2.1. Диофантовы уравнения в виде цепных дробей ……………….7

Отдел образования Копыльского районного исполнительного комитета
Государственное учреждение образования «Гимназия №1 г. Копыля»
Исследовательская работа
Выполнил
ученик 11 «А» класса
Корзун Александр Сергеевич
Руководитель
Святская Светлана Евгеньевна,
учитель физики и математики
Копыль 2013 г.
1
Оглавление
Введение ……………………………………………………………….3
1. Теоретическая часть
1.1. Диофант. Историческая справка ………………………………..4
1.2. Диофантовы уравнения и способы их решения ……………….5
2. Практическая часть
2.1. Диофантовы уравнения в виде цепных дробей ……………….7
3. Заключение ………………………………………………………....9
4. Список использованных источников ……………………………10
2
Введение
В начале этого учебного года в материалах к турниру юных математиков
была предложена для решения задача: Диофантовы уравнения в виде цепных
дробей. Название и то, что ее можно решать, используя метод анализа и
обобщения, вызвало интерес и к задаче и ученому, чьим именем она названа.
Это привело к тому, что мы попытались ее решить. Знакомство с
соответствующей литературой позволило познакомиться с историей жизни
одного из замечательных философов древности. Кроме того, работа над
материалом позволила по-другому посмотреть на некоторые уравнения,
предлагаемые в тестах ЦТ, которые ранее казались сложно решаемыми или
нерешаемыми вовсе.
Новизна нашей работы заключается в том, что задачи, предлагаемые для
турнира математиков, в принципе, не имеют точного решения, и каждое
предложенное решение может претендовать на оригинальность.
Цель работы:
Решить диофантово уравнение в целых числах в виде цепных дробей
конкретного вида.
Задачи:
1) Проанализировать теоретический материал, в котором рассматриваются
способы решения диофантовых уравнений разного вида;
2) Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида;
3) Проанализировать возможные решения уравнения данного вида.
Объект исследования: Решение уравнений
Предмет исследования: Диофантовы уравнения в виде цепных дробей с тремя
переменными.
Используемые при выполнении работы методы – анализ и обобщение.
3
1. Теоретическая часть
1.1. Диофант. Историческая справка
(род. 325 г. ум. 409 г. по Р. Хр.) — знаменитый
александрийский математик. О жизни его нет почти
никаких сведений; даже даты его рождения и смерти не
вполне достоверны. Диофант прожил 84 года, как это
видно из эпитафии, составленной в виде следующей
задачи: "Диофант
провел шестую часть жизни в
младенчестве и двенадцатую в юношеском возрасте; затем
он женился и прожил в бездетном супружестве седьмую
часть жизни и еще пять лет, после чего у него родился сын,
достигший только половины возраста отца; отец же пережил сына на четыре
года".[1] Он представляет собой одну из наиболее трудных загадок в истории
науки. Нам не известно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые
работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди
непроницаемой тьмы.
Диофант оставил два сочинения: Арифметику в 12 или 13 книгах, из
которых только первые шесть дошли до нас, и сочинение о так называемых
многоугольных числах. Эти книги были объединены в «Арифметику», их стиль
и содержание резко отличались от классических античных сочинений по теории
чисел и алгебры, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, леммам из
сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась
результатом многочисленных исследований, которые остались совершенно
неизвестными. Мы можем только гадать о её корнях, и изумляться богатству и
красоте её методов и результатов.
«Арифметика» Диофанта это сборник задач (всего 189), каждая из которых
снабжена решением. Задачи в ней тщательно подобраны и служат для
иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов. Как это
было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а
повторяются для решения однотипных задач.
К заслугам Диофанта можно отнести:
1) разделение целых чисел на положительные и отрицательные;
2) формулировка правила знаков «отрицательное, умноженное на
отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное на
положительное дает отрицательное»;
3) расширение числовой области до поля рациональных чисел, в котором
можно беспрепятственно производить все четыре действия арифметики
4) введение буквенной символики для обозначения степени (от первой до
шестой), единицы и отрицательной степени;
5) правила преобразования уравнений: прибавление равных членов к обеим
частям уравнения и приведение подобных членов
4
1.2. Диофантовы уравнения и способы их решения
Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших
математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла
в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени,
является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и
расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в
целых числах.
Диофантовы уравнения (их еще называют неопределенными уравнениями) –
алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, у которых
разыскиваются целые решения.
Это алгебраические уравнения или системы таких уравнений с двумя или
большим числом неизвестных с целыми коэффициентами, при этом число
неизвестных в диофантовых уравнениях больше числа уравнений. Решения
таких уравнений ищутся в рациональных, чаще целых числах.
Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении
на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора.
Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем
Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе.
Теория диофантовых уравнений разработана еще очень неполно.
Элементарно решаются только все диофантовы уравнений первой степени с
двумя неизвестными. Диофантовы уравнения второй степени с двумя
неизвестными решаются уже с большим трудом, многие такие уравнения
можно решить вполне элементарно и найти все их решения. Но некоторые из
таких уравнений элементарно не решаются. Диофантовы уравнения второй
степени с числом неизвестных больше двух решены лишь в отдельных частных
случаях. Диофантовы уравнения степени выше второй имеют, как правило,
лишь конечное число решений (в целых числах).
Существуют разные способы решения неопределенных уравнений в целых
числах. Перечислим их:
1) Способ перебора вариантов.
Используется для решения уравнений первой степени. Заключается в том,
что в результате простого перебора вариантов находятся все возможные
решения уравнения.
2) Алгоритм Евклида.
Используется для решения уравнений первой степени. С помощью этого
алгоритма можно найти НОД натуральных чисел a и b, не раскладывая эти
числа на простые множители, а применяя процесс деления с остатком. Для
этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из
чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на
остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не
произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть
искомый НОД (a, b).
5
Решая неопределенное уравнение этим способом, мы получаем общее
решение, из которого, подставляя различные значения переменной, получаем
частные решения уравнения.
3) Решение уравнений в целых числах методом разложения на множители
или приведением к квадратному уравнению относительно какой-либо
переменной.
4) Метод остатков
5) Метод бесконечного спуска.
Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей
схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый
бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс
должен на чём–то кончаться.
6
2. Практическая часть
2.1. Диофантовы уравнения в виде цепных дробей
Задача турнира юных математиков (2012/2013 уч.год):
Для различных целых значений m решите диофантово
следующего вида x 
1
уравнение
 m , т.е. найдите все тройки целых чисел (x, y, z),
1
y
z
которые обращают его в верное равенство.
А) Решите это уравнение при m = 10.
Б) Конечное или бесконечное количество решений имеет такое уравнение при
различных значениях m?
В) Получите все решения в общем случае (для произвольных т  Z).
Решение.
А) Т.к. x,y,z – целые числа, то z = 1;-1.
А1) Пусть z = 1. Тогда x 
1
m
y 1
Т.к.m и х – целые числа, то
1
y+1
– целое число, и, значит, y = 0; -2.
А11) Если y = 0, то x + 1 = m и x = m – 1
Получаем ответ: (9;0;1)
А12) Если y = -2, то x - 1 = m и x = m + 1
Получаем ответ: (11;-2;1)
А2) Пусть z = -1. Тогда x 
1
m
y 1
Т.к.m и х – целые числа, то
1
y−1
.
– целое число, и, значит, y = 0; 2.
А21) Если y = 0, то x - 1 = m и x = m + 1
Получаем ответ: (10; 0; -1)
А22) Если y = 2, то x + 1 = m и x = m -1
Получаем ответ: (9; 2; -1)
А3) Проверим x = 0. Тогда
1
1
y
z
m
Значит, y = 0 и z = m.
Получаем ответ: (0; 0; 10)
А4) Проверим y = 0. Тогда x + z = 10.
Значит, z≠0 и х = 10 – z.
Получаем ответ: (10 - z; 0; z), где z≠0.
Б) Проверим, возможны ли другие решения данного уравнения.
Частное решение уравнения, рассмотренное выше, показало, что:
7
во-первых, оно не имеет решений для x = m и во-вторых, данное решение
является вариантом для x = m + 1 и x = m – 1.
Тогда рассмотрим вариант x = m +2.
1
1
1
Имеем
y+ =−
 2
y
z
1
z
2
или
Получаем, т.к. y, z – целые числа, то возможные варианты y = 0, z = -2 или y
= -1, z = 2.
Получаем ответ для m = 10: (11;0;-2); (11;-1;2).
Рассмотрим вариант x = m +3.
1
Имеем
1
y
z
 3
1
1
z
3
y+ = − .
или
Возможное решение (12;0;-3).
В) Таким образом, можно сделать вывод, что для любого целого
n данное
уравнение имеет множество решений вида
(m + n; 0; - n) и
(m - n; 0; n), n≠ 0.
Добавляем также для n = 2, (m + 2; -1; 2)
n = -2, (m - 2; 1; -2)
n = 1, (m + 1; -2; 1)
n = -1, (m - 1; 2; -1).
Ответ: А) для m = 10 уравнение в виде цепных дробей с тремя неизвестными
имеет множество решений, которые можно записать в общем виде {(10 ±
n; 0; ∓n); (12; −1; 2); (8; 1; −2); (11; −2; 1); (9; 2; −1)}, где n –целое число,
x≠10.
Б) при различных значениях m данное уравнение имеет бесконечное количество
решений. При этом необходимо отметить ограничение, а именно, x≠ m и z≠0.
В) В общем случае (для произвольных т  Z) решение имеет вид:
(m ± n; 0; ∓ n)
(m + 2; -1; 2), n = 2
(m - 2; 1; -2), n = -2
(m + 1; -2; 1), n = 1
(m - 1; 2; -1). n = -1
8
3. Заключение
В процессе работы над темой «диофантовы уравнения», мы отметили для
себя множество интереснейших фактов, связанных с решением уравнений в
целых числах. Информация о
диофантовых уравнениях, знакомство с
алгоритмами и способами их решения, помогли мне по-новому посмотреть на
некоторые уравнения, используемые в тестах на ЦТ.
Цель, поставленная в начале работы была достигнута. Мы пришли к
следующим результатам:
 Диофантовы уравнения в целых числах с одним или несколькими
переменными имеют различные способы решения, которые можно
использовать и при решении уравнений школьного курса математики.
 Менее всего информации в литературе имеется об уравнениях в виде
цепных дробей. Диофантовы уравнения виде цепных дробей в целых числах
вида x 
1
 m имеют бесконечное множество решений, которые можно
y 1
записать как тройки чисел в общем виде следующим образом:
(m ± n; 0; ∓ n)
(m + 2; -1; 2), для n = 2
(m - 2; 1; -2), для n = -2
(m + 1; -2; 1), для n = 1
(m - 1; 2; -1), для n = -1
Считается, что решение уравнений в целых числах – один из самых красивых
разделов математики. Поэтому мы с удовольствием прикоснулись к этой
красоте и попробовали ощутить на себе то удовольствие, которое получали от
решения сложных математических задач такие корифеи математики как Ферма
и Эйлер, Лагранж и Дирихле.
9
4. Список использованных источников
1. Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения– М.:«Наука», 1972г.
2. Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.:
Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.
3. http://dic.academic.ru
4. http://do.gendocs.ru
10