Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЯКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.К. Аммосова
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины «Дифференциальные и интегральные уравнения»
специальность 013800 – радиофизика и электроника
Якутск 2003
Составитель: к.ф-м.н., доцент Романова Н.А.
Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным
орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются
в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии и биологии. Теория линейных
интегральных уравнений представляет собой важный раздел современной математики,
имеющий широкие приложения в теории дифференциальных уравнений, математической
физике, в задачах естествознания и техники. Поэтому владение методами теории
дифференциальных и интегральных уравнений необходимо не только математику, но и
механику, физику.
Дисциплина «Дифференциальные и интегральные уравнения» излагается на основе
математического анализа, алгебры и аналитической геометрии. Цель дисциплины выработать у студентов глубокие знания основ теории обыкновенных дифференциальных
и интегральных уравнений, умение применять эти знания при исследовании и решении
конкретных дифференциальных уравнений и систем, встречающихся в различных
областях естествознания.
1.1 ВЫПИСКА ИЗ УЧЕБНОГО ПЛАНА
Объем работы студента из учебного плана специальности 013800 – радиофизика и
электроника, утвержденного 28 февраля 2001 г. Ученым Советом ЯГУ, составляет 106
часов, в том числе
аудиторных занятий - 72,
самостоятельной работы - 34.
Распределение часов по семестрам
Виды занятий
3 семестр
Аудиторные
Лекционные
Практические занятия
Самостоятельные
Итого
Форма контроля
72
36
36
34
106
Экзамен
Недельная нагрузка
Виды занятий
3 семестр
Аудиторные
Лекционные
Практические
4
2
2
1.2. ТРЕБОВАНИЯ СТАНДАРТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
1.2.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка;
1.2.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков;
1.2.3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений;
1.2.4. Теория устойчивости;
1.2.5. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка;
1.2.6. Численные методы решения дифференциальных уравнений;
1.2.7. Линейные уравнения с частными производными первого порядка;
1.2.8. Линейные операторы в гильбертовом пространстве;
1.2.9. Однородные и неоднородное уравнение Фредгольма первого и второго рода;
1.2.10. Задача Штурма-Лиувилля;
1.2.11. Уравнение Вольтерра;
1.2.12. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах.
2. ПРИНЦИПЫ И ЦЕЛИ ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. Принципы построения программы
1. Рабочая программа соответствует Государственному образовательному стандарту по
специальности 013800 – Радиофизика и электроника.
2. Курс имеет как практическую, так и теоретическую направленность(50% аудитор-ных
занятий - практические).
3. Программа предполагает индуктивное построение курса.
2.2. Цели курса
Целью дисциплины является:
2.2.1. Формирование у студента прочных знаний основ теории обыкновенных
дифференциальных и интегральных уравнений;
2.2.2. Закрепление навыков интегрирования в квадратурах основных типов
дифференциальных уравнений и систем;
2.2.3. Воспитание у студента умение применять методы теории дифференциальных и
интегральных уравнений в задачах естествознания и техники;
2.2.4. Воспитание у студента культуры мышления;
2.2.5. Развитие у студента математической культуры и интуиции;
2.2.5. Привитие студенту навыков самостоятельной работы над изучением литературы по
дифференциальным и интегральным уравнениям и ее приложениям.
2.3. Связь с другими дисциплинами
Курс дифференциальных уравнений излагается на основе математического анализа и
аналитической геометрии и служит базой для следующих дисциплин: уравнения
математической физики, вариационных исчислений, топологии, теоретической механики,
физики.
Экзаменационные вопросы
1. Дифференциальные уравнения первого порядка,
разрешенные относительно производной
1. Какие уравнения называются дифференциальными? дифференциальными уравнениями
первого порядка?
2. Что называется решением дифференциального уравнения? В каких видах могут быть
заданы решения?
3. Каковы основные формы задания уравнения первого порядка, разрешенного
относительно производной?
4. Что такое интегральная кривая?
5. Какую геометрическую интерпретацию можно дать самому дифференциальному
уравнению y  =(x,y)? Его решению?
6. В чем состоит задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного
относительно производной? При каком условии она имеет решение? При каких условиях
это решение будет заведомо единственным? (Теорема существования решения и
единственности решения задачи Коши).
7. Геометрическая интерпретация теоремы существования и единственности решения
задачи Коши.
8. Привести пример нарушения единственности решения задачи Коши.
9. Дать определение общего решения. Как решается задача Коши при помощи общего
решения?
10. Дать определение частого решения. Как оно может быть связано с формулой общего
решения?
11. Какое решение называется особым? Как оно может быть связано с формулой общего
решения? Как найти кривые, подозрительные на особое решение, по самому
дифференциальному уравнению? В каком случае дифференциальное уравнение заведомо
не имеет особых решений?
12. Что такое особая точка дифференциального уравнения? Как по виду правой части
уравнения установить у него наличие особых точек?
13. Как интегрируются уравнения с разделенными и разделяющимися переменными?
14. При каких условиях на функции Х(х) и У(у) для уравнения у=Х(х)У(у)
справедлива теорема существования и единственности.
15. Запишите все решения уравнения y=cosxsiny.
16. Найти решение уравнения 3y 2 y  + 16x = 2xy 3, при х  .
17. Какому условию должна удовлетворять функция (x,y), чтобы уравнение y  =(x,y),
было однородным? (Какое уравнение называется однородным?)
18. Как интегрируется однородное уравнение?
y  f ( y / x )
19. Докажите, что заменой неизвестной функции u(x)= y / x уравнение
сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
20. Какое уравнение называется линейным? При каком условии задача Коши имеет
единственное решение?
21. Запишите выражение для общего решения линейного однородного уравнения
dy
 a( x) y .
dx
22. Запишите выражение для решения задачи Коши у(х0)=у0 линейного однородного
dy
 a( x) y .
уравнения
dx
23. Может ли график ненулевого решения линейного однородного уравнения пересекает
ось Ох или касается ее? Может ли линейное уравнение иметь особое решение?
24. Как найти общее решение неоднородного линейного уравнения, если известно одно
частное решение?
25. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения через заданные функции,
входящие в уравнение.
26. Найти решение уравнения x 2 y   y  1 x 2 e x , удовлетворяющее условию: y  1 при
x  .
27. Найти ограниченность решения при x  0 уравнения xy   y  2 x .
28. Как интегрируется уравнение Бернулли? При каком условии y = 0 будет решением,
когда это решение является частным и когда особым?
29. При каком условии уравнение M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 является уравнением в
полных дифференциалах? Какой вид имеет его общий интеграл?
26. Как по виду уравнения в полных дифференциалах написать его решение задачи Коши
с начальными данными x 0, y 0?
27. В чем состоит метод интегрирующего множителя? При каком условии существует
интегрирующий множитель, зависящий: а) только от х; б) только от y?
28. Докажите, что уравнение

 sin 2 x

sin 2 x 


 x dx  y 
dy  0

y 2 
 y


является уравнением в полных дифференциалах.
29. Докажите, что равенство sin(xy)=C задает общий интеграл уравнения
y cos( xy)dx  x cos( xy)dy  0 .
30. При каком значении параметра а уравнение


(ax 2  y 2 )dy  ( x3  3xy)dx  0
является уравнением в полных дифференциалах?
31. Доказать по виду уравнений, что они не имеют особых решений:
а) y   x 2  y 4
б) y   x  x 2  y 2 .
32. Определить тип каждого из следующих уравнений и указать метод интегрирования
его: а) 2 y  2 xy  x 2 y  x 2 y   0 б) ydx  2 x  y 2 dy  0 .




2. Дифференциальные уравнения первого порядка,
не разрешенные относительно производной
1. Какой вид имеет общее решение уравнения первого порядка, не разрешенные
относительно производной?
2. В чем состоит отличие поля направлений, определяемого уравнением, не разрешенного
относительно производной, от поля направлений, определяемого уравнением,
разрешенного относительно производной?
3. Могут ли интегральные кривые пересекаться между собой? Могут ли касаться друг
друга?
4. Как ставиться задача Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного
относительно производной?
5. Какой вид имеет общий интеграл уравнения F  y   0 ?
6. Как интегрируется уравнение, не содержащее искомой функции?
7. Как интегрируется уравнение, не содержащее независимой переменной?
8. Какой вид имеет уравнение Лагранжа?
9. Какой вид имеет уравнение Клеро? Чем оно отличается от уравнения Лагранжа?
10. Как интегрируется уравнение общего вида, разрешенное относительно искомой
функции или независимой переменой?
3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
1. Запишите общий вид однородного линейного дифференциального уравнения 2-го
порядка, n-го порядка.
2. Запишите общий вид неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го
порядка, n-го порядка.
3. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для
линейного дифференциального уравнения.
4. В каком интервале существует решения линейного уравнения?
5. Почему линейное уравнение не имеет особых решений?
6. Может ли график ненулевого решения однородного линейного уравнения второго
порядка касаться оси Ох? Может ли пересекать ось Ох?
7. Докажите, что если у1(х) и у2(х) - два решения однородного линейного
дифференциального уравнения, то их линейная комбинация у(х)=с1у1(х)+с2у2(х) при
любых постоянных с1, с2 тоже является решением уравнения.
8. Какие решения однородного линейного уравнения называются линейно-независимыми?
Привести пример.
9. Какие решения однородного линейного уравнения называются линейно-зависимыми?
Привести пример.
10. Исследовать на линейно зависимость функции:
1) x+1 , x 2 +1 , 2x 2 +x ; 2) 1+x , 2-x 2 , x 2 +2x ;
11. Что такое фундаментальная система решений? Может ли нулевое решение входить в
состав фундаментальной системы решений?
12. Как построить общее решение однородного линейного уравнения, если известно
фундаментальная система решений? В какой области определено общее решение?
13. Как решить задачу Коши при помощи формулы общего решение?
14. Как построить Л.О.У, используя данную по ФСР?
15. Как найти общее решение неоднородного линейного уравнения, если известно одно
частное решение его и общее решение соответствующего однородного уравнения?
14. В чем состоит метод Эйлера интегрирования однородных линейных уравнений с
постоянными коэффициентами? Как зависит структура фундаментальной системы
решений от вида корней характеристического уравнения? В какой области определено
общее решение?
14. В каких случаях и в каком виде может быть найдено частное решение неоднородного
линейного уравнения методом неопределенных коэффициентов?
15. В чем состоит метод Лагранжа нахождения частного
линейного уравнения второго порядка?
решения неоднородного
16. Пусть у1(х) и у2(х) - фундаментальная система решений линейного однородного
уравнения второго порядка
L(y)=0.
Докажите, что если функции
с1(х)
и
с2(х)
удовлетворяют системе
с1 ( х) у1( х)  с2 ( х) у2 ( х)  0,
с1 ( х) у1 ( х)  с2 ( х) у2 ( х)  f ( x),
то с1 ( х) у1 ( х)  с2 ( х) у2 ( х)  0 является решением неоднородного уравнения L(y)=f(x).
17. Какие уравнения называются уравнениями гармонического колебания (частота,
амплитуда, период).
18. Уравнение
2  3  2  0
является характеристическим уравнением линейного
однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Запишите
это дифференциальное уравнение. Запишите
для него фундаментальную систему
решений.
19. Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами,
если
известны
корни
его
характеристического
уравнения
1  1, 2  3, 3  0 . Запишите для него фундаментальную систему решений.
20. Задана фундаментальная система решений линейного однородного уравнения с


постоянными коэффициентами е х , е х , 1 . Запишите дифференциальное уравнение.
21. Запишите вид частного решения неоднородного уравнения
а)
у  3 у  2 у  2 х ;
б) у  3 у  2 у  хе2х .
4. Линейная система дифференциальных уравнений
1. Какой общий вид имеет линейная система? Когда она называется однородной?
Неоднородной?
2. В чем состоит задача Коши для линейной системы?
3. При каком условии задачи Коши для линейной системы имеет единственное решение?
4. Почему линейная система не имеет особых решений?
5. В чем состоит метод Лагранжа нахождения общего решения неоднородной линейной
системы?
6. В чем состоит метод Эйлера интегрирования однородных линейных систем с
постоянными коэффициентами? Как зависит структура фундаментальной системы
решений от вида характеристического уравнения?
7. Как судить об устойчивости (неустойчивости ) нулевого решения однородной линейной
системы с постоянными коэффициентами по характеристическим числам этой системы.
8. Исследовать на устойчивость нулевое решение систем уравнений :
 х  2 x
 х  2 x  5 y
 х  3x  4 y
1) 
; 2) 
; 3) 
;
 у  x  5 y
 у  2 x  2 y
 у  x  4 y
9. Исследовать поведение фазовых кривых систем уравнений :
 х  3x  4 y
 х  x  2 y
 х  x  2 y
1) 
2) 
3)

 у  x  2 y
 у  2 x  3 y
 у  3x  4 y
Решить систему уравнений
 х  3x  4 y  2 z

10.
у  x  z

 z  6 x  6 y  5z

19.
 x  4 x  y

 y  3x  y  z
 z  x  z

 x  5 x  y  e t

2t
 y  3 y  x  e
12. Записать в векторной форме систему уравнений
 x  3x  y

 y  x  5 y  2 z
 z  10 x  3 y  z

13. Записать систему уравнений по координатно
 1
0  1


dx
 Ax , где A=   6 2
6
dt


 4 1 0 
11.
 x  y  cos t

 y  x  sin t
21.
4. Интегральные уравнения Вольтерра
1. Определение линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го и 2-го рода.
2. Определение ядра и свободного члена уравнения Вольтерра 1-го и 2-го рода.
3. Сведение уравнения Вольтерра 2-го рода к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
4. Сведение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения к уравнению
Вольтерра 2-го рода.
5. Определение вырожденного ядра.
6. Метод решения уравнения Вольтерра 2-го рода в случае вырожденного ядра.
7. Метод последовательных приближений для решения уравнения Вольтерра 2-го рода.
8. Резольвента. Построение решения уравнения Вольтерра 2-го рода с помощью
резольвенты.
5. Интегральные уравнения Фредгольма
1. Определение линейного интегрального уравнения Фредгольма 1-го и 2-го рода.
2. Определение ядра и свободного члена уравнения Фредгольма 1-го и 2-го рода.
3. Метод решения уравнения Фредгольма 2-го рода в случае вырожденного ядра.
4. Метод последовательных приближений для решения уравнения Фредгольма 2-го рода.
5. Резольвента. Построение решения уравнения Фредгольма 2-го рода с помощью
резольвенты.
6. Определение симметричного ядра уравнения Фредгольма.
7. Характеристические и собственные числа уравнения Фредгольма.
8. Нахождение характеристических чисел уравнения Фредгольма.
9. Альтернатива Фредгольма для решения уравнения Фредгольма 2-го рода
Литература
5.1. Основная:
5.1.1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. –
М. : Наука, Физматлит, 1998.
5.1.2. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. «Специальная
литература». Санкт-Петербург, 1996
5.1.3. Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. - М. : Изд-во
МГУ, 1984.
5.1.4. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.:Наука, 1975.
5.2. Дополнительная:
5.2.1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1959.
5.2.2. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений. - Минск: ВШ, 1974.
5.2.3. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. –
Минск: Наука и техника, 1972.
5.2.4. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.:
Наука, 1986.
5.2.5. Богданов Ю.С. Дифференциальные уравнения. - Минск: ВШ., 1983.
5.2.6. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Наука, 1984.
5.2.7. Привалов И.И. Интегральные уравнения. 2 изд. М. 1937.
5.2.8. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М., 1959.
5.2.9. Трикоми Ф. Интегральные уравнения, пер. С англ. М., 1960.
5.2.10. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.
Москва-Санкт-Петербург: Физматлит. 2001.
5.2.11. Вся высшая математика. Том 3. Теория рядов. Обыкновенные дифференциаль-ные
уравнения. Теория устойчивости. Эдиториал УРСС. Москва, 2001.
5.2.12. Есипов А.А., Л.И.Сазонов, В.И.Юдович. Дифференциальные уравнения. Москва,
«Вузовская книга». 2001.
5.2.13. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения - М.: Наука, 1982.
5.2.14. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.:Наука,
1976.
5.3. Пособия:
5.3.1. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения.
Примеры и задачи. - М. : ВШ, 1989.
5.3.2. Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные
уравнения в примерах и задачах. Москва: Высшая школа. 2001.
5.3.3. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике.
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Москва, УРСС. 1999.
5.3.4. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. Санкт-Петербург, 2002.
5.3.5. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. Москва,
УРСС. 2003.
5.3.6. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Мир,
1986.
5.3.7. Григорьев М.П., Софронов Е.Т., Романова Н.А. Вопросы и задания по курсу
дифференциальных уравнений. Якутск, 2002.
5.3.8. Григорьев М.П., Софронов Е.Т. Сборник заданий по обыкновенным
дифференциальным уравнениям n-го порядка. - Якутск: Изд-во ЯГУ, 1989.
5.3.9. Григорьев М.П., Софронов Е.Т. Сборник заданий по курсу обыкновенных
дифференциальных уравнений. (Линейные уравнения, особые точки). - Якутск,
1991.
5.3.10. Григорьев М.П., Софронов Е.Т. Дифференциальные уравнения. - Якутск: Изд-во
ЯГУ,1988.
5.3.11. Григорьев М.П., Софронов Е.Т. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков в примерах и задачах. - Якутск: Изд-во ЯГУ, 1991.
5.3.12. Григорьев М.П.,Софронов Е.Т. Задания по курсу «Обыкновенные
дифференциальные уравнения». - Якутск: Изд-во ЯГУ, 1985.
5.3.13. Григорьев М.П.,Софронов Е.Т. Специализированные задачи по обыкновенным
дифференциальным уравнениям.- Якутск:Изд-во ЯГУ,1988.