статика нити, неустойчивость

1
Статика нити. Устойчивость сжатых стержней.
Одним из основных приложений нити является использование всевозможных
канатных и цепных систем для подъема и растяжки. Во многих таких задачах можно
обойтись рассмотрением статических или квазистатических задач. Рассмотрим основные
особенности решения таких проблем. Уравнения равновесия нити в плоской задаче для
случая конечных смещений можно записать в виде:
dT
d
 g   0; T
 g n  0;
ds
ds
(1)
dx
dy
 cos ;
 sin .
ds
ds
В случае малых прогибов sin     y ( s)  y ( x) система (1) линеризуется и прнимает
форму:
dT
d2y
(2)
 g x  0; T 2  g y  0; ds 2  (1  y  2 ( x)) dx.
dx
dx
Рассмотрим в качестве примера равновесие нити начальной длины L в поле сил тяжести
между точками закрепления А и В (рис.1).
Рис.1 Нить длины L закреплена в точках А и В и находится в равновесии в поле сил
тяжести.
Если рассматривать задачу для случая конечных прогибов, необходимо решить
следующую краевую задачу:
dT
d
dx
dy
 gs cos   0; T
 g sin   0;
 cos ;
 sin ;
ds
ds
ds
ds
x(0)  0, y (0)  0, x( L)  a, y ( L)  b.
Умножим первое уравнение на cos  , второе на sin  и вычтем одно из другого. В
результате получим
d (T cos )
 0, откуда T cos   conct  Tc . С другой стороны подстановка последнего
ds
уравнения в первое позволяет получить еще один первый интеграл
dT
dy
 g , T  gy  const . Рассматривая два полученных интеграла совместно,
ds
ds
получим
Tc
 gy c  const , cos  c  1 
cos  c
(4)
1  Tc

y
 Tc  gy c , T  Tc  g ( y  y c ).

g  cos 

(3)
2
Отсюда в частности следует, что максимальное натяжение будет в верхней точке подвеса.
T sin  d
dT
Учитывая, что
, получим из первых двух уравнений связь
 c 2
ds
cos  ds
T
d
ds  c
.
(5)
g cos 2 
Соотношение (5) позволяет из двух последних уравнений (3) получить уравнения в
полных дифференциалах
T d
T sin 
dx  c
, dy  c
d,
g cos 
g cos 2 
откуда интегрируя получим

x() 
Tc
Tc
d
 
 

[ln tg (  )  ln tg (  A )],

g  cos  g
4 2
4 2
A
y()  yc 
Tc 1
T
 c .
g cos  g
Постоянные интегрирования связаны краевыми условиями и длиной нити:
  
tg  B 
T
4 2 
(6)
a  c ln 
,
g
  A 
tg 

4 2 
T
T
T
T
T
1
1
0  yc  c
 c , b  yc  c
 c , L  c (tg B  tg A ).
g cos  A g
g cos  B g
g
В симметричном случае  A   B   0 , b  0 получим
tg ( 4   0 2)
gL a
1
 0  arctg
,

ln
.
2Tc
L 2tg 0 tg ( 4   0 2)
(7)
Рис.2 Графическая иллюстрация зависимости отношения координаты точки подвеса к
a
длине нити ( n  ) от угла  0 .
L
a
График зависимости n  (отношение расстояния между точками подвеса нити к ее
L
длине) от начального угла наклона  0 в точке подвеса, построенный на основании (7),
приведен на рис.2. Из него видно, что при стремлении n  1 угол стремится к нулю, а
3
величина натяжения в нижней точке нити Tc стремится к бесконечности. Если ввести вес
нити P  gL , то основные ее характеристики выражаются через начальный угол подвеса
следующим образом:
P 1  tg 2  0
P
L 1
; yc  
( 1  tg 2  0  1); Tmax 
.
2tg 0
2 tg 0
2tg 0
Максимальное натяжение Tmax в (8) соответствует точке подвеса. Величина
Tc 
(8)
максимального отклонения нити | yc | называется стрелой провисания. Сама кривая нити
называется цепной линией. Примеры таких линий для разных значений отношения
n приведены на рис.3.
Рис.3 Вид цепной линии для разных отношений длины подвеса к длине нити.
Во многих практически важных задачах прогиб нити от прямолинейного состояния
является малой величиной. В этом случае можно вполне обойтись линейными
уравнениями (2). Рассмотрим в качестве примера расчет параметров в задаче равновесия
нити, переброшенной через блок и растягиваемой грузом P0 (рис.4).
Рис.4 Нить в поле сил тяжести переброшена через блок и растягивается грузом весом P0 .
Блок А находится на высоте L2 и на расстоянии L1 по отношению к точке закрепления.
Таким образом tg  L2 L1 .
С учетом геометрии в системе координат x0 y g x   g sin , g y   g cos  , а уравнения
равновесия (2) имеют вид:
dT
d2y
(9)
 g sin ; T 2  g cos ; ds 2  (1  y  2 ( x))dx.
dx
dx
Уравнения (9) дополняются граничными условиями:
y(0)  y( x A )  0, y (0)   0 , T (0)  T0 ,
(10)
где величины  0 ,T0 пока неизвестны.
Интегрируя уравнения (9) получим, обозначая a  x A , k  T0 g sin  , P  ga :
4
dy
x
 ctg ln( 1  )   0 ;
dx
k
y ( x)  k  ctg(1  x k ) ln( 1  x k )  x  ctg   0 x;
T ( x)  T0  xg sin ;
0  k  ctg(1  a k ) ln( 1  a k )  a  ctg   0 a.
Если считать, что x k  1 , формулы приобретают более простой вид
P
dy
P x
T ( x)  T0  xg sin ;  0   cos   ;
 cos  (  1);
T0
dx
T0 a
(11)

P  x2
y ( x)  cos  
 x ; T0  P0  P sin ,
T0  a

где P  вес нити. Если учесть, что вес нити много меньше чем вес подвешенного груза,
т.е. P P0  1 , то после разложения по малому параметру найдем из (11)
P
dy
P x
T ( x)  P0  P sin ( x / a  1);  0   cos   ;
 cos  (  1);
T0
dx
P0 a

P  x2

 x ; T0  P0  P sin .

P0  a

Истинная длина нити немного больше, чем a и равна
y ( x)  cos 
a
L   1  y  2 ( x) dx  a[1 
0
cos 2  P 2
].
6 P02
Задача.Круглый провод высоковольтной линии имеет сечение см 2 , изготовлен из
материала с пределом прочности при разрушении 2200 кГ / см 2 и имеет плотность 8200
кг / м 3 . Провод натянут горизонтально силой 500 кГ между точками подвеса, расстояние
между которыми равно 100 м. 1) Найти стрелу провисания провода. 2) Выдержит ли
провод оледенение если считать, что плотность льда 1000 кг / м 3 и толщина ледовой
пленки 3 мм.
Потеря устойчивости стержней при сжатии.
Если провести простой опыт нагружения длинной прямолинейной линейки,
продольной силой можно убедиться, что при некотором значении силы линейка потеряет
прямолинейную форму и искривится. При дальнейшем нагружении она может сломаться,
причем сила будет намного меньше критического значения при чистом сжатии.
Изменение прямолинейной формы равновесия на криволинейную форму равновесия
называется потерей устойчивости. Поскольку меняется не только форма но и условия
нагружения (сжатие сопровождаемое изгибом) кардинально меняются напряжения. А
значит и расчеты на прочность. Потеря устойчивости формы является одной из самых
частых и неожиданных причин разрушения. К тому же она происходит внезапно и без
видимых механических причин, что практически немедленно ведет к катастрофе. Отсюда
следует важность учета этого фактора в расчетах на прочность.Механической причиной
потери устойчивости является то, что прямолинейная форма равновесия становится
неустойчивой и сколь угодно малое отклонение от этой формы ведет к дальнейшему
росту этого отклонения.
Впервые эту задачу рассмотрел в 1744 г академик Петербургской академии наук
Л.Эйлер. Сама постановка задачи потери устойчивости отличается от обычных краевых
задач, в которых действующие силы заданы и необходимо найти форму и напряжения,
возникающие в теле. Теперь мы должны вслед за Эйлером найти величину силы, при
которой возможны большие отклонения от прямолинейной формы.
5
Рассмотрим задачу сжатия начально прямолинейного стержня силой P ,
считая, что возможное отклонение от положения рановесия (прогиб) мало рис.5
Рис.5 Задача Эйлера о потере устойчивости стержней при сжатии.
В сечении с координатой x будет действовать момент M   Py . Учитывая, что
прогибы малы момент может быть вычислен исходя из внутренних напряжений в виде
d2y
M ( x)  EJ 2 . Приравнивая значения момента, приходим к уравнению
dx
d2y
(12)
EJ 2   Py .
dx
Считая, что закрепление на концах обеспечиавает нулевое отклонение, а наличие
шарниров означает равенство нулю моментов. Отсюда уравнение решаем при следующих
краевых условиях:
y (0)  0, y ( L)  0, y (0)  0, y ( L)  0.
(13)
Решение уравнения (12) имеет вид:
(14)
y( x)  C1 sin( kx)  C2 cos(kx),
P
.
EJ
Подстановка (14) в граничные условия приводит к системе уравнений
C 2  0, C1 sin kL  0,  k 2 C1 sin kL  0 .
Отметим, что если sin kL  0 , то решением будет только прямолинейное положение
стержня C1  C2  0, y( x)  0. Но, если sin kL  0 , т.е. при kL  n, n  1,2,3 ,
возможно ненулевое решение, причем при произвольном значении максимального
прогиба. Поскольку значение k определяется не только геометрией и материалом из
которого изготовлен стержень, но и величиной силы P , для не получается бесконечный
ряд значений соответственно
EJ 2
4EJ 2
(15)
P1*  2 , P2* 
, 
L
L2
для каждого из которых возможная форма равновесия своя. Соответствующая номеру n
форма будет иметь иметь n полупериодов синусоиды. Наименьшее критическое значение
силы будет равно
EJ min  2
*
,
(16)
Pmin  P1 
L2
поскольку стержень может иметь разные значения момента инерции сечения
относительно осей перпендикулярных осевой линии, под значением J следует понимать
его наименьшую величину. Значения силы, соответствующие двум и более полуволнам
синуса являются неустойчивыми к малым возмущениям и на практике не реализуются.
Прогиб стержня остается неопределенным. Единственное условие, которое решение на
него накладывает, это его малость.Формула (16) называется формулой Эйлера.
где k 
6
Зная критическую силу можно найти значение напряжения, которое соответствует
этой силе
P *  2 EJ
2 E
2 E
L2 F
к 
 2  2
 2 , где  
.
(17)
F
J
L F
(L F J )

Безразмерная величина  в (17) называется гибкостью стержня и зависит только от
геометрии сечения и длины. Чем больше гибкость стержня, тем меньше значение
критического напряжения.
Рассмотрим для примера стальной стержень в виде трубы круглого сечения с
пределом прочности 4000 кГ / см 2 и модулем Юнга E  2 106 кГ / см 2 внешнего радиуса
a и толщиной стенок h  0.25a . Пусть коэффициент запаса k  3 , тогда максимальное
значение критического напряжения при чистом сжатии равно 1330 кГ / см 2 . Найдем
критическое напряжение потери устойчивости.
Учитывая, что
F  (a 2  (a  h) 2 )  h(2a  h)  2ah ,
 a
J  2

r 3 sin 2 drd 
0 a h
введем величину r j 
 4
F
(a  (a  h) 4 )  (2a 2  4ah  h 2 ),
4
4
J
 радиус инерции. Для трубы
F
1 h h2
a
h
  2 
(1  ) или точно r j  a 0.25  0.0625  a 0.3125  0.56a.
2 a a
a
2
По формуле (17) гибкость стержня – это отношение его длины к минимальному радиусу
инерции его сечения. Для рассматриваемой трубы будем иметь
L
L2
  2 , 2  4 2 .
a
a
Найдем условие равенства критического напряжения по Эйлеру и критического
напряжения чистого сжатия
2 E
1330  2     2  10 6 / 1330  122 .

Таким образом критическое напряжение Эйлера будет определяющим, если гибкость
удовлетворяет неравенству
L
  2  122  L  61a.
a
Отметим, что задача устойчивости зависит от способа закрепления концов стержня.
Например, если стержень с одной стороны жестко защемлен. В этом случае краевыми
условиями задачи будут условия y (0)  y (0)  0 . Всем условиям задачи будет
удовлетворять половина стержня на рис.6 (а). В этом случае можно взять силу эйлера для
удвоенной длины и использовать ту же формулу
 2 EJ
P* 
.
4 L2
Если оба конца защемлены, то средняя часть CD рис.6 (b) работает как шарнирно
закрепленная, поскольку в точках C и D момент равен нулю. Поэтому критическая сила
будет равна силе Эйлера для стержня вдвое меньшей длины
4 2 EJ
P* 
.
L2
Для разных способов закрепления удобной оказывается приведенная длина, равная L .
rj  a
7
Коэффициент длины  принимает разные значения для разных способов закрепления
концов стержня. Так для одного защемленного   2 . Если защемлены оба конца,   0.5.
1
Для одного защемленного, а другого шарнирно опертого он равен  
 0.7.
2
Рис.6 Влияние способов крепления концов стержня на значение критической силы.
В этом случае для критической силы и критического напряжения используются формулы
 2 EJ
2 E
*
P* 
,


.
(L) 2
( ) 2