3.2. Прохождение детерминированных сигналов через линейные устройства 3.2.1. Основные понятия и соотношения Различают следующие основные задачи динамики. 3.2.1.1. Экспериментальное определение динамических характеристик устройства Устройство рассматривается как “черный ящик” и оценивается его реакция на испытательные сигналы (t) и 1(t). Зная в результате эксперимента весовую функцию g(t) или переходную функцию h(t), можно на основании (3.6) или (3.9) определять или комплексный коэффициент передачи К(j) или передаточную функцию К(р). 3.2.2.2. Определение спектра выходного сигнала Спектр выходного сигнала y(t) находится на основании (3.1). Решение данной задачи в общем случае имеет вид (3.15) Fу ( j) K ( j) Fx ( j) K ( j) Фx(t ) . или, учитывая (3.6), Fу ( j) Фg(t ) Фx(t ) . (3.16) Выбор алгоритма решения зависит от вида заданной динамической характеристики устройства. Спектр амплитуд и фаз выходного сигнала можно выразить через соответствующие частотные характеристики воздействия и устройства. На основании (3.2), (3.15) и (1.8) имеем F y ( j) A y ()e j y () K ()e j() A x ()e j x () A x ()K ()e j ( ) x ( ) . Отсюда следует A y ( ) A x ( ) K ( ) ; (3.17) y ( ) x ( ) ( ) . (3.18) В случае ЛУ с переменными параметрами, когда коэффициент передачи зависит от времени и равен K (t ) , целесообразно сначала находить отклик устройства во временной области, а затем, используя прямое преобразование Фурье, спектр выходного сигнала (3.19) Fy ( j) Фy(t ) ФK (t ) x(t ) . 3.2.1.3. Определение выходного сигнала у(t) при заданных входном сигнале x(t) и характеристиках устройства К(j) или К(р) Эту задачу можно решать тремя методами. 1. Спектральный метод. Алгоритм решения определяется равенством y(t ) 1 F y ( j) 1 F x ( j) K ( j) 1 K ( j) x(t ) . (3.20) Процесс прохождения сигнала через ЛУ на основе спектрального представления сигнала поясняет схема на рис.3.2.1. Решение задачи сводится к следующему. Определяется спектр входного сигнала. Умножая его на комплексный коэффициент передачи, находят спектр выходного сигнала. Затем, применив обратное преобразование Фурье, получают отклик устройства. y(t) Fy(j) x (t) Fx(j) K(j) Fy(j)= Fx(j)•K(j) Рис.3.2.1 2. Операторный метод. Порядок решения следует из равенства y(t ) L1Y( p) L1X( p) K ( p) L1 K ( p) L x(t ) . (3.21) Этот метод подобен спектральному и отличается применением преобразования Лапласса. 3. Временной метод. Так как F y ( j) F x ( j) K ( j) F x ( j) F g ( j) , где F g ( j) - спектральная функция импульсной функции g(t), то согласно теореме о свертке t F x j F g j x gt d 0 t xt gd xt gt , 0 где - обозначение свертки двух функций. t Следовательно, yt x g t d xt gt . 0 (3.22) 3.2.1.4. Оценка динамической погрешности преобразования Качество работы реального устройства в динамическом режиме оценивается динамической погрешностью, которая обычно устанавливается путем сопоставления результатов преобразования входного сигнала для идеального и реального устройства. Под динамической погрешностью во временной области понимают разность откликов реального и идеального ЛУ, т.е. (t ) y ре ал(t ) y ид е ал(t ) . (3.23) Динамическую погрешность можно определить и в частотной области как преобразование Фурье функции (t ) , а именно F j K j K ид j F x j или p K p K ид p X p , (3.24) где K(j) и Kид(j) - комплексные частотные коэффициенты передачи соответственно реального и идеального устройств. При этом (t ) Ф 1 F ( j) . Отсюда следует, что динамическая погрешность зависит как от характеристик устройства, так и от вида входного сигнала. Вид комплексного коэффициента передачи идеального устройства зависит от характера его преобразования (масштабирование, дифференцирование, интегрирование и т.д.) и от формулировки требований, предъявляемых к операции преобразования. В технике наиболее распространенной операцией является масштабирование. Масштабирующее устройство (датчик) должно обеспечивать неискажаемую передачу входного сигнала. Для этого достаточно, чтобы отклик был точной копией входного сигнала. При этом допускается различие в амплитуде, так как важна форма, а не величина отклика. Кроме того, часто допускается запаздывание во времени выходного сигнала относительно воздействия. Поэтому можно считать, что сигнал x(t) передается без искажений, если отклик устройства y(t ) K x(t t 0 ) , где K - масштабный коэффициент, равный частотному коэффициенту передачи K(0) на нулевой частоте, и t 0 - время запаздывания. На основании свойства временного сдвига преобразования Фурье имеем F y ( j) K ид ( j)F x ( j) K (0)F x ( j)e jt 0 . Следовательно, при масштабировании идеальное (неискажающее) устройство должно иметь комплексный коэффициент передачи K ид ( j) K ид () e j ид ( ) K (0)e jt 0 . (3.25) Отсюда следует, что АЧХ такого утройства должна быть постоянна на всех частотах и равна K(0), т.е. K ид () K (0) . С другой стороны, ФЧХ должна быть линейной функцией частоты, т.е. ид () t 0 . Если запаздывание выходного сигнала недопустимо, то ФЧХ ид () 0 . 3.2.1.5. Определение энергетических характеристик выходного сигнала Задача определения энергетических характеристик выходного сигнала решается на основании теоремы Парсеваля и понятия энергетических характеристик в частотной области. В результате на выходе имеем: а) спектральную плотность энергии 2 2 E y () F y ( j) K ( j)F x ( j) K 2 ()E x () K p ()E x () , где E x () - спектральная плотность энергии входного сигнала, E x () F x ( j) 2 (3.26) A 2x () ; 2 K p () K ( j) K 2 () - частотный коэффициент передачи мощности; б) энергию 1 Ey 0 2 1 1 F y ( j) d K 2 ()E x ()d K 2 ()A 2x ()d ; 0 (3.27) 0 в) спектр плотности мощности 2 S y () lim Fy t m tm 2 ( j) tm K ( j)F y lim t m tm ( j) tm K 2 ()S x () , (3.28) где S x () - спектральная плотность мощности входного сигнала; г) среднюю мощность Py 1 1 S y ()d K 2 ()S x ()d . 0 0 Для периодических сигналов формула (3.29) с учетом (1.10) приводится к виду (3.29) Py k 0 K 2 ( k )Px ( k ) a 20x K 2 (0) 1 2 A 2kx K 2 ( k ) . (3.30) k 1 3.2.1.6. Коррекция динамических характеристик устройства При разработке масштабирующих устройств для улучшения их динамических свойств стремятся по возможности получить постоянную АЧХ в широком диапазоне частот. Расширение полосы пропускания устройства можно достигнуть путем включения корректирующих звеньев со специально подобранной комплексной частотной характеристикой. Корректирующие звенья обычно включают последовательно и в виде отрицательной обратной связи (рис.3.2.2). x(t) “-” y(t) x(t) K(j) y(t) K(j) K1(j) Koc(j) Рис.3.2.2 Условие последовательной идеальной коррекции K ( j) K const , где K ( j) K ( j)K 1 ( j) . Отсюда следует, что последовательное корректирующее звено должно иметь комплексный коэффициент передачи вида K . (3.31) K 1 ( j) K ( j) В случае коррекции посредством отрицательной обратной связи, когда K ( j) , K ( j) 1 K ( j)K oc ( j) необходимо выполнение условия K(j)Koc(j)>>1. Тогда получим 1 , K ( j) K oc ( j) (3.32) т.е. частотные характеристики скорректированного устройства определяются звеном обратной связи. В частности, при Koc(j)= получим идеальную коррекцию путем введения отрицательной обратной связи K ( j) 1 .