Правила проведения экзамена. - наличие зачетной книжки и допуска к сессии;

Правила проведения экзамена.
экзамен письменный; время экзамена у всех групп: 9:00 – 11:00; обязательно
наличие зачетной книжки и допуска к сессии;
за пользование шпаргалками в любой форме (печатной, рукописной, электронной и
др.) студент удаляется из аудитории и направляется на пересдачу в конце сессии;
бумага обеспечивается преподавателем;
оценки выставляются в зачетки в день, следующий за экзаменом, на кафедре
методов оптимизации с 10:00 до 11:00; обязательно собеседование со студентами,
письменные работы которых оценены на "отлично", и студентами, работы которых
вызвали сомнения при проверке;
при наличии технической возможности результаты выставляются на интернетстранице кафедры и рассылаются по электронной почте в день экзамена (около 23:30).
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО КУРСУ "Методы оптимизации",
2010/11 учебный год
1. Максимум и минимум. Супремум и инфимум (определения и связи между этими
понятиями). Простейшие свойства максимума (максимум суммы функций; максимум
функции, умноженной на константу). Буден дан пример на вычисления минимума и
максимума, супремума и инфимума, классификацию точек экстремума.
2. Постановка и различные формы записи задач линейного программирования:
стандартная, каноническая, общая. Эквивалентность задач линейного программирования,
записанных в различных формах. Основные понятия (терминология). Типовые модели
задач линейного программирования: производственная задача, задача о диете (смесях),
транспортная.
3. Графический метод решения задач линейного программирования. Линии уровня.
Отрезок, луч, прямая в n-мерном пространстве. Привести схематические примеры
следующих возможных случаев: множество планов пусто; экстремум достигается на
множестве, состоящем более, чем из одной точки; целевая функция не ограничена
сверху на множестве планов. Диапазон применимости графического метода. Будет дан
пример на решение задачи графическим методом.
4. Свойства задач линейного программирования (выпуклость множества планов для
задач в стандартной и канонической формах, глобальность экстремума). Утверждение о
достижении экстремума в угловой точке (без доказательства).
5. Угловая точка (определение). Критерий угловой точки (базисного плана) для
множества планов задачи линейного программирования в канонической форме (без
доказательства). Следствия. Невырожденные и вырожденные базисные планы.
6. Критерий угловой точки (базисного плана) для множества планов задачи линейного
программирования в канонической форме (с доказательством) .
7. Задача линейного программирования в предпочтительной форме. Схема простейшего
варианта симплекс-метода. Улучшение целевой функции. Критерии остановки (будет
дан пример, на котором следует пояснить теоретическую схему метода).
8. Расчетные формулы симплекс-метода. Теоремы об оптимальности базисного плана и
неограниченности сверху целевой функции.
9. Двухфазный симплекс-метод. Схема. Будет дан пример на решение задачи двухфазным
симплекс-методом.
10. Симметричная пара взаимно-двойственных задач и ее свойства.
11. Условия равновесия в симметричной паре взаимно-двойственных задач. Следствие.
Дефицитные и недефицитные ресурсы. Экономический смысл условий равновесия.
12. Несимметричная пара двойственных задач и ее свойства.
13. Условия равновесия в несимметричной паре двойственных задач. Следствие.
14. Постоптимальный анализ на примере задачи оптимального планирования
производства. Изменение компонент вектора прибыли. Определение диапазонов
изменения компонент вектора прибыли, при которых оптимальный план остается
неизменным. Будет дан пример на соответствующий раздел постоптимального анализа.
15. Метод ломаных. Схема. Геометрическая интерпретация. Лемма с доказательством.
Теорема о сходимости без доказательства.
16. Теорема о сжатии отрезка локализации при минимизации выпуклых функций и метод
деления отрезка пополам.
17. Теорема о сжатии отрезка локализации при минимизации выпуклых функций и метод
золотого сечения.
18. Теорема о сжатии отрезка локализации при минимизации выпуклых непрерывнодифференцируемых функций и метод деления отрезка пополам.
19. Отделимость множеств (4 понятия, связь между ними). Геометрическая интерпретация
понятий отделимости. Простейшая теорема о сильной отделимости непустого замкнутого
выпуклого множества и множества, состоящего из одной точки.
20. Правило множителей Лагранжа в задаче с ограничениями типа неравенства (с
доказательством).
21. Общее правило множителей Лагранжа (без дрказательства). Достаточность правила
множителей в линейно-выпуклой задаче математического программирования (с
доказательством).
22. Теоремы Куна-Таккера.
23. Сходимость в экстремальных задачах. Свойства минимизирующих
последовательностей.
24. Метод скорейшего спуска. Условия применимости, схема, геометрическая
интерпретация, теорема о сходимости (без доказательства). Буден дан пример на
выполнение одной итерации метода.
25. Простейшая задача вариационного исчисления. Сильный и слабый экстремумы. Лемма
Дюбуа-Реймона. Вывод уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного
исчисления.
26. Простейшие случаи, при которых интегрирование уравнения Эйлера упрощается.
Будет дан пример, на котором следует проиллюстрировать один из частных случаев.
27. Многомерная и изопериметрическая задачи вариационного исчисления.
28. Постановка основной задачи оптимального управления. Терминология. Приведение
задачи с терминальным целевым функционалом к задаче с интегральным целевым
функционалом и наоборот.
29. Формула приращения целевого функционала для двух произвольных допустимых
процессов в основной задаче оптимального управления.
30. Лемма Гронуолла-Беллмана (с доказательством). Игольчатая вариация допустимого
управления и оценка приращения состояния на игольчатой вариации допустимого
управления.
31. Доказательство принципа максимума Л.С.Понтрягина (формулу приращения для двух
допустимых процессов и оценку приращения состояния на игольчатой вариации считать
известными). Линеаризованный (дифференциальный) принцип максимума (с
доказательством).
32. Достаточность принципа максимума в линейно-выпуклой задаче оптимального
управления (формулу приращения для двух допустимых процессов считать известной).
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего
профессионального образования
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Экзаменационный билет утвержден на заседании
учебно-методической комиссии ИМЭИ
"20" апреля 2011 г.
(ФГБОУ ВПО «ИГУ»)
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № (образец)
ПО ДИСЦИПЛИНЕ "Методы оптимизации"
1. Простейшая задача вариационного исчисления. Сильный и слабый экстремумы. Лемма
Дюбуа-Реймона. Вывод уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного
исчисления.
(3 балла)
2. Верны ли следующие утверждения (да/нет). В случае несогласия с
каким-либо
утверждением дайте его точную формулировку.
а) Любая задача линейного программирования в стандартной форме может быть приведена к
каноническому виду путем добавления новых ограничений.
(0,5 балла)
б) Ресурс является дефицитным, если при оптимальном плане производства он используется
полностью.
(0,5 балла)
в) Для какого класса экстремальных задач применим метод условного градиента? (дать
краткий ответ)
(0, 5 балла)
г) Перечислите все известные Вам методы, с помощью которых можно найти точное
решение задачи (решать задачу не требуется):
x12 - x22 + 4x33  min, x1 - 12x24 =1.
(0,5 балла)
3. Найти оптимальное управление в задаче:
x1(0) = 1,
x1 = x2 ,
3
x 2 = u (t), x2(0) = 1,
u(t)  1, t  [0, 5],
J (u) = x1 (5)  min.
(2,5 балла)
4. Найти решение задачи линейного программирования, решив графически двойственную
и воспользовавшись условиями дополняющей нежесткости (равновесия) (2,5 балла):
x1 + x2 + 3x3 max
x1 +2x2 + x3  2,
2x1 + x2 – x3  1,
x1  0, x2  0, x3  0?
_____________________________________________________________________________
"отлично" - не менее 9,5 баллов; "хорошо" - 7,5 - 9 баллов; "удовлетворительно" - 5,5 - 7
баллов; "неудовлет." - менее 5,5 баллов.