Комплексные числа

Комплексные числа
Основные понятия
Геометрическое изображение
комплексных чисел
Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Показательная форма комплексного
числа
Основные понятия
Комплексным числом z называют выражение:
z  a  i  b,
где а и b – действительные числа, i – мнимая единица,
определяемая равенством:
i  1
i 2  1
а называется действительной частью числа z,
b – мнимой частью. Их обозначают так:
a  Re z;
b  Im z.
Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой
части, называются сопряженными:
z  a  i  b,
z  a  i  b,
Геометрическое изображение
комплексных чисел
Всякое комплексное число z  a  i  b, можно изобразить на
плоскости XOY в виде точки A(a; b).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют плоскостью комплексной переменной.
y
z
Точкам, лежащим на оси OX,
A(a; b)
b
соответствуют действительные числа
(b = 0), поэтому ось OX называют
действительной осью.
a х
0
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа
(a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.
Иногда удобно считать геометрическим изображением
комплексного числа z вектор OA
Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
Обозначим через r модуль вектора OA , через φ угол между
вектором OA и положительным направлением оси OX.
Тогда имеют место равенства:
y
z
a  r cos ; b  r sin
A(a; b)
b
r
0
Следовательно, комплексное число z
можно представить в виде:
φ
a х
a  i  b  r cos   i  r sin
z  r (cos   i sin )
b
Модуль
комплексного
Аргумент
2комплексного
2
Тригонометрическая
  arg z  arctg
r  zчисла
 aчисла
b
форма записи
a
комплексного
числа числа z считается положительным, если
Аргумент
комплексного
он отсчитывается от положительного направления оси OX против
часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а
с точностью до слагаемого 2k k  Z.
Действия над комплексными числами
1
Равенство комплексных чисел.
Два комплексных числа z1  a1  i  b1 и z2  a2  i  b2
называются равными : z1  z2 , если a1  a2 , b1  b2
Комплексное число z
тогда, когда a  0,
2
 a  i  b равно нулю , тогда и только
b0
Сложение и вычитание комплексных чисел.
Суммой (разностью) комплексных чисел z1  a1  i  b1 и
z2  a2  i  b2 называется комплексное число, определяемое
равенством:
z1  z2  a1  i  b1   a2  i  b2   a1  a2   i  b1  b2 
z1  z2  a1  i  b1   a2  i  b2   a1  a2   i  b1  b2 
Действия над комплексными числами
Сложение и вычитание
комплексных чисел, изображенных
векторами производится по правилу
сложения или вычитания векторов:
y
z
z1
z1 - z2
0
3
z1 + z2
z2
х
Умножение комплексных чисел.
Умножением комплексных чисел z1  a1  i  b1 и z2  a2
называется число, получаемое при умножении этих чисел по
правилам алгебры как двучлены, учитывая что
i 2  1;
i 3  i ;
i 4  i  i  1;
i5  i
При любом целом k:
i 4k  1;
i 4k 1  i ;
i 4k 2  1;
i 4k 3  i
 i  b2
Действия над комплексными числами
На основании этого правила получим:
z1  z2  a1  i  b1   a2  i  b2  
 a1  a2  i  b1  a2  i  b2  a1  i 2  b1  b2
z1  z2  a1  a2  b1  b2   i  b1  a2  b2  a1 
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1  r1(cos 1  i sin1 ) z2  r2 (cos2  i sin2 )
тогда произведение находится по формуле:
z1  z2  r1  r2 (cos(1  2 )  i sin(1  2 ))
Произведение сопряженных комплексных чисел:
z  z  (a  i  b )  (a  i  b )  a2  (i  b)2  a 2  b 2
zz  a b  z
2
2
2
Действия над комплексными числами
4
Деление комплексных чисел.
Чтобы разделить z1  a1  i  b1 на z2  a2  i  b2
необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное
делителю:
z1 a1  i  b1
(a1  i  b1 )  (a2  i  b2 )



z2 a2  i  b2 (a2  i  b2 )  (a2  i  b2 )
(a1a2  b1b2 )  i  (a2 b1  a1b2 ) a1a2  b1b2
a2 b1  a1b2


i
2
2
2
2
a2  b2
a2  b2
a22  b22
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1  r1(cos 1  i sin1 )
z2  r2 (cos2  i sin2 )
z1 r1
 (cos(1   2 )  i sin(1   2 ))
z2 r2
Действия над комплексными числами
Найти произведение и частное комплексных чисел:
z1  2  3i ,
z2  1 4i
= -1
z1  z2  2  3i   1 4i   2  3i  8i  12i 2 
 2  3i  8i  12  14  5i
z1 2  3i
(2  3i )  (1  4i ) 2  3i  8i  12i 2




2
2
z2 1  4 i
(1  4i )  (1  4i )
1 4
10 11
 10  11i
2  3i  8i  12

i
 

17 17
17
17
Действия над комплексными числами
5
Возведение в степень комплексного числа.
При возведении комплексного числа z  r (cos   i sin )
в целую положительную степень модуль возводится в эту степень,
а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра)
z n  r n (cos n  i sin n )
6
Извлечение корня из комплексного числа.
Корень n – ой степени из комплексного числа
z  r (cos   i sin ) находится по формуле:
n
z  r (cos
n
  2k
n
 i sin
  2k
n
)
Арифметическое значение корня из
положительного числа r
Действия над комплексными числами
n
z  r (cos
n
  2k
n
 i sin
  2k
n
)
Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных
значений корня.
Для других значений k аргументы будут отличаться от
полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут
получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n
различных значений.
Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n
значений, так как действительное число – частный случай
комплексного числа и может быть представлено в
тригонометрической форме:
A  A (cos 0  i sin0) ( A  0)
A  A (cos   i sin ) ( A  0)
Действия над комплексными числами
Найти все значения кубического корня из единицы
1  cos 0  i sin0
3
(r  1;   0)
0  2k
0  2k
2k
2k
1  cos
 i sin
 cos
 i sin
3
3
3
3
k 0
k 1
k 2
1  cos 0  i sin 0  1
3
3
2
2
1
3
1  cos
 i sin
 
i
3
3
2
2
3
4
4
1
3
1  cos
 i sin
 
i
3
3
2
2
y
z
В
A
х
С
Показательная форма комплексного
числа
Пусть z  x  i  y . Если х и y – действительные переменные, то
z называется комплексной переменной.
Рассмотрим показательную функцию от комплексной
переменной z.
w  ez
или
w  e x  i y
Комплексные значения функции w определяются по формуле:
e x i y  e x (cos y  i  sin y )
z  2i 
Пример:
e
2 i 

4

(1)

4

e2 2
e2 2
 e (cos  i  sin ) 
i
4
4
2
2
2
Показательная форма комплексного
числа
Если в формуле (1) положим x = 0, то получим:
ei y  cos y  i  sin y
(2)
Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая
показательную функцию с мнимым показателем через
тригонометрические функции.
Заменим в формуле (2) y на – y:
e i y  cos(y )  i  sin( y )  e  i y  cos y  i  sin y (3)
Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :
e e
cos y 
2
iy
 iy
e iy  e  iy
sin y 
2i
Показательная форма комплексного
числа
Представим комплексное число z в тригонометрической форме::
z  r (cos   i sin )
По формуле Эйлера: cos   i  sin  e i
Следовательно, всякое комплексное число можно представить в
показательной форме:
z  r  e i
Действия над комплексными числами в показательной форме:
Пусть имеем:
i 2
z

r

e
. Тогда:
z1  r1  e ; 2
2
i1
z1  z2  r1  r2  e i 1 2 ;
z1 r1 i 1 2 
 e
;
z2 r2
zn  r n  ein ;
n
z  n r e
i
  2k
n
.