Решение простейших тригонометрических уравнений и

Всероссийский дистанционный конкурс
«Мозаика презентаций»
Решение простейших
тригонометрических уравнений
и неравенств
Математика
10 класс
Учитель математики МКОУ
«Никольская СОШ»
Новоусманского района
Воронежской области
Елесина Светлана Валериевна
Содержание
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Уравнение sinx=a
Уравнение cosx=a
Уравнения tgx=a, ctgx=a
Тренажёр(реши уравнения)
Неравенства sinx > a, sinx ≥ a
Неравенства sinx < a, sinx ≤ a
Неравенства cosx > a, cosx ≥ a
Неравенства cosx < a, cosx ≤ a
Неравенства tgx > a, ctgx ≥ a
Неравенства tgx<a, ctgx ≤ a
Неравенства a<sinx<b, a≤cosx≤b
Тест(ответь на вопросы)
Литература и интернет - ресурсы
2
Уравнение sinx=a
sinx=a
-1≤a≤1, x∊R
x=(-1)narcsina+πn, n∊Z
arcsin(-a)=-arcsina
Частные случаи:
1)sinx=0, x=πn, n∊Z
2) sinx=1, x=π/2+ 2πn, n∊Z
3) sinx=-1, x=-π/2+ 2πn, n∊Z
y
π
2
1
5π
6
π
6
½
π
0
-1
0
1
х
Пример:
sinx= ½
x=(-1)n π/6+πn, n∊Z
x1= π/6+2πn, n∊Z
x2=5π/6+2πn, n∊Z
-π
2
-1
3
Уравнение cosx=a
cosx=a
-1≤a≤1, x∊R
x=±arccosa+2πn, n∊Z
arccos(-a)=π-arccosa
Частные случаи:
1)cosx=0, x= π/2+ πn, n∊Z
2) cosx=1, x= 2πn, n∊Z
3) cosx=-1, x=π+ 2πn, n∊Z
Пример:
cosx= ½
x=± π/3+2πn, n∊Z
x1= π/3+2πn, n∊Z
x2=-π/3+2πn, n∊Z
π
2
y
π
3
1
π
0
-1
0
3π
2
½
-1
1
x
-π
3
4
Уравнения tgx=a, ctgx=a
tgx=a
x≠ π/2+ πn, n∊Z; a∊R
x=arctga+πn, n∊Z
arctg(-a)=-arctga
ctgx=a
x≠ πn, n∊Z; a∊R
x=arcctga+πn, n∊Z
arcctg(-a)=π-arcctga
Пример:
tgx=-1
x= -π/4+πn, n∊Z
ctgx=1
x= π/4+πn, n∊Z
y
π
2
ctgx
1
π
4
π
0
x
3π
2
-π
4
-1
tgx
5
Тренажёр(реши уравнения)
1) tgx= 1/√3
2) ctgx= 1/√3
3) tgx= 1
4) sinx= √3/2
5) sinx= 2
6) sinx= - 1/2
7) cosx= - 2
8) cosx= 1/2
9) cosx= - √3/2
10) ctgx= √3
11) tgx= √3
12) ctgx= 1
13) cosx= 1
Т
Р
И
Г
О
n
( -1) П/3+Пn,nєZ
±5П/6+2Пn,nєZ
П/4+Пn,nєZ
±П/3+2Пn,nєZ
n+1
( -1) П/6+Пn,nєZ
Нет решения
П/3+Пn,nєZ
П/6+Пn,nєZ
2Пn,nєZ
Г
Е
И
М
Н
О
Р
Т
Я
Н
О
М
Е
Т
Р
И
Я
6
Неравенства sinx>a, sinx≥a
1)sinx> ½
5π
6
2) sinx≥ - ½
1
π
6
1
½
-½
-1
7π
6
-1
-π
6
Ответ: 1)π/6+2πn <x< 5π/6+2πn, n∊Z
2) -π/6+2πn ≤x≤ 7π/6+2πn, n∊Z
7
Неравенства sinx<a, sinx≤a
1)sinx< ½
2) sinx≤ - ½
y
y
-7π
6
π
6
½
0
x
0
-5π
6
-½
x
-π
6
Ответ: 1)-7π/6+2πn <x< π/6+2πn, n∊Z
2) -5π/6+2πn ≤x≤ -π/6+2πn, n∊Z
8
Неравенства cosx>a, cosx ≥ a
1)cosx> ½
2)cosx≥- ½
y
π
3
2π
3
½
0
-½
x
-π
3
y
0
x
-2π
3
Ответ: 1)-π/3+2πn <x< π/3+2πn, n∊Z
2) -2π/3+2πn ≤x≤ 2π/3+2πn, n∊Z
9
Неравенства cosx<a, cosx ≤ a
1)cosx< ½
2)cosx≤ - ½
у
π
3
2π
3
½
-½
х
0
5π
3
у
0
х
4π
3
Ответ: 1)π/3+2πn <x<5π/3+2πn, n∊Z
2) 2π/3+2πn ≤x≤ 4π/3+2πn, n∊Z
10
Неравенства tgx>a, ctgx≥a
1)tgx>1
2)ctgx≥-1
π
2
y
π
4
1
y
1
-1
3π
4
0
x
-1
1
x
-1
Ответ: 1)π/4+πn <x<π/2+πn, n∊Z
2) πn< x≤ 3π/4+πn, n∊Z
11
Неравенства tgx ≤ a, ctgx<a
1)tgx≤1
2)ctgx<-1
π
2
y
π
4
1
y
1
-1
3π
4
π
0
-π
2
x
-1
0
0
1
x
-1
Ответ: 1)-π/2+πn <x≤π/4+πn, n∊Z
2) 3π/4+πn< x < π+πn, n∊Z
12
Неравенств a<sinx<b, a≤cosx≤b
2) - ½ ≤cosx≤ ½
1) - ½ <sinx< ½
y
1
½
π
3
π
6
0
x
-½
y
2π
3
-½
0
½
x
-π
6
-1
Ответ: 1)-π/6+πn <x<π/6+πn, n∊Z
2) π/3+πn≤ x ≤ 2π/3 +πn, n∊Z
13
Тест(ответь на вопросы)
Верно
1)Имеет ли решение уравнение sinx=1,2?
Да
Верно
Верно
Верно
Верно
Нет
-1 ≤cosx≤ 1
3)Имеет ли решение уравнение tgx=5,3?
Да
Верно
-1 ≤sinx≤ 1
2)Имеет ли решение уравнение cosx=-0,6?
Да
Верно
Нет
Нет
tgx∊R
4) Имеет ли решение уравнение ctgx=-2,1?
Да
Нет
сtgx∊R
Да
Нет
-1 ≤sinx≤ 1
Да
Нет
-1 ≤cosx≤ 1
5) Имеет ли решение неравенство sinx<-0,7?
6)Имеет ли решение неравенство cosx<-1,7?
7)Имеет ли решение неравенство tgx>-4,7?
Да
Нет
tgx∊R
14
Литература и интернет-ресурсы
 Шаблон презентации - автор: Ранько Елена Алексеевна. Сайт:
http://elenaranko.ucoz.ru
 Алгебра и начала анализа 10 кл. Учебник для общеоб.
учреждений. Базовый и профильный уровень С. М.
Никольский и др. М.: Просвещение, 2013г.
 Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10
класса базовый и профильный уровни 3 –е издание, - М.
Просвещение, 2013. Авторы: М. К. Потапов и А. В. Шевкин,
 Алгебра и начала математического анализа. Тематические
тесты для 10 класса базовый и профильный уровни, - М.
Просвещение, 2013. Автор Ю. В. Шепелева».
15