Динамика точки - Камышинский технологический институт

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.
ДИНАМИКА
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Техническая механика»
Волгоград
2011
УДК 531.8 (07)
Т 38
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ДИНАМИКА: методические указания к
практическим занятиям по дисциплине «Техническая механика» / Сост.
С. Г. Корзун. – Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011. – 36 с.
Содержат краткие теоретические сведения по разделу «Динамика»,
примеры решения типовых задач, задания для самостоятельной работы, а
также контрольные вопросы для самоконтроля.
Подготовлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине
«Техническая механика» и предназначены в помощь студентам СПО,
обучающимся по специальностям 150001.51 «Технология машиностроения», 260704.51 «Технология текстильных изделий», 140212.51 «Электроснабжение».
Ил. 11.
Табл. 8.
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент: к. т. н., доцент Н. Г. Неумоина
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2011
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6
Тема: Две основные задачи динамики.
Цель: Освоить решение первой и второй задачи динамики для
материальной точки, используя основные уравнения динамики и
метод кинетостатики.
Время проведения: 2 часа.





Последовательность выполнения:
изучить теоретический материал;
ответить на контрольные вопросы;
разобрать предложенные примеры решения задач;
разобрать предложенные примеры решения задач;
решить самостоятельно задачи по данной теме согласно своего
варианта.
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
1.1. Основной закон динамики. Две основные задачи динамики
Из основного закона динамики ma   Fк получаем дифференциальное уравнение движения материальной точки:
а) в декартовых координатах:
mx   Fкх ,
my   Fкy ,
(1)
mz   Fкz ,
где m – масса точки;
x, y, z – проекции ускорения на оси декартовых координат;
б) в естественных осях:
ms   Fк ,
m
s 2

  FKN ,
0   Fкв ,
3
(2)
где s – касательное ускорение;
s 2

– нормальное ускорение;
 – радиус кривизны траектории.
С помощью дифференциальных уравнений решают многие задачи динамики, которые можно свести к двум основным задачам.
Их называют первой (прямой) и второй (обратной) задачей динамики.
Первая задача – по заданным уравнениям движения материальной точки определить силу, под действием которой происходит
движением точки.
Порядок решения.
1. Определить траекторию точки, если она не задается, и сделать чертеж задачи.
2. Найти проекции ускорения на оси координат:
a x  x
a y  y
a  s
или
an 
v2

a z  z
3. Подставить эти проекции в дифференциальные уравнения
(1) и или (2) и определить проекции сил на оси координат:
mx   Fкх
my   Fкн
или
mz   Fz
ma   Fк
ma n   Fкn
4. Определить величину и направление силы:
F   Fкх 2   Fку 2   Fкz 2
    Fкх
cos F , i  
;
F


    Fкy
cos F , j  
;
F


    Fкz
cos F , к  
;
F


или F   Fк 2   Fкn 2 ;
    Fк
cos F ,   
;
F


    Fкn
cos F , n  
.
F


Вторая задача – по заданным силам, действующим на материальную точку, определить уравнение движения точки.
4
Порядок решения.
Выбрать систему координат. Начало удобно совмещать с
начальным положением точки.
2. Изобразить положение движущейся точки в произвольный
текущей момент времени.
3. Записать начальные условия движения точки.
4. Составить дифференциальные уравнения движения точки
(1) или (2).
5. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения.
6. Используя начальные условия, определить постоянные
интегрирования.
7. Установить закон движения точки и определить искомые
величины.
1.
1.2. Принцип Даламбера. Метод кинетостатики
1.2.1. Сила инерции материальной точки
Ф
M
а
а)
Ф
Фn
at t
Фt
Сила Ф , равна геометрической сумме
сил, с которой движущаяся точка действует
на тела, сообщающие ей ускорение, называется силой инерции материальной точки:
Ф  ma .
Сила инерции имеет направление, противоположное направлению ускорения a . Силу
инерции условно прикладывают к движущейся точке (рис. 1, а).
В случае криволинейного движения сила
инерции имеет две составляющие (рис. 1, б):
Ф  Ф  Фn ,
Ф  Ф2  Ф 2n ,
M
an
Ф  ma  m
a
dv
,
dt
Фn  man  m
б)
Рис. 1
5
v2

.
В случае вращательного движения сила
инерции раскладывается на вращательную
силу инерции Фвр и центробежную силу
Ф
Фц
Фц
Фвр
М
aвр
инерции Фц (рис. 2), т. е.:
Ф  Фвр  Фц ,
a
О
2
Ф  Фвр
 Ф2 ,
R
ц
Фвр  maвр  mR ,
Рис. 2
Фц  maц  m 2 R .
1.2.2. Принцип Даламбера
1) Для материальной точки.
В любой момент времени движения несвободной материальной точки геометрическая сумма активных сил, реакций связей,
действующих на точку, и силы инерции равна нулю, т. е.
R  N Ф  0 .
В проекциях на декартовы оси координат:
Rx  N x  Фx  0 ,
R y  N y  Фy  0 ,
R z  N z  Фz  0 .
В проекциях на естественные оси:
R  N  Ф  0 ,
Rn  N n  Фn  0 ,
RB  N B  0 .
Для механической системы:
В любой момент времени для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма главных векторов активных
сил, реакция связей и сил инерции материальных точек представляет систему сил, эквивалентную нулю, и к ней можно применять
все уравнения статики.
6
Порядок решения задач с применением принципа Даламбера
Сделать рисунок.
Изобразить все задаваемые силы.
Применить принцип освобождаемости от связей, наложенных на систему, изобразить реакции связей.
4. Добавить к задаваемым силам и реакциям связей силы
инерции точек системы.
5. Выбрать систему координат.
6. Составить уравнение по принципу Даламбера.
7. Определить неизвестные величины.
1.
2.
3.
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Что такое динамика?
Сформулируйте аксиомы динамики.
Сформулируйте основной закон динамики.
Физический смысл массы тела.
Что такое инертность?
Сформулируйте первую задачу динамики.
Сформулируйте вторую задачу динамики.
Запишите основной закон динамики для свободной материальной точки; для не свободной материальной точки.
Что такое сила инерции?
Как определяется сила инерции в случае криволинейного
движения?
Сформулировать принцип Даламбера.
В чем состоит метод кинетостатики?
Задание 1. Первая задача динамики
Условие задачи
Движение точки по прямой задано уравнением:
х = а  t3 + в  t + с,
где а, в, с (в м) – постоянные.
Найти силу F, действующую на точку в момент времени t.
Масса точки «m» кг. Чему равна скорость в этот момент?
№ вар.
а
в
с
m, кг
1
3
1
0
5
7
t, c
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
7
0
8
10
0
11
14
20
3
9
8
12
2
1
0
2
3
3
15
0
0
10
5
4
13
4
5
12
0
0
3
9
10
7
1
12
9
2
17
11
0
3
10
0
Условие задачи
Движение точки m = 1 кг задано уравнениями:
х = а  t2 + в  t + с,
у = а2  t2 + в2  t + с2,
где х и у – координаты точки (в м).
Определить силу, действующую на точку и скорость в момент времени t = 1 с.
№ вар.
а, м
а2, м
в1, м
в2, м
с1, м
с2, м
11
0
3
5
3
5
8
12
2
0
3
5
8
9
13
3
4
0
2
6
6
14
4
3
2
0
2
7
15
5
2
4
6
0
4
16
6
3
6
4
8
0
17
5
4
2
0
9
5
18
4
0
3
3
7
6
19
3
5
4
5
0
7
20
2
3
0
2
8
5
Условие задачи
Движение точки массой «m» задано уравнениями:
х = а  tn,
y = в  tк.
Определить силу, действующую на точку в момент времени «t».
Чему равна скорость в этот момент?
№ вар.
m, кг
а, м
в, м
n
к
t, c
21
3
0,1
0,05
1
3
4
22
2
0,05
0,2
2
1
5
23
1
1,0
0,05
3
1
3
24
4
0,05
0,1
1
3
2
25
5
0,01
0,2
2
2
2
26
2
0,02
0,1
3
1
4
27
3
0,1
0,03
1
3
5
28
1
0,3
0,05
2
3
3
29
5
0,02
0,4
3
1
1
30
4
0,2
0,3
1
3
6
8
Пример № 1
Движение точки массой m = 1 кг задано уравнениями:
х = 2t4 – t3 + 5 (м),
у = t3 + t2 – 7 (м).
Определить силу, действующую на точку и модуль скорости
точки в момент t = 1 с.
Решение
Для составления уравнений движения точки в проекциях на
оси координат продифференцируем два раза исходные уравнения:
x  8t 3  3t 2 ,
x  24t 2  6 t ,
y  6 t  2.
y  3t 2  2t ,
Уравнения движения в проекциях на оси координат:
a x m  Fx ,
a x  x  24t 2  6 t ,
a y  y  6 t  2.
a y m  Fy ,
В момент времени t = 1 с:
ах = 24 – 6 = 18,
ау =64 + 2 = 8.
Тогда, при m = 1 кг:
Fx = 18 H,
Fу = 8 H.
Модуль силы, действующий на точку в момент t = 1 с, равен:
F  Fx2  Fy2  18 2  8 2  19,74 ,
F = 19,74 H.
Направляющие косинусы силы:
cos  
Fx
18

 0 ,91,
F 19,7
cos  
Fy
F

18
 0 ,41.
19,7
При t = 1 с проекции скорости на оси равны:
V x  x  8t 3  3t 2  8  3  5 ,
V у  у  3t 2  2t  3  2  5.
Модуль скорости равен:
V  Vx2  V y2  5 2  5 2  7 ,1 ,
9
V = 7,1 м/с.
Задание 2. Первая задача динамики
Условие задачи
Автомобиль массой «m» движется по выпуклому мосту с радиусом
закругления «R» со скоростью «v».
Определить силу давления автомобиля на мост в наивысшей точке.
При какой скорости автомобиль оторвется от моста?
№ вар.
m, кг
Р, м
v, км/ч
1
1000
90
72
2
800
100
108
3
900
200
144
4
600
50
36
5
1200
120
90
6
1300
50
54
7
1100
80
72
8
850
100
108
9
950
90
90
10
1050
85
90
11
800
50
36
12
600
80
54
13
1100
100
72
14
1050
90
90
15
700
120
108
Условие задачи
Автомобиль массой «m» движется по вогнутому мосту с радиусом закругления «R» со скоростью «v».
Определить силу давления автомобиля на мост в низшей точке.
При какой скорости сила давления достигнет двойного веса автомобиля?
№ вар.
m, кг
Р, м
v, км/ч
16
900
200
144
17
100
90
72
18
1200
120
90
19
1100
80
72
20
950
90
90
21
800
50
36
22
800
100
108
23
1100
100
72
24
700
120
108
25
600
50
36
26
1300
50
54
27
850
100
108
10
28
29
30
1050
600
1050
95
80
90
90
54
90ж
Пример № 2
1
m
2
Рис. 3
Шарик массой m = 0,1 кг на нити равномерно
вращается в вертикальной плоскости со скоростью
V = 12 м/с (рис. 3). Длина нити ℓ = 1 м. Определить
натяжение нити в точках 1 и 2 . Какова допускаемая
скорость вращения, если разрывное усилие для нити
равно 20 Н?
Решение
V
1
an
mq
N1
n
В точке 1 на шарик действует сила тяжести и
реакция нити (рис. 4).
Шарик имеет ускорение an 
v2
.

Составляем уравнение движения в проекции
на нормаль:
Рис. 4
anm = mq + N1,
откуда:
V 2

 122

N1  an m - mq  m(an - q)  m
 q   0 ,1 
 10   13,4
 

 1





N1  13,4 H .
Уравнение движения для точки 2 (рис. 5):
anm = N1 – mq,
откуда:
 V2

 12 2

N 2  an m  mq  m 
 q   0 ,1 
 10   15,4
 

 1





N 2  15,4 H .
11
Для определения разрывной скорости используем уравнение
движения для шарика в точке 2:
n
V2
an
N2
2 mq
Рис. 5
 m  N  mq ,

откуда:
V раз 
( N   mq )
1( 20  0 ,1  10 )
0 ,1
V раз  13,9 м / с.
m

Задание 3. Вторая задача динамики
Условие задачи
Тело движется по наклонной шероховатой плоскости, которая образует с горизонтом угол . Коэффициент трения скольжения f. Определить
скорость в момент времени t. Определить скорость в момент времени t и
путь, пройденный телом за время t, если тело начало движения из состояния покоя.
№ вар.
f
t

1
30
0,1
2
2
45
0,2
3
3
60
0,3
4
Условие задачи
На материальную точку массой «m», которая находится на горизонтальной поверхности, действует вертикальная подъемная сила F. Определить время t, при которой начнется движение точки.
№ вар.
m, кг
F, Н
4
100
5 t2
5
200
40 t
6
150
15 t2
Условие задачи
Материальная точка массой «m» из состояния покоя движется по гладкой горизонтальной направляющей под действием силы F, вектор которой образует постоянный угол  с направляющей. Определить путь,
пройденный точкой за время t.
№ вар.
m, кг
F, Н
t

7
50
50
30
10
8
75
100
45
20
9
40
150
60
25
Условие задачи
Тело движется из состояния покоя вниз по плоскости, которая наклонена под углом  к горизонту. Определить, за какое время точка пройдет
путь S.
12

№ вар.
10
11
12
S, м
40
30
20
60
30
45
Условие задачи
Тело массой m из состояния покоя движется вверх
по гладкой наклонной плоскости по действием силы
F. Определить время, за которое тело переместится
на расстояние S.
F
a
№ вар.
13
14
15
F, Н
S, м

1
10
30
3
8
45
2
6
60
Условие задачи
Тело, которому сообщили начальную скорость
V0, скользит по гладким наклонным направляющим. Определить, через какое время скорость этого тела будет равна V.
m, кг
100
200
150
V0
a

№ вар.
16
17
18
45
60
30
V0
V0, м/с
V, м/с
5
10
4
15
6
20
Условие задачи
Тело, которому сообщили начальную скорость
V0, скользило по шероховатой горизонтальной плоскости и остановилось через tс. Найти коэффициент
скольжения.
№ вар.
19
20
21
V0, м/с
5
4
6
V0
a
№ вар.
22
tс, с
2
1
3
Условие задачи
Тело, которому сообщили начальную скорость V0,
скользило по шероховатой наклонной плоскости и
остановилось. Найти время движения до остановки,
если коэффициент трения скольжения f.
V0, м/с
20
f
0,1
13

30
23
24
25
30
0,2
45
0,3
30
Условие задачи
Материальная точка М движется по вертикали под
действием только силы тяжести. Определить, через
какое время эта точка достигает максимальной высоты, если её начальная скорость V0.
V0
M
№ вар.
25
26
27
V0, м/с
10
30
1,5
Условие задачи
На материальную точку массой m действует
сила постоянного направления, значение котоV0 F
рой изменяется по закону F = A const t. Определить скорость этой точки в момент времени t, если начальная скорость
точки V0.
№ вар.
m, кг
A
t, c
V0, м/с
28
1
4
0,5
1,5
29
2
5
1
2
30
3
6
2
1
Пример № 3
Тело массой m = 2 кг движется по горизонтальной прямой под
действием силы F = 20 Н, направленной под углом 30 к горизонту (рис. 6). Коэффициент трения f = 0.2. Определить путь, пройденный телом за t = 3 c, и скорость в этот момент, если начальная
скорость тела V0 = 3 м/с.
Решение
N
F
30
Fтр
O
x
mq
N
За начало отсчета примем точку О.
Ось
Х направим по направлению двиX
жения. Тогда начальные условия движения будут иметь вид:
t = 0; X0 = 0; Y0 = X0 = 3.
Рис. 6
14
Изобразим тело в промежуточном положении. На тело действуют силы F , сила трения Fтр = N  f, сила тяжести mq и нормальная реакция N = mq.
Составим дифференциальное уравнение движения:
Xm   Fx ,
Xm  F cos 30  F
т р,
Xm  F cos 30  mqf .
Разделим обе части уравнения на m = 2:
F cos 30
20  0 ,9
X 
 qf 
 10  0 ,2  4 ,
m
2
X  4.
Интегрируем это уравнение:
X  4t  C1 .
Постоянную интегрирования С1 найдем, используя начальные
условия:
при t = 0, X  V  V0  3, откуда С1 = 3.
Тогда X  4t  3.
Интегрируем второй раз:
Х= 2t2 + 3t + C2.
Из начальных условий при t = 0, Х = Х0 = 0, поэтому C2 = 0.
Путь пройденный телом за t = 3 с, будет равен:
Х= 2t2 + 3t = 2  32 + 3  3 = 27,
Х= 27 м.
Скорость в момент времени t = 3 с будет равна:
V  X  4t  3  4  3  3  15,
V  15 м / с.
Задание № 4. Принцип Даламбера
S
Условие задачи
Материальная точка массой «m» движется по окружно3
М сти радиуса «R» согласно закону движения S = t . Определить модуль силы инерции в момент времени «t».
R
15
№
вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m, кг
t, с
10
15
5
10
15
20
5
6
8
20
j
r
№
вар.
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
a

R, м
3
4
1
4
3
2
2
2
3
4
2
2
3
2
1
5
1
2
3
2
1
2
4
2
1
3
3
4
2
2
Условие задачи
Груз массой «m» подвешен на нити, которая наматывется на барабан, вращающийся согласно уравнению  =
Аtn. Определить натяжение нити в момент времени «t», если
радиус барабана равен «r».
m, кг
r, м
10
20
30
25
15
10
20
30
15
10
2
1
0,5
1
2
2
1
0,5
1
2,5
A
n
t, с
3
1
2
1,5
2
1
2
3
3
0,5
1
2
1
2
1
2
3
2
0,5
1
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3
Условие задачи
Шарик массой «m» на нити длиной «ℓ» вращается в горизонтальной плоскости со скоростью «V». Определить силу
натяжение нити.
O
M
№
вар.
21
22
23
m, кг
ℓ, м
V, м/с

0,2
0,4
0,3
0,5
0,3
0,2
2
4
3
30
45
60
16
24
25
26
27
28
29
30
0,8
0,6
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,4
1,0
0,2
0,5
0,8
0,2
0,2
2
5
3
2
4
3
2
30
45
60
30
45
60
30
Пример № 4
A
30
h
O
B
N
Фn
mq
Фt
По проволочному кольцу радиусом R = 2 м,
расположенному в вертикальной плоскости,
скользит без трения груз массой m = 1 кг (рис.
7). Из положения «А» груз отпущен без начальной скорости.
Определить реакцию исправляющего кольца в момент прохождения грузом положения В.
Рис. 7
Решение
В положение «В» на груз действует силы: сила тяжести «mq» и
реакция кольца N.
Присоединим к этим силам нормальную и касательную силы
инерции «ФП» и «Ф».
Согласно принципу Даламбера эта система находится в равновесии. Поэтому сумма проекций всех сил нормаль «ВО» должна
быть равна нулю:
N – mq – ФП = 0.
Отсюда, учитывая, что ФП  an m 
V2
m,
R
где V – скорость груза в точке «В», находим «N»:
N  mq  m
V2
.
R
Скорость груза в положении «В» можно определить, воспользовавшись теоремой об изменении кинетической энергии:
mV 2 mV02

 mqh .
2
2
Сокращая на «m» и учитывая, что V0 = 0 и h = 1,5 R, находим:
17
V  2 qh  2  10  1,5  2  7 ,7
V = 7,7 м/с.
Определяем реакцию кольца:

V 2  
7 ,7 2 
N  m q 
 10 
 40 .

R  
2 

Ответ: реакция кольца в положении «В» равна 40 кН.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7
Тема: Определение параметров движения материальной точки
с помощью общих теорем динамики.
Цель: Освоить решение задач динамики, используя общие
теоремы динамики.
Время проведения: 2 часа.
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1. Количество движения точки и системы
mv
Количеством движения материальной точки называется вектор, имеющий направление
M
скорости и модуль, равный произведению массы точки на скорость её движения – mv (рис.
8).
Рис. 8
Количеством движения механической
системы темы называется вектор, равный геометрической сумме
количеств движения всех точек данной системы:
K   m K v K или K  Mvc ,
где М – масса системы;
vc – скорость центра масс системы.
v
18
1.2. Импульс силы
Векторная величина, характеризующая передачу материальной точке механического движения со стороны действующих на
неё тел за данный промежуток времени, называется импульсом
силы,
Для постоянной по величине и направлению силы импульс
силы определяется по формуле:
S  F t ,
где t – время действия силы.
Для переменной силы:
F  f t ,
S  tt2 F dt .
1
Модуль импульса силы:
S  S x2  S y2  S z2 ,
где:
S x  tt2 Fx dt , S y  tt2 Fy dt , S z  tt2 Fz dt .
1
1
1
Направление импульса силы определяется с помощью направляющих косинусов:
   S
 
cos S , i   x , cos S ,

 S

 Sy
   S
j  
, cos S , K   z .
 S

 S
1.3. Теоремы об изменении количества движения
материальной точки и механической системы
Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке, за тот же промежуток времени:
mv2  mv1   S K .
В проекциях на декартовы оси координат:
mv 2 X  mv1 X   S KX ,
mv 2У  mv1У   S KУ ,
mv 2 Z  mv1Z   S KZ .
19
Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени:
K 2  K1   S Ke .
Задание 5. Количество движения и импульс силы
Условие задачи
Материальная точка массой m движется по прямой. Определить модуль импульса равнодействующий всех сил, действующих на точку за
первые t секунды, если она движется по закону S.
№ вар.
m, кг
t, c
S, м
1
0,5
5
4 t3
2
2
6
10 t2
3
5
4
2 t3
Условие задачи
V0 F
На материальную точку массой m действует сила постоянного направления, значение которой из-
меняется по
закону F. Определить скорость этой точки в момент времени t секунды,
если начальная скорость точки V0.
№ вар.
m, кг
F, Н
V0, м/с
t, c
2
4
1
5 t2
0
5
3
6t
1
3
6
2
4 t2
3
1
Условие задачи
Материальная точка М массой m движется по прямой под действием
постоянной силы F. Скорость точки за промежуток времени  = t2 – t1,
изменилась от V0 до V. Определить модуль силы F .
№ вар.
m, кг
t1, с
t2, с
V0, м/с
V, м/c
7
2
0
8
2
5
8
1
4
5
4
0
9
3
2
4
0
3
Условие задачи
Поезд движется по горизонтальному прямому участку пути. При торможении развивается сила сопротивления Fс, равная n% веса поезда. Через какое время поезд остановится, если его начальная скорость V0.
№ вар.
V0, м/с
n%
10
10
20
11
30
330
20
12
40
F
a
№ вар.
13
14
15
135
Условие задачи
Тело, которое скользит по гладким наклонным
направляющим, сообщили начальную скорость V0.
Определить через какое время тело достигнет максимальной высоты подъема.

V0, м/с
4
6
8
30
45
60
Условие задачи
Материальная точка массой m движется по горизонтальной прямой по
действием силы F, которая направлена по той же прямой. Определить
скорость точки в момент времени t, если при t0 = 0 скорость V0.
№ вар.
m, кг
F, Н
t, c
V0, м/с
16
800
250 t
15
5
17
900
300 t
10
8
18
1000
400 t
5
10
Условие задачи
Материальная точка массой m начала движение из состояния покоя по
горизонтальной прямой по действием силы F, которая направлена по той
же прямой. Определить путь, пройденной точкой за t секунд.
№ вар.
m, кг
F, Н
t, c
19
25
10 t
10
20
30
15 t
5
21
50
20 t
8
Условие задачи
Материальная точка М массой m движется по горизонтальной прямой
под действием силы F, которая направлена по той же прямой. Определить время, за которое скорость точки увеличится от V0 до V.
№ вар.
m, кг
F, Н
V0, м/с
V, м/c
22
100
10 t
5
25
23
120
12 t
10
20
24
150
15 t
10
25
Условие задачи
Тело массой m из состояния покоя движется по горизонтальной прямой под действием силы F, которая направлена под углом  к направлению движения. Определить путь, пройденный телом по истечении t секунд после начала движения.
№ вар.
F, Н
m, кг
t, с

25
30
15 t
20
15
26
45
40 t
25
20
27
60
50 t
30
10
21
Условие задачи
Материальная точка М массой m движется вдоль оси ОХ под действием силы F. Определить скорость точки в момент времени t, если её
начальная скорость VХ0
№ вар.
m, кг
F, Н
V0, м/с
t, c
28
0,5
-0,4 t
6
2
29
0,8
-0,6 t
8
5
30
1,0
-0,2 t
10
4
Пример № 5
На материальную точку массой m = 2 кг, движущейся по горизонтальной плоскости действует сила F постоянного направления.
Определить скорость этой точки V момент времени t = 3 c, если
начальная скорость точки V0 = 1 м/с, считая, что:
1) сила F постоянная и равна 2Н;
2) сила F изменяется по закону F = 2 sin t.
Решение
N
Изобразим точку в произвольном положении. На неё действуют: сила тяжести
X mq реакция плоскости N и сила F (рис.
mq
9).
Рис. 9
Направим ось ОХ в сторону движения. Используя теорему об изменении количества движения, запишем:
mVX - mVOX = SX.
Проекция на ось ОХ даёт только сила F.
Для первого случая, когда F постоянна:
SX = FХ  t = F t.
Тогда:
mV – mV0 = F t.
Отсюда:
O
F
V
V
F  t  m  V0 2  3  1  2

 4.
m
2
V  4 м / с.
Для второго случая, когда:
22
F = 2 sin   t,
2
2
 2
 4
S x  0t F  dt  0t 2 sin   dt    cos   t 03  cos    cos 0   .


 
 
Тогда:
4
mV  mV0 

.
Отсюда:
4
V 
Ответ: V = 4 м/с,
 mV0
m
4
 2 1
3 ,14

 1,63 м / с .
2
V = 1,63 м/с.
1.4. Работа постоянной и переменной силы
Величина, характеризующая эффект действия силы на некотором перемещении, называется работой силы.
F
Работа постоянной силы на прямолинейном
перемещении
a
M
M1
А = F ·S  cos 
S
t
Работа переменной силы
M
a M2
M1
M2
A  M
F  dS  cos 
1
F
M2
M1
H
M
Работа силы тяжести
А =  РН
+
P
O M1
Работа силы упругости
M2
Δx
x1
x2
23
X
A
-

C x12  x22
2

Z
Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу
F
j

A   M Bp  d
0
1.5. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия материальной точки называется мера её
механического движения, характеризующая способность движения передаваться в другие формы в эквивалентных количествах.
v
Кинетическая
энергия
mv 2
M
материальной точки
2
v1
Кинетическая
энергия
механической системы
M1
MK
Mn
v2
vK
vn
Кинетическая
энергия
при
поступательном
движении твердого тела
M2
v
C
T 
mK vK2
2
T
mvC2
2
Z
Кинетическая
энергия
при вращательном движении твердого тела
Кинетическая
энергия
при плоском движении
твердого тела
w
w
C
24
I 
T Z
2
vC
I CZ   2 m  vC
T

2
2
2
1.6. Теоремы об изменении кинетической энергии
Для материальной точки
Изменение кинетической энергии точки на некотором перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к точке на том
же перемещении:
mv 22 mv12

  AK .
2
2
Для механической системы
Изменение кинетической энергии механической системы на
некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы, на том же
перемещении:
i
T2  T1   AK  AK
.
Для твердого тела или любой неизменяемой механической системы
Изменение кинетической энергии твердого тела или любой
неизменяемой механической системы на некотором перемещении
равно сумме работ внешних сил, действующих на твердое тело
или систему, на том же перемещении:
T2  T1   AK .
2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое работа? Единицы измерения.
2. Как вычислить работу постоянной силы на прямолинейном
перемещении? Силы тяжести? Равнодействующей силы?
Переменной силы на криволинейном перемещении?
3. Что такое движущая сила? Сила сопротивления?
4. Что такое мощность? Единицы измерения.
25
5. Как вычисляется работа и мощность при поступательном
движении? При вращательном движении?
6. Что такое полезные и вредные сопротивления?
7. Что такое коэффициент полезного действия?
8. Как определить КПД при последовательном соединении
машин (механизмов)?
9. Что такое энергия? Потенциальная и кинетическая энергия? Единицы измерения.
10. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.
11. Что такое импульс силы?
12. Что такое количество движения?
13. Теорема об изменении количества движения точки.
14. Что называется механической системой?
15. Что влияет на движение механической системы?
16. Основное уравнение динамики вращающегося тела.
17. Что такое момент инерции тела?
18. Формула для определения момента инерции диска относительно его геометрической оси.
19. Что такое кинетический момент вращающегося тела?
Задание № 6. Теорема об изменении кинетической энергии
точки
Условие задачи
Шарик вращается вокруг точки О на нити длиной
ℓ. В точке А его скорость V0, а в точке В – V. На шарик
действует только сила тяжести.
A
a
O
ℓ
B
№
вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
ℓ, м
V0, м/с
V, м/с

Определить
0,5
1,0
0,8
0,2
0,2
0,4
0
2
1,0
0
1,0
0
3
2
3
1
2
3
-
90
60
120
30
135
45

26
V

ℓ
V0
V
ℓ
V
9
10
0,2
-
A
Д
a
4

2
90
ℓ
Условие задачи
По проволоке, изогнутой в виде дуги (дуга расположена в вертикальной плоскости) радиусом r,
скользит кольцо L. На кольцо действует только сила
тяжести. Скорость кольца в точке А равна V0, а в точке В – V.
2
1
r
B
№
вар.
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
r, м
V0, м/с
1
2
2,5
1,5
3
2
0,1
0,5
0
1
2
1
1,5
0
0
2
А
№
вар.
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
B
H
V
a
V, м/с

Определить
4

90
V
3
135
r
15
150
V0
180
V
2,5

1
210
r
235
V
2,5
180
V0
270
V
Условие задачи
Шарик вращается вокруг точки О на нити
длиной ℓ. В точке А его скорость V0, а в точке В – V. На шарик действует только сила
тяжести.
ℓ, м
V0, м/с
V, м/с

2
3
1
1.5
4
10
2
3
10
15
4
12
10
12
8
11
-
3
1
5
3
4
2
3
60
30
45
45
30
60
30
27
Определить
V
V
V0
H
V


H

V0
Пример № 6
h
H
ℓ
Камень скатывается с наклонной плоскости, край которой
находится на расстоянии h = 3 м от земли (рис. 10). Какова скорость у края наклонной плоскости (т. «В») и у земли (т. «С»)? Коэффициент рения на участке АВ – f = 0,2. Сопротивлением воздуха
пренебречь. Длина участка АВ – ℓ = 6 м, угол  = 60. Скорость
камня в точке «А» равна 0.
Решение
Задача
разбивается на две самостояA
Fтр
тельные задачи.
N
В первой рассматривается движение
mq
камня по наклонной плоскости АВ и определяется скорость камня в точке «В».
Во второй – движение камня по траекa B
тории ВС и определяется скорость в точке
«С».
mq
При движении камня по наклонной от
C
«А» до «В» на него действуют силы: сила
Рис. 10
тяжести «mq», сила трения «Fтр» и нормальная реакция «N».
Для определения скоростей камня воспользуемся теоремой об
изменении кинетической энергии.
На участке АВ изменение кинетической энергии будет равно:
mv B2 mv 2A

.
2
2
Работа сил на этом перемещений будет равна:
mqH – Fтр  ℓ
Сила «N» работы не совершает, т. к. она перпендикулярна перемещению.
Тогда учитывая, что:
VA = 0, Fтр = mq cos   f, H = ℓ  sin ,
получим:
mv B2
 mq    sin     f  cos  .
2
Сокращаем на «m» и определяем:
28
VB  2q(sin  cos   f )  2  10  6( 0 ,5  0 ,9  0 ,2  6 ,2.
VВ = 6,2 м/с.
При движении камня по траектории ВС на него действует
только сила тяжести «mq».
Изменение кинетической энергии:
mv C2 mv B2

.
2
2
Работа сила тяжести равна «mqh».
Тогда:
mv C2 mv B2

 mqh .
2
2
Сокращаем на «m» и определяем VС:
VC  VB2  2qh  6 ,2 2  2  10  3  9 ,9 м/с.
Ответ: VВ = 6,2 м/с; VС = 9,9 м/с.
Задание № 7. Теорема об изменении кинетической энергии
точки
Задача № 1. Тело m = 0,5 кг поднимается вверх с начальной
скоростью 8 м/с по гладкой наклонной плоскости, составляющей
угол 30 с горизонтом. Коэффициент трения принять 0,3. На тело
действует сила, равная 0,85 Н, направленная в сторону движения.
Зная пройденный путь 2 м, Определить конечную скорость.
Задача № 2. Груз m = 5 кг перемещают на S = 4 м с помощью
троса. Сила тяги F = 14 H и составляет с горизонтом  = 30.
Определить коэффициент трения скольжения груза о поверхность,
если его скорость изменилась от 0 до 2 м/с.
Задача № 3. Какова длина разбега самолета, вес которого Р =
180 кН, тяга, развиваемая двигателем F = 40 кH, общая сила сопротивления R = 10 кН, взлетная скорость V = 216 км/ч?
Задача № 4. Шарик весом Р = 0,3 Н вложен в вертикально поставленный самострел, пружина которого сжата на h = 15 см. Ко-
29
эффициент жесткости пружины с = 3 Н/см. С какой скоростью
шарик вылетает из самолета?
Задача № 5. При движении материальной точки m = 5 кг по
горизонтальной шероховатой поверхности её скорость изменилась
с V0 = 4 м/с до V = 8 м/с, на точку действует сила F = 34.4 H, составляющая угол  = 45 с направлением движения. Определить
пройденное материальной точкой расстояние, если коэффициент
трения f = 0,15.
Задача № 6. Тело m = 5 кг поднимается вверх с начальной
скоростью V0 = 12 м/с по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол 60 с горизонтом. Коэффициент трения скольжения
принять f = 0,05. На тело действует сила F = 100 Н, направленная
в сторону движения. Зная пройденный путь S = 8 м, Определить
конечную скорость.
Задача № 7. При движении материальной точки m = 50 кг по
горизонтальной шероховатой поверхности её скорость изменилась
с V0 = 5 м/с до V1 = 10 м/с. На точку действует сила Р = 100 Н, составляющая угол 30 направлением движения. Определить пройденное материальной точкой расстояние, если коэффициент трения f = 0,1.
Задача № 8. Тело m = 0,8 кг поднимается вверх с начальной
скоростью V0 = 5 м/с по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол 45 с горизонтом. Коэффициент трения f = 0,2. На тело
действует сила, F = 7,6 Н, направленная в сторону движения. Зная
пройденный путь S = 5 м, определить конечную скорость.
Задача № 9. При движении материальной точки m = 0,4 кг по
горизонтальной шероховатой поверхности, её скорость изменилась
с V0 = 2 м/с до V1 = 4 м/с. На точку действует сила F = 1,36 Н, составляющая  = 150, с направлением движения. Определить
пройденное материальной точкой расстояние, если коэффициент
трения f = 0,1.
30
Задача № 10. Скорость саней при спуске с горы ( = 30), изменяется от 0 до 8 м/с. Коэффициент трения скольжения f = 0,1.
Определить высоту горы.
Задача № 11. Груз массой m = 5 кг перемещают на расстояние
S = 4 м с помощью троса. Сила тяги F = 3 Н и составляет с горизонтом  = 30. Определить коэффициент трения скольжения груза о поверхность, если его скорость изменилась от 0 до 2 м/с.
Задача № 12. По наклонной плоскости (угол  = 45) спускается без начальной скорости тяжелое тело. Коэффициент трения f
= 0,15. Какую скорость будет иметь тело, пройдя расстояние S =
0,3 м ?
Задача № 13. По наклонной плоскости (угол  = 45) вверх
движется автомобиль. Проделав путь S = 8 м, он останавливается.
Определить начальную скорость автомобиля, если коэффициент
трения f = 0,2.
Задача № 14. При движении материальной точки m = 0,8 кг по
горизонтальной шероховатой поверхности её скорость изменилась
с V0 = 5 м/с до V1 = 10 м/с. На точку действует сила F = 1,9 Н, составляющая (угол  = 45) с направлением движения. Определить
пройденное материальной точкой расстояние, если коэффициент
трения f = 0,08.
Задача № 15. Груз m = 6 кг с помощью троса перемещают по
горизонтальной поверхности. В начальной момент скорость была
V0 = 2 м/с, а через 2 м она стала V1 = 4 м/с. Определить натяжение
троса, если коэффициент трения скольжения f = 0,1. Трос расположен под углом  = 30 к горизонту.
Задача № 16. Тело m = 3 кг поднимается вверх с начальной
скоростью V0 = 2 м/с по негладкой наклонной плоскости (угол  =
30). Коэффициент трения скольжения f = 0,2. На тело действует
сила, F = 39,6 Н, направленная в сторону движения. Зная пройденный путь S = 2,5 м, определить конечную скорость.
31
Задача № 17. При торможении вагон проходит путь до остановки S = 8 м. Определить начальную скорость вагона, если коэффициент трения скольжения f = 0,75.
Задача № 18. При движении груза по горизонтальной шероховатой поверхности m = 0,4 кг, скорость его изменилась с V0 = 4 м/с
до V1 = 6 м/с. На точку действует сила F = 2 Н, составляющая
(угол  = 60) с направлением движения. Определить пройденный
путь, если коэффициент трения скольжения f = 0,1.
Задача № 19. Вагонетка движется по наклонной плоскости
(угол  = 60), скорость её изменяется от V0 = 0 м/с до V1 = 5 м/с.
Определить пройденный путь, если коэффициент трения скольжения f = 0,1.
Задача № 20. При движении груза m = 1 кг по горизонтальной
шероховатой поверхности, его скорость изменилась с V0 = 6 м/с до
V1 = 10 м/с. На точку действует сила F = 10 Н, составляющая (угол
 = 135) с направлением движения. Определить пройденный
путь, если коэффициент трения f = 0,1.
Задача № 21. Тело m = 0,8 кг поднимается вверх с начальной
скоростью V0 = 9 м/с по наклонной плоскости (угол  = 60). Коэффициент трения f = 0,2. На тело действует сила F = 16 Н,
направленная в сторону движения. Зная пройденный путь S = 3 м,
определить конечную скорость.
Задача № 22. По канатной железной дороге с уклоном = 30
к горизонту опускается вагонетка m = 500 кг. Определить натяжение каната при торможении вагонетки в конце спуска, если
начальная скорость её V0 = 2 м/с, пройденный путь S = 2 м. Коэффициент трения колес вагонетки о дорогу f = 0,01.
Задача № 23. По наклонной плоскости, составляющей угол 
= 60 с горизонтом, спускается без начальной скорости тяжелое
тело. Коэффициент трения f = 0,1. Какую скорость будет иметь тело, пройдя расстояние S = 4 м?
32
Задача № 24. Тело m = 6 кг поднимается вверх с начальной
скоростью V0 = 5 м/с по негладкой наклонной плоскости (угол  =
45). Коэффициент трения f = 0,1. На тело действует сила F = 20
Н, направленная в сторону движения. Зная пройденный путь S = 2
м, определить конечную скорость.
Задача № 25. Груз спускается по наклонной плоскости (угол 
= 45) без начальной скорости. Коэффициент трения f = 0,5. Какую скорость будет иметь груз, пройдя расстояние S =2 м?
Задача № 26. Шарик весом Р = 0,2 Н вложен в вертикально
поставленный самострел, пружина которого сжата на f = 0,2 см.
Коэффициент жесткости пружины с = 2 Н/см. С какой скоростью
шарик вылетит из самострела?
Задача № 27. При торможении автомобиль до остановки проходит путь S = 25 м. Определить начальную скорость автомобиля,
если коэффициент трения колес об асфальт при торможении f =
0,2.
Задача № 28. По наклонной плоскости (угол  = 45) спускается без начальной скорости тяжелое тело. Коэффициент трения f
= 0,04. Какую скорость будет иметь тело, пройдя расстояние S = 6
м.
Задача № 29. Тело m = 9 кг поднимается вверх с начальной
скоростью V0 = 10 м/с, по негладкой наклонной плоскости составляющей угол  = 60 с горизонтом. . На тело действует сила F =
180 Н, направленная в сторону движения. Зная пройденный путь S
= 10 м, определить конечную скорость. Коэффициент трения f =
0,3.
Задача № 30. По наклонной плоскости (угол  = 30) спускается без начальной скорости тяжелое тело. Коэффициент трения f
= 0,33. Какую скорость будет иметь тело, пройдя расстояние S = 1
м?
33
Пример № 7
Тело m = 4 кг поднимается вверх с начальной скоростью VО
=14 м/с по негладкой плоскости (угол  = 45) (рис. 11).
Коэффициент трения скольжения f = 0,5. На тело действует
сила F = 80 Н, направленная в сторону двиx жения. Зная пройденный путь S = 5 м, опреy
F
делить конечную скорость.
Решение
Fтр
a
P
Рис. 11
К грузу приложены следующие силы:
P – сила тяжести; Fт р – сила трения;
N – нормальная реакция наклонной плоскости;
F – сила тяжести.
Применяем теорему об изменении кинетической энергии точ-
ки:
mv12 mv02

  AK .
2
2
(1)
Работа А равнодействующей сил, приложенных к телу, равна
алгебраической сумме работ составляющих сил:
(2)
 AK  A( P )  A( F )  A( N )  A( Fтр ).
Так как реакция N перпендикулярна перемещению, то:
A( N )  0.
(3)
Работа силы тяжести отрицательна, т. к. груз поднимается
вверх, равна:
A( P )   P  h ,
(4)
где Р = mq = 40 H.
h
 sin 45  h  S  sin 45  5  0 ,7  3,5 м,
S
A( P )  40  3,5  140 (Дж).
Работа силы трения отрицательна, т. к. эта сила направлена в
сторону, противоположную направлению движения груза, и равна:
A( Fт р )   Fт р  S .
(5)
Сила трения скольжения определяется формулой:
34
Fтр = f  N.
(6)
Нормальная реакция определяется из уравнении:
Fiy = 0;
N = P  cos 45 = 0   N = P  cos 45,
N = mq  cos 45 = 4  10  0,7 = 28 (H).
Подставляя значение N = 28 (H) в формулу (6),находим силу
трения:
Fтр = 0,5  28 = 14 (Н).
Подставляя значение Fт р в формулу (5),находим работу силы
трения:
А( Fт р ) = -14  5 = -70 (Дж).
(7)
Работа силы F определяется:
А( Fт р ) = F  S,
А( F ) = 80  5 = 400 (Дж).
(8)
Подставляя значения (3), (4), (7), (8) в формулу (2), находим
сумму работ сил, приложенных к телу:
Аi = 0 – 140 – 70 + 400 = 190 (Дж).
Для данного случая уравнение изменения кинетической энергии принимает вид:
4v12 4  14 2

 190,
2
2
2v12  392  190,
2v12  392  190,
2v12  582.
Откуда определяем конечную скорость:
v1  291  17 м/с.
Ответ: v1 = 17м/с.
35
Список литературы
1. Вереина, Л. И. Техническая механика: учебник для проф. образования / Л. И. Вереина. – 4-е изд., стер. – М.: Издательский
центр «Академия», 2007. – 224 с.
2. Олофинская, В. П. Курс лекций с вариантами практических и
тестовых заданий: учеб. пособие / В. П. Олофинская. – М.:
ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003. – 349с.: ил. – (Серия «Профессиональное образование»).
3. Эрдеди, А. А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов: учеб. пособие для техникумов / А. А. Эрдеди, Н. А.
Эрдеди. – М.: Высшая школа: Академия, 2001. – 318 с.
4. Аркуша, А. И. Техническая механика. Теоретическая механика
и сопротивление материалов: учеб. пособие для сред. проф.
учеб. заведений / А. И. Аркуша. – М.: Высшая школа, 2005. –
352 с.: ил.
5. Аркуша, А. И. Техническая механика. Теоретическая механика
и сопротивление материалов: учебник для сред. спец. учеб. заведений / А. И. Аркуша. – М.: Высшая школа, 2002. – 352 с.:
ил.
36