ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ПРОГРАММА КОЛЛОКВИУМА № 1 ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
специальность «Менеджмент организаций», 1 курс, 2-й семестр, 2010/2011 уч.год
1. Модуль вещественного числа, его свойства. Что представляют собой множества, описанные неравенствами: |x|<6; |x-3|>4; |x+2|=5; |x-4|2; |x|3 (и аналогичными им)
2. Окрестности числа и бесконечно удаленной точки (определения и примеры). Уметь записать окрестности заданных точек при различных значениях >0.
3. Четность-нечетность функций (определения, свойства графиков; уметь проверить наличие этих
свойств).
4. Ограниченность функции (определения, примеры ограниченных и неограниченных функций).
5. Числовая последовательность как функция. Предел числовой последовательности
6. Понятие о монотонной и ограниченной числовой последовательностях, теорема о пределе монотонной
ограниченной последовательности. Число «e», функции «экспонента» и «натуральный логарифм».
7. Различные определения предела функции (на языке окрестностей, на языке - для конечного и бесконечного предельных значения, частные случаи, напр. lim f ( x)  3 , lim f ( x )   , lim f ( x )   ).
x 1
x  1
x  
8. Конечный предел функции (определение) и его единственность (с доказательством).
9. Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел (c доказательством).
10. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах (формулировка). Уметь выполнять задания вида
x
«Найти lim f ( x ) , если в окрестности x0=0 выполняется неравенство sin x  f ( x ) 
».
x 1
x x0
11. Бесконечно малые функции, их свойства (c доказательством). Уметь обоснованно (с учетом свойств)
sin x
показывать, что данная функция является бесконечно малой (например, для функций f ( x ) 
в
x 1
окрестности x=0; f(x)=tg(x-1)+x-1 в окрестности x=1).
12. Бесконечно большие функции, их свойства. Уметь обоснованно (с учетом свойств) доказывать, что
данная функция является бесконечно большой (например, для функций f(x)=cosx+x при x;
f(x)=x+(1/x) при x).
13. Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции, теорема о связи между ними (доказывать обе части).
14. Бесконечно малые функции (определение), лемма о представлении функции, имеющей конечный предел (доказывать).
15. Теорема об арифметических действиях с пределами функций (формулировка)
16. Определение эквивалентных функций, лемма об эквивалентности функции своему конечному пределу
(доказывать). Уметь доказывать с помощью определения, что две предложенных функции эквивалентны
(например, f(x)=sin6x-sin2x, g(x)=4x при x0).
17. Определение эквивалентных функций. Теорема о замене эквивалентных функций (формулировка),
применение при использовании замечательных пределов
18. Односторонние пределы (определения), теорема о связи с обычным пределом (формулировка). Функция «знака», построение графиков функций вида f ( x)  sgn u( x) .
19. Вычисление односторонних пределов, выводы о существовании и значении обычного предела
 x  1, x  0
 x  1, x  1
(например, для функций f ( x )  
при x  0 , f ( x )  
при x  1 )
 2 x, x  1
 x  1, x  0
20. Непрерывность функции и критерий непрерывности (с доказательством)
21. Понятие о производной функции в точке, дифференцируемость функции в точке и на множестве
22. Геометрический смысл производной (с доказательством). Составление уравнения касательной к графику функции в заданной точке.
23. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
24. Производные суммы, произведения, частного (с доказательством)
25. Вывод производных для функций f(x)=x, f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=tgx, f(x)=ctgx.
КОЛЛОКВИУМ № 1, ОБРАЗЕЦ БИЛЕТА
За ответы на вопросы 1-6 дается по 0,5 балла, за ответ на вопросы 7-8 по 1 баллу, за решение задач 9-10
по 1,5 балла, за полное и аккуратное доказательство теоремы в вопросе 11 2 балла.
Критерии оценок: от 4 до 6 баллов «3», от 6,5 до 8 баллов «4», от 8,5 баллов – «5»
Задание

n
1. Выберите верный ответ: lim 1 
Ответ
n
2
 
n
2. Неравенство |x-1|>2 соответствует утверждению
3. Выберите неправильное утверждение из предложенных
4. Какие из функций являются бесконечно малыми
при x  1 ?
А)
e2
Б) e
В)
1
Г)
e-2
А) x  (2;2)
Б) x  (1;3)
В) x  (;1)  (3,)
Г) x  [1;3]
А) f(x) ограничена сверху на множестве X, если для
любой положительной константы С f(x)C при всех
xX
Б) f(x) ограничена сверху на множестве X, если
найдется константа С>0: f(x)C при всех xX
В) f(x) ограничена на множестве X, если найдется
константа С: f(x)C при всех xX
А) f ( x)  x 2  1
Б) f ( x)  xex
В) f ( x)  x 2  x
Г) f ( x )  sin( x  1)
А) Для любого >0 и любого >0 |f(x)-3|< при
5. lim
x  3
f ( x )  3 , если
6. Какое из утверждений ошибочно?
0<|x+3|< (xD(f))
Б) Для любого >0 найдется >0: |f(x)+3|< при
0<|x-3|< (xD(f))
В) Для любого E>0 найдется >0: |f(x)-3|< при
0<|x+3|< (xD(f))
Г) Для любого E>0 найдется >0: |f(x)-3|< при
|x-3|< (xD(f))
А) функция дифференцируема на множестве, если
она имеет конечную производную в каждой точке
этого множества
Б) если функция дифференцируема на множестве, но
она непрерывна в каждой точке этого множества
В) если функция непрерывна на множестве, то она
дифференцируема в каждой точке этого множества
7. Дайте определения непрерывности функции в
точке и на множестве, сформулируйте критерий непрерывности функции в точке.
8. Сформулируйте теорему «о двух милиционерах» (о переходе к пределу в неравенствах) и найдите с ее помощью предел функции, для которой
в окрестности точки х=0 выполняется неравенство sin x  f ( x )  x 2 .
2
9. Найдите односторонние пределы функции
 sin x

, при x  0
f ( x)   x
в точке x=0. Существу 2 x-3, при x  0
ет ли в этой точке обычный предел?
11. Сформулируйте и докажите теорему о связи
между бесконечно малыми и бесконечно большими
функциями
10. Составьте уравнение касательной к графику
y  2  e x / 2 в точке c абсциссой x=0.
ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ № 1
(критерии оценки: «3» - от 7 балов; «4» - от 10,5 баллов, «5» - от 13,5 баллов)
1. Найти без применения правила Лопиталя:
9n 4  3n 2  2
а) lim
n 
2n 2  5n  1
(1б);
б) lim
x3 3
x  6 x 2  4 x  12
2. Охарактеризовать точки разрыва функции f ( x ) 
(1б);
1  cos 2 x
x 2  3x 3
в) lim
sin x
x  2 8  x
3
(2 б)
(2б)
3. Найти
а). f ( x) 
cos( x 2 )
, f ' ( x)  ? , (1б);
11  5 x
в) f ( x) 
x  (1  x)arctg x ., f ' ' ( x)  ? (2 б);
3
б) f ( x)  x  3x 2  2 x  4 , df
x 1
(2 б)
г) f ( x)  ln (32 x  2 x 3 ) f ' (2)  ? (1б)
e 2 x  cos 3 x  x
(1б); б) lim x 4 ln x (2б)
sin 5 x
x 0
x  0
4. Найти с помощью правила Лопиталя: а) lim
ПРОГРАММА КОЛЛОКВИУМА № 2 ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
для студентов 1 курса экономфака, «Менеджмент организаций»»,
2010/2011 учебный год, 2-й семестр
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Теорема Лагранжа (только формулировка!), два следствия (с доказательством).
2. Определения строгой и нестрогой монотонности функции одного переменного, критерий нестрогой
монотонности, критерий строгой монотонности (формулировки) и его следствие.
3. Определения точек экстремума и экстремумов функции (локальных максимума и минимума).
4. Необходимое условие точки экстремума (доказать для точки максимума и для точки минимума).
5. Формулировки первого и второго достаточных условий точки экстремума, их применение.
6. Направления выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой функций), теорема
о связи со знаком второй производной (формулировка).
7. Определение точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условие (формулировки).
8. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции: знать определения и уметь найти.
9. Понятие о первообразной и теорема о первообразной (с доказательством)
10. Понятия о первообразной и о неопределенном интеграле, формулировка теоремы Коши
11. Простейшие свойства неопределенного интеграла (с доказательством)
12. Формулировки теорем о замене переменной и об интегрировании по частям в неопределенном интеграле (теорему об интегрировании по частям доказывать).
13. Определенный интеграл как предел интегральных сумм, понятие интегрируемой функции
14. Две теоремы об интегрируемых функциях и следствие.
15. Понятие об интеграле с переменным верхним пределом и две теоремы о его свойствах (формулировки)
16. Теорема Ньютона-Лейбница (с доказательством)
17. Свойства определенного интеграла (связанные с отрезком и линейность – с доказательством для непрерывной функции, монотонность и теорема о среднем – с доказательством для интегрируемой функции)
ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ, ПРОВЕРЯЮЩИХ ЗНАНИЕ ТЕОРИИ
1) Уметь применить следствия теоремы Лагранжа, например, доказать, что arcsin x  arccos x  const на
интервале (0;1)
2) Используя второе достаточное условие, найти точки экстремума функций и определить их вид,
например, для функций y  x  2 sin 2 x , y  x 2 e  x .
3) Найти асимптоты графика функций
x3
x
3
; y  x 2  1 ; y  x 3  6x 2 , y  xе
y
1 x
4) О каких из функций можно утверждать, что они интегрируемы на указанном отрезке (объяснять, почему – используя определение и теоремы об интегрируемых функциях)?
А)
f ( x) 
C)
f ( x) 
E)
f ( x) 
| x  3|
на [0;1]
x3
| x  3|
x2  4x  3
| x  3|
2
x  4x  3
B)
f ( x) 
на [2;5]
D)
f ( x) 
на [4;6]
F)
| x  3|
на
x3
| x  3|
[0;4]
на [0;5]
x2  4x  3
2 x  3, при x  1
f ( x)   2
 x , при x  1
на [0;5]
ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ № 2
Критерии: «3» - от 7,5 баллов; «4» - от 11,5 баллов, «5» - от 14,5 баллов (из 16,5)
1. Определить интервалы монотонности, найти и охарактеризовать точки экстремума функции
f ( x)  x(2 x  3) 2
(2б)
f ( x)  x 4  8 x 3  18 x 2 на отрезке [-1;1] (1,5 б)
2 1
3. Найти точки перегиба и определить направления выпуклости графика f ( x)  
(2 б)
x x2
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
4. Найти:
а)
x
 cos3x  2  3 x dx
2
г)
x2
dx
x

7
2

(2 б);
д)
(1б);

б)

e
e x dx
25  e
dx
x 2  4 x  10
(1,25 б);
в)
2x
(1,25 б);
5. Определить площадь области, ограниченной графиками функций

ln x
1 x
е)
4
 cos
5
dx (1,5 б);
x sin 5 xdx
xy  6, y  x  5
(2 б)
(2 б)