Ïðîãðàììà

Международный институт экономики и финансов
Программа курса
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ (УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС)
Пятый и шестой семестры
I. Пояснительная записка
Автор программы: к. ф.-м. н., профессор Канторович Г. Г.
Лектор: Канторович Г. Г.
Семинары: Канторович Г. Г.
Требования к студентам:
студент
должен
обладать
знаниями
и
навыками
дифференциального исчисления функций одной и многих переменных
переменной, а также линейной алгебры, включая общую теорию систем
линейных алгебраических переменных и операции с матрицами.
Аннотация:
Курс «Математика для экономистов (углубленный уровень)»
является продолжением курса «Математика для экономистов» для
студентов специализации «Экономика». Целью курса является не
столько приобретение новых навыков в решении математических задач
экономической проблематики, сколько изучение методов доказательств
и более строгое рассмотрение некоторых разделов математики.
В состав курса входят элементы линейной алгебры,
дифференциальное исчисление функций многих переменных, общая
задача оптимизации функции нескольких переменных без ограничений
и при ограничениях типа равенств и неравенств. Материал курса должен
научить слушателей понимать и доказывать основные результаты
линейной алгебры и математического анализа, а также исследовать
разнообразные по содержанию экономические задачи сравнительной
статики и оптимизации в рамках развитого аппарата математических
моделей.
Программа курса предусматривает чтение лекций и проведение
семинарских занятий, а также регулярную самостоятельную работу
студентов. Самостоятельная работа включает осмысление и углубление
теоретического материала, предложенного на лекциях, и решение
предложенных домашних заданий. В ходе каждого семестра
предусмотрена 1 промежуточная контрольная работа, формат которых
соответствует экзаменационному.
Учебная задача курса:
В результате изучения материала осеннего семестра студент
должен освоить и уметь доказывать основные результаты строгого
абстрактного построения линейной алгебры.
В результате изучения материала весеннего семестра студент
должен знать основные результаты дифференциального исчисления
функций многих переменных, включая нахождение частных
производных явных и неявных функций, решение задач безусловного и
условного экстремума. Студент должен уметь исследовать
экономические
задачи
сравнительной
статики
методами
математического анализа, находить точки максимума и минимума
функций многих переменных, методом множителей Лагранжа находить
экстремальные точки функций при наличии ограничений. Он должен
освоить
основные
результаты
нелинейного
и
линейного
программирования, уметь исследовать экономические задачи
оптимизации, решать задачи линейного программирования с
применением понятий теории двойственности, находить равновесия по
Нейману и Нэшу в матричных играх двух лиц.
Студент должен обладать навыками применения указанных
математических конструкций и методов к решению задач микро- и
макроэкономики.
Формы контроля:
Текущий контроль знаний студентов предусматривает оценку
выполненных домашний работ, оценивание активности студентов на
семинарских занятиях, оценку промежуточных контрольных работ.
Итоговая оценка первого семестра определяется по результатам
экзаменационной письменной работы (60% итоговой оценки), по
результатам домашних заданий (20% итоговой оценки) и по результатам
промежуточной контрольной работы (20% итоговой оценки). Итоговая
годовая оценка определяется по результатам экзаменационной
письменной работы “Further Mathematics” (60% итоговой оценки), по
итоговой оценке первого семестра (20% итоговой оценки), по
результатам домашних заданий второго семестра (10% итоговой
оценки) и по результатам промежуточной контрольной работы второго
семестра (10% итоговой оценки).
II. Тематический расчет часов
V семестр
№ Наименование
п/п разделов
1
2
3
4
5
6
тем и Лекции Семинары
Линейное
(аффинное) n-мерное
пространство.
Подпространства
линейного
пространства.
Евклидовы
пространства.
Скалярное
произведение.
Линейные
преобразования.
Инвариантные
подпространства.
Собственные числа и
собственные векторы
матрицы.
Применения
диагонализации
матрицы к решению
систем
дифференциальных и
разностных
уравнений.
Всего
Контр.
работы
Самостоятельная
работа
Всего
часов
2
2
4
7
11
2
2
4
7
11
4
4
8
13
21
4
4
8
14
22
2
2
4
7
11
4
4
8
13
21
VI семестр
№ Наименование
п/п разделов
тем и Лекции Семинары
Всего
Контр.
работы
Самостоятельная
работа
Всего
часов
1
2
3
4
5
6
7
Предел
последовательности.
Предел
и
непрерывность
действительных
функций
одной
переменной.
Числовые ряды.
Сходящиеся ряды.
Критерии
сходимости рядов.
Функциональные
последовательности
и ряды.
Функции
многих
переменных. Полный
дифференциал..
Производная
по
направлению
и
градиент
функции
многих переменных.
Оптимизация
функций
многих
переменных.
Условный
экстремум. Функция
и
множители
Лагранжа.
Экономический
смысл множителей
Лагранжа. Теорема
об огибающей.
Максимизация
функции
многих
переменных
при
ограничениях в виде
неравенства.
Формулировка КунаТаккера.
2
2
4
7
11
4
4
8
13
21
2
2
4
7
11
2
2
4
7
11
2
2
4
7
11
2
2
4
7
11
4
4
8
13
21
8
9
10
11
12
Однородные
функции.
Гомотетичные
функции.
Выпуклые
и
вогнутые функции.
Квазивыпуклые
и
квазивогнутые
функции.
Псевдовыпуклые
функции. Выпуклое
программирование.
Стандартная форма
общей
задачи
линейного
программирования.
Двойственная задача
линейного
программирования.
Теоремы линейного
программирования.
Игры.
Игры
с
нулевой
суммой.
Оптимальные
стратегии в играх с
нулевой суммой и
двойственные задачи
линейного
программирования.
Равновесие по Нэшу.
2
2
4
7
11
4
4
8
14
22
2
2
4
7
11
2
2
4
7
11
4
4
8
13
21
III. Содержание программы
V семестр
1. Линейное (аффинное) n-мерное пространство. Определение
линейного пространства. Линейная независимость системы векторов.
Число измерений (размерность) пространства. Базис и координаты в nмерном пространстве. Изоморфизм n-мерных пространств. (1, 27.1 27.2, p. 750 – 756; 4, стр. 7 - 20).
2. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка
системы векторов. Подпространства, связанные с матрицами. Прямые и
плоскости в линейном пространстве. Разложение пространства в
прямую сумму подпрстранств. Сумма и пересечение подпространств.
Преобразование координат при изменении базиса. (1, 27.3 – 27.5, p. 757
–770; 4, стр. 21 - 30).
3. Евклидовы пространства. Скалярное произведение. Расстояние
и угол в евклидовых пространствах. Неравенство Коши-БуняковскогоШварца. Неравенство треугольника. Ортогональный базис. Матрица
Грама. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Изоморфизм
евклидовых пространств. (1, 10.1 - 10.7, p. 199 – 236; 4, стр. 30 - 54).
4. Линейные преобразования. Связь между матрицами и
линейными преобразованиями. Сложение и умножение линейных
преобразований.
Обратное
преобразование.
Ядро
и
образ
преобразования. (8, p. 30 – 36; 4, стр. 95 - 110).
5. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
Характеристическое уравнение. Комплексные собственные числа и
векторы. Диагонализация квадратной матрицы. Ортогональность
собственных векторов симметричной матрицы. Матрицы, не
приводимые к диагональному виду. (1, 23.1 - 23.9, p. 579 – 632; 4, стр.
111 - 122).
6. Применения приведения матрицы к диагональному виду.
Степени матриц. Решение однородных систем разностных уравнений.
Решение однородных систем линейных дифференциальных уравнений.
Квадратичные формы. Определенность квадратичных форм и
собственные числа. (1, 25.2, p. 678 – 681; 8, р. 56 - 74).
VI семестр
1. Основные понятия теории множеств. Свойства действительных
чисел: супремум и инфимум. Предел последовательности. Предел и
непрерывность
действительных
функций
одной
переменной.
Окрестности и открытые множества в Rn. Последовательности точек в
Rn и их пределы. Замкнутые множества в Rn. Замыкание и граница
множеств. Компактные множества. (1, 2.1 - 2.2, p. 10 – 20; 10.1 – 10.4, p.
199 – 221; 12.1 – 12.6, p. 253 – 274; 2, 1.1 - 2.7, p. 3 – 31)
2. Числовые ряды. Сходящиеся ряды. Критерии сходимости
рядов. Функциональные последовательности и ряды. Сходимость
функциональных последовательностей и рядов. Степенные ряды. Радиус
сходимости. Формула Коши – Адамара. Разложение функций в
степенные ряды. Ряд Тейлора. (1, 30.2, p. 827 – 831; 2, 9.5, p. 254 – 262)
3. Функции многих переменных. Функции из R n в R1. Функции из
Rn в Rk (вектор-функции многих переменных). Поверхности уровня
функций многих переменных. Непрерывность функции многих
переменных. Частные производные функции многих переменных.
Геометрическая
интерпретация
частных
производных.
Дифференцирование сложных функций многих переменных. Полный
дифференциал. Геометрическая интерпретация частных производных и
полного
дифференциала.
Линейная
аппроксимация.
Дифференцируемость функций многих переменных. Функции класса C 1.
Производная по направлению и градиент функции многих переменных.
Содержательный смысл градиента. (1, 14.1 - 14.6, p. 300 – 322; 2, 7.4, p.
174 – 177, 8.1 – 8.7, p. 187 – 230).
4. Оптимизация функций многих переменных. Стационарные
точки и условия первого порядка. Второй дифференциал функций
многих переменных.. Условия второго порядка для максимума и
минимума функций многих переменных. (1, 16.1 – 16.2, p. 375 – 385;
17.1 – 17.4, p. 396 – 410; 2, 11.1 – 11.7, p. 307 – 368).
5. Условный экстремум. Функция и множители Лагранжа.
Условия первого порядка. Условия регулярности (невыржденности)
системы ограничений. Второй дифференциал в случае зависимых
переменных. Знакоопределенность квадратичной формы при линейных
ограничениях. Условия второго порядка в задаче условного экстремума.
Окаймленный Гессиан. Определение типа экстремума по знакам
миноров окаймленного Гессиана и сведением второго дифференциала
функции Лагранжа к независимым переменным. (1, 16.3 – 16.4, p. 386 –
395; 18.1 – 18.2, p. 411 – 423; 19.3, p. 457 - 465; 2, 12.1 – 12.3, p. 369 –
386).
6. Экономический смысл множителей Лагранжа. Экономические
примеры применения метода Лагранжа. Максимизация полезности и
потребительский спрос. Уравнение Слуцкого. Гладкая зависимость
решения задачи условной оптимизации от параметра. Теорема об
огибающей. (1 18.7 – 19.2, p. 442 – 456; 19.4, p. 469 – 471; 2, 12.5, p. 400
– 409).
7. Максимизация функции многих переменных при ограничениях
в виде неравенства. Условия дополняющей нежесткости. Задача
минимизации при ограничениях типа неравенств. Формулировка КунаТаккера условий первого порядка при ограничениях неотрицательности
инструментальных переменных. Смешанные ограничения в виде
неравенств и равенств. (1, 18.3 – 18.6, p. 424 – 442; 2, Ch. 21: 21.1 - 21.4,
p. 716 – 744) (1, 18.3, p. 430 – 434; 2, 21.3, 21.4, p. 731 – 738; 6, p. 144 –
150)
2.
Экономические
приложения
задачи
нелинейного
программирования. Экономический смысл множителей Лагранжа.
Теорема об огибающей. Гладкая зависимость оптимального значения
целевой функции от параметров. (1, 18.4 – 18.7, p. 442 – 447; 19.1 – 19.2,
19.4, p. 448 – 457; 2, 21.6, p. 747 – 754;)
6. Однородные функции. Свойства однородных функций.
Приведение функций к однородным. Гомотетичные функции.
Характеристики гомотетичных функций. (1, 20.1 – 20.4, p. 483 – 504; 2,
12.6 – 12.8, p. 410 – 434)
7. Выпуклые и вогнутые функции. Свойства выпуклых функций.
Квазивыпуклые и квазивогнутые функции. Псевдовыпуклые функции.
Выпуклое программирование. (1, 21.1 – 21.6, p. 505 – 543; 2, 12.6 - 12.8,
p. 410 – 434)
8. Задача линейного программирования. Стандартная форма
общей задачи линейного программирования. Условия первого порядка
для задачи линейного программирования, и следующие из них свойства
решения. Разделяющая и поддерживающая гиперплоскости. (2, 19.1 19.6, p. 651 – 687; 6, p. 146 – 150)
9. Двойственная задача линейного программирования. Теоремы
линейного программирования. Теорема существования. Теорема
двойственности. Теорема о дополняющей нежесткости. (2, 20.2, p. 696 –
700; 6, p. 146 – 150)
11. Игры. Игроки и стратегии. Представление статической игры в
нормальной форме. Принцип удаления строго доминируемых стратегий.
Решение игры. Игры с нулевой суммой. Равновесие по Нейману.
Оптимальные стратегии в играх с нулевой суммой и двойственные
задачи линейного программирования. Равновесие по Нэшу. Модель
Курно. Модель Бертрана. Теорема Нэша. Существование и нахождение
равновесий в чистых и смешанных стратегиях. (6, p. 167 – 171; 7, 1.1.A –
1.1.C, p. 1 – 48).
IV. Литература
1. Carl P. Simon and Lowrence Blume. Mathematics for Economists,
W. W. Norton & Compony, 1994.
2. A. C. Chiang. Fundemental Methods of Mathematical Economics, 3rd edition, McGrow-Hill, 1984.
3. Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу, М., "Наука", 1966.
4. И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. М., "Наука",
1999.
5. Anthony M. and Biggs N., Mathematics for Economics and Finance,
Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1996.
6. Anthony M., Reader in Mathematics, LSE, University of London;
Mathematics for Economists, Study Guide, University of London.
7. Robert Gibbons. A Primer in Game Theory. Harvester Wheatsheaf,
1992
8. M. Anthony. Further mathematics for economists. University of
London, 1999
9. Leon, S. j., Linear Algebra with Applications (5th edition). Prentice
Hall, New Jersey, 1998
10. Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.,
Издательство Московского университета, 1998
11. Проскуряков Сборник задач по линейной алгебре. М. Наука.
1985
12. Фаддеев и Соминский. Сборник задач по алгебре. М. Наука.
1998