(3),  in  (  h 2 ) . Можно оценить решение z in уравнения (8)
через правую часть  in и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с
первым порядком по  и вторым — по h. На примере схемы (6) продемонстрируем
один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными
коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является
достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и
правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и
сходимости разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно
16
применять лишь при условии   0,5h 2 , означающем, что шаг по времени надо брать
достаточно малым. Рассмотрим уравнение
yin1  yin yin1  2 yin  yin1

,

h2
т. е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения
уравнения (9), имеющие вид
yin ( )  q n e ijh ,
где i — мнимая единица,  — любое действительное число и q — число,
подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на e ijh ,
получим
q 1


e ih  2  e ih
,
h2
откуда найдем
q  1  4 sin 2
h

,   2.
2
h
Начальные условия yi0 ( )  e ijh , соответствующие решениям вида (10) (их
называют гармониками), ограничены. Если для некоторого  множитель q станет
по модулю больше единицы, то решение вида (10) будет неограниченно возрастать
при n   . В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым,
поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных
условий. Если же q  1 для всех действительных  , то все решения вида (10)
ограничены при любом п и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В
случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7)
практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округления), внесенные в начальный момент времени, будут неограниченно возрастать при
увеличении п. Такие разностные схемы называются неустойчивыми.
Для уравнения (9) неравенство q  1 выполняется согласно (11) при всех ф
тогда и только тогда, когда   0 . Таким образом, использование схемы (6) возможно
лишь при выполнении условия   0,5h 2 . Разностные схемы, устойчивые лишь при
некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени,
называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) условно устойчива,
причем условие устойчивости имеет вид  / h 2  0,5 . Условно устойчивые схемы для
уравнений параболического типа используются редко, так как они накладывают
слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например,
h=10-2. Тогда шаг  не должен превосходить 0,5  10 4 , и для того чтобы вычислить
решение y in при t=1, надо взять число шагов по времени n   1  2 10 4 т. е. провести
не менее 2 10 4 вычислений по формулам (7). В следующем пункте будет показано,
что многие неявные схемы лишены этого недостатка и являются устойчивыми при
любых шагах ft и т. Такие схемы называются абсолютно устойчивыми.
3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения
теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема,
использующая шаблон ( xi , t n ), ( xi1 , t n1 ), ( xi , t n1 ) (см. рис. 2, б) и имеющая вид
17
yin1  yin

yin11  2 yin1  yin11

 in ,
2
h
i  1,2,..., N  1, n  0,1,..., K  1,
y
n 1
0
 1 (t n1 ), y Nn1   2 (t n 1 ), n  0,1,..., K  1,
yi0  u 0 ( xi ), i  0,1,..., N .
Здесь  in  f ( xi , t n1 )  (  h 2 ) . Схема имеет первый порядок аппроксимации по  и
второй — по h. Решение системы (12) находится, как и в случае явной схемы, по
слоям, начиная с п=1. Однако теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения
yin1 по известным y in требуется решить систему уравнений
yin11  (1  2 ) yin1  yin11   Fi n , i  1,2,..., N  1,
y0n1  1 (t n1 ), y Nn1   2 (t n 1 ),
где  

h
2
,
Fi n  yin  in . Эту систему можно решать методом прогонки, так как
условия устойчивости прогонки выполнены.
Для исследования устойчивости разностной схемы (12)
частные решения уравнения
yin1  yin yin11  2 yin1  yin11

,

h2
имеющие вид (10). Тогда получим
будем искать
1

h 

q  1  4 sin 2
 ,   2,
h
2 

следовательно, q  1 при любых  ,  , h. Таким образом, схема (12) абсолютно
устойчива, т. е. устойчива при любых шагах  , и h. Абсолютная устойчивость
является основным преимуществом неявных схем. Теперь уже не надо брать шаг 
слишком малым, можно взять, например,   h  10 2 . Величина шагов сетки  , h
определяется теперь необходимой точностью расчета, а не соображениями
устойчивости.
Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема
yin1  yin 1 n1
 ( y xx ,i  y xnx ,i )  in ,

2
для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12).
Эта схема использует шеститочечный шаблон, изображенный на рис. 2,в.
Предлагаем самостоятельно доказать, что эта схема имеет второй порядок
аппроксимации как по h, так и по  (если только in  f ( xi , t n  0,5 )  ( 2  h 2 ), она
абсолютно устойчива и ее можно решать методом прогонки.
Обобщением трех рассмотренных схем является однопарамет-рическое
семейство схем с весами. Зададим произвольный действительный параметр о и
определим разностную схему
18
yin1  yin

 y xnx,1i  (1   ) y xnx ,i  in ,
i  1,2,..., N  1, n  0,1,..., K  1,
y
n 1
0
 1 (t n1 ), y Nn1   2 (t n 1 ), n  0,1,..., K  1,
yi0  u 0 ( xi ), i  0,1,..., N .
При   0 получим отсюда явную схему, при   1 —чисто неявную схему и при
  0,5 — симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы
(15) на решении исходной задачи (1)-(3). Представим решение задачи (15) в виде
yin  u ( xi , y n )  z in —точное решение дифференциальной
yin  u ( xi , t n )  zin , где
задачи (1)-(3). Тогда для погрешности получим систему уравнений
zin1  zin
 z xnx,1i  (1   ) z xnx ,i   in ,

i  1,2,..., N  1, n  0,1,..., K  1,
z
n 1
0
z
n 1
N
 0, n  0,1,..., K  1, z i0  0, i  0,1,..., N .
Сеточная функция  in , входящая в правую часть уравнения (16) и равная
 in  u xnx,1i  (1   )u xnx,i  utn,i  in ,
называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1)-(3).
Получим первые члены разложения функции  in по степеням h и  . Будем разлагать
все функции, входящие в выражение для  in , по формуле Тейлора в точке
( xi , t n  0,5 ).
Учитывая
utn,i  u ( xi , t n )  ( 2 ),
разложения
h 2 IV
u ( xi )  (h 4 ), где и"=д2и/дхг, u=du/dt, t n1 2  t n  0,5 , получим
12
h2
h2
 in   (u ' ' ( xi , t n1 )  u IV ( xi , t n1 ))  (1   )(u ' ' ( xi , t n )  u IV ( xi , t n ))  u ( xi , t n1 2 )  in  ( 2 )  (h 4 ).
12
12
u xx ,i  u ' ' ( xi ) 
Отсюда, проводя разложение в точке
иметь
(xi ,tn+1/2), и обозначая и=u(xi ,tn+1/2) будем

h2

h2
 in   (u ' ' u ' ' u IV )  (1   )(u ' ' u ' ' u IV )  u   in  ( 2 )  (h 4 )
2
12
2
12
и, перегруппировывая слагаемые, получим, что
 in  (u ' 'u   in )  (  0,5)u ' '
h 2 IV
u  ( 2  h 4 ).
12
Учитывая уравнение (1) u"-u=f и следствие из него uIY-u"=-f", окончательно можем
записать, что

h2 


h2
 in  (  0,5)  u ' 'in  f ( xi , t n1 / 2 ) 
f ' ' ( xi , t n1 / 2 )  ( 2  h 4 ).
12
12
1 h2
,
2 12
Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если    *  
 in  f ( xi , t n1 / 2 ) 
h2
f ' ' ( xi , t n1 / 2 )  ( 2  h 4 ),
12
то
схема
(15)
имеет
второй
порядок
аппроксимации по  и четвертый — по h. Такая схема называется схемой
повышенного порядка аппроксимации. Если
  0,5,  in  f ( xi , t n1 / 2 )  ( 2  h 4 ),
19
то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по  и по h. При остальных
значениях  и при  in  f ( xi , t n1 / 2 )  (  h) схема (15) имеет первый порядок
аппроксимации по  и второй — по h. Опуская выкладки, отметим, что если искать
решение уравнения (15) с  in  0 в виде (10), то получим
q
1  4 (1   ) sin 2
1  4 sin 2
h
2
h
2
и q  1 при всех  , если
1 h2
  .
2 4
Отсюда видно, в частности, что все схемы с   0,5 абсолютно устойчивы.
Схема повышенного порядка аппроксимации (   * ) также абсолютно устойчива,
что проверяется непосредственно.
При   0 разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения
решения yin1 по заданным y in требуется решать систему уравнений
yin11  (1  2 ) yin1  yin11   Fi n , i  1,2,..., N  1,
y0n1  1 (t n1 ), y Nn1   2 (t n 1 ),
где


h
2
, Fi n  yin  (1 )y xnx,i  in .
Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки
при   0 сводятся к неравенству
1  2  2  4
и выполнены при   1 /( 4 ). Последнее неравенство следует из условия
устойчивости (19) разностной схемы.
20
4. Аппроксимация краевых и начальных условий. Методы повышения
аппроксимации
Рассмотрим уравнение
 u  2 u
  2  f,
 t x
u ( x,0)  u ( x),
0

0  x  1,
0  t  T,
(1)
0  x  1.
Пусть при x  0, x  1 заданы краевые условия третьего рода
u (0, t )
 1u (0, t )  1 (t ),
x

u (1, t )
  2 u (0, t )   2 (t ),
x
1  сonst  0,
(2)
 2  const  0.
(3)
Разностное краевое условие для (2) запишем на шаблоне
j 1
j


0
h
Покажем, что разностный аналог условия (2),
 ( yˆ x  1 yˆ )0  (1   )( y x  1 y )  0.5 h yt , 0  ~1 ,
~
1  1  0.5 h f 0 ,
где f 0  f (0, t j  1 ),
2
(4)
1  1 (t j  1 ) аппроксимирует с тем же порядком, что и
2
разностная схема с весами.
Подставим y  z  u в (4):
 ( zˆ x  1 zˆ )0  (1   )( z x  1 z )0  0.5 h zt ,0  ~1 ,
~1   (uˆ x  1 uˆ )0  (1   )(u x  1u )0  0.5 h ut ,0  ~1
Разложим u в окрестности (0, t j  0.5 ) по формуле Тейлора:
(5)
21
~1  (u0  1u0  ~1 ) 0  (  0.5) (u   1u ) 0  0.5hu0  0.5hu0  0(h 2   2 ).
Подставим
u 0  1u 0  1 ;
u 0  u 0  f 0
~1  (  0.5) (u0  1u0 )  o( 2  h 2 ).
Отсюда, видно
~1  0(h 2   )
~
 1  0(h 2   2 )
  0,5
при
  0,5
при
Разностная схема для краевого условия (3) имеет вид:
  ( yˆ x   2 yˆ ) N  (1   )( y x   2 y ) N   0.5hyt , N  2
где: ~2   2  0.5 h f N ,
 2   2 (t j  1 ),
2
Введем обозначение  y 
y x  1 y
,
0.5h
Запишем условия (4), (6) иначе.
 yt   ( yˆ  (1   ) y )   

 yt   ( yˆ  (1   ) y )    ,
(6)
f N  f (1, t j  1 ).
2
 y 
 yx  2 y
.
0.5h
при
x  0,
при
x  1.
Замечание: При 1   2  0 получим условие 2 рода.
Счетный вид условий (4), (6)


h2
ˆ
ˆ
y


y


,


,



(
1


h
)

,
1 1
1
1
1
1
 0

2

1


2
  1 (1   ) y   h  (1   )(1   h) y  h~ .

1
1  0
1
 2
 1 1




yˆ N   2 yˆ N 1   2 ,
2 
1
2
2 

2
,
h2
 2   (1   2 h)  ,
2

 h2

~ 
(
1


)
y


N 1
 2  (1   )(1   2 h) y N  h 2 .




22
5. Метод гармоник для исследования устойчивости разностных схем
Рассмотрим уравнение
y nj1  y nj


y nj1  2 y nj  y nj1
h2
(1)
.
Ищем решение частное (1) в виде:
y nj ( )  q n ei j h  ,
(2)
где: q – неизвестное, i – мнимая единица,    действительное число.
Подставим (2) в (1) имеем
q 1


ei h  2  e i h
.
h2
Откуда
q  1  4 sin 2
h
,
2
 

h2
.
Начальное условие y 0j ( )  e i h ограничено:
Если в решение (2) q  1, то решение вида (2) неограниченно растет при n  .
Если же q  1, то для всех действительных  решение (2) ограничено при  n и
разносное уравнение называется устойчивым.
Неравенство q  1 выполняется при всех  только тогда, когда   0.5, откуда
следует что
  0 .5h 2
(3)
(3)-условие условной устойчивости схемы (1).
Рассмотрим неявную схему
y nj1  y nj


y nj11  2 y nj1  y nj11
(4)
h2
По методу гармоник определим, что
1
h 

q  1  4 sin 2
 ,
2 



h2
.
В этом случае условие q  1 выполняется при любых  ,  , h .
Схема (4) абсолютно устойчива.
23
6. Разностные схемы с весами
Рассмотрим семейство схем с весами.
Зададим произвольный параметр  и определим разностную схему.
 yin1  yin
  y xnx.1i  (1   ) y xnx  in ,
 

n  0, 1, , k  1,
i  1, 2,, N  1,
 y n1   (t ),
y Nn1   2 (t n1 ),
n  0,1,, k  1,
1 n 1
 0
0
 yi  u0 ( xi ),
i  0,1,, N .
При   0 – явная схема
  1 – неявная схема
  0.5 – симметричная схема.
Задание: Доказать, что симметричная схема имеет порядок о( 2  h 2 ) :
yin 1  yin


1 n 1
( y xx ,i  y xnx )  
2
n
i
Исследуем погрешность аппроксимации схемы (5).
Положим zin  yin  u ( xi , tn ), и подставим yi  zin  u ( xi , t n ) в (5) получим:
zin1  zin

  z xnx1,i  (1   ) z xn x   in ,
i  1, , N  1,
(6)
n  0, 1, , k  1.
z0n1  z Nn1  0,
n  0, 1,, k  1,
zi0  0,
i  0, N .
Здесь
 in   u x x,i  (1   )u x x,i  utn,i  i( n) .
Разложим в ряд Тейлора, члены из (7), имеем
u t ,in  u ( xi , tn 1 )  о( 2 ),
2
u xx ,i  u( xi ) 
h 2 ІV
u ( xi )  о(h 4 ),
12
(7)
24
 in   (u( xi , tn1 ) 


h 2 IV
h2
u ( xi , tn1 )  (1   ) u( xi , tn )  u IV ( x, tn )  
12
12


 u ( xi , tn 1 )  in  о( 2 )  0(h 4 ).
2
Обозначим u  u( xi , tn 1 ), и разлогая в ( xi , t n 1 ) заменим итоге:
2
2

h2

h2
 in   (u  u  u IV )  (1   )(u  u  u IV )  u  in  о( 2 )  о(h n ).
2
12
2
12
Группируя, получим
 i n  (u  u  in )  (  0.5) u 
h 2 IV
u  о( 2  h 2 ).
12
Учитывая, что u   u   f , и
u IV  u    f , запишем окончательно:

h 
h
 in    0.5  u  in  f  xi , tn 1  
f  xi , tn 1   o 2  h 2 .
2
2


12
12


2
2
(8)
Из (8) следует, что
1 h2
h2
, in  f  xi , tn 1   f  xi , tn 1   o( 2  h 2 ),
2
2

2 12
12 
Если    *  
то схема (5) имеет порядок o 2  h 4  .
Если   0.5 ;
in  f  xi , t

n 1
2
При остальных значениях
  0  h  .




и при
in  f xi , t n1   о  h 2 
2
По методу гармоник имеем:
q
1  4 1    sin 2
1  4 sin 2
h
2 .
h
2
h2
при всех  .
4
7) Отсюда видно, что все схемы с   0.5 абсолютно устойчивы.
Схемы повышенного порядка при    * абсолютно устойчивы.
1
2
Откуда q  1, если   

  о  2  h 2 , то схема (5) имеет порядок   о  2  h 2 .

имеет порядок
25
7. Принцип максимума
7.1 Принцип максимума и его следствия
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: найти в G  G  
функцию u( x1 , x2 ) из
  2u  2u
 2  2   f ( x1 , x2 ),
 x1 x2
u ( x)   ( x),
x  .

x  ( x1 , x2 )  G,
G  0  x1  l1 , 0  x2  l2 ,
(1)
  G.
При f  0, получим задачу Дирихле для уравнения Лапласа
u  0,
u ( x)   ( x),
x  G,
x  .
(2)
Для задачи (2) выполнен принцип максимума: решение u( x1 , x2 ) отличное от
константы может достигать своего max по модулю только на границе, т.е.
max
 x1 , x2 G
u ( x1 , x 2 )

max  x1 , x 2  .
 x1 , x2 
Аппроксимируем уравнение (1) разностной задачей:
y x1 , x1  y x2 , x2   f i j ,




i

 yi ,0   x1 , 0 ;

j

 y0, j   0, x2 ,
i  1, N1  1,
j  1, N 2  1.

  l ,

,
yi , N2   x 1i , l2 ,
y N1 , j
1
x 2j
(3)
i  1, N1  1,
j  1, N 2  1.
(4)
Разрешим (3), относительно yi j , в виде
y
y
y
y
 2
2
 2  2  yi j  i1, j 2 i1, j  i , j 1 2 i , j 1  f i j .
h1
h2
 h1 h2 
Пусть Ш (х) – шаблон из пяти точек xi j ,
(5)
xi  1, j ,
xi , j 1 , а Ш (х) – шаблон без точки
xi j .
Тогда (5) примем вид:
A( x) y ( x) 
 B( x,  ) y( )  F ( x)
 Ш  ( x )
- каноническая форма разностного уравнения.
(6)
26
Где: A( x) 
2
2
 2,
2
h1 h2
B( x, xi , j 1 ) 
1
,
h22
B( x, xi 1, j ) 
1
,
h12
F ( x)  f ( xi j ).
Отсюда видно, что A( x)  0, B( x,  )  0
A( x) 
 B ( x,  ) .
 Ш  ( x )
Определим сеточный оператор
 B( x,  ) y ( ).
Ly ( x)  A( x) у ( х) 
(7)
 Ш  ( x )
Обозначим
D( x)  A( x) 
 B( x,  ).
 Ш  ( х )
Тогда задачу (6) запишем в виде:
Ly ( x)  F ( x),
х
(8)
или
Ly ( x)  D( x) y ( x) 
 B( x,  )( y( x)  y( ))
 Ш  ( x )
Условия положительности коэффициентов
A( x)  0,
B( x,  )  0,
D( x)  0,
  Ш ( х).
(9)
Теорема 1: (принцип max). Пусть выполнены условия (9). Тогда, если функция
y (x) заданная на  не является постоянной и
Ly ( x)  0
(10)
при всех x    
Ly( x)  0, то
y (x) не может принимать наибольшего положительного (наименьшего
отрицательного) значения на  среди всех её значений на  .
Доказательство. Докажем от противного пусть в точке x0  
27
y ( x0 )  max y ( x)  0.
(11)
x
Тогда
Ly( x0 )  D( x0 ) y( x0 ) 
 B( x ,  )( y( x )  y( ))
0
Ш  ( x0 )
(12)
0
Согласно условию (9), имеем
D( x0 )  0,
B( x0 ,  )  0,
y( x0 )  0,
y( x0 )  y( )
т.е Ly( x0 )  0, с другой стороны из условия (10) Ly ( x0 )  0,
т.е Ly( x0 )  0 , откуда из (12) 
D( x0 ) y( x0 )  0, В( x0 ,  )( y( x0 )  y( ))  0
y( )  y( x0 ), для всех   Ш ( x0 )
нетрудно показать, что
y( x1 )  y( x2 )    y( xm )  y( x0 )
x1  Ш ( x0 ),
x2  Ш ( x1 ), , xm  Ш ( xm1 ).
Оценим величину
Ly ( xm )  D( xm ) y ( xm ) 
 B( x
 Ш 
m
,  ) y ( xm )  y ( ) .
Из условий (9) и равенства y( xm )  y( x0 ) получим, что
Ly ( x m )  B( x m , x01 )( y ( x0 )  y ( x01 ))  0 ,
Получим противоречие. Таким образом, допущение (11) – неверное. ч.т.д.
Следствие 1. Если при всех x  
a) выполняются условия (9);
b) Ly( x)  0 ( Ly( x)  0), и найдется x0   что D( x0 )  0, x0   ,
то y( x)  0 ( y( x)  0) для x   .
Следствия 2. Пусть выполнены условия (9) при  x   и условие D( x0 )  0, тогда
задача (6) имеет единственное решение.
Пусть
LY ( x)  F ( x),
x 
(13)
28
Теорема 2. (сравнения) Пусть при всех x   выполнены условия (9) и
тогда если F ( x)  F ( x),
x 
то y( x)  Y ( x) ,
D( x)  0,
x  .
Рассмотрим функцию
V ( x)  Y ( x)  y ( x),
w( x)  Y ( x)  y ( x), тогда
LV ( x)  F  F  0,
Lw( x)  F  F  0 .
В силу следствия 1 V ( x)  0, w( x)  0, т.е
 Y ( x)  y ( x)  Y ( x) , ч.т.д.
Теорема сравнения позволяет доказать устойчивость решения 1-краевой задачи по
граничным условиям.
Рассмотрим уравнение
x 
Ly  0,
y ( x)   ( x) .
(14)
Следствия 3. (устойчивость по граничным условиям ). Пусть при x  выполнены
условия (9). Тогда для решения (14) справедливо
max y ( x)  max  ( x)
x
x
9.2. Применение принципа максимума
Рассмотрим разностное уравнение
Ly ( x)  F ( x),
Ly ( x)  A( x) y ( x) 
x
(1)
 B( x,  ) y( )
(2)
 Ш  ( x )
A( x)  0,
B( x,  )  0,
D( x)  A( x) 
 B ( x,
 )  0.
(3)
 Ш  ( x )
Оператор L называется моннотонным оператором, если из условия Ly( x)  0, x  
следует что y( x)  0 для x   .
Разностные схемы называются монотонными, если при всех x   удовлетворяют
условиям (3).
29
Пример 1. Рассмотрим уравнение теплопроводности
 u  2 u
  2,
 t x
u ( x,0)  u ( x),
0

0  x  1,
u (0, t )  1 (t ),
0  t  T,
(4)
u (1, t )   2 (t ).
Аппроксимируем схемы с весами
yin   yin

  y xn,x1  (1   ) y xnx .
(5)
Запишем в канонической форме
1  2   yin1  1  2 1    yin    ( yin11  yin11 )  1    yin1  yin1 ,


h2.
(6)
Условия (3) положительности коэффициентов сводятся к неравенствам
1    1,
  1
1
.
2
(7)
При   0 условие (7) примем вид

h2
.
2
(8)
При   1 условие (7) выполнено при   , h.
Пример 2. Рассмотрим уравнение
 ( x, t )
u  
u 
  k ( x, t )   f ( x, t ),
t x 
x 
u( x, 0)  u 0 ( x),
0  c1  k ( x, t )  c2 ,
u(0, t )  1 (t ),
 x, t   c3  0.
Аппроксимируем разностной схемой:

n
i
yin 1  yin

 (a y xn ) x ,i ,
a  ain , 0  c1  ain  c2 ,
0  x  1,
in  c3  0 .
u(1, t )   2 (t ).
0  t  T.
30
Запишем каноническую форму
 in n 1 1 n n
 n an  an
yi  2 (ai 1 yi 1  ain yin1 )  ( i  i 1 2 i ) yin ,


h
h
Отсюда схема монотонна при условии
in ain1  ain

0

h2

 ain1  ain 
h
2
Это условие выполнено, если
 c2
2
h c3

1
.
2
 in ,
i  1, N  1,
n  0, k  1.
31
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.:Наука,1989
2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989
3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа.М.:Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962
4. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и
интегральным уравнениям./ Изд-во Казанского университета, 1970
5. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики./ А. Н. Тихонов, А. А.
Самарский. Гостехиздат,1953
6. Самарский А.А. Введение в численные методы: Учебное пособие М.:
Наука,1982г.271с.
7. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной
математике: Учебное пособие. М.: Наука,1984г.190с.
8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач: Учебное
пособие. М.:Наука,1979г.285с.
9. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической
физики./ Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов, Физматгиз, 1962.
10. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частых производных
второго порядка, Наука, 1964.