ПР-431

НАЧАЛА
ТРИГОНОМЕТРИИ
Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч.
μετρειν (измерять),
то есть измерение треугольников) — раздел математики,
в котором изучаются тригонометрические функции и их
приложения к геометрии.
Данный термин впервые появился в 1595 г. как название
книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса
(Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613),
а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для
расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.
Эти ученые внесли свой вклад в развитие тригонометрии
Архимед
Жозеф Луи
Лагранж
Фалес
Тригонометрия возникла и развивалась в древности как
один из разделов астрономии, как ее вычислительный
аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее
помощью можно определить расстояние до недоступных
предметов и существенно упрощать процесс геодезической
съемки местности для составления географических карт.
Общепринятые понятия тригонометрии, а также
обозначения и определения тригонометрических функция
сформировались в процессе долгого исторического развития.
Тригонометрические сведения были известны древним
вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в
Древней Греции встречающиеся уже в III веке до н.э.
в работах великих математиков– Евклида, Архимеда,
Апполония Пергского. Древнегреческие астрономы успешно
решали вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией.
Тригонометрия – математическая дисциплина,
изучающая зависимость между сторонами и углами
треугольника.
Тригонометрические вычисления применяются
практически во всех областях геометрии, физики и
инженерного дела, при измерении расстояний до
недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в
географии, при контроле системы навигации, в теории
музыки, акустике, оптике, электронике, теории
вероятностей, статистике, биологии, медицине
(включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и
компьютерную томографию), фармацевтике, химии,
сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии,
архитектуре, экономике, электронной технике,
машиностроении, компьютерной графике.
Вспомним:

0    90

с
а


a
sin  
с
b
cos  
c
a
tg 
b
в
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике —
отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к
прилежащему.
В XVIII веке Леонард Эйлер
дал современные, более
общие определения,
расширив область
определения этих функций
на всю числовую ось.
  угол _ поворота
     
 R
у
1
0
х
1
у
1
0
х
1
Рассмотрим в прямоугольной системе координат
окружность единичного радиуса и отложим от
горизонтальной оси угол
(если величина угла положительна, то откладываем против
часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку
пересечения построенной стороны угла с окружностью
у
обозначим Р.
 0
Р

1
0
1

х
1
 0
Р90
у
Р60
Р45
Р30
Р180
хР0 
1
0
1
Р270
Р360
cos 
у
1
P ( x; y)
у
sin 

1
0
P (1;0)
х 0
1
х
1

cos   x
какyордината
Синус углаsin
определяется
точки P
Косинус — абсцисса точки P
y
tg 
Тангенс – отношение
ординаты к абсциссе
точки Px
x
Котангенс – отношение
ctgточки
 абсциссы
 к ординате
P y
Р90
у
Р60
1
Р45

sin
45
 0,7
Р30
cos45  0,7
1
2
-1
1
sin 30 
2
cos 30  0,9

Р180
хР0 
1
0
1
1
2
1
Р360
sin 60  0,9
1

cos 60 
2
-1
Р270
Запомним !
cos 
tg
ctg

45
60
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
30
sin 

1
3

3
3
3

1
3
1
1
3

3
3
Р90
у
Р0 (1; 0)
Р90 (0; 1)
Р180
хР0 
1
0
1
Р360
Р180(-1; 0)
Р270
Р270(0;-1)
Проверим:




180
270
0
-1
0
0
-1
0
1
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
sin 
0
0
90
1
cos 
1
tg
ctg
360

Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса
в координатных четвертях
у
у
+ +
х
1
- -
0
1
- +
+ 1
1
х
- +
+ 1
1
0
sin68  0
cos 76  0
sin 153  0
cos 236  0
sin 249  0
tg127  0
sin 315  0
ctg195  0

у
0
- +
- +
1
1
0
у



х




х
Четность, нечетность синуса, косинуса,
тангенса, котангенса
sin(  )   sin 
tg ( )  tg
ctg ( )  ctg
cos(  )  cos 
Нечетные функции
Четная функция
Периодичность тригонометрических
функций
При изменении угла на целое число оборотов
значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса
не изменяются
у
sin  
 sin(   360 ) 
 sin(   2  360 ) 
у
 sin(   n  360 )
cos  

1
0
 cos(  360 ) 
х
1
х
 cos(  2  360 ) 
 cos(  n  360 )
tg 
 tg (  n 180  )
ctg 
 ctg (  n 180 )
у
3
sin 60 
2
1

cos 60 
2

3
2
60

1
0
1
420  ?
sin 780

х
1
2
1
2

cos420
cos780  ?

sin
sin 780
420

 sin( 60 
 2  360 ) 
 sin( 60  360 ) 
 sin 60 
 sin 60
3
2 23
cos 780
cos
420 
 360)) 
 cos(
cos(60
60 2360
11
 cos
cos60
60 
22
sin 765 
cos 1110  
 sin( 45  2  360 ) 
 cos(30  3  360 ) 
2
 sin 45 
2
3
 cos 30 
2






1
sin( 1470 )   sin 1470   sin( 30  4  360 )   sin 30  
2





1
cos( 1140 )  cos1140  cos(60  3  360 )  cos 60 
2





sin( 810 )   sin 810   sin( 90  2  360 )   sin 90  1
cos(1170 )  cos1170  cos(90  3  360 )  cos 90  0
Радианная мера угла
R

С
центральный угол
R – радиус
С – длина дуги
Если R = C,
то центральный угол равен
одному радиану
Радианной мерой угла называется
отношение длины соответствующей дуги

к радиусу окружности
1 рад  57
180  

n 

n 

180
n  60
60   


180
3

60 


3
 180
n 





4

180




180
180
n  4


 45

4 
4

 45
4
Градусная и радианная меры углов
Угол
в
градусах
n


0 30 45 60
Угол
в
радианах


0


6

4

3


90 180 270 360

2

3

2
2