Алгебра и геометрия

Вопросы для подготовки к экзаменам
(I семестр, АС, ПИ)
Алгебра и геометрия
Векторная алгебра
1. Геометрические векторы, линейные операции над векторами. Линейное
пространство.
2. Линейные комбинации и линейная независимость векторов. Базис и размерность
пространства.
3. Проекция вектора на ось и ее свойства.
4. Скалярное произведение векторов.
5. Определители 2-го и 3-го порядков и их связь с системами уравнений. Формулы
Крамера.
6. Все свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.
Определители n-го порядка. Практическое вычисление определителей.
7. Векторное произведение векторов. Двойное векторное произведение.
8. Смешанное произведение векторов.
9. Вычисление длин, площадей и объемов.
Аналитическая геометрия
10. Деление отрезка в данном отношении.
11. Полярная система координат. Параллельный перенос и поворот осей координат.
Формулы перехода.
12. Прямая на плоскости. Свойства, виды уравнений, расстояние от точки до прямой.
13. Прямая в пространстве. Свойства, виды уравнений.
14. Плоскость. Свойства, виды уравнений, расстояние от точки до плоскости.
15. Вычисление углов, условия параллельности и ортогональности на плоскости и в
пространстве.
16. Пучки прямых и плоскостей. Связка плоскостей.
17. Задачи на прямую и плоскость (приведение общих уравнений к нормальному
виду, проведение плоскости через точку и прямую, через 3 точки, расстояние
между скрещивающимися прямыми, проведение биссектрисы и биссектральной
плоскости и т.д.)
18. Кривые второго порядка. Классификация.
19. Эллипс.
20. Гипербола.
21. Парабола.
22. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.
Линейная и абстрактная алгебра
23. Метод Гаусса решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений.
24. Матрицы. Линейные операции над матрицами, ранг матрицы.
25. Умножение матриц, обратная матрица. Методы вычисления обратной матрицы.
Решение систем уравнений и матричных уравнений с помощью обратной
матрицы.
26. Решение общих систем линейных алгебраических уравнений AX=B.
27. Решение однородных систем AX=0.
28. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Собственные числа и
собственные векторы линейного оператора.
29. Определение ортонормированного собственного базиса.
30. Запись матрицы линейного оператора в другом базисе.
31. Билинейные и квадратичные формы. Знакоопределенность квадратичных форм.
Критерий Сильвестра.
32. Приведение квадратичных форм и уравнений поверхностей второго порядка к
каноническому виду с помощью ортогональных преобразований.
33. Группы, кольца, поля. Свойства и примеры.
34. Операции над множествами. Перестановки и их произведение. Метод Лагранжа
приведения квадратичной формы к каноническому виду.
35. Графики основных элементарных функций.
36. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильных
рациональных дробей на простейшие. (2 теоремы о разложении).
Математический анализ
Введение в анализ
37. Графики основных элементарных функций.
38. Множество действительных чисел и его свойства. Точные грани числовых
множеств.
39. Числовая последовательность (ЧП), предел ЧП и функции. БМФ и ББФ.
40. Сравнение БМФ и ББФ, 3 теоремы об эквивалентных функциях.
41. 5 замечательных пределов.
42. Непрерывность функции в точке и на множестве. Алгебраические свойства
непрерывных функций.
43. Решение уравнения f(x)=0 методами деления отрезка, хорд, касательных,
комбинированным методом.
Дифференцирование скалярной функции скалярного аргумента
44. Задачи, приводящие к производной, определение производной.
45. Таблица производных.
46. Правила дифференцирования.
47. Основные теоремы дифференциального исчисления (лемма, Ферма, Ролля,
Лагранжа, Коши).
48. Правило Лопиталя.
49. Дифференциал и дифференцируемость функции. Применение дифференциала в
приближенных вычислениях.
50. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
51. Формулы Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций по
формуле Маклорена, область справедливости формул. Погрешность формул
Тейлора и Макорена.
52. Уравнения касательной и нормали.
53. Исследование функций на монотонность.
54. Исследование функций на локальный ext.
55. Исследование функций на выпуклость.
56. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции.
57. Общая схема исследования функции, пример.
Приближение функций
58. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
59. Конечные разности. Запись и вычисление.
60. Интерполяционные многочлены Ньютона.
61. Принципы построения интерполяционных многочленов. Кубические сплайны.
62. Трех (четырех, пяти) точечные формулы численного дифференцирования.
63. Погрешность формул численного дифференцирования.
Скалярная функция векторного аргумента.
64. Предел и непрерывность. Частные производные и их
геометрическая интерпретация.
56. Скалярная функция векторного аргумента.
57. Предел и непрерывность. Частные производные и их
геометрическая
интерпретация.
58. Дифференцируемые функции 2-х переменных. Полный
дифференциал.
Достаточное условие дифференцируемости.
59. Дифференцируемые функции. Дифференцирование сложной функции.
60. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
61. Теорема о перестановке порядка дифференцирования (доказательство).
62. Формула Тейлора для функций 2-х и 3-х переменных.
63. Экстремумы функции 2-х переменных. Необходимые и достаточные условия
существования экстремума. Связь с квадратичными формами.
64. Неявные функции. Производные от функций, заданных неявно. Повторное
дифференцирование и неявных функций.
65. МНК.
66. Производная по направлению. Градиент.
67. Поверхности в пространстве. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности.
Геометрическая интерпретация полного
дифференциала функции 2-х
переменных.
68. Дифференцируемые функции 2-х переменных. Полный
дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемые
функции. Дифференцирование сложной функции.
69. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о
перестановке порядка дифференцирования.
70. Формула Тейлора для функций 2-х и 3-х переменных.
71. Экстремумы функции 2-х переменных. Необходимые условия
существования экстремума.
72. Экстремумы функций 2-х переменных. Достаточные условия
существования экстремума (обоснование).
73. Неявные функции. Производные от функций, заданных неявно. Повторное
дифференцирование параметрических и неявных функций.
74. МНК.
75. Производная по направлению. Градиент.
76. Поверхности в пространстве. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности. Геометрическая интерпретация полного
дифференциала функции 2-х переменных.
Если по самостоятельным работам балл не менее 80% от max, то соответствующие
примеры можно не решать.
Писать нужно все. Доказывать нужно все, что доказывалось или давалось доказывать
самостоятельно.
Время на экзамен 2 часа.