Цель курса - освоение ... аналитической геометрии, изучение способов решения ... ПРОГРАММА КУРСА

ПРОГРАММА КУРСА
"ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ
Цель курса - освоение студентами фундаментальных знаний в области линейной алгебры и
аналитической геометрии, изучение способов решения задач методами линейной алгебры и
аналитической геометрии.
Задачами данного курса являются:
формирование базовых знаний в области линейной алгебры и аналитической геометрии
как дисциплины, интегрирующей общематематическую подготовку прикладных
математиков и физиков и обеспечивающей технологические основы современных
инновационных сфер деятельности;
 обучение студентов принципам применения основных понятий линейной алгебры;

Содержание дисциплины
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Разделы и темы
лекционных
занятий
Аналитическая
геометрия
и
векторная
алгебра
Матрицы и
системы
линейных
уравнений
Линейные
пространства
Содержание
Основные понятия линейной алгебры и аналитической
геометрии. Система координат, координатное пространство
Матрицы и векторы. Сложение и умножение на число, свойства
линейных операций. Линейная зависимость матриц. Умножение
матриц, его свойства. Матричная запись системы линейных
уравнений.
Линейные подпространства, примеры и свойства. Пересечение и
сумма подпространств, их свойства. Прямая сумма
подпространств. Теорема о размерности суммы двух
подпространств.
Линейные
Линейные операторы, определение и свойства. Ядро и образ.
отображения
Ядро и образ оператора. Матрица оператора, ее изменение при
линейных
замене базисов. Изоморфизм линейных пространств. Линейные
пространств.
операции над отображениями, композиция (произведение)
операторов. Линейные операторы, действующие в одном
пространстве.
Характеристический многочлен. Характеристическое уравнение,
собственные числа и собственные векторы. Условия приведения
матрицы оператора к диагональному виду. Аннулирующие
многочлены. Теорема Гамильтона--Кэли.
Евклидовы
и Евклидовы пространства. Определение и примеры. Неравенства
унитарные
Коши--Буняковского и треугольника. Ортонормированные
пространства
базисы. Ортогонализация Грама--Шмидта. Подпространства и
ортогональные дополнения. Изоморфизм евклидовых
пространств. Матрица Грама. Объём $n$-мерного
параллелепипеда. Унитарные пространства. Билинейные,
полуторалинейные и эрмитовы формы. Эрмитово скалярное
произведение. Подпространства и ортогональныедополнения.
Операторы в
Сопряженный оператор и его свойства. Самосопряжённые
евклидовых и
операторы. Собственные значения и собственные векторы
унитарных
пространствах
7
8
9
10
самосопряжённых операторов.
Приведение матрицы самосопряжённого оператора к
диагональному виду.
Ортогональные и унитарные преобразования. Собственные
значения и собственные векторы ортогональных и унитарных
преобразований.
Канонический вид матриц ортогональных и унитарных
преобразований.
Билинейные
и Билинейные и квадратичные формы. Симметричные,
полуторалинейн кососимметричные и эрмитовы формы. Ортогональность в
ые формы
смысле форм. Ядро и невырожденность (косо)симметричной
формы. Разложение пространства в прямую сумму
подпространств, ортогональных в смысле форм. Метод
Лагранжа приведения к сумме квадратов. Теорема Якоби.
Положительно и отрицательно определенные формы. Критерий
Сильвестра.
Билинейные и
Билинейные и квадратичные формы в евклидовых
полуторалиней- пространствах. Приведение к каноническому и нормальному
ные формы в
видам пары форм, одна из которых знакоопределённа.
евклидовых
Главные оси и собственные числа.
пространствах.
Кривые второго Квадратичная форма кривой второго порядка. Приведение
порядка
на формы к каноническому виду. Классификация кривых второго
плоскости.
порядка. Эллиптический, гиперболический и параболический
случаи.
Поверхности
второго порядка
в пространстве
Квадратичная форма поверхности второго порядка. Приведение
формы к каноническому виду. Классификация поверхностей
второго порядка.
Контрольная работа № 1
Контрольная работа № 2
Контрольные вопросы к зачетам и экзаменам
Основная литература.
1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:
Физматлит, 2005.
2. Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Физматлит, Изд.3, стереотип.
2008.
3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981.
4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984.
Дополнительная литература.
1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1979.
2. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука, 1983.