Задания для самостоятельной работы по математике для

Задания для самостоятельной работы по дисциплине «Физика,
математика» (математика) для студентов 1 курса
медико-профилактического факультета (180, 181 группы)
Тема 1. Матрицы и определители
Матрицы
1.3. Найти матрицу   , если:

1 0
 ,
а)   
  2 3
1
3  2
 ,   2,   3;
  
5  7
3 8
2
1 1
 ,   
 ,   3,   2;
б)   
 4 1 0
 0  3 5
 1 0 2


в)     1 1 0  ,
 3 0 1


3

  2
1

2

0
0  ,   5,   1.
 1  2 
1
1.4. Умножить матрицы:
 2  1  3 0 

;
5   4 2 
1
 2  1  3 0 1 
 
;
1  1 5 2 
3
а) 
б) 
 4 5

  7 1 0 1
 ;
в)   3 1   
 1 0   2 0 1 5


 1 0 1

1 5 
3
    2 1 0  ;
г) 
 6  2 7  0 3 2


6  2
0  3
 1 1

 

1
1 ;
д)  4 0 1    1
 1 2  1  0  4
7 

 
1   11  2 
 3 0

 

е)  1 2  1   1 5  ;
  1 4 0    7
0 


0
1 3


ж)  0 1 2 
 1 1  1


 10 1 13 


1
5
 6
  3 1  4


1
 1 0


 0 2  10  .
 1 0
0 

Определители
1.1.1. Вычислить определитель:
а)
1 2
;
0 1
б)
1 2
;
2 1
в)
2 3
;
4
6
г)
7 5
;
10 7
ж)
к)
1
1
1
3
1
3
4
д)
з)
;
2
2 3
;
100 100
1
1
2
 12
3
 13
0,1
1
е)
и)
;
0,01
;
0,1
5
25
1
 15
5
;
ab a b
ab ab
Тема 1. Системы линейных уравнений.
Система линейных уравнений. Метод Крамера
1.1. Решить систему методом Крамера:
x  2 y  3 z  14
2x  y  z  1
3 x  2 y  3 z  13
а)
2x  3 y  z  0
б)
5x  y  2z  1
x yz 3
3x1  x 2  2 x3  13
x1  3 x 2  x3  3
2 x1  x 2  2 x3  0
в)
г)
5 x1  3x 2  7 x3  28
2 x1  x 2  4 x3  5
4 x1  2 x 2  5 x3  10
Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Понятие производной. Вычисление производных
Исходя из определения производной, найдите производную функции:
2.1. y  2x  3.
2.2. y  1 - 5x.
2.4. y  (x  1) 2 .
2.5. y  x  1.
1 2 1
x  .
2
4
1
2.6. y 
.
x-2
2.3. y 
Вычислить производные:
2.7. 1) x 2 - 6x  8;
1
;
x
6)
7)
3) - 1 - x -1 - x -2 ;
1
;
x
1
1
9) 2x - 2  3 ;
x
x
2
10) x5 .
5
4) 2x  2 x ;
5)
3
x  3 2;
3
x
3
;
x
2) 1  x  x 2  x 3 ;
8) x 
3
2.8. 1) sin x - cos x;
4) x - arctg x;
1
1

;
sin x cos x
3) x - arcsin x;
5) tg x  ctg x;
2)
6) cos x  arccos x.
Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные
функций:
2.9. y=cos (x2 +2x - 4).
2.10. y=sin (x3 - 3x +5).
2.11. y=sin ex.
2.12. y=cos ln x.
2
2x-3
2.13. y=e .
2.14. y=e x .
2.15. y=etgx .
2.16. y=esinx.
2.17. y= ln(1+2 x ).
2.18. y= ln( 2x2 +4x -1).
Составить уравнения касательных к графикам функций:
2.19. y=x2 - 3x + 2
в точке (3;2).
2.20. y= x
в точке (4;2).
2.21. y= ln x
в точке пересечения с осью Оx.
2
2.22. y= x - 5x + 6
в точках пересечения с осью Оx.
7x
2.23. y=e
в точке пересечения с осью Оy.
Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков
Найти дифференциалы функций:
2.24. y= x3 - 3ln x.
2.25. y= cos x  ex.
2.26. y= sin 3x.
2.27. y= tg ln x.
2.28. y= x2 arctg x.
2.30. y=
2.29. y=
sin x
.
1  cos x
1  sin x
.
1  sin x
2.31. y= sin 2x  2x x .
2.32. Найти приближенно приращение  у:
1) функции у=
1
x
,
если х= 4,  х= 0,08;

,  х= 0,02;
3
Найти дифференциалы 2-го порядка от функций:
2.33. y= x3 - 3x2 + x + 1.
2.34. y= (0,1x+1)5.
2.35. y= xcos2x.
2.36. y= sin2x.
2) функции у= sinx,
если х=
Найти производные 3-го порядка от функций:
2.37. y=ex  cosx.
2.38. y= x2  ex .
2.39. y=ln(2x+5).
2.40. y= xlnx.
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных. Частные производные 1-го и 2-го
порядка. Дифференциал функции
3.1. Вычислить:
1) значения F(2,3), F(1,2), F(2,1), F(a,0), F(0,a), если F  x , y 
y
2) значения F(2,4), F(4,2), F(1,a), если F (x , y )  x 
y  2x  6 .
Найти частные производные 1-го порядка функции:
3.2. z=x2-2xy-5y3.
3.5. z=2x3+3x2y-y+5.
2
2
3.3. z= e x  y .
3.7. z=ln(x2+y2).
y
.
x
3.4. z=
3.9. z=
3.5. z= xy.
3.6. z= arctg(
xy
.
2x  y
3.11. z=x2exy.
x e y ).
3.13. z= arcsin
y
.
x
Найти частные производные 2-го порядка:
3.7. z= x2-2xy+5y2.
3.15. z= x y 2 .
x2
.
1  2y
3.8. z=
3.17. z= ln(x2-y2).
3.9. Найти частные производные 3-го порядка для функций:
1) z=2x3+xy2-y3+y2-x;
2) z=
x3
3
.
y
Производная по направлению и градиент функции
3.10. Найти grad z(x,y) для функции:
1) z 
x y  tg ( y 2 );
3) z  ln( x y  sin x) ;
xy
;
ex  ey
2) z 
4)
z  e cos( x ln y ) .
Тема 4. Интегралы
Неопределенный интеграл
4.1. Проверить, что:
dx
1
x
 arctg  C;
4 2
2
dx
3) 
 2 x  C;
x
dx
1
5)  4
   arctgx  C;
2
x
x x
1)
7)
x
2
 (x
2
4x x
 C;
3
1
4)  e 5 x dx   e 5 x  C;
5
2)
2
x dx 
6)

dx
x a
2
 ln x  x 2  a  C ;
3x  5
2x  1
dx 
 arctg ( x  1)  C.
2
2
 2 x  2)
2( x  2 x  2)
Вычислить интегралы:
x  2y
;
y2  x2
2
4.2.  (5 x 4  x 2  x  )dx.
x
4.4.  (2 x  1) 2 dx.
4.3.  ( x 3  3x 2 
1

2
)dx.
x2
2 x
1
2
4.5.  (

)dx.
2
1- x 2 1 x
ex
2
4.7.  sin x(1 + 3
 4ctgx)dx.
 4)dx.
x sin x
cos x
2  x cos 2 x  3ctg 2 x  5 cos 3 x
4.8. 
dx.
cos 2 x
4.6.  cos x(2tg x +
Вычислить интегралы:
4.9.
3x  7
 x 2  5x  6 dx.
4.11.
dx
 x2  1 .
3x 2  2 x  3
 x( x  1)( x  1) dx.
2x  3
4.15. 
dx.
( x  2) 3
4.13.
4.17.
2x  1
 x 2  4 x  5 dx.
4.10. 
x 8
x  x2
x dx
2
dx.
4.12. 
.
x 2  3x  2
x2  2
4.14. 
dx.
x( x  2)( x  1)
dx
4.16. 
.
( x  1) 2 ( x  1)
4x  3
4.18.  2
dx.
x  2x  5
Вычислить:

9
4.22.
dx

x
1
4.23.
e
1
2x
dx.
4.25.
(
x  x 2 )dx.
0
0
3
4.26.
 (sin x  cos x )dx.
0
1
4.24.
2

1
dx
.
2
x 1
1
4.27.

0
3x 4  3x 2  1
dx.
x2  1
Геометрические приложения определенного интеграла
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
4.28. у= ex, х=0, х=1, у=0.
4.29. у= x2+5x+6, х=-1, х=2, у=0.
4.30. у= -x2+2x+3, у=0.
4.31. у=x7, х=2, у=0.
4.32. у= ln x, х=e, у=0.
4.33. у= sin x, у=0, 0  x   .
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:
4.34. у= 4-x2, у=0, х=0, где x  0 , вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
4.35. у= ex, x=0, x=1, у=0
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
2
4.36. у= x +1, у=0, х=1, x=2
вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
Тема 5. Дифференциальные уравнения
5.1. Понятие о дифференциальных уравнениях
Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
5.1. Выяснить, является
ли функция у=
1
х
решением дифференциального
уравнения 2 у   у 3  0 .
5.2. Выяснить, является ли функция у  х  Сх 2 решением дифференциального
уравнения ху   2 у  х  0.
5.3. Является ли функция у  Се х  х решением дифференциального уравнения
2
у   2 ху  х 2  0 ?
5.4. Является ли функция
уравнения у   у cos x  0 ?
у  е sin х  C cos х
решением
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
5.5. cos x (1  y 4 )dx  2 y dy.
5.6. tgx  y  ctgy.
5.7.
x y  (1  3x) y  0.
5.8. ( sin x  y  sin x ) y  y cosx  0.
5.2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Найти общее решение дифференциального уравнения:
5.9.
y 
3y
 x 3sin x.
x
5.11. y   2 y  5e .
x
5.10. y   ytgx  2 cos 2 x.
5.12. y   2 xy 
ex
2
1  x2
.
дифференциального