МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Балашовский институт (филиал)
УТВЕРЖДАЮ:
Директор БИ СГУ
доцент А.В. Шатилова
_________________
«____» ___________ 20____ г.
Рабочая программа дисциплины
Элементы теории динамических систем
Направление подготовки
010400 Прикладная математика и информатика
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
Очная
Балашов 2014
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЦЕЛИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ .......................................................... 3
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ
ПРОГРАММЫ ....................................................................................................... 3
3. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В
ПРОЦЕССЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................... 3
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ .............................. 4
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................... 5
4.1. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................................. 5
4.2. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ.......................................................................... 5
4.3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ...................................................................... 7
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ
ОСВОЕНИИ ДИСЦИПЛИНЫ ........................................................................... 8
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ОСУЩЕСТВЛЕНИИ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................................ 8
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ. ОЦЕНОЧНЫЕ
СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................... 9
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ............................. 9
ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА
ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ......................................... 10
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................. 14
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ ................................................................................... 14
Основная литература.................................................................................... 14
Дополнительная литература ....................................................................... 14
ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ ........................................................................................ 15
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ........................................................................ 16
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ.................................................................................................. 16
2
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения данной дисциплины являются: освоение понятий теории
динамических систем, теории устойчивости; формирование представлений о
таких понятиях как хаос, странный аттрактор, фрактал; о численном интегрировании динамических систем, об областях приложения динамических
систем.
2. Место дисциплины
в структуре образовательной программы
Дисциплина относится к вариативной части математического и естественнонаучного цикла (Б2. В.1) и изучается в 7 семестре. Изучение дисциплины
«Элементы теории динамических систем» опирается на дисциплины «Математический анализ», «Алгебра и геометрия», «Дифференциальные уравнения», «Численные методы». Курс «Элементы теории динамических систем»
знакомит студентов с элементами качественной теории дифференциальных
уравнений, с понятиями и результатами, возникшими в науке 20-30 лет
назад: «хаос», «странный аттрактор», «фрактал», «универсальность Фейгенбаума». Актуальность материала для бакалавра прикладной математики и
информатики определяется по крайней мере тремя обстоятельствами:
1. объекты, изучаемые в этом курсе, все чаще обнаруживаются в физике,
химии, биологии, экономике и т.д.;
2. открытие таких объектов, как странный аттрактор, внесло большие изменения в наши представления о мире, в том числе — и о численном
интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений;
3. студенты знакомятся с современными научными результатами.
3. Компетенции обучающегося,
формируемые в процессе освоения дисциплины
Процесс изучения дисциплины ««Элементы теории динамических систем»» направлен на формирование следующих компетенций:
а) общекультурных (ОК):
- способности владениями навыками работы с компьютером как средством
управления информацией (ОК-11);
б) профессиональных (ПК):
- способности демонстрации общенаучных базовых знаний естественных
наук, математики и информатики, понимания основных фактов, концепций, принципов, теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);
3
- способности приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии
(ПК-2).
Планируемые результаты обучения по дисциплине
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
знать:
 понятие и виды динамических систем;
 свойства автономных систем;
 типы положения равновесия двумерных и трехмерных систем;
 понятия устойчивости, неустойчивости, асимптотической устойчивости;
 формулировки теорем Ляпунова об устойчивости, об асимптотической
устойчивости и о неустойчивости;
 формулировки других теорем об устойчивости;
 понятия устойчивости и неустойчивости по первому приближению;
 формулировку теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости
по первому приближению;
 критерий Гурвица;
 понятие предельного цикла;
 понятия бифуркации, хаоса;
 факт существования универсальности Фейгенбаума;
 определение диссипативной системы;
 понятие странного аттрактора;
 методы численного интегрировании динамических систем;
 понятие фрактала и фрактальной размерности;
 основные способы и проблемы обработки математической информации
в области динамических систем на компьютере;
уметь:
 приводить к виду динамических систем системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями;
 определять типы положений равновесия;
 исследовать систему на устойчивость;
 применять в простых случаях теоремы об устойчивости;
 исследовать системы на устойчивость и неустойчивость по первому
приближению;
 применять критерий Гурвица;
 использовать современное ППО для автоматизации расчетов и проведения компьютерного эксперимента в области динамических систем;
 использовать в процессе обучения данной дисциплине разнообразные
ресурсы, в том числе потенциал других учебных предметов;
владеть:
4
 навыками решения задач в области динамических систем;
 навыками работы с программными средствами профессионального
назначения;
 способами ориентации в профессиональных источниках информации (в
том числе журналах, сайтах, образовательных порталах);
 различными средствами коммуникации;
 способами совершенствования профессиональных знаний и умений путем использования образовательной среды БИ СГУ, региона, области,
страны;
приобрести опыт:
 ознакомительного и изучающего чтения специальной литературы;
 проведения компьютерного эксперимента;
 решения задач в области динамических систем.
4. Структура и содержание дисциплины
4.1. Объем дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108
часов, из них: 20 часов лекций, 16 часов практических занятий, 36 часов СРС,
36 часов экзамен. Дисциплина изучается в 7 семестре, ее освоение заканчивается экзаменом.
4.2. Структура дисциплины
Неделя
семестра
1
2
3
4
1
Понятие динамической
системы. Виды
динамических систем.
Динамические системы,
описываемые
обыкновенными
дифференциальными
уравнениями.
Необходимые сведения
из теории обыкновенных
7
1-2
5
8
Самостоятельная
работа
Се
мес
тр
Практическая
работа
Раздел дисциплины
Лекции
№
п/п
Всего часов
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу студентов и
трудоемкость (в часах)
6
7
8
2
2
4
Формы текущего
контроля успеваемости (по неделям
семестра)
Формы промежуточной аттестации
(по семестрам)
9
5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
дифференциальных
уравнений. Свойства
автономных систем.
Положения равновесия.
Узлы, фокусы, седло,
центр. Проблема центра
и фокуса.
Устойчивость.
Неустойчивость.
Асимптотическая
устойчивость.
Устойчивость в целом.
Функции Ляпунова.
Кривые без контакта.
Теорема Ляпунова об
устойчивости. Теорема
Ляпунова об
асимптотической
устойчивости. Теорема
Красовского об
асимптотической
устойчивости. Теорема
Барбашина-Красовского.
Теорема Четаева.
Теоремы Ляпунова и
Красовского о
неустойчивости.
Устойчивость и
неустойчивость по
первому приближению.
Теоремы Ляпунова об
устойчивости и
неустойчивости по
первому приближению.
Критерий Гурвица.
Периодические
траектории. Предельный
цикл. Системы МорсаСмейла.
Одномерные и
двумерные отображения.
Бифуркации.
Хаос. Универсальность
Фейгенбаума.
Система Лоренца.
Многомерные системы.
Диссипативные системы.
Странные аттракторы.
Внутренняя
неустойчивость.
О численном
7
2-3
8
2
2
4
7
3-4
4
2
0
2
7
5-6
8
2
2
4
7
6-8
16
2
6
8
7
9
4
2
0
2
7
9-10
4
2
0
2
7
10
4
2
0
2
7
11-12
8
2
2
4
Лабораторная работа № 2
7
12-13
8
2
2
4
Контрольная
Самостоятельная
работа
Лабораторная работа № 1
ра6
интегрировании
динамических систем.
Фракталы. Фрактальная
размерность.
Всего
бота
3
72
20
16
36
Экзамен в 7 се-
Промежуточная аттестация
местре
4.3. Содержание дисциплины
1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. Понятие динамической системы.
Виды динамических систем. Динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Автономные системы. Основные понятия и свойства. Фазовый портрет. Одномерные системы. Положения
равновесия двумерных линейных систем. Характеристическое уравнение и
характеристические числа. Устойчивый и неустойчивый узлы, дикритический узел, вырожденный узел, устойчивый и неустойчивый фокусы, седло,
центр. Сепаратрисы. Исследование поведения фазовых траекторий системы.
Проблема центра и фокуса.
2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ. Устойчивость положения
равновесия. Неустойчивость. Асимптотическая устойчивость. Неотрицательно-определенная,
неположительно-определенная,
положительноопределенная, отрицательно-определенная, знакопеременная функции. Производная функции в силу системы. Устойчивость в целом. Функции Ляпунова. Кривые без контакта. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема Ляпунова о неустойчивости. Теорема Красовского об асимптотической устойчивости. Теорема Барбашина — Красовского. Теорема Четаева. Теоремы Ляпунова и Красовского о неустойчивости. Исследование на
устойчивость положений равновесия. Критерий Сильвестра для квадратичных форм. Системы большой размерности. Характеристическое уравнение.
Устойчивость и неустойчивость по первому приближению. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Численные методы изображения фазового портрета системы. Критерий Рауса —
Гурвица. Периодические траектории. Предельный цикл. Устойчивый, неустойчивый, полуустойчивый, орбитально асимптотически устойчивый предельные циклы. Принцип кольца. О численном интегрировании динамических систем. Метод двойной аппроксимации. Численные эксперименты с параметрами системы. Системы Морса-Смейла.
3. ХАОС. СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ. ФРАКТАЛЫ. Одномерные и
двумерные отображения. Инвариантные и притягивающие множества. Бифуркации. Хаос. Универсальность Фейгенбаума. Многомерные системы.
Диссипативные системы. Странные аттракторы. Численное исследование системы Рёсслера. Исследование системы Лоренца. Теорема о диссипативности
системы Лоренца. Область диссипативности системы Лоренца. О численном
интегрировании динамических систем. Построение проекций траекторий си7
стемы Лоренца на координатные плоскости. Численные эксперименты с параметрами системы. Внутренняя неустойчивость. Фракталы. Фрактальная
размерность. Динамические системы и реальные процессы с хаотическим поведением.
5. Образовательные технологии,
применяемые при освоении дисциплины
Специфика дисциплины и объем учебного материала предполагают как
традиционную лекционную форму изложения материала, так и использование различных активных и интерактивных форм обучения. В процессе чтения лекций рекомендуется использовать мультимедийное оборудование для
иллюстрации понятий и фактов из теории динамических систем и проведения
компьютерного эксперимента. Для контроля и сопровождения самостоятельной работы студентов рекомендуется использование виртуальной обучающей
среды Moodle.
Традиционные образовательные технологии:
– лекции:
– практические занятия;
– лабораторные занятия с использованием информационных технологий;
Активные и интерактивные формы занятий:
– проблемная лекция;
– занятия в форме дискуссий.
Информационные технологии, используемые
при осуществлении образовательного процесса по дисциплине
 Использование информационных ресурсов, доступных в информационно-телекоммуникационной сети Интернет (см. перечень ресурсов в
п. 7 настоящей программы).
 Свободно распространяемое (например, free pascal) или лицензионное программное обеспечение для написания программ на языке высокого уровня.
8
6. Учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
К самостоятельной работе студентов (СРС) относится: детальная проработка лекций, рекомендованной учебной литературы, выполнение домашних заданий, подготовка к самостоятельной и контрольной работам, выполнение самостоятельной и контрольной работ, выполнение домашних лабораторных работ.
Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации используются рейтинговая и информационно-измерительная системы оценки
знаний.
Система текущего контроля включает:
 контроль общего посещения;
 контроль активности студента на занятиях, включая активность при
опросах, проведении проблемных лекций и дискуссий;
 контроль выполнения студентами заданий самостоятельной работы в
аудитории;
 контроль выполнения студентами заданий самостоятельных домашних
лабораторных работ;
 контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
итогового компьютерного тестирования в системе CyberTest
 контроль знаний, умений, навыков усвоенных в данном курсе в форме
письменной контрольной работы.
Работа на практических занятиях оценивается преподавателем от 0 до 2
баллов по итогам посещения и выполнения студентами домашних заданий: 0
баллов — студент отсутствует; 1 — присутствует на занятии, но не имеет
выполненного домашнего задания; 2 — студент присутствует на занятии с
выполненным домашним заданием.
Самостоятельная работа на практическом занятии предназначена для
оперативного контроля успеваемости, занимает 20-30% времени
практического занятия и оценивается в 10 баллов. Планируется 1
самостоятельная работа при освоении модуля.
Контрольная работа проводится в запланированное время (планируется
одна контрольная работа при освоении модуля) и предназначена для оценки
знаний, умений и навыков, приобретенных в процессе теоретических и
практических занятий курса. Оценивается в 20 баллов.
9
Домашняя лабораторная работа имеет индивидуальный характер.
Планируется две лабораторные работы при освоении дисциплины.
Оценивается в 10 баллов.
Оценка за контрольную работу, самостоятельную работу или
домашнюю лабораторную работу выставляется в соответствии со
следующими критериями:
 оценка «отлично» (5 баллов) - 80-100% правильно решенных заданий;
 оценка «хорошо» (4 балла) - 65-79% правильно решенных заданий;
 оценка «удовлетворительно» (3 балла) - 50 -64% правильно решенных
заданий;
 оценка «неудовлетворительно» - 49% и менее правильно решенных
заданий.
Текущий рейтинг студента, выраженный в процентах, равен отношению
набранных студентом баллов к максимально возможному числу баллов,
которое складывается из оценок в баллах всех форм контроля.
В качестве итогового контроля освоения дисциплины «Элементы теории
динамических систем» выступает экзамен. Оценка за экзамен является
составной и выставляется на основе текущего рейтинга (успеваемости при
освоении модуля) и устного ответа на два вопроса экзаменационного билета.
Степень полноты ответа оценивается экзаменатором в процентах.
Окончательный рейтинг равен сумме текущего рейтинга, умноженного на
0,6, и оценке в процентах на экзамене, умноженной на 0,4. Таким образом,
полученные проценты дают оценку студента по пятибалльной шкале,
указанной выше, или, соответственно, количество освоенных зачетных
единиц.
Оценочные средства
для текущего контроля успеваемости
и промежуточной аттестации по дисциплине
Контрольная работа
1. Определить тип положения равновесия (0; 0) и изобразить траектории си𝑥̇ = 3 sin 𝑥 + 4𝑦 − 𝑥𝑦,
стемы {
в его окрестности.
𝑦̇ = 2𝑥 + 𝑦 − 𝑥 2 + 𝑦 3
2. Определить тип положения равновесия (0; 0) и изобразить траектории си𝑥̇ = ln(1 + 𝑦) + 𝑥 sin 𝑦 ,
стемы {
в его окрестности.
𝑦̇ = −2𝑥 + sin 𝑦 − 𝑥𝑦
3. Изобразить фазовый портрет системы
𝑥̇ = −3𝑥 − 𝑦 + 𝑥 2 ,
{
𝑦̇ = 7𝑥 + 2𝑦 − 𝑥 2 .
10
Лабораторная работа № 1 «Бифуркация одномерного отображения»
Лабораторная работа № 2 «Получение фазового портрета двумерной
динамической системы»
Тестовые задания для оценки остаточных знаний
Контрольно-измерительные материалы проверяют остаточные знания
студента. Тестовые задания направлены на применение усвоенных ранее
знаний в типовых ситуациях. При установлении нормы трудности заданий
учитывалась форма ТЗ (закрытая, сопоставление), принадлежность
определенной дидактической единице ГОС, длина последовательности
умозаключений для получения окончательного ответа. Тестирование может
являться как составной частью экзамена, так и заменить экзамен в целом.
Компьютерное тестирование представляет собой интерактивное выполнение
теста с выбором ответа или вводом ответа в диалоге с компьютером в
учебных компьютерных классах. Число вариантов ответов на каждое задание
— не менее 4-х. Рекомендуемое число заданий в тестовом варианте
(индивидуально формируемом случайным образом комплекте вопросов) —
не менее 10 и не более 25 заданий. Продолжительность сеанса тестирования
— не более 90 минут. Рекомендуемое число различных вариантов каждого
вопроса — не менее 3-х.
Структура контрольно-измерительных материалов
№
задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Наименование темы задания
Определение динамической системы
Количество положений равновесия линейной системы
Количество положений равновесия линейной системы
Количество положений равновесия линейной системы
Типы положения равновесия на плоскости
Характеристическое уравнение линейной системы
Корни характеристического уравнения линейной системы
Тип нулевого положения равновесия линейной системы
Система первого приближения нелинейной системы
Типы положения равновесия нелинейной системы
Типы положения равновесия нелинейной системы
1. Динамической является система
𝑥̇ = 𝑥 + 𝑦𝑡,
𝑥̇ + 𝑥 = 5,
1) {
2) {
𝑦̇ − 𝑥̇ = 1,
𝑦̇ = 𝑥 − 𝑦,
𝑥̈ + 𝑥̇ = 𝑥,
4) {
5) 𝑥̈ − 𝑥̇ + 𝑥 = 3.
𝑦̇ + 𝑦 = 1,
3) {
№
Кол-во
прабалллов
вильного ответа
3
1
1
1
4
1
2
1
3
1
3
2
5
2
2
2
2
3
5
3
1
3
𝑥̇ = 𝑥𝑦 − 𝑦,
𝑦̇ = 𝑥 sin 𝑦 ,
11
𝑥̇ = 2𝑥 − 3𝑦,
2. Система {
𝑦̇ = 5𝑥 + 2𝑦
1) имеет одно положение равновесия
2) имеет два положения равновесия
3) имеет три положения равновесия
4) имеет бесконечно много положений равновесия
5) не имеет положений равновесия
𝑥̇ = 2𝑥 − 3𝑦,
3. Система {
𝑦̇ = 4𝑥 − 6𝑦
1) имеет одно положение равновесия
2) имеет два положения равновесия
3) имеет три положения равновесия
4) имеет бесконечно много положений равновесия
5) не имеет положений равновесия
𝑥̇ = 𝑥 + 𝑦,
4. Система {
𝑦̇ = 𝑥 − 𝑥𝑦
1) имеет одно положение равновесия
2) имеет два положения равновесия
3) имеет три положения равновесия
4) имеет бесконечно много положений равновесия
5) не имеет положений равновесия
5. Устойчивыми на плоскости являются точки
1) устойчивый узел, центр
3) седло, устойчивый фокус
5) неустойчивый узел, седло
2) устойчивый узел, седло
4) неустойчивый фокус, центр
𝑥̇ = 𝑥 − 𝑦,
6. Характеристическое уравнение для системы {
𝑦̇ = 2𝑥 + 3𝑦
2
2
1) 𝜆 + 4𝜆 − 3 = 0
2) 𝜆 + 2𝜆 + 3 = 0
3) 𝜆2 − 4𝜆 + 5 = 0
4) 𝜆 − 3 = 0
5) 𝜆2 + 5𝜆 − 6 = 0
𝑥̇ = 𝑥 − 2𝑦,
7. Корни характеристического уравнения системы {
имеют вид
𝑦̇ = 3𝑥 + 3𝑦
1) 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 3,
4) 𝜆1,2 = −2 ± 3𝑖,
2) 𝜆1 = −1, 𝜆2 = 5,
5) 𝜆1,2 = 2 ± √5𝑖,
3) 𝜆1 = 𝜆2 = −6,
𝑥̇ = 𝑥 + 3𝑦,
8. Нулевое положение равновесия системы {
является
𝑦̇ = 𝑥 + 5𝑦
1) устойчивым узлом
2) неустойчивым узлом
12
3) седлом
4) устойчивым фокусом
5) центром
𝑥̇ = 𝑥 − sin(𝑥 + 𝑦) + 2𝑦 + 𝑥 2 ,
системой первого приближе𝑦̇ = 𝑥 sin 𝑥 − 𝑥 + 3𝑦
ния является система
𝑥̇ = 𝑥 + 2𝑦,
𝑥̇ = 𝑥 + 2𝑦,
𝑥̇ = 𝑦,
1) {
2) {
3) {
𝑦̇ = −𝑥 + 3𝑦,
𝑦̇ = −𝑥 + 3𝑦,
𝑦̇ = 𝑥 2 − 𝑥 + 3𝑦,
9. Для системы {
4) {
𝑥̇ = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑥 2 ,
𝑦̇ = −𝑥 + 3𝑦,
5) {
𝑥̇ = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑥 2 ,
𝑦̇ = −𝑥 + 3𝑦,
𝑥̇ = 𝑥 − 2𝑦 + 𝑥 2 ,
10. Нулевое положение равновесия системы {
является
𝑦̇ = 𝑥 − 𝑥𝑦
1) седлом
2) центром
3) устойчивым узлом
4) устойчивым фокусом
5) неустойчивым фокусом
𝑥̇ = sin 2𝑥 − 𝑦 + 𝑥 2 ,
11. Нулевое положение равновесия системы {
является
𝑦̇ = 𝑥 − sin(𝑥𝑦 + 𝑦)
1) седлом
2) центром
3) устойчивым узлом
4) устойчивым фокусом
5) неустойчивым фокусом
Контрольные вопросы по курсу
1. Понятие динамической системы.
2. Виды динамических систем.
3. Динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
4. Свойства автономных систем.
5. Положения равновесия. Узлы, фокусы, седло, центр.
6. Проблема центра и фокуса.
7. Устойчивость. Неустойчивость.
8. Асимптотическая устойчивость. Устойчивость в целом.
9. Функции Ляпунова.
10.Кривые без контакта.
11.Теорема Ляпунова об устойчивости.
12.Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.
13.Теорема Красовского об асимптотической устойчивости.
14.Теорема Барбашина-Красовского.
15.Теорема Четаева.
16.Теоремы Ляпунова и Красовского о неустойчивости.
17.Устойчивость и неустойчивость по первому приближению.
18.Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению.
19.Критерий Гурвица.
20.Периодические траектории.
13
21.Предельный цикл.
22.Системы Морса-Смейла.
23.Одномерные и двумерные отображения.
24.Бифуркации. Хаос.
25.Универсальность Фейгенбаума.
26.Многомерные системы.
27.Диссипативные системы.
28.Странные аттракторы.
29.Внутренняя неустойчивость.
30.Численное интегрирование динамических систем.
31.Фракталы. Фрактальная размерность.
7. Учебно-методическое и информационное
обеспечение дисциплины
Литература по курсу
Основная литература
1. Анищенко, В. С. Лекции по нелинейной динамике [Электронный ресурс]
: учеб. пособие / В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова. – Электрон. дан.– Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. – 322 с. – Режим доступа:
http://library.sgu.ru/uch_lit/201.pdf. – Загл. с экрана.
2. Жидков Е.Н. Вычислительная математика [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов / Е.Н.Жидков. – М. : ИЦ «Академия», 2010. – 208 с.
1.
2.
3.
4.
5.
Дополнительная литература
Бутенин, Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний [Текст]: учеб.
пособие для втузов / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. – М.:
Наука, 1987. – 384 с.
Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) [Текст]: учеб. пособие для вузов/ В.
М. Вержбицкий. -М.: Высш. шк., 2001. -382 с.
Компьютеры и нелинейные явления: информатика и современное естествознание [Текст] / Авт. предисл. А. А. Самарский . – М.: Наука, 1988. –
192 с.
Ляшко С.А. Элементы теории динамических систем [Текст]: учеб. пособ. /
С.А. Ляшко. — Балашов: Изд-во «Николаев», 2005.— 104 с.
Ляшко С.А. Элементы теории динамических систем [Электронный ресурс]: учеб. пособ. / С.А. Ляшко. — Балашов: Изд-во «Николаев», 2005.—
104 с. – Режим доступа:
http://www.bfsgu.ru/elbibl/direction/posobia/p22/Lyashko_S.A._Elementy_teori
i_dinamicheskih_sistem.pdf . – Загл. с экрана.
14
6. Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения [Текст]: учеб.
пособие для вузов / Д. Р. Меркин. – М.: Наука, 1987. – 304 с.
7. Пайтген, Х.-О. Красота фракталов. Образы комплексных динамических
систем [Текст]: Пер. с англ. / Х.-О. Пайтген, П. Х. Рихтер– М.: Мир, 1993. –
176 с.
8. Пантелеев А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах
и задачах [Текст]: учеб. пособие/ А. В. Пантелеев. -М.: Высш. шк., 2001. 376 с.
9. Самойленко, А.Н. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи
[Текст]: учеб. пособие. / А. Н. Самойленко, С. А. Кривошея, Н. А. Перестюк. – М.: Высшая школа, 1989. – 383 с.
10.Странные аттракторы [Текст] / Пер. с англ. под ред. Я. Г. Синая и Л. П.
Шильникова. – М.: Мир, 1981. – 256 с. (Сер. Математика: новое в зарубежной науке).
Интернет-ресурсы
1. eLIBRARY.RU [Электронный ресурс]: научная электронная библиотека.
– URL: http://www.elibrary.ru
2. ibooks.ru [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. –
URL: http://ibooks.ru
3. Znanium.com [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система.
– URL: http://znanium.com
4. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный
ресурс]. – URL: http://scool-collection.edu.ru
5. Единое окно доступа к образовательным ресурсам сайта Министерства
образования и науки РФ [Электронный ресурс]. – URL:
http://window.edu.ru
6. Издательство «Лань» [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная
система. – URL: http://e.lanbook.com/
7. Издательство
«Юрайт»
[Электронный
ресурс]:
электроннобиблиотечная система. – URL: http://biblio-online.ru
8. Издательство МЦНМО [Электронный ресурс]. – URL:
www.mccme.ru/free-books . Свободно распространяемые книги.
9. Математическая библиотека [Электронный ресурс]. – URL:
www.math.ru/lib .Большая библиотека, содержащая как книги, так и серии
брошюр, сборников. В библиотеке представлены не только книги по
математике, но и по физике и истории науки.
10. Образовательный математический сайт [Электронный ресурс]. –
URL: http://www.exponenta.ru Содержит материалы по работе с
математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematical Maple и др.,
методические разработки, примеры решения задач, выполненные с
использованием математических пакетов. Форум и консультации для
студентов и школьников.
15
11. Руконт [Электронный ресурс]: межотраслевая электронная библиотека.
– URL: http://rucont.ru
12. Сайт Саратовской группы теоретической нелинейной динамики
[Электронный ресурс]. – URL: http://sgtnd.narod.ru/rus/index.htm Объединяет сотрудников Саратовского филиала Института радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова, Российской академии наук, Факультета
нелинейных процессов Саратовского государственного университета им.
Н.Г.Чернышевского, кафедры Технической кибернетики и информатики
и кафедры Приборостроения Саратовского государственного технического университета. Возглавляют группу профессор, доктор физикоматематических наук С.П.Кузнецов и профессор, доктор физикоматематических наук А.П.Кузнецов.
13. Электронная библиотека БИ СГУ [Электронный ресурс]. – URL:
http://www.bfsgu.ru/elbibl
14. Электронная библиотека СГУ
[Электронный ресурс]. – URL:
http://library.sgu.ru/
Программное обеспечение
1. Программное обеспечение компьютеров: MS Office или Ореn Office;
2. Свободно распространяемое (например, free pascal) или лицензионное
программное обеспечение для написания программ на языке высокого
уровня.
3. Электронная среда создания, редактирования и проведения тестов
CiberTest.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 Библиотека с информационными ресурсами на бумажных и электронных носителях.
 Стандартно оборудованная лекционная аудитория № 35 для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, интерактивная доска,
компьютер, обычная доска, пластиковая доска.
 Компьютерные классы с доступом к сети Интернет (аудитории №№
24, 25).
 Офисная оргтехника.
Рабочая программа дисциплины «Элементы теории динамических
систем» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по
направлению подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика»
(квалификация (степень) «бакалавр») и требованиями приказа Министерства
образования и науки РФ № 1367 от 19.12.2013 г. о порядке организации и
осуществления образовательной деятельности по образовательным
16
программам высшего образования — программам бакалавриата, программам
специалитета, программам магистратуры.
«Программа разработана в 20___ г. (одобрена на заседании кафедры
математики, протокол № ___ от «______» ________________ 20_____ года)
Программа актуализирована в 20___ г. (одобрена на заседании
кафедры математики, протокол № ___ от «______» ________________
20_____ года)».
Автор:
к.ф.-м.н. доцент
Ляшко С.А.
Зав.кафедрой математики
к.ф.-м. н. доцент
Ляшко М.А.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где разрабатывалась программа)
Кертанова В.В.
Декан факультета МЭИ
к.п.н. доцент
(факультет, где реализуется программа)
Кертанова В.В.
17